CC BY
61
УДК 517.518.8
А. А. Буздин, Е. А. Васильева
КОМПАКТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ АППРОКСИМАНТОВ ПАДЕ
Приводятся компактные представления для решения обобщенной задачи Паде, известные ранее только для задачи Паде (компактное представление Натолла). На их основе получены детерминантные представления аппроксимантов [М - 1 /М], [М/М] и [М/М - 1].
73
Compact presentations for solution of the generalized Fade problem are presented, that have been known only for the Fade problem (so called compact Nutall presentation). Using them determinant presentations for the approxi-mants [M - 1 / M], [M/M] и [M/ M - 1] were obtained.
Ключевые слова: обобщенная задача Паде, детерминантное представление, аппроксимант.
Key words: generalized Pade problem, determinant presentation, approximant.
Интерес к классическим методам рациональной аппроксимации аналитических функций, и в первую очередь к аппроксимациям Паде и их обобщениям, связан с тем, что такие аппроксимации нашли разнообразные применения в вычислительных задачах теоретической физики и механики (обширная библиография по данному вопросу приведена, например, в [1]).
Пусть имеется набор п отдельных точек 2, на комплексной плоскости, и в окрестности каждой из таких точек задано разложение функции в ряд Тейлора:
Тогда построение аппроксимаций Паде данной функции сводится к отысканию рациональных функций [Ь М] = Рь(г№М(г), тейлоровские разложения которых в окрестностях точек 2, совпадают с разложениями (1). При этом степени числителя и знаменателя этой дроби
проксимации называется обобщенной задачей Паде.
Важными частными случаями этой задачи являются задача Коши — Якоби, когда в ряде точек заданы значения аппроксимируемой функции, и задача Паде, когда в единственной точке задано значение функции и ее производных.
Введение
(1)
n
должны удовлетворять условию L + M = N = ^ mi -1. Данная задача ап-
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 10. С. 73 — 80.
74
Существуют различные представления рациональных аппрокси-мантов (см., напр., [1 — 3]). Одно из них — детерминантное представление, дающее решение аппроксимационной задачи в виде отношения двух определителей, впервые полученное Якоби [4] в 1846 г.
Известно (см., напр., [1]), что решение задачи Паде, если оно существует, имеет вид
деЬ
[і / м ] =----------
А-к+1 А-к+2 ••• А-к+М I 2 £ /і2
і-к
1=0
М
^-еЧ /і - к+1 /і-к + 2 ••• /і - к+М 2
(2)
к=0
где / считается равным нулю, если ] < 0.
Представление (2) можно записать в компактном вице, которое для аппроксимантов Паде вица [М - 1 / М] было впервые получено Нат-толлом в [5], а в 1970 г. Бейкер в [3] обобщил его на аппроксиманты Паде с любым соотношением степеней числителя и знаменателя:
і -М
[і / М] = £ /г1 + 2і-М+1(?[і / М]В-1 ї[і / М]), (3)
і=0
где /[і М] = (/іМ1, /Ш2, ..., /і) — вектор-столбец, а В — (М х М) матрица, имеющая следующий вид:
В “IIА - к+1 - А - к+2 2 А-к+2 - А-к+3 2 А-к+М - /і - к+М +12|| к=1 .
Это равенство называют компактной формой Наттолла для аппроксимаций Паде. При і < М полиномиальный член в (3) обращается в нуль в соответствии с соглашением о том, что / = 0 при ] < 0.
Получим аналог этого представления для обобщенной задачи Паде. Представление Наттолла можно рассматривать как его частный случай, когда все точки аппроксимации сливаются в одну. На основе нового представления получены изящные представления аппроксимантов, степени числителя и знаменателя которых отличаются более чем на единицу. Аппроксиманты такого вида используются, например, для построения верхних и нижних главных представлений решения степенной проблемы моментов или экстремальных задач (см. [6]).
1. Компактное представление для обобщенной задачи Паде
Введем обозначения для разделенных разностей/[20, ., 2і]:
/Т7і = /[ 2, 2+1 2 ] А],к = / [ 2, 2+1 2і, 2к ] (4)
определяемых, как обтічно, последовательно согласно формулам:
І = 0, ..., П : /[2і] := /
/[ ] / [ 2+1 2+к ] - / [ 2 2+к-1]
к = 1, ..., п і : ..., 2*] := -------------------------.
