Количественные обобщения результатов Нидеррейтера о цепных дробях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина

Том 12 Выпуск 1 (2011)

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОБОБЩЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НИДЕРРЕЙТЕРА О ЦЕПНЫХ ДРОБЯХ

И. Д. Кан, Н. А. Кроткова (г. Москва) 1

Аннотация

Пусть й — натуральное число ^ 2. Гипотеза Зарембы гласит, что существует с € {1, 2,...,й — 1} где (с, й) = 1 и разложение ^ в цепную дробь имеет все неполные частные меньшие константы N. Предполагается, что N = 6, для простых й предполагается N = 4. В 1986 году Нидеррейтер доказал справедливость гипотезы Зарембы с N = 4 для й, являющихся степенями 2 и 3 (см. [2]), а также для й, являющихся степенями 5 с N = 5. В настоящей работе будут получены количественные обобщения результатов Нидеррейтера, а именно, оценка снизу количества последовательностей с ограниченными элементами, континуант которых является степенью произвольного натурального числа а ^ 2 . Также будет показана неулучшаемость некоторых оценок в рамках рассматриваемого метода.

1 Введение.

с

Пусть числа с, й € N таковы, что (с, й) = 1, где 1 ^ с ^ й — 1. Тогда —

а

представима в виде цепной дроби

с

1

<і 1

«і +---------------------------

[О, а1, . . . , ап] [а1, . . . , ага],

1

«2 +-------------

1

ап

где а1,..., ап — неполные частные (также называемые элементами цепной дроби) и а € N,2 = 1,..., п.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-01-00371а

Знаменатель конечной цепной дроби [а1,... ,ап] = [и] — это функция от последовательности и = (а1,..., ап). Это число называется континуатом и и обозначается (а1,..., ап^и (и). Для каждой последовательности и € ^ определим и_ = (а2,..., ап) и и- = (а1,..., ап-1). Будем также писать {и} для последовательности (ап,..., а1) Для пустого континуанта и положим [и] = [{и}] = 0,

М 1

Утверждение 1. (см. [1]) Пусть и = (и1,..., ип), п ^ 2 — последовательность натуральных чисел. Тогда:

(1)

и1 1 0 ... 0

—1 «2 1 0 . .

)= 0 —1 «3 1 ..

0 0 — 1 «п

(2) («1, . . . ,Ип) = («п,...,«)

(3) если и2 = 1, то (1, и2 — 1, и3,..., ип) = (и2,..., ип)

с

Гипотеза Зарембы гласит, что для любого й ^ 2 существует дробь —, все

а

неполные частные которой строго меньше N. Предполагается, что N = 6, В 1986 году Нидеррейтер показал, что гипотеза верпа для чисел й, являющихся степенями 2 и 3 с ограничением N = 4, а также для чисел й являющихся степенями 5 с ограничением N = 5 (см, [2]), В 2002 году справедливость была доказана для й — степени 6 с N = 6 [3], в 2005 году был получен положительный результат для й, имеющего вид 7Ь2", где к = 1, 3,5, 7,9,11 и N = 4 [4], В настоящей статье будет получена оценка снизу количества последовательностей

(а1, . . . , ап)

равным ат, где а,т € N а ^ 2,п — не фиксировано, из которой очевидно следует оценка снизу количества цепных дробей с ограниченными неполными частными и знаменателем, равным ат. Общий результат сформулирован ниже. Отметим, что совсем недавно существенный прогресс в проблеме Зарембы был достигнут Ж, Бургейном и А, Конторовичем [5],

2 Основные результаты.

Пусть а, т, з € ^ а ^ 2, Будем рассматривать последовательности на-а1 , . . . , ап п

(а1,..., ап) равен некоторой т-ой степени числа а, причем для элементов последовательностей выполнено: а» < N г = 1,..., п, N € N.

Пусть / (ат, N) = /т — количество последовательностей указанного вида, континуант которых равен ат, Определим также многочлен = Р5(Л) при различных значениях з:

Р. (Л)

Г Л — зЛ — зЛ — в,

Л3 — (з + 2) Л2 + (з + 2) Л — (з — 2) Л3 — (з + 2) Л2 + зЛ + (з + 4),

Л3 — зЛ2 — (з + 2) Л + (з + 2),

Л2 — 4Л — 4,

Л — 2,

Л — з — 1,

при з = 0(mod 8), з ^ 6 (1)

при з = 2(mod 8), з ^ 6 (2)

при з = 4 (mod 8) , з ^ 6 (3)

при з = 6(mod 8), з ^ 6 (4)

при з = 4 (5)

при з = 2 (6)

при з = 1(mod 2), з ^ 3 (7).

Теорема 1. Для, любых натуральных фиксированных а и з, не равных 1, для всех достаточно больших т справедлива, оценка

f (ат,а5) ^ ГСі(з)тІ0§2 л],

т

где положительное число С1 (з) зависит только от з,

Сі > з- 1о§2(«+1)-3,

константа в знаке " абсолютная, Л — наибольший из действительных корней многочлена Р5(Л).

