CC BY
0
2024 Прикладная теория графов № 63
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.1, 004.05 DOI 10.17223/20710410/63/5
КОЛИЧЕСТВО АТТРАКТОРОВ И ЦИКЛИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ОРИЕНТАЦИЙ ПОЛНЫХ ГРАФОВ
А. В. Жаркова
Саратовский национальный исследовательский государственный университет, имени Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия
E-mail: ZharkovaAV3@gmail.com
Графовые модели занимают важное место в задачах, связанных с защитой информации и информационной безопасностью, в том числе при построении моделей и методов управления непрерывным функционированием и восстановлением систем, противодействия отказам в обслуживании. Рассматривается конечная динамическая система (Гкп, a), n ^ 1, состояниями которой являются все возможные ориентации полного графа Kn, а эволюционная функция задаётся следующим образом: динамическим образом орграфа является орграф, полученный из исходного путём переориентации всех дуг, входящих в стоки, других отличий между исходным орграфом и его образом нет. Получены формулы для подсчёта количества циклических (принадлежащих аттракторам) состояний системы; состояний, не являющихся циклическими; аттракторов системы, в том числе различных ти-
n
Ключевые слова: аттрактор, граф, кибербезопасность, конечная динамическая система, отказоустойчивость, полный граф, циклическое состояние, эволюционная функция.
NUMBER OF ATTRACTORS AND CYCLIC STATES IN FINITE DYNAMIC SYSTEMS OF COMPLETE GRAPHS ORIENTATIONS
A. V. Zharkova Saratov State University, Saratov, Russia
Graph models occupy an important place in information security tasks, including the construction of models and methods for managing the continuous operation of systems and system recovery, countering denials of service. Finite dynamic systems of complete graphs orientations are considered. States of a dynamic system (ГКп, a), n ^ 1, are all possible orientations of the complete graph Kn, and evolutionary function transforms the graph orientation by reversing all the arcs that enter into sinks, and there are no other differences between the given and the next digraphs. Formulas are obtained for counting the number of cyclic (belonging to attractors) system states and the number of states that are not cyclic (not belonging to attractors), namely, the number of states belonging to attractors is 1, if n = 1; 2(n-1)(n-2)/2(2n-1 — n) + n!, if n > 1,
the number of states not belonging to attractors is 0, if n = 1; n ■ 2(n-1)(ra-2)/2 — n!, if n > 1. Formulas are obtained for counting the number of attractors of the system, including various types, namely, the number of attractors of length 1 is 1, if n = 1; 2(n-1)(n-2)/2(2ra-1 — n), if n > 1, the number of attractors of length n is (n — 1)!, the number of attractors (basins) is 1, if n = 1; 2(ra-1)(ra-2)/2(2n-1 — n) + (n — 1)!, if n > 1. The corresponding tables are given for n = 1,..., 20.
Keywords: attractor, complete graph, cybersecurity, cyclic state, evolutionary function, fault-tolerance, finite dynamic system, graph.
Введение
Графовые модели занимают важное место в задачах, связанных с информационной безопасностью, В вопросах кибербезопасности с помощью графовых моделей можно, например, выявлять связи между сущностями системы, группировать их, оценивать поведение, выявлять различные аномалии, В задачах, связанных с отказоустойчивостью компьютерных сетей, отказы процессоров интерпретируются как удаление соответствующих вершин, а отказы сетевых каналов — как удаление дуг.
При изучении модельных графов можно применять идеи и методы теории конечных динамических систем, В работе [1] представлены нетрадиционные приложения автоматов в алгебре, теории динамических систем, теории графов и спектральной теории, В модели [2] в качестве механизма восстановления работоспособности сети предлагается так называемая SER-динамика бесконтурных связных ориентированных графов, В [3] на множестве всех двоичных векторов заданной размерности вводится структура динамической системы, исследуются её свойства и устанавливается связь с динамикой из предыдущей модели, В [4] представлены конструктивные методы символической динамики и их приложения к изучению непрерывных и дискретных динамических систем, В работе [5] рассмотрены методологические аспекты динамического программирования, в том числе анализируются основные графовые интерпретации динамического программирования и представление структуры задачи динамического программирования с помощью графа взаимосвязей, В [6] рассматривается задача оптимального сопоставления для взвешенных графов и развивается новая аппроксимация этой проблемы путём построения динамических систем на многообразии ортогональных матриц, В [7] характеризуется циклическая эквивалентность класса конечных графовых динамических систем, при этом две конечные графовые динамические системы циклически эквивалентны, если их аттракторы изоморфны как ориентированные графы.
Модель InterSim [8] представляет собой гибкую среду общего назначения для моделирования графовых динамических систем и их обобщений, В [9] изучаются динамические системы, связанные с конечными двудольными разделёнными графами, алгебрами графов и парадоксальными разбиениями, В работе [10] описывается веб-приложение GDSCale для вычисления и характеристики динамики дискретных графовых динамических систем, В [11] характеризуется широкое обобщение динамических систем над графами, состояния которых могут принимать значения в произвольной булевой алгебре с 2p элементами, p е N. В работе [12] излагаются концептуальные основы общей теории дискретных динамических, релейных и логико-динамических систем на основе использования общих фундаментальных свойств рассматриваемых классов — дискретности структур и физической декомпозиции, В [13] предлагаются формализация графовых моделей структур многокомпонентных динамических систем с примене-
нием маркированных графов и матричный способ описания процесса функционирования ориентированных и неориентированных маркированных графов, В [14] решается проблема сосуществования аттракторов в однородных булевых графовых динамических системах, которые индуцируются булевыми функциями минтерма и макстерма, с направленным базовым графом зависимостей, В модели [15] изучается влияние графа взаимодействия на конечную динамическую систему,
В настоящей работе полные графы изучаются с точки зрения динамического подхода к кибербезопаспости и отказоустойчивости графовых систем, Подсчитываются количества циклических и не являющихся циклическими состояний, количество аттракторов в конечных динамических системах ориентаций полных графов. Предварительные результаты частично были анонсированы на научных конференциях [16, 17], Данная работа является полной и завершающей эти исследования,
1. Основные определения и постановка задачи
Основные понятия теории дискретных систем, в частности графов, используются согласно [18],
Под конечной динамической системой понимается пара (Б, 5), где 5 —конечное непустое множество состояний системы; 5 : Б ^ Б — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой функциональный орграф с множеством вершин Б и дугами, проведёнными из каждой вершины в Е Б в вершину 5(в). Компоненты связности орграфа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры, в свою очередь, называются предельными циклами, или аттракторами. Под длиной аттрактора будем понимать количество различных состояний в соответствующем контуре. Состояние, принадлежащее аттрактору, называется циклическим.
Основными проблемами теории конечных динамических систем являются задачи отыскания эволюционных параметров системы без построения карты и проведения динамических исследований на её основе, К числу таких характеристик относятся принадлежность состояния аттрактору, количество таких состояний, описание аттракторов системы, их количество,
В [19] описаны свойства принадлежности состояний аттракторам, сами аттракторы, подсчитано их количество в конечных динамических системах ориентаций некоторых типов графов, В данной работе подсчитываются количества циклических и не являющихся циклическими состояний, количество аттракторов в конечных динамических системах ориентаций полных графов,
2. Описание конечной динамической системы (ГКп, а)
Пусть дан полный граф О = Кп, п ^ 1, т = п(п — 1)/2 — число рёбер. Пометим его вершины и придадим его рёбрам произвольную ориентацию, тем самым получив направленный граф —О = (V, в), где отношение смежпости в аптирефлексивпо и антисимметрично. Применим к полученному орграфу эволюционную функцию а, которая у данного орграфа одновременно переориентирует все дуги, входящие в стоки, а остальные дуги оставляет без изменения, в результате получим орграф а(~О). Если проделать указанные действия со всеми возможными ориентациями данного графа, то получим карту конечной динамической системы, состоящую из одного или нескольких бассейнов.
