CC BY
2
УДК 519.816
А. Д. Богданов1, Д. В. Колобов1, А. В. Щепкин1'2
1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
2 Институт проблем управления РАН
Количественная валндацня функции полезности средних общеобразовательных школ в зависимости от понесенных затрат и определение ее ключевых
параметров
Рассматривается общий вид функции полезности средних образовательных школ в текущем году, которая является функцией, зависимой от трех переменных: трат на оборудование и расходники в текущем году, трат на кадровый состав школ в текущем году, а также от общего бюджета школы. Предполагается, что школа решает задачу максимизации своей полезности, исчисляемой в среднем балле Единого государственного экзамена (числе высокобалльников), в текущем году, а также на реальных данных образовательных результатов и трат бюджетов школ г. Санкт-Петербурга определяется наиболее вероятный вид данной функции полезности и ее параметры. Работа является одной из первых попыток применения математического моделирования в сфере управления большими системами в образовании.
Ключевые слова: школьное образование, образовательная функция, оптимум, принятие решений, функция Кобