ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
УСТРОЙСТВА
УДК 621.396:681.323
С. И. Зиатдинов
АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассматривается алгоритм дискретной фильтрации с формированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.
Ключевые слова: дискретный сигнал, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.
При реализации дискретных (цифровых) фильтров необходимо выполнять большое количество математических операций сложения и умножения, что требует значительных либо аппаратных, либо временных затрат. Предметом исследования в настоящей статье является создание алгоритма дискретной фильтрации с небольшим в единицу времени количеством операций сложения и умножения, который, однако, по своим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам.
Суть предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации заключается в следующем. Пусть на вход устройства фильтрации поступает с периодом Т непрерывная последовательность отсчетов входного сигнала х[п]. С помощью сумматора осуществляется текущее суммирование т отсчетов входного сигнала х[п], х[п-1], ..., х[п-(т-1)] и формируются промежуточные суммы
т-1
хЕ [п] = 2х[пЬ -^ (1)
1=0
где Ь=т+к; £=0,1,2, ...
Полученные промежуточные суммы отсчетов сигналов (1) далее поступают в дискретный фильтр (ДФ). На рис. 1 приведена схема рассматриваемого устройства дискретной фильтрации, в котором электронный ключ (Кл) с периодом Т-^= ЬТ подает промежуточные суммы в ДФ.
Проведем исследование характеристик данного устройства фильтрации. В качестве аналога рассматриваемому устройству возьмем непрерывный фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка с частотной передаточной функцией
W (р) =
K
1+рТф
(2)
где К, Тф — коэффициент передачи и постоянная времени фильтра соответственно; р = ую .
Рис. 1
Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение [см. лит.]
y[n] = axY [n]+axY [n-1]-by[n-1], (3)
в котором весовые коэффициенты определяются как
Tv
a=-
Tv+ 2Тф
b =
Tv- 2Тф Tv+ 2Тф
С помощью соотношения (1) разностное уравнение (3) записывается следующим образом:
т-1 т-1
у[п] = а^ у\пЬ-/]+а^ х[пЬ-1-1]-Ьу[п-1].
г=0 г=0
Нетрудно показать, что данному разностному уравнению соответствует амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) [см. лит.]
f m-1 Л 2 f m-1 Л 2
2a1 ^ cos/юТ + ^ sin /юТ
Л /=0 1 /=0
____(1+cos roLT)
Ф(ю)=K
1+2b cos roLT+Ь
Нормированные АЧХ Ф(/) при Тф / T = 100, Тф = 0,01 c, L=m для различного числа суммируемых отсчетов m показаны на рис. 2. Здесь же приведена АЧХ Wf непрерывного ФНЧ. Представленные графики показывают, что во всех случаях в полосе прозрачности (уровень -6 дБ) АЧХ фильтров практически совпадают.
Ш Ф(/)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
\ W(f)
/ Ф(f)
m=20
" m-40
m-60 \ ——_
0,2
0,4 0,6 0,8 2ж/Т Рис. 2
Для нахождения статистических характеристик выходного сигнала фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, которая для непрерывного фильтра определяется соотношением
Алгоритм дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием отсчетов сигнала 51
c+j<X>
G(t) = J W(p)eptdp = 2 res,
(4)
где 2 res — сумма вычетов в подынтегральной функции выражения (4), с = const. Представим подынтегральную функцию в виде отношения двух функций:
W ( p)ept = P( p)/ Q( p).
Из формулы (2) следует, что для ФНЧ первого порядка функция P( p) / Q( p) имеет один вещественный полюс pi = -1/ Тф. При этом вычет функции P( p)/ Q( p) определяется формулой
res =
P( p) = Kept
dQ( p)
dp
Tф
Тогда в точке p = p1 получим следующее выражение для импульсной характеристики непрерывного ФНЧ первого порядка:
-"Г ' (5)
G (t) = Ke~11Тф/Гф .
Будем считать, что на входе рассматриваемого устройства действует непрерывная последовательность отсчетов аддитивной совокупности полезного сигнала и помехи. Причем отсчеты полезного сигнала имеют одинаковый уровень Uc, а отсчеты помехи не коррелиро-
ваны и имеют нулевое математическое ожидание и среднеквадратическое значение а х. При этом дисперсия помехи на выходе сумматора будет определяться выражением
2 2 °Е = то x.
С учетом соотношения (5) дисперсия помехи на выходе ДФ с точностью до постоянного множителя равна
оф =£о| С ),
i=0
где О ) — значения импульсной характеристики в моменты времени = ИЬ.
При этом мощность полезного сигнала на выходе ДФ определяется соотношением
~\2
(6)
Pc =
2 mUcG(ti)
i=0
(7)
В результате отношение сигнал/шум на выходе ДФ можно записать в следующем виде:
п2
ю
2 тисО (Ц ) _i=0
Pc
2
(8)
2 G 2(ti)
i=0
Для ДФ нижних частот без формирования промежуточных сумм отсчетов входного сигнала дисперсия помехи, мощность полезного сигнала, а также отношение сигнал/шум определяются из выражений
(°ф )2 = S 2(t*); P
i=0
i=0
P*
* \2
(°ф )
(9)
S 2(i)
i=0
где ^ = И.
В реальных условиях постоянная времени фильтра Тф намного больше периода Тг = ЬТ
поступления промежуточных сумм в ДФ. Тогда в соотношениях (6)—(9) можно без существенной погрешности перейти от сумм к интегралам:
ma
2 <»
LT
JG2(t)dt; Pc
m2Uc2
0 2 <»
(LT )2
(°ф)2 =TJg2 (t)dt; Pc* = U2
0
J G(t )dt
0
J G(t )dt
(10)
Полученные выражения (10) позволяют определить преимущество в отношении сигнал/шум алгоритма фильтрации без промежуточного сглаживания перед предлагаемым алгоритмом:
\2
Ь
(11)
P c
q=-
'(°ф )2
P./c2
m
При этом количество суммируемых отсчетов входного сигнала т может принимать значения в диапазоне от 1 до Ь.
Из формулы (11) следует, что при т=Ь предлагаемый алгоритм дискретной фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает алгоритму без промежуточного сглаживания.
Если принять период поступления отсчетов входного сигнала равным Т= 100 мкс, количество суммируемых импульсов т=100 и Ь=т, то при реализации дискретного фильтра без промежуточного сглаживания за 1 с необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и 30 000 операций умножения. При реализации же предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием за 1 с достаточно выполнить 30 000 операций суммирования и всего 300 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.
Полученные математические соотношения носят общий характер и будут справедливы для сглаживающих фильтров с практически любой импульсной характеристикой.
2
ЛИТЕРАТУРА
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
Сведения об авторе
Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: kaf.53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
информационно-сетевых технологий 02.07.08 г.