Таким образом, рассмотрим конечную динамическую систему (ГКп , а), п ^ 1 где через ГКп обозначено множество всех возможных ориентаций полного графа Кп |ГКп | = 2т, а эволюционная функция а задана следующим образом: если дан некоторый орграф е ГКп, то его динамическим образом а((() является орграф, полученный из
( а( ( )
На рис, 1 изображён граф Кз и карта конечной динамической системы (ГКз, а)
одповремешюи переориептациеи всех дуг, входящих в стоки, других
р Л
«А.
!
Л.-
Рис. 1. Граф Кз и карта конечной динамической системы (Гк3, а)
В [2] рассматривается конечная динамическая система (П,а), оде П —множество всех бескоптурпых ориептаций данного связного графа, и отмечается, что дня полного графа существует п! бесконтурных ориентаций, где п! — количество перестановок его вершин, при этом система имеет (п — 1)! бассейнов, каждый из которых состоит ис-
п
циклическими.
Под вектором степеней захода орграфа будем понимать вектор, компонентами которого являются расположенные в убывающем порядке степени захода всех его вершин, Например, па рис, 1 расположенный сверху справа орграф имеет вектор степеней захода (2,1,0),
3. Количество циклических состояний в конечной динамической
системе (ГКп, а)
Теорема 1 [20], В конечной динамической системе (ГКп, а) п ^ 1, состояние
е ГКп принадлежит аттрактору (является циклическим) тогда и только тогда, когда орграф
1) не имеет стока или
2) имеет вектор степеней захода (п — 1, п — 2,..., 0),
Теорема 2. В конечной динамической системе (ГКп, а) п ^ 1, количество принадлежащих аттракторам (циклических) состояний равно
1,
п
1,
2(п-1)(п-2)/2(2п-1 — п) + п!, если п > 1.
Доказательство. Количество состояний системы (ГКп, а) равно 2п(п-1)/2, В теореме 1 приведён критерий принадлежности состояния системы аттрактору (циклического состояния).
Пусть п =1,
В системе существует единственное состояние (О Е ГК1, которое является циклическим, Таким образом, в конечной динамической системе (ГК1, а) количество принад-
1
Пусть п > 1,
Заметим, что множества состояний, подходящих под п, 1 и 2 теоремы 1, не пересекаются, так как компонента п — 1 в векторе степеней захода указывает на наличие стока в соответствующем орграфе. Таким образом, общее число циклических состояний равно сумме количеств состояний, соответствующих п, 1 и 2 теоремы 1, подсчитаем их,
1) Найдём количество состояний системы, у которых нет стока.
Очевидно, что в ориентации полного графа может быть не более одного стока.
Пусть дано состояние ~(О Е ГКп, у которого есть сток. Удалим у орграфа ~(О сток и обозначим полученный новый орграф через —О', Орграф —О' нмеет п — 1 вершину и его симметризация С также является полным графом. Количество всех возможных ориентаций полного графа С с п — 1 вершиной равно 2(п-1)(п-2)/2, Удалённый сток мог быть на месте любой из п вершин орграфа , Таким образом, количество состояний Е ГКп, у которых есть сток, равно п • 2(п-1)(п-2)/2, Получаем, что количество состояний Е ГКп, у которых нет стока, равно
2п(п-1)/2 _ п • 2(п-1)(п-2)/2 = 2(п-1)(п-2)/2 ^п-1 — .
2) Найдём количество состояний системы, которые имеют вектор степеней захода (п — 1,п — 2,..., 0), Докажем, что оно равно числу перестановок п-элементного множества {п — 1, п — 2,..., 0}, то есть п!,
п
ства {п—1, п—2,..., 0}, не соответствующая ни одному из состояний системы, Попробу-
Оп
При построении будем нумеровать вершины согласно их степени захода.
Начинаем с вершины степень захода которой равна 0: ) = 0, то есть она является источником, все рёбра ориентируем из неё.
Находим вершину степень захода которой равна 1 ) = 1, то есть она
достижима только из одной вершины, а именно из вершины все остальные рёбра ориентируем из неё.
Переходим к вершине степень захода которой равна 2: ) = 2, то есть она достижима только из двух вершин, а именно из и г^, все остальные рёбра ориентируем из неё.
