CC BY
30
3. Herglotz G. Über Rotenzreihen mit positivem reelem Teil im Einheitskreis // Ber. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig. 1911. Vol. 63. P. 501 - 511.
4. НеванлиннаР. Однозначные аналитические функции. M.: Гостехиздат, 1941
5. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
6. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М: Мир, 1970
7. Терехин П. А. О представляющих свойствах системы сжатий и сдвигов функций на отрезке // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика Информатика. Тула: ТулГУ, 1988. Т. 4. Вып. 1. С. 136 - 138.
8. Терехин П. А. Оператор мультисдвига в гильбертовом пространстве и его приложения к теории всплесков // Теория приближений функций и операторов: Тез. докл. Екатеринбург, 2000. С. 149 - 150.
УДК 517.51
В. Г. Тимофеев
КОЛМОГОРОВСКИЕ ОЦЕНКИ В РАВНОМЕРНОЙ МЕТРИКЕ НА ПОЛУОСИ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ И ЕЕ ПЯТУЮ ПРОИЗВОДНУЮ*
Пусть С5[0,оо) есть множество функций u(t), непрерывных на [0,со) вместе с производной 4-го порядка включительно таких, что sup{|w(i)|:0<i <оо}<оо, а ы(4) удовлетворяет на [0,оо) условию Липшица первого порядка.
Положим I и I = sup{| u(t) |: 0 < i < оо}. Это обозначение используем и в том случае, когда u{t) определена лишь почти всюду на [0, со). У всякой функции и е С5[0,со) существует на [0,со) почти всюду производная 5-го порядка и при этом sup{| м<5) (t) |: 0 < t < »} < ж.
Обозначим через U множество функций из С5[0,оо), обладающих свойством Iи I ^ 1, м(5) <120. Можно показать, что для 1 < к < 4
М-5А =sup|j|«(ft)j|:«et/1
: и е и оо.
Отсюда следует, что при 1 < к < 4 для всякой функции и е V справедливы точные неравенства
к
II II 12о*/511 11 1 И
В статье исследована конструкция сплайнов, экстремальных для неравенств (1), указан способ вычисления величин \х5к. Выяснено, что экс-
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 99-01-01120.
тремальной функцией в указанных неравенствах является одна и та же функция - полиномиальный алгебраический сплайн 5-го порядка. Обсуждение подобных задач можно найти, например в [1].
Предпошлем доказательству основной теоремы несколько вспомогательных лемм.
ЛЕММА 1. Существует последовательность чисел О <а < Ь < х1 < < х2 < ••• {хк -»со при к-> <») и функция ф(/) такая, что: 1) Ф(0 е II;
[(-1)"+1120, если te(x„,xn+1) щт п = 1,со, 1-120 если /е(0,х,)';
2) Ф(5)(0 =
ф(0:
3) ф(0) = ф(й) = ф(424) = +1, если к = 1,°о, ф(а) = фй2/(:_1) = -1, если
к =
4) если обозначить £,к-хк=к\,а xk-^k_l~V2 + к'\, то
00 00
ZI^Koo и Т}К"к\«я к=1 к=1 Доказательство нетрудно провести методами конструктивной теории одномерных сплайнов с использованием схемы построений, изложенной в [3]. Отметим лишь, что
fp0(i-6) для
U.C-IU) Для x„<t<x„+l, и = 1,со,
где p„(t) = (-1 )"+1(i5 - A„t4 - В/ - C„t2 -1). Свойства 1) - 4) леммы проверяются непосредственно.
ЛЕММА 2. Существуют функции Фу (0, j = 1,4 непрерывные на [0,оо) вместе с производными до 3-го порядка включительно, такие, что:
1)Ф (/) - алгебраические многочлены четвертой степени на каждом
из отрезков [0,a], ■ Знаки Ф'4)(0 на этих отрезках
чередуются и Ф*}4)(0 > 0 на [0, а];
2)Ф;(0сохраняют знаки на каждом интервале (0,*,), (хьх2),
(х2,х3).... Знаки Фj(t) на них чередуются и Ф;(?) < 0 на (0,х1);
3)(?)| = 0(e~st), где 5 = const > 0 при t -><х для у =1,4, к = 0,4;
4) Ф<4_;) (0) = +1, Ф<*} (0) = 0, если к Ф 4 - J, J = 14.