2+к - 2
Приведем решение задачи Коши — Якоби в удобном для нас виде, отличающемся лишь по форме от приведенного в [1]:
[I / м] = -
деЬ /к ,Е+1 /к ,Е+2 ' - /кЕ+М [ЫкЕ П(2 - 2 )У М
V г=0 к=0
деЬ
к-1
/¡П+Г /кШ — /ТТ+М П(2 - 2г)
=0
Здесь — интерполяционные полиномы Ньютона, принимаю-
щие в точках 2- (- = к, ..., Е) значения/:
ыкх=£ [ /—к П(2 - 2-+к)
г=0 V -=0
(6)
Условимся считать также, что N= 0 при г □ -.
Получим компактное представление для аппроксимантов задачи Коши — Якоби. Для этого в числителе и знаменателе (5) вычтем вторую строку, умноженную на (2 - 2М-1) из первой, затем вычтем третью строку, умноженную на (г - 2М-2) из второй и так далее до последней, при этом интерполяционный полином Ньютона (6) удобно записать в следующем виде:
Е-т г-1
Ы—Ь = /Е + /ТЛ1( 2 - 2 ) + /Ё-2~Е(2 - 2Е )(2 - 2Е -1) + •" = £ /Ё-г~Е П (2 - 2 - ).
1=0 -=0
В результате указанных преобразований в последнем столбце числителя (5) возникнут выражения вида
к-1 (Е-к г-1 Е - к+1 г-1 Л
П(2 - 2-) X /ТП П(2 - 2е - -) - £ /т П(2 - 2е - -)
-=0 V г=0 -=0 г=0 -=0 у
= -П( 2 - 2-) [ кя ¡К(2 - 2 - -) 1 = - (2),
]=° V -=0 у
Е
где к(2) = П ( 2 - 2-), а представление (5) приведется к виду
-=0
деЬ
[Е /М] =-
В(2) -ш[[1 / МК (2)
ш 2[Е / М ]
Ый
аеь в( 2)
(7)
Здесь ш1[Е/М] = ((, (,-, /шлх), ш2[Е/М] = (./0:1+1, УЫ,-,/щм),
а матрица В( 2) = ^Т^ГТ] (2)}. с элементами
(2) = к, - /Т-Т7,(2 - 2-1). (8)
Преобразуем числитель, добавив последовательно к его последней строке первую строку, деленную на /0(2), затем вторую строку, деленную на /1(2), и так далее все остальные (вплоть до предпоследней, деленной на /м-1(2)).
75
М
к=0
Выпишем выражение, которое возникает в к-м столбце последней строки:
/0Ь+к + Ь1к / 10 (х) + Ь2к / 11 (х) + + ЬМк / 1М_1 (х) —
— / + /1,1+к _ / +___/2,Ь+к__/1,1+к +
- /0ш 2_(2_2о)(2_^) 2_•"
+_____/М ,Ь+к__________/М _ 1,1+к_____ — / / г ( _)
(х _ 2о)---(2 _ 2м_1) (х _ 2о)---(2 _ хм_2 ) М,1+к М_1 '
Тогда выражение (7) примет виц
7Л а , Г В(2) _О [Ь / М\ (2)'
е ОЛЬ / М]//М1(х) М—
[Ь / М ] — ^---------------------------------^-1, (9)
аеЬ В( х)
где
(О[Ь / М] — ^ /М,Ь+1 , /М,Ь + 2 , • • • , /М,Ь + М ) •
Разлагая числитель по последней строке, затем каждый из полученных определителей по последнему столбцу и используя выражение обратной матрицы В_1(х) через алгебраические дополнения к элементам В( х), получим:
[I / М] = ыш + П(2 - 2, )(ш[I / М] Б-1(2) шг[I / М]). (10)
І=М
При М > I, в соответствии с нашими соглашениями, полином Ньютона
і
обращается в нуль, а П (2 - 2, ) = 1.
і=М
Формула (10) остается справедливой и для задач с совпадающими узлами. В этом случае интерполяционный полином Ньютона следует заменить интерполяционным полиномом Эрмита, а разделенные разности понимаются согласно формуле Эрмита
Л 20, 21.........2, ] = 2- (11)
2лг 'ГП (^х,)
1—о
где Г — это контур, который содержит точки х0, 21, ..., хк внутри себя. Например, для совпадающих точек х0 — х1 — ... — хк получается 1
/[х0, V •, хо] — Т7/(к)(хо).
к!
Полученное компактное представление аппроксимантов Паде переходит в компактную форму Натолла (3), если все точки zk сливаются в одну. При этом значения разделенных разностей переходят в значения соответствующих коэффициентов разложения функции в степенной ряд, а интерполяционные полиномы Ньютона и Эрмита — в отрезки ряда Тейлора.