Продолжая аналогично, доходим до вершины уп_ 1, у которой степень захода равна п — 1: 1) = п — 1, то есть она является стоком, и на данном шаге все рёбра уже
ориентированы в данную вершину,
О
которой вектор, компонентами которого являются расположенные в заданном порядке степени захода вершин, совпадает с данной перестановкой — противоречие.
Таким образом, в конечной динамической системе (ГКп, а) п > 1, количество принадлежащих аттракторам (циклических) состояний равно 2(п-1)(п-2)/2 (2п-1 — п) + п!.
Теорема 2 доказана, ■
Например, в конечной динамической системе (ГКз, а) все восемь состояний являются циклическими (см, рис, 1), при этом по теореме 2 имеем 21 (22 — 3) + 3! = 8,
В табл. 1 приведены данные по количеству принадлежащих аттракторам состояний в конечных динамических системах (ГКп, а) для 1 ^ п ^ 20, Можно заметить, что абсолютное большинство составляют циклические состояния.
Таблица 1
Количество циклических состояний в (Гкп, а)
п 1гк„| Количество циклических состояний %
1 2и 1 100
2 21 2 100
3 23 8 100
4 26 56 87,5
5 21и 824 « 80
6 215 27344 « 83
7 221 1872816 « 89
8 228 251698560 « 94
9 236 66303920512 « 96
10 245 34497180950272 « 98
11 255 35641768965903616 « 98,9
12 266 73354630731089640448 « 99,4
13 278 301272224211830624013312 « 99,7
14 291 2471648838202109434865068032 « 99,8
15 2105 40527681006124779440955203213312 « 99,9
16 2120 1328578958677599019450261671029080064 « 99,95
17 2136 87089689055831903076784535138195324370944 « 99,97
18 2153 11416413520500907364026648525411317876849311744 « 99,986
19 2171 2992938411604397870579225677935591422639720079360000 « 99,993
20 2190 1569215570739605117175417732871168545075536656127224971264 « 99,996
Следствие 1. В конечной динамической системе (ГКп, а) п ^ 1, количество не принадлежащих аттракторам (не являющихся циклическими) состояний равно
0, если п =1,
п ■ 2(га-1)(га-2)/2 — п!, если п > 1.
4. Количество аттракторов в конечной динамической системе (ГКп, а)
Теорема 3 [20], В конечной динамической системе (ГКп, а) п ^ 1, существуют следующие аттракторы:
1) длины 1, каждый из которых образован состоянием € ГКп, у которого нет стока;
2) длины п, каждый го которых состоит из состояний € ГКп, у которых вектор степеней захода есть (п — 1, п — 2,..., 0), при этом аттрактор представляет собой контур, в котором каждое следующее состояние получается из предыдущего таким образом: если (^-(^1), ..., ^-(^га)) — вектор, составленный из степеней захода вершин в порядке их нумерации для (то для а ((г) € ГКп соответствующий вектор равен +1, +1,..., +1), где сложение
п
и только они.
Теорема 4. В конечной динамической системе (ГКп, а), п ^ 1, количество аттракторов длины 1 равно
!1, если п =1, ,
2(п-1)(п-2)/2 (2п-1 - п), если п > 1.
Доказательство. Согласно теореме 3, количество аттракторов длины 1 совпадает с количеством состояний € ГКп, у которых нет стока, подсчитано в доказательстве теоремы 2 и совпадает с (1), ■
Например, в конечной динамической системе (ГКз, а) количество аттракторов длины 1 равно 2 (см, рис, 1), при этом по теореме 4 имеем 2(3-1)(3-2)/2 (23-1 — 3) = 2,
В табл. 2 приведены данные по количеству аттракторов длины 1 в конечных динамических системах (ГКп, а) для 1 ^ п ^ 20, Можно заметить, что с ростом п аттрак-1
п
Таблица 2 Количество аттракторов длины 1 в (ГКп, а)
п Количество аттракторов длины 1 %
1 1 100
2 0 0
3 2 50
4 32 « 84
5 704 « 97
6 26624 « 99,6
7 1867776 « 99,96
8 251658240 « 99,998
9 66303557632 « 100
10 34497177321472 « 100
И 35641768925986816 « 100
12 73354630730610638848 « 100
13 301272224211824396992512 « 100
14 2471648838202109347686776832 « 100
15 40527681006124779439647528845312 « 100
16 1328578958677599019450240748239192064 « 100
17 87089689055831903076784534782507896274944 « 100
18 11416413520500907364026648525404915503143583744 « 100
19 2992938411604397870579225677935591300994619670528000 « 100
20 1569215570739605117175417732871168545073103754119048331264 « 100
Теорема 5. В конечной динамической системе (ГКп, а) п ^ 1, количество аттракторов длины ^^но (п — 1)!