Замечание 1. Пусть Л1 ,Л2 ,Л3 , Л4 — наибольшие из действительных

(1) — (4)

0

Л1 = з + 1 +—-, где 01 € (—1, 0);

з2

3 3 0

Л2 = з + 1----^ +—з +—1, где 02 € (0, 3);

3 3 0

Лз = з + 1----2 + —-----3, где 0з € (—9, —6);

з2 з3 з4

0

Л4 = з + 1 + , где 04 € (—1, 0).

з2

Теорема 2. Существует зо € N такое что при N ^ а50, для, достаточно больших т справедлива оценка (растущая по т):

/(ат, N) ^ |"С2^)т1о& л], С2^) > 2-51о§21о& м,

Л — наибольший из действительных корней многочлена (3) при з = |_1°§а N].

Замечание 2. При s = 6 многочлен (4) является характеристическим, для матрицы 2A, где

/2 1 1

A = 12 0 1 111

Теорема 3. При достаточно большом mus = 6 теорем,а, 1 допускает улучшение. Справедлива, оценка:

где С > 0,^ — наибольшее из действительных собственных значений матрицы,

/2 1 1\ 5 /0 1 —1\

В = [201] + 101 —11 (8)

V 1 V V0 1 —V

з=6

2^ — Л > 0, 0000756,

где Л — наибольшее из действительных собственных значений матрицы 2А,

^ — наибольшее из действительных собственных значений матрицы В.

Теорема 4. При т ^ 8 справедлива оценка: /(3т, 4) ^ ["т“1]-Теорема 5. Пусть к € N к ^ 2, тогда справедлива оценка: /(22к-1, 3) ^ 2к

Замечание 4. Утверждения, теорем, остаются, верными, если вместо последовательностей рассматривать цепные дроби с ограниченными элементами.

3 Описание метода, основные леммы.

Лемма 1. [1] Пусть b е N, b > 1, гг = (и,... , мп) — последовательность натуральных чисел, причем, Mn > 1. Положим

W =(«1, . . . , Mn-1, Mn — 1, 1, b — 1, un, . . . , Ml),

w! =(«1, . . . ,«n-l,«n — 1,Mn + 1,Mn-1, . . . , Ml).

Тогда (w) = b(ti)2, (to!) = (гг)2.

Лемма 2. Пусть задано m > s. Пусть b = ar, где a, r е No, a ^ 2, r ^ s, r = m ( mod 2) м и = (m1, ... ,Mn) — последовательность натуральных чисел,

такая что 1 ^ Mj ^ as — 1, i = 1,..., n, m1 , Mn = 1, as — 1 и (и) = a “г-.

Тогда:

(1) Для последовательностей

гю = (и^, ..., ) = <

' (и1,..., ип, Ь — 1,1, ип — 1, ига-1,..., щ) при г = 0,

(и1,..., ип-1, ип — 1, Ь — 1,1, ип,..., и1) при г = 0,

(и1,..., ип-1, ип + 1, ип — 1, ип-1,..., и1) при г = 0,

(и1,..., ип-1, ип — 1, ип + 1, ип-1,..., и1) при г = 0, справедливо (гу) = ат;

(2) для, перечисленных последовательностей т = (и1,..., •^) :

• 1 ^ ^ а5 — 1 для, 1 ^ ^ ;

• и1, = 1, а5 — 1;

•

Доказательство. Все утверждения леммы 2 следуют из леммы 1, утверждения 1 и определения последовательностей, □

Лемма 3. Пусть последовательности, ги1 и, ги2, (гг^) = (гг>2) = а™ получены из и = (и1,..., ип), (гг) = а™1 и V = (гь ..., гк), (и) = а™2 по лемме 2 с использованием Ь1 = аГ1 м Ь2 = аГ2 соответственно. Тогда, если и и V различны, то

12

Доказательство. Пусть последовательность и удовлетворяет условию

11 равна 2п ми 2п + 2. Аналогично, если V удовлетворяет условию леммы 2, то

2 2к 2к + 2

Рассмотрим 2 случая:

1. Пусть п = к (длины последовательностей совпадают). Тогда если г1 = г2 = 0 1 2

1

2

(и1,... ,и„-1,и„ + 1,и„ — 1,и„_1,... ,и1),

(и1 , . . . , ип_1 , ип 1, ип + 1, ип_ 1 , . . . , и1);

(гь... ,гга_ьгга + 1,гга — 1,гга_ь... ,г^,

(гь... ,гга_ьгга — 1,г„ + 1,г„_

п-1 . . .

1 = 2

(и1,. . . , ип_1) = (^1, . . . , ^га_1) И, во-вторых, либо ип = гп, либо ип + 1= гп — 1 и ип — 1 = гп + 1 одновременно.