Доказательство достигается дословным повторением рассуждений, приведенных в [2].
ТЕОРЕМА. Имеют место равенства
_ 5а^4 - Юособ3 + ба^Ь2 + \2Ь2 - ар -12а06
М-51 ~ з '
а0
_ 40а- 60а*0Ь2 + 24а50Ь + 486 - 2а60 - 24а0
М-52 - ~ Г 3 ;
2а 30
60<х0Ь -60а41> + 12ар + 24 ....
ц53=--^--; Р-54 = 1206-60а0,
а Г
где b является решением уравнения 2а0b - 5а0Ь + (4а0 + 8)Ъ --(ар+12а0) = 0, а а0 - известный параметр [3], соответствующий коэффициентам Aq, В0, С0 функции Pq (i), указанной в лемме 1.
Экстремальной функцией в неравенствах (1) является функция ф(7) (лемма 1).
Доказательство. Пусть F(t) - произвольная функция из U, а Фу(0 - одна из функций, построенных в лемме 2.
Рассмотрим интегральное представление
F\0)<bf(0) - F"(0ys>"j (0) + ^(3)(0)Ф'; (0) - Fw(0)®;(0) =
= ^(0)Ф<4)(0) + F(Ö)JD<4)0 + 0) - Ф<4)(а - 0)]+ (2)
+ Z^v)k4)ßv + 0)-O<4)(Sv -0)]+jF^(0®y(r)A.
v=0 . о
Для произвольной функции /(f) е U при J = 1,4 справедливо неравенство, которое является следствием неравенства (2)
||/0')|| < |ф№(0)| + |ф^4)(а + 0) - Ф<4)0 - 0)| +
+ Zfc+Ö)-®^ -0)| + 120||фj\dt.
v=0 1 о
Положив в (2) F(t) = ф(г), получаем |/0)| < (-1уч1фШ(0) • Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schoenberg I. J., Cavaretta A. Solution'of Landau problem concerining higher derivatives on the halfline // Конструкт, теор. функций: Тр. междунар. конф. Золотые пески (Варна). 1970. София, 1972. С. 297 - 308.
2. Тимофеев В. Г. Пример построения функций с наперед заданными свойствами. Саратов, 1999. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99, № 1561-В99.
3. Тимофеев В. Г. О неподвижной точке одного специального отображения. Саратов, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99, № 1560-В99.
УДК 517.928
В. А. Халова
ЗАДАЧА ОБРАЩЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*
Задача точного обращения интегрального оператора вида
Af = \A(x,t)f(t)dt, jce[0,l] о
представляет значительный интерес, в частности, при изучении сходимости спектральных разложений (см., например, [1]).
В настоящей статье полностью решается эта задача для интегрального оператора
Af = а,Р f(t)dt + a2 j V n, /('>*+I>*(*)(/,vt),(l)
0 \п~Ч- 0 \п~Ч" к=1
х е [0,1],
1
где (/>*) = jf(t)vk(t)dt, gk(x) е С" [0,1], vk (х) е С" [0,1], последовательно-о
ста {g("](x)\"1, {vk(?)}" линейно независимы, P = otj -а.\ ф0.
Полученные результаты являются обобщением результатов А. П. Хромова [2], относящихся к оператору вида (1), когда п = 1 и a, = 1, а2 =0.
Обозначим Sf(x) = /(1 - х), Т = a, - a2S, D = —.
dx
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Оператор А существует тогда и только тогда, когда
rang T = m, (2)
где Г - матрица размера (п + m)xm с элементами
* Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123.