Доказательство. При п = 1 имеем 1 = 0! аттрактор длины 1 (по теореме 4), п > 1 п
зательству теоремы 2, п, 2, количество соответствующих циклических состояний равно п!. Таким образом, в системе (ГКп, а), п > 1, количество аттракторов длины п равно п!/п = (п — 1)!, ■
Например, в конечной динамической системе (ГКз, а) количество аттракторов длины 3 равно 2 (см. рис. 1), при этом по теореме 5 имеем (3 — 1)! = 2,
В табл. 3 приведены данные по количеству аттракторов длины п в конечных динамических системах (ГКп, а) для 1 ^ п ^ 20,
Таблица 3
Количество аттракторов длины п в (ГКп, а)
п Количество аттракторов длины п %
1 1 100
2 1 100
3 2 50
4 6 « 16
5 24 « 3
6 120 « 0,4
7 720 « 0,04
8 5040 « 0,002
9 40320 « 6•10-5
10 362880 « 1•10-6
И 3628800 « 1•10-8
12 39916800 « 5 • 10-11
13 479001600 « 2 • 10-13
14 6227020800 « 3 • 10-16
15 87178291200 « 2 • 10-19
16 1307674368000 « 1 • 10-22
17 20922789888000 « 2 • 10-26
18 355687428096000 « 3 • 10-30
19 6402373705728000 « 2 • 10-34
20 121645100408832000 « 8 • 10-39
Теорема 6. В конечной динамической системе (ГКп, а) п ^ 1, количество аттракторов (бассейнов) равно
!1, если п = 1,
2(п-1)(п-2)/2 (2«-1 - п) + (п - 1)!, если п > 1.
п = 1 1
Пусть п > 1, Согласно доказательству теоремы 2 и теореме 3, общее число аттракторов в системе (ГКп, а) равно сумме количеств аттракторов длины 1 и п, которые подсчитаны в теоремах 4 и 5, ■
Например, в конечной динамической системе (ГКз, а) четыре аттрактора (см, рис, 1), при этом по теореме 6 имеем 2(3-1)(3-2)/2 (23-1 — 3) + (3 — 1)! = 4,
В табл. 4 приведены данные по количеству аттракторов в конечных динамических системах (ГКп, а) для 1 ^ п ^ 20,
Например, карта системы (ГК7, а) |ГК71 = 2097152, состоит из 1868496 бассейнов, при этом 224336 состояний те являются циклическими (что составляет « 11 % от общего числа состояний), 1872816 состояний являются циклическими, которые образуют 1867776 что составляет ~ 99,96%
и 720 аттракторов длины 7,
Таблица 4 Количество аттракторов в (ГКп, а)
n Количество аттракторов (бассейнов)
1 1
2 1
3 4
4 38
5 728
6 26744
7 1868496
8 251663280
9 66303597952
10 34497177684352
11 35641768929615616
12 73354630730650555648
13 301272224211824875994112
14 2471648838202109353913797632
15 40527681006124779439734707136512
16 1328578958677599019450242055913560064
17 87089689055831903076784534803430686162944
18 11416413520500907364026648525405271190571679744
19 2992938411604397870579225677935591307396993376256000
20 1569215570739605117175417732871168545073225399219457163264
Заключение
В работе получены формулы для подсчёта количества циклических (принадлежащих аттракторам) и не являющихся циклическими состояний конечной динамической системы (ГКп, a), n ^ 1, всех возможных ориентаций полного графа получены формулы для подсчёта количества аттракторов системы, в том числе различных типов, что является полезным для задач, связанных с информационной безопасностью, например для построения отказоустойчивых графовых систем с непрерывным функционированием и восстановлением,
ЛИТЕРАТУРА
1. Григорчук Р. И., Некрашевич В. В., Суща,некий В. И. Автоматы, динамические системы и группы // Труды МИАН. 2000. Т. 231. С. 134-214.