г1 , г2 > 0

(и1,..., ип, аГ1 — 1,1, ип — 1, ип_1, (и 1,..., ип_ 1, ип — 1, 1, а 1 — 1, ип,

и1),

и1 );

У?2

(гь... ,г„,аГ2 — 1,1,г„ — 1,г„_ь ... ,г1),

(гь... ,г„_1,г„ — 1,1,аГ2 — 1,г„,... ,г1).

1 = 2 =

(и1,... ,и„,аГ1 — 1,1,и„ — 1,и„_1,... ,и1) = (г1,... ,гга_ьгга — 1,1,аГ2 — 1,г„,... ,г1),

то есть ип = гп — 1 и ип — 1 = гп, одновременно, что невозможно,

2, Пусть п = к +1 (длины последовательностей и и V отличаются на 1),

г1 = 1 , г2 = 0

2

(иї, . . . ,ИЙ,Мй+1 + 1,^+1 - 1,Мк,... ,Иї), ..., , и^+1 — 1, ик+ї + 1 ,..., иї); (^ї,..., ^,аГ2 - 1,1, ^ - 1, ^-Ь ..., г>ї), (^ї,..., ^—,^ - 1,1, аГ2 - 1, ^,..., г>ї),

предположив, что w1 = w2, получим = ик и - 1 = ик одновременно, что невозможно, □

Замечание 5. Пусть в результате применения леммы 2 была получена, последовательность и = (и1 , ...,ип), (гг) = ат, 1 ^ и ^ а5 - 1, і =

1,..., п, тогда, для, последовательностей (1,и1 - 1,... , ип), (и1,..., ип - 1,1) и (1, и1 - 1,..., ип - 1,1) выполнено:

1. континуанты равны, ат;

2. элементы, являются, натуральными числами;

3. элементы, строго ограничены сверху числом N = а5.

4- указа,иные последовательности различны.

Описание метода. Для, оценки /т, где т ^ 2, будем использовать числа, дт, определенные следующим образом,:

д2 = ... = д«+2 = 1; при т ^ 5 + 3 числ,а, дт определяются, рекуррентным, соотношением

* [т]

дт =2 ^ 9 =2 ^ . (9)

Г=0 к= I т-з+1 I

г=т (шоё2) 1_ 2 ]

Дрм 5 ^ 3 для, т = 2,..., 5 справедливо: /т ^ 4дт, так как для, каждого т

ральных чисел, («1,..., ип) с щ < а5, г = 1,... ,п, у которой щ, иП = 1, а5 — 1

т

со знаменателям,и ат, числителями меньше аг, неполные частные представления в виде цепной дроби которых ограничены (строго) а5. Множит ель 4 появляется, согласно замечанию 5. Последовательности, континуанты которых равны, а5+1,а5+^ а5+3, будут существовать согласно лемме 2, примененной к последовательностям с континуантами а[2], а[] и замечайию 5.

Для, т ^ 5 + 3, в результате применения лемм 2, 3 с различными г €{1,...,5} гд е г = т (mod2), получим, ч, то /т ^ дт. Применение замечания 5 /т ^ 49

('Длл случаев ограничений N, не рассмотренных здесь, рассуждения, будут проведены отдельно.)

Метод состоит в том,, чтобы, дать возможно более точную нижнюю 9т (9)

количество раз.

Теорема 6. Пусть а, 5 € N а ^ 2. В рамках рассматриваем,ого метода, невозможно при фиксированном в и т ^ то получить более точную (по сравнению с теоремой 1) по порядку оценку снизу для, величины /(ат,а5) в случаях:

(¡) нечетного 5 ^ 3, 5=4 5=2

4 Доказательства теорем.

Определение 1. Для, двух векторов и € МП и V € МП положим и > V (и ^

V), если, для, каждого г, 1 ^ г ^ п выполнено щ > V (щ ^ VI).

Аналогично, для двух матриц А = (а„) € и В = (6^^) € МП2 положим А > В (А ^ В), если для, каждой пары, г,] : 1 ^ г,^ п выполнено

а*7 > (а*.7 ^ ).

Доказательство теоремы 1.

2 (mod 4) и 5 = 0 (mod 4)

1, Пусть 5 = 4д + 2,д € N Для любого четного т > 5 + 2 рекуррентная формула 9 да я дт содерж нт | + 1 слагаемое, а для неч етного т > 5 + 2 указанная сумма имеет | слагаемых. Выделим сред и чисел дт,т ^ 2 класс ы А1 С А2 С А3 2

А1 = {9111 = 0(то^2)}

А2 = {дг|/ = 0(то^2)} и {дг|/ = 1(то^4)} Аз = {9г|1 € М}

(10)

Таким образом, при т ^ 5 + 3, принадлежи ость дт классу можно определить следующим образом:

А1 = {дт| сумма в (9) содержит | + 1 слагаемых, из которых |"|] четные}, А2 = {дт| сумма в (9) содержит хотя бы | слагаемых, из которых хотя бы |"4] сетные}