2. Детерминантные представления для некоторых аппроксимантов
Формуле (10) для ряда частных, но важных случаев, когда степень числителя аппроксиманта равна степени знаменателя или отличается от нее на единицу, можно придать более элегантный вид. Представление вида [М / М - 1], полученное авторами способом, не использующим компактное представление, применялось в [7] и [8] для построения предобуславливателя, который использовался для эффективного решения больших систем линейных уравнений.
Заметим, что из формулы Эрмита (11) следует, что для функций Т— (х) из (8) справедливо представление 1, ]
Т- (х) = — | /(р^~ Х) й-.
' ’ 21 гП (--х)
У=0
Из этого представления видны следующие свойства функций Т— (г), которые, впрочем, можно легко проверить непосредственно.
3
1. Функции Т— (г) удовлетворяют следующим рекуррентным соот-
3
ношениям:
Тг(х) = -/(х - хдг
Т ( х) Т ,г+к+1 ( Х) г ,г+к - 2,1+к ( Х)
г ,г+к' ' = .
х + к -1 хг+к
Здесь и далее через Тщ. (х) обозначена функция вида Т-щ. (х) = = у ,у (х - 2,-1), где разделенные разности /--^,. определяются
как в (4).
2. Т—(х,+г,) = (рцк,р = 1,2,..., к).
1,1+к' г+р / У 1,1+р-1,г+р+1,1+к 'Г • '
3. Функции Т-. (х) симметричны относительно своих индексов.
4. Пусть Т(1) и Т(2) — векторы следующего вида:
т(1) = (Т т Т_________________) Т(2) = (Т Т Т_____________ )
' 1,к' 1,к+1'“*' 11/к+М-1'7 ' 1,к,у 1,к+1,у/***/ 1,к + М-1,у'*
Тогда вектор имеет вид
Т(2) = (Т_______, т___________,..., т___________).
' 1,р-1,р+1,к ,у' 1,р-1,р+1,к+1,у ^ ' 1,р-1,р+1,к+М-1, у '
Справедливость последнего утверждения хорошо видна из следующего представления (I + 1)-й компоненты вектора Т(2):
Т--------- Т—
Т 1,р-1,р+1,к+1, у 1,к+1
,у- х. - х '
у Р
которое мы получим, воспользовавшись свойством симметричности функций Т-Г-. (х).
77
78
Воспользуемся указанными свойствами и преобразуем числитель и знаменатель (9) аппроксиманта вида [М — 1/М]. В этом случае числитель (9) имеет вид
М- 1,М
Т
Т—
0,М
/М
Т
М- 1,2М-3
Т
М- 1,2М-2
Т
М- 1,2М-1
Т
М-2,2М-3
Т
М-2,2М-2
Т
М-2,2М-1
/М
/М
Т
Т
Т
/
М ,2М-3
/
М ,2М-2
/
М ,2М-1
/0,М-1
0
Используя свойство 4, рассматривая в качестве векторов Т(1) и Т(2) соответственно М-й и (М - 1)-й столбцы, умножим М-е столбцы числителя и знаменателя на х - хгм-г и сложим (М - 1)-й столбец с М-м. Тем самым мы исключим из М-го столбца индекс (2М - 2). Тогда М-й столбец числителя примет вид
(Т-------- , Т------- ,..., Т---- , /----- )Т,
' М- 1,2М-3,2М-1' М-2,2М-3,2М-1' ' 0,2М-3,2М-1' •'М,2М-3,2М-1 > '
а М-й столбец знаменателя —
(Т-
М
Т________ ,Т________ ,...,. ,
М- 1,2М-3,2М-1' М-2,2М-3,2М-1' ' 0,2М-3,2М-1 >
Затем, при помощи (М - 2)-го столбца исключим индекс х2М-3 из М-го и (М - 1)-го столбцов, и так далее.
Тогда через М - 1 таких шагов получим для числителя (9):
•, То-
,)Т.
Т
Л/Г
Т
М- 1,2М-2
Т
М-2,М- 1,М
Т—
1,М
М-2,М - 1,М+1
М-2,М- 1,2М-2
-/л
М-1
М-2,М-1
Т
1,М- 1,М+1
Т
1,М-1,2 М-2
Т
Т
Т
/1,М-1 /0,М-1
о
0,М 0,М- 1,М+1 0,М- 1,2М-2
/М /М+1 /2 М-1
Знаменатель (9), как и раньше, будет отличаться от числителя тем, что в нем будут отсутствовать последний столбец и последняя строка.