2. Barbosa V. С. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. London: Chapman&Hall/CRC, 2001. 372 p.
3. С алий В. H. Об одном классе конечных динамических систем // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2005. № 14. С. 23-26.
4. Osipenko G. Dynamical Systems, Graphs, and Algorithms. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2007. 300p.
5. Щербина О. А. Методологические аспекты динамического программирования // Динамические системы. 2007. Вып. 22. С. 21-36.
6. Zavlanos М. М. and Pappas G. J. A dynamical systems approach to weighted graph matching 11 Automatica. 2008. V.44. No. 11. R 2817-2824.
7. Macauley M. and Mortveit H. S. Cycle equivalence of graph dynamical systems // Nonlinearitv. 2009. V.22. No. 2. P. 421-436.
8. Kuhlman C. J., Kumar V. S. A., Marathe M. V., et al. A general-purpose graph dynamical system modeling framework // Proc. 2011 Winter Simulation Conf. Phoenix, USA, 2011. P. 296-308.
9. AraP. and Exel R. Dynamical systems associated to separated graphs, graph algebras, and paradoxical decompositions // Adv. Math. 2014. V.252. P. 748-804.
10. Abdelhamid S. H. E., Kuhlman C. J., Marathe M. V., et al. GDSCalc: a web-based application for evaluating discrete graph dynamical systems // PLoS ONE. 2015. No. 10 (8). 24p. https: //journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0133660.
11. Aledo J. A., Martinez S., and Valverde J. C. Graph dynamical systems with general Boolean states 11 Appl. Math. & Inform. Sci. 2015. V.9. No. 4. P. 1803-1808.
12. Кадыров А. А., Кадыров А. А. Концептуальные основы общей теории дискретных динамических, релейных и логико-динамических систем на базе физической декомпозиции и графовых моделей // Вестник Волгогр. гос. ун-та. Сер. 10. Иннов. деят. 2015. №2(17). С.80-89.
13. Волгина, М. А. Формализация информационных потоков графовых моделей динамических систем // Альманах современной науки и образования. 2015. №3(93). С. 23-26.
14. Aledo J. A., Diaz L. G., Martinez S., and Valverde J. C. Coexistence of periods in parallel and sequential boolean graph dynamical systems over directed graphs // Math. 2020. No. 8 (10). P. 1812-1825.
15. Gadouleau M. On the influence of the interaction graph on a finite dynamical system // Natural Computing. 2020. No. 19. P. 15-28.
16. Жаркова А. В. О количестве циклических состояний в конечных динамических системах ориентации полных графов // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. Саратов, 2018. С. 149-151.
17. Жаркова А. В. О количестве аттракторов в конечных динамических системах ориентации полных графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2018. №11. С. 106-109.
18. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997. 368 с.
19. Власова А. В. Аттракторы в динамических системах двоичных векторов. Деп. в ВИНИТИ 23.06.2010. №392-В2010. 19 с.
20. Жаркова А. В. Аттракторы и циклические состояния в конечных динамических системах ориентации полных графов // Прикладная дискретная математика. 2023. №59. С. 80-87.
REFERENCES
1. Grigorchuk R. I., Nekrashevych V. V., Sushchansky V.I. Avtomatv, dinamicheskie sistemv i gruppv [Automata, Dynamic Systems and Groups]. Trudy MIAN, 2000, vol. 231, pp. 134-214. (in Russian)
2. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. London, Chapman&Hall/CRC, 2001. 372 p.
3. Salii V. N. Ob odnom klasse konechnvkh dinamicheskikh sistem [On a class of finite dynamic systems]. Vestnik Tomskogo Gosuniversiteta. Prilozhenie, 2005, no. 14, pp. 23-26 (in Russian).
4. Osipenko G. Dynamical Systems, Graphs, and Algorithms. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2007. 300p.