А3 = {дт| сумма в (9) содержит хотя бы | слагаемых, из которых хотя бы [4] четные},

т 9т

(9)

вектора-строчки на вектор-столбец, следующим образом:

д + 1

д + 1

а01

а03

(11)

где а", а2, аз - наименьшие из элементов классов Аь А2 и А3 соответственно, получившихся после применения одного шага рекуррентной формулы; д, ,

|"— количества элементов, заведомо принадлежащих каждому из классов, получившихся после применения формулы. Причем — количество элементов А2, не учтенных при подсчете количеств а элементов А^ _ количество

А3 А1 А2

(9)

в получившуюся сумму, также применим эту рекуррентную формулу, и т.д. Рассмотрим последовательность вложенных интервалов 10 С 11 С ... С /П, соответствующих интервалам изменения индексов к слагаемых дк, входящих в

0

)

а

2

2

2

сумму (9) для дт поеле ] применений рекуррентной формулы, где ] = 1, 1

1о = V € N | [

11 = V € N | [

т — 5 + 1 . . т .

----------I ^ V ^ I —|

2 ! ^ ^ [ 2 !

г0 — 5 + 1 т

---------- ^ V ^ —

2 ! ^ ^ [ 2 !

1п н V € N | [

гП_ 2 — 5 + 1 . . т .

—--------------1 ^ V ^ I —!

2 ! ^ ^ [ 2 !

¿П-1 — 5 + 1 . .,т

-------------- ^ V ^ —

2 ! ^ ^ [ 2 !

г0 = тт V;

«€ /о

г1 = тт V;

«€ /1

гП-1 = тт V;

«€ /п-1

гП = тт V,

«€ /п

п+

(12)

Число п = п(т) мы хотим выбрать как можно больше. Единственным ограничением является условие гП-1 ^ 5 + 3 (иначе дальнейшее применение формулы (9)

Таким образом, гП = тах{ ] | г}-1 ^ 5 + 3 }.

Определим также числа а*, г = 1,..., п; ] = 1, 2, 3:

а} = тт{ д*. € А* | к € 1* }.

Лемма 4. Для / = 0,..., п — 1 :

/агД /а!+1\ /д + 1 т

а2 ^ 2А а2+1 , где А = д +1 К 2 0 л 21

\а3/ и+7 д К 0 л ¥ У

(13)

Доказательство. Действительно, для каждого ] € {1,2,3}, а}

это наи-

меньший из элементов класса А*, получившихся после / + 1 применений рекуррентной формулы (9). Продолжим оценку этого элемента по рекуррентной формуле. Подсчитаем, сколько индексов к в сумме (9) для а} гарантированно

А1 А2 А3 л х

ло а1 будет оцениваться снизу удвоенной суммой д + 1 элемента класса А1; элементов класса А2 и |_Н+^ элемен тов класс а А3, причем индексы указанных элементов принадлежат [г1+1,гг+1 + ; указанное выражение не меньше, чем

2А

(а!+1, аг2+1, а3+1)±, так как а}+1 где ] = 1, 2, 3 - таи меньшие из элементов соответствующих классов с индексами, принадлежащими [г1+1, г1+1 + а;2]. Аналогично рассматривается аг2 и аг3 и, соответственно, вторая и третья строки матрицы А □

Лемма 5. Пусть п - максимально возможно количество применений формулы, (9) при вычислении, дт, ограниченное уеловием іп-3 ^ 5 + 3, тогда,

1о§2

45 + 4

Доказательство. Заметим, что ^ ^ 2г^+1 + 5, поэтому і0 ^ 2і1 + 5 ^ 2(2і2 + ^) + 5 ^ ... ^ 2”гп + (2” — 1)з, где і? Є {2,..., 5 + 2} Отсюда

(14)

\ • і / *о +5

п ^ тій 1ог2 ---------

гпЄ2,...,з+2 у і? + 5

1од2

+ * 25 + 2

Таким образом,

1о§2

т — 5 + 1 , 4(в + 1)

□

Лемма 6. Пусть А - наибольшее из действительных собственных значе-2А А

д +1 ~д + Г

_ 2 _ , 2

)(2А)” | а? | > З Л”.

2

(15)

Доказательство. Так как матрица А слева и справа домножаетея на вектора из положительного октанта, то

д + 1 "д + Г

_ 2 _ , 2

)(2А)” | а” | ^ тах(2А)”

2

-/П

3

(16)

где тах(2А)П - максимальный элемент матрицы (2А)П.

Пусть Х - собственный вектор матрицы 2А, отвечающий собственному зна-А

| Х | = тах(х* | ] = 1, 2, 3), тогда

2АХ = Ах, (2А)ПХ = АПХ.