Проводя аналогичные преобразования со строками, исключим индексы 1, ..., М - 1. Тогда через М - 1 таких шагов получим:
[ М -1/ М ] = £ [ М / М ]В-1( х)£Т [0 / М ], где элементы матрицы В(х) = {Тг,М+.}М-, имеют вид
Т ,у (х) = /,-/, ,у (х-х.), (12)
а вектор £[г / и] = (/; , /г+1, . , /г +„-1 ).
Особенно элегантно полученная формула выглядит в случае, когда в М точках хк заданы значения функции /0, /1, ., /М-1 и ее производной
/;, /;,., /М-1:
[М-1/М] = £[0/М] В-1(х) £Т[0/М], где элементах матриц^1 13(х) = {Т; .};''.-1 имеют вид (12) при ; ^ у и ^;,; = /;-/;'(х-Х; ).
Получим теперь формулу для аппроксиманта [М / М - 1]. Для этого достаточно построить рациональную функцию [М — 1 / М], принимающую в точках 20, 21, ..., 22М-1 значения 1//0, 1//1, ..., 1//2М_1. Тогда обратная к ней функция [М / М - 1] в тех же точках будет принимать значения/0,/_, ...,/2м-1. После элементарных алгебраических преобразований искомый аппроксимант примет вид
где
[ M / M-1] = ( 1 ІЗ 1 (z) 1T )-1,
в={/ + /„M+; (z-z, ^-o, 1=(1,1......1).
Получим также формулу для интерполянта вица [М / М]. Для этого проведем над (5) преобразования, аналогичные тем, которые мы применяли для построения аппроксиманта [М - 1, М]. Тогда (5) примет вид
det
[ M / M ] = -
в (z)
F-T [ M / M ]
-F2[ M / M ](Z-ZM) /m
det B (z)
где
В (г) = {Тг, м , м+у+іМ 0,
^1[М / М] = (/),М , /1,м , • • •, /м- 1,М ),
Б2[ М / М ] = ( /м , М+1 , /М,М+2 , • , /М,2М ).
Перепишем полученное выражение, дописав к каждому из определителей столбец и строку, не меняющие их значения:
det
[ M / M ] = -
в (z)
FT [ M / M ]( z-zm ) f[ M +1/ M ]
FT [ M / M ] o
fM
o
det
rB(z)
V ^ J
T _ (TM,M +1' TMM+2' ••• ' TM,2M ).
И в числителе, и в знаменателе вычтем последнюю строку из предпоследней. Затем, начиная с предпоследней строки, применяя преобразования для исключения индекса, избавимся от второго индекса M у элементов Ti, M+j и fk, M
i Biz) f[0/M]
det
[M/M] =-
B(z)
T
f[M+1/M]
fM
o
det
det
B(z) 1 T1
Bl(z) f[0/M+1] f[M+1/M] 0
det Bj( z)
, (13)
79
где
80
E.-
Из выражения (13) можно получить другое представление для ап-проксиманта [М / М], применив уже использованный прием, как для построения аппроксиманта [М / М - 1] из [М - 1 / М]:
det B (z)
(
det
13 ( z) 1
,г V
где B HI fk + fk,M+1 (z-zk • / fk + fk,2M (z - zk )> fk }|M=0 -
Список литературы
1. Бейкер Дж. мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. M., 1986.
2. Stoer J., Bulirsch R. Introduction to numerical analysis. New York, 1992.
3. Baker G. A. Jr. The Pade approximant and some related generalizations / Baker G. A. Jr., and J. L. Gammel (eds.). The Pade Approximant in Theoretical Physics. New York, 1970. P. 1 — 39
4. Jacobi C. G. J. Über die Darstellung einer Reihe gegebener Werte durch eine gebrochene rationale Funktion // J. für Reine und Angewandte Math. 1846. Vol. 30. P. 127 — 156.
5. Nuttall J. Convergence of Pade approximants for the Bethe-Salpeter amplitude // Phys. Rev. 1967. Vol. 157. P. 1312—1316.
6. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., 1973.
7. Буздин А. А., Васильева Е. А. Об одном варианте метода неполного блочного разложения // Вестник Калининградского государственного университета. 2005. Вып. 1 — 2. С. 70 — 76.
8. Буздин А. А., Васильева Е. А. Неполное блочное разложение, основанное на аппроксимациях Паде // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 4. С. 89—99.
Об авторах
Алексей Алексеевич Буздин — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: buzdina@inbox.ru
Екатерина Алексеевна Васильева — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта.
E-mail: buzdina@inbox.ru
Authors
Dr Aleksey Buzdin — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University.
E-mail: buzdina@inbox.ru
Dr Ekaterina Vasilyeva — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University. E-mail: buzdina@inbox.ru