5. Shcherbina O. A. Metodologicheskie aspektv dinamicheskogo programmirovaniva [Methodological aspects of dynamic programming]. Dinamicheskie Sistemv, 2007, no. 22, pp. 21-36. (in Russian)
6. Zavlanos M. M. and Pappas G. J. A dynamical systems approach to weighted graph matching. Automatica, 2008, vol.44, no. 11, pp. 2817-2824.
7. Macauley M. and Mortveit H. S. Cycle equivalence of graph dynamical systems. Nonlinearitv, 2009, vol.22, no. 2, pp. 421-436.
8. Kuhlman C. J., Kumar V. S. A., Marathe M. V., et al. A general-purpose graph dynamical system modeling framework. Proc. 2011 Winter Simulation Conf., Phoenix, USA, 2011, pp.296-308.
9. Ara P. and Exel R. Dynamical systems associated to separated graphs, graph algebras, and paradoxical decompositions. Adv. Math., 2014, vol.252, pp. 748-804.
10. Abdelhamid S. H. E., Kuhlman C. J., Marathe M. V., et al. GDSCalc: a web-based application for evaluating discrete graph dynamical systems. PLoS ONE, 2015, no. 10(8), 24p. https: //journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0133660.
11. Aledo J.A., Martinez S., and Valverde J. C. Graph dynamical systems with general boolean states. Appl. Math, k, Inform. Scie., 2015, vol.9, no.4, pp. 1803-1808.
12. Kadyrov A. A. and Kadyrov A. A. Kontseptual'nve osnovv obshchev teorii diskretnvkh dinamicheskikh, relevnvkh i logiko-dinamicheskikh sistem na baze fizicheskov dekompozitsii i grafovvkh modelev [Conceptual foundations of general theory of discrete dynamic, relay and logical-dynamic systems based on physical decomposition and graph models]. Vestnik VolSU, Ser. 10, Innov. Devat., 2015, no.2(17), pp.80-89. (in Russian)
13. Volgina M. A. Formalizatsiva informatsionnvkh potokov grafovvkh modelev dinamicheskikh sistem [Formalization of information flows of graph models of dynamical systems]. Al'manakh Sovremennov Nauki i Obrazovaniva, 2015, no. 3(93), pp. 23-26 (in Russian).
14. Aledo J. A., Diaz L. G., Martinez S., and Valverde J. C. Coexistence of periods in parallel and sequential Boolean graph dynamical systems over directed graphs. Math., 2020, no. 8 (10), pp.1812-1825.
15. Gadouleau M. On the influence of the interaction graph on a finite dynamical system. Natural Computing, 2020, no. 19, pp. 15-28.
16. Zharkova A. V. O kolichestve tsiklicheskikh sostovaniv v konechnvkh dinamicheskikh sistemakh orientatsiv polnvkh grafov [On the number of cyclic states in finite dynamic systems of complete graphs orientations]. Komp'iuternve Nauki i Informatsionnve Tekhnologii, Saratov, 2018, pp. 149-151. (in Russian)
17. Zharkova A. V. O kolichestve attraktorov v konechnvkh dinamicheskikh sistemakh orientatsiv polnvkh grafov [On the number of attractors in finite dynamic systems of complete graphs orientations]. Prikladnava Diskretnava Matematika. Prilozhenie, 2018, no. 11, pp. 106-109. (in Russian)
18. Bogomolov A. M. and Salii V. N. Algebraicheskie osnovv teorii diskretnvkh sistem [Algebraic Foundations of the Theory of Discrete Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1997. 368p. (in Russian)
19. Vlasova A. V. Attraktorv v dinamicheskikh sistemakh dvoichnvkh vektorov [Attractors in Dynamic Systems of Binary Vectors], Dep. in VINITI 23.06.2010, no. 392-B2010, 19 p. (in Russian)
20. Zharkova A. V. Attraktorv i tsiklicheskie sostovaniva v konechnvkh dinamicheskikh sistemakh orientatsiv polnvkh grafov [Attractors and cyclic states in finite dynamic systems of complete graphs orientations]. Prikladnava Diskretnava Matematika, 2023, no. 59, pp. 80-87. (in Russian)