Оценим | (2А)ПХ |:

с одной стороны | (2А)ПX | = | АПХ | = АП| X | так как А > 0; с другой стороны, для некоторого г € {1, 2, 3},

| (2А)ПХ | = | а(П)Х1 + а(П)Х2 + а(П)Х3 | ^ 3тах(2А)П| X |, вде (2А)П = (а*)-Поэтому,

тах(2А)П ^ 1АП. (17)

3

п

п

а

1

Объединяя неравенства (16) и (17), получаем

(q

q +1 q +1

_ 2 _ , 2

)(2A)n | а

□

Применение лемм 4, 5 и 6 позволяет при m ^ 5s + 5 продолжить неравенство

(11):

gm 2(q

2 Л1о§2

q + 1 "q + 1"

_ 2 _ , 2

)(2А)"

“3+ J1

(18)

>

1

m

1og2 А

3 Л^^+^+з s1og2(s+i)+3

где константа в знаке ^ является абсолютной.

Лемма 7. Наибольшее из действительных собственных собственных значении, матрицы 2A, где матрица A определен а, в (13), - это наибольший из действительных корней

(i) многочлена (2), при s = 8r + 2,/ е N;

(ii) многочлена (4), при s = 8r + 6, / е N^;

Доказательство. В случаях (г) и fii) матрица A принимает, соответственно, ВИЛ

2r + 1 r r + 1 2r + 2 r + 1 r + 1

2r + 1 r r I , | 2r + 2 r r + 1

2r r r + 1 2r + 1 r + 1 r + 1

2A

член (2), а в случае (и) - многочлен (4). □

2. Пусть s = 4q, где q е N, q ^ 2

Заметим, что для любого четного m > s + 2 рекуррентная формула (9) для gm содержит 2 +1 слагаемое, а для любого нечетного m > s + 2 указанная сумма имеет 2 слагаемых. Выделим среди чисел gm,m ^ 2 классы Ai С А2 С A3:

Ai = {gi|/ = 0 (mod4)}

A2 = Ы/ = 0 (mod2)} (19)

A3 = {gl|/ е N}

Таким образом, при m ^ s + 3, принадлежи ость классу можно определить

следующим образом:

A1 = {gm | сумма в (9) имеет | + 1 слагаемое, из которых |"1 четные}

A2 = {gm| сумма в (9) имеет | + 1 слагаемое, го которых хотя бы |_J

}

A3 = {gm| сумма в (9) имеет хотя бы | слагаемых, го которых хотя бы |_|J }

m

Проводя рассуждения, аналогичные тем, что были проведены при рассмотрении предыдущего случая, получаем вид матрицы А и для каждого т ^ 5з + 5 оценку дт:

А

дт ^ 2(

Ч -д-

.2- , 2

Д2?] [ 1 2 1 2+1 Г21

2 2 1 2 21 1 2 1 Г 21

/1'

,д)(2А)" (1

1

Ч \

д +1

Ч )

> 2А^2 [.=£++■Л ^ 3

(20)

>

1

ГШ

1о§2 Л

3 А1о§2(^+1)+3 51о§2(в+1)+3

Лемма 8. Наибольшее из действительных собственных собственных зна-2А А (20)

действительных корней

(і) многочлена (1), при з = 8г, І Є N

(п) многочлена (3), при в = 8г + 4, І Є N

і) іі) А

г г + 1 2г

г г 2г + 1

2г г г + 1

г + 1 г + 1 2г + 1

г г + 1 2г + 2

г г + 1 2г + 1

Тогда характеристическим для матрицы 2А будет многочлен (1^н (3) соответственно,

□

Случай з=4.

Необходимо среди чисел дт,т ^ 2 выделить классы

Аі = { дт | ш = 0 (шоа2) } А2 = { дт | Ш ^ 2}.

Тогда, как и в случае четного в ^ 6, введем матрицу

А = 11 21

(21)

А 2А

Снова рассмотрим интервалы /0 С ... С числа і0,..., іп (12) и числа = шіп{дк Є А* | к Є /^}, тогда для каждого ш > в + 2

2т ^ 2 (1 1) у ^ . (23)

если т ^ 25, то продолжим неравенство (23):

дт ^ 2 (1 1) (2А)П ^ ^ лН4 -ю3Л > т1о§2 л

Случай з=2.

Пусть а = 2. Для т = 6, 7,..., 11 положим д6 = ... = 2и = 1, так как существуют последовательности, удовлетворяющие условию нашей теоремы, действительно:

26 = (2,1, 3,1,1, 2),

27 = (2,1, 2,1,1,1,1, 2),

28 = (2, 3, 3,1, 3, 2),

29 = (2, 3, 2,1,1,1, 3, 2),

210 = (2, 3, 2, 3,1,1, 3, 2),

211 = (2,1,1, 2, 3, 3,1,1, 2, 2).

Для т ^ 12 значения дт вычисляются по рекуррентной формуле (9), которая теперь принимает вил

2т ^ 2д^-]. (24)

В этом случае, в обозначениях (12), гга е {6, 7, 8, 9,10,11}, Оценим снизу максимальное число п = п(т) применений рекуррентной формулы (9) для вычисления дт, Используя такие ж рассуждения, как и при доказательстве леммы 5, получаем:

т ^ 2га(г„ + 1),

откуда

^ , т +1

п ^ 1о&

Тогда для т ^ 12 неравенство (24) можно продолжить:

т + 1 ~| т + 1

12

Если а > 2, положим д2 = д3 = д4 = 1 (так как существуют последовательности, удовлетворяющие условию теоремы, континуанты которых равны, соответственно, а2, а3, а4 с неполными частными, ограниченными а2). Для т ^ 5 значения дт вычисляются то рекуррентной формуле (24), Максимальное количество применений рекуррентной формулы п = |~^2 т“1] ■ Таким образом, при т ^ 5 получаем дт ^

Случай нечетного s ^ 3.

В рекуррентную формулу для gm, где m > s + 2 входит слагаемое, не зависимо от четности m. Таким образом, для m > 5s + 5 справедлива следующая оценка:

/ \ S + 1 /\2

gm = 2 gi rn\ + ... + gi m—+i| ^ 2^— min gv ^ (s + 1) min gv ^

^ L 2 J L2 J/ 2 ve[io,io+] ve[ii,ii + ]

m-s+1 П (s + 1)1og2m m1og2 (s+1)

(s + 1)” > (s +1) Г'о*2 LT-++1 J1 > (s + ^

^ (8 , 1, ^ в , 1,■ - ■ - ■ ^ =

(в + 1)3+1°Й2(^+1) (в + 1)3+1ой2(з+1)

При оценке было использовано, что интервалы 10 С 11 С ... С /га изменения индексов слагаемых, входящих в рекуррентную формулу для дт соответствуют (12) и гк, к е 1, 2,..., п. Также было использовано, что п - максимальное количество применений формулы (9) - может быть оценено согласно лемме 5, Теорема 1 полностью доказана, □

Лемма 9 (О сравнении корней многочленов (1) — (4) и (7)). Среди наибольших действительных корней многочленов (1) — (4) и (7) наименьшим при всех достаточно больших в является корень многочлена (3).

Доказательство. Пусть Л1, Л2, Л3, Л4, Л7 - наибольшие из корней многочленов (1), (2),(3),(4) и (7) соответственно. Тогда Л» е (в, в + 1), при г е {1, 2, 3, 4}, то есть Л» = —(в), Следовательно, для Ль

Л1 = вЛ1 + вЛ1 + в, в _

Л1 = з + -—+ о(1), получаем Л1

Л1 = 8 + 1 + £, Где £ = — ( -

~\8

Поставляя это выражение в многочлен (1) и приравнивая к нулю, получаем

(в + 1 + £)3 — в(в + 1 + £)2 — в (в + 1 + £) — в = 0, или, эквивалентно,

£3 + (2в + 3)£2 + (в2 + 3в + 3)£ +1 = 0, откуда

£ =_________1__________(2в + 3)£2_________£3______________________= _! + о (I

(в2 + 3в + 3) (в2 + 3в + 3) (в2 + 3в + 3) в2 —\в3

Следовательно,

где 01 G (-1, 0).

O( )

s2 — V s3 / s2

Проводя аналогичные рассуждения для Л2, Л3, Л4 получаем:

3 ( 1 '

Л2 = в + 1------ + О ( —

в2 — ( в3

Л3 = в + 1----о + °(—

в2 — и3

Л4 = в + 1 —- + о( —) = в + 1+—-.

в2 — V в3 / в2

где 04 е (—1, 0)

Таким образом, необходимо сравнить при в ^ то величины Л2 и Л3, Для этого положим

3

Л2 = в + 1- + ^2,

в2

31

Л3 = в + 1-2 + ^3, вде ^2, ^3 = — -Г

в2 — \в3 Л2, Л3

^ = в3! + в3- + °(7) = в3! + в2^св2 Є (03);

^3 = -33 - + й( = "Г - “Ї , где ¡3 Є (-9, -6).

в3 в4 — \в5/ в3 в4

Таким образом, учитывая что для каждого і Є {1, 2, 3,4} зпачение Л^ < в + 1, получаем, что наименьшим из Лі, Л2, Л3, Л4Л7 при в ^ то является

3 3 в

Л3 = в +1 - ¡3 + ? - ¡1. в3 Є (-9,-6).

Л3

1 3 3 6 9 15 / 1 )

Л3 =8 + 1 - і2 + 7 - 7 - в5 - 7 + О(?) . (25)

□

Доказательство. [Доказательство теоремы 2]

Согласно лемме 8, найдется «о Є N такое что для всех в ^ во наименьшим среди чисел Л1, Л2, Л3, Л4, в + 1 являетея Л3, Рассмотри произвольное N Є N N ^ а50, и применим теорему 1 для в = |_1°§2 N]. Тогда для достаточно больших т получим:

/т ^ 4дт ^ С3^)т1ой2Лз,

где С3^) имеет вид;

1

25 1о§2 1о§2 N '

Доказательство. [Доказательство теоремы 3]

Как и при доказательстве теоремы 1 выделим среди чисел А1 С А2 С А3 (10). Матрица А будет иметь вид;

□

A

'2 1 Г

2 0 1

111

(26)

В основе доказательства лежит

m

бы на, одном из ^-х последовательных шагов вычисления по рекуррентной формуле (9) встретилось слагаемое, индекс которого сравним с 5 по модулю 8.

Доказательство. [] Доказательство проходит перебором всевозможных m

то есть когда слагаемое, индекс которого сравним с 5 по модулю 8, появляется па 4-м шаге: пусть m = 83 + 128k, k G N, тогда

g83+128fc = 2 (g41+64fc + #40+64fc + g39+64fc) =

= 4 (2^20+32fc + 3gi9+32fc + 3gi8+32fc + 2gi7+32fc) =

= 8 (2gio+i6fc + 8go+i6fc + 10^8+i6fc + 10^7+i6fc + 5g6+i6fc) =

= 16 (2^5+8fc + 20^4+8fc + 35g3+8fc + 35g2+8fc + 25gi+8fc + 5g8fc),

□и интересующее нас слагаемое - первое в полученном выражении.

Лемма 11. Пусть для достаточно большого m при, вычислении, по

формуле (9), появилось слагаемое с индексом,, сравнимым с 5 по модулю 8. Тогда, при следующем применении формулы (9) появится, слагаемое, заведом,о

A2

A3

Доказательство. Если l = 5 (mod8), то l - нечетно. Следовательно, g

A2 A3

A2 Ai A2

вместо 2 элементов из Ai и одного из А3. Если же g учтено как элемент класса A3 Ai A2 Ai

А2 и одного из A3. Заметив, что Ai С А2, получим утверждение леммы.

□

Лемма 12. Для, достаточно большого m, при 0 ^ i ^ n — 5 — 5t (t G N0, n определено в (12)) верно:

/ai\

VU

/ai+5i+5\

i+5t+5

a2

\aJ+5‘+5,

(27)

a

2

где

В = А5 +

/0 1 —1\ 0 1 -1

V0 1 -V

Доказательство. При £ = 0 утверждение леммы следует из леммы 4, примененной 5 раз. Пусть лемма уже доказана для некоторого £ ^ 0.

Сформулируем полученные выше результаты в терминах матриц. Согласно леммам 9 и 10, для любого г найдется ] е {2, 3, 4, 5}, такое что на г + ^’-ом шаге применения формулы (8) появится слагаемое, принадлежащее классу А2,

А3

4

\4/

/2 1 1\ 2 0 1 111

/0 1 —1\\ /а^'\

+

01

01

1

*+.? «2 "

(28)

Возьмем наименьшее из таких Для оценки вектора из правой части еще 5 — ] раз применим лемму 4, ввиду чего

(<А\

«2

\4/

(

А-7' +

0

0

V

1 1

01

-1

1

-1

/<5\

(2А)

5—'

г+5

\4+5/

(29)

Докажем, что лемма верна для £ + 1. Применяя индуктивное предположение к

(29)

«2

\4/

(

А5 +

V

/0 1 —1\ 0 1 —1

V0 1 —V

\

А

5—'

(25В )*(2А)е

/

/4+м+10\

¿+5*+10 2

\4+5*+10/

(30)

Лемма будет доказана, если показать, что минимум по ] е {2, 3, 4, 5} произведения матриц в (30) (в смысле определения 1) будет достигнут при ] = 5. Для доказательства этого факта оценим снизу произведение

Для этого положим

0 1 —1

0 1 —1 А

0 1 —1

С

В,

А5,

А5— (25В)*(2А)е

при £ ^ 1, при £ = 0

2

и проверим конечным перебором по ] е {2, 3,4, 5}, что

/0 1 —1\ /0 1 —1\

0 1 1

0 1 1

С.

V0 1 —V V0 1 —V

Таким образом, минимум достигается при ] = 5,

Лемма доказана,

□

Пусть А - наибольшее из действительных собственных значений матрицы 2А где А определено в (26); ^ - наибольшее из действительных собственных значений матрицы В (8). Тогда 2Л[/Д — А ^ 0.0000756 (что может быть проверено непосредственно на компьютере).

Таким образом, используя леммы 9-11, для достаточно больших т можно дать более точную оценку для дт, чем та, что получена в теореме 1:

» т1+11о& ^.

□

Доказательство. [Доказательство теоремы 4,]

Будем рассматривать последовательности (а1,..., ап) произвольной длины

и, для которых

1. континуант (а1,..., ап) = 3т,где т е N

2. а ^ 3, г = 1,..., и,

3. а1, ап = 2,

Для т = 1, 2,3 последовательностей, удовлетворяющих указанным выше условиям, не существует. Однако,

34 = (2, 2,1,1,1,1, 2),

35 = (2,1,1,1, 3,1, 2, 2),

36 = (2, 3,1, 3,1, 2,1,1, 2),

37 = (2,1, 2, 2,1, 2, 3, 2,1, 2).

Таким образом, для т ^ 8 возможно применить вычисления по рекуррентной формуле:

дт = 2£[ т ]. (31)

Тогда для т ^ 8 получаем следующую оценку:

Учитывая замечание 5, получаем утверждение теоремы, □

Доказательство. [Доказательство теоремы 5]

Рассмотрим последовательность (2,1, 2), для шторой (2,1, 2) = 22 -1. Пусть #22-1 = 1 для каждого к ^ 3 положим д2к-1 = 2д2ь-1_1. Так как /22-1 ^ д22-1; применяя лемму 2 с Ь = 2 к указанной выше последовательности получим, что для каждого к ^ 3 /2к-1 ^ д2к-1 = 2к,

В итоге, с учетом замечания 5, получим /22к-1 ^ 2к, □

Доказательство. [Доказательство теоремы 6]

Покажем, что применением описанного метода в некоторых случаях невозможно получить более точную по порядку величины т оценку, чем та, что доказана в теореме 1.

(г) Согласно описанию используемого метода д2 = ... = д5+2 = 1. В рекуррентную формулу для дт, где т > 5 + 2 входит слагаемое.

Таким образом, для т > 55 + 5 справедлива следующая оценка:

2

+... +

5 + 1 , , 2

С 2—-— тах д^ С (^ + 1) тах д^ С .

2 ^<2-1т ^<2-2т

С (5 + 1)п тах д^ С т1

тп<2—'пт

^2(«+1)

При оценке было использовано, что интервалы /о С 11 С ... С /п изменения индексов слагаемых, входящих в рекуррентную формулу для дт соответствуют (12). Также было использовано, что количество п - применений формулы не может превышать ^2 т.

(гг) Рассмотрим числа дт, введенные при описании метода, такие что т =

2к - 1, к е N а также числа Ь* = тах{ дг е Ai, | I е {2к-1--7' - 1, 2к-1--7' - 3} },

Напомним, что А^ дая г =1, 2 определены в (21).

При к ^ к^2 55 + 6 применим рекуррентную формулу вычиеления дт (9). Получим:

Ьо

д2к-1 = 2 (д2к-1-1 + д2к-1-2) = 2(1, 1^ ь0

4(1 1) ( д2к-2-1 + д2к-2-2 + д2к-2-3 | < , д2к-2-1 + д2к-2-2

С 4(1,1)

2 тах(д2к-2-1, д2к-2-з) + д2^-2-2

4(1,1)А(Ь!

С

тах(д2к-2-1,д2к-2-з) + д2к-2-2

8(1 1)А (2тах(д2к-3-1,д2к-3-з) + д2к-3-Л =8(1 1)А , у max(д2fc-з-l,д2к-з-з) + д2к-3-2/ ,

С

2

2 Ь21

ь2

с

с

С 2

к—3

(1 1)Ак-5 2 тах(д23-1, д23-3 )+ д23-2^ с 2к-3(1 1)Ак-^2д? + дб

2к-3(1,1) А'

тах(д23-1,д23-з) + д23-2

к-4 I д6 \ __ г>к-3/1 1 \ /(к-4 I 1

д7

2к-3(1,1)Ак

д

т

2

Оценка сверху степени матрицы получена стандартным образом с помощью приведения матрицы A к жордановой форме. Таким образом, при вычислении указанного вида, невозможно с помощью нашего метода получить оценку снизу лучше заявленной в теореме 1,

(да) В случае s = 2 для m - четного в рекуррентной формуле (9) для может быть два слагаемых, а для нечетного m - одно слагаемое. Следовательно, для m ^ 23, такого что m = 2k — 1, где k G N получаем:

<fc.-i = 2g2k-i-! = 492.-2-! = ... = 2k-4gi5 = 2k-3 = 1‘2log3(m+1) = 8(m + 1).

Таким образом, утверждение теоремы доказано,

□

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Doug Hensley Continued fractions // World Scientific Publishing Co, Pte, Ltd., 2006

[2] H, Niederreiter, Dyadic fractions with small partial quotients // Mb. Math, 101 (1986), 309 - 315.

[3] Monrudee Yodphotong and Viehian Laohakosol, Proofs on Zaremba’s Conjecture for Powers of 6 // Proceedings of the International Conference on Algebra and Its Applications 2002, 278 — 282,

[4] Takao Komatsu On a Zaremba’s Conjecture For Powers // Saraevo Journal of Mathematics, Vol. 1(13), 2005, 9 — 13,

[5] Jean Bourgain, Alex Kontorovich On A Conjecture of Zaremba’s // Preprint available at arXiv: 1107.3776 (2011).

Поступило 15.06.2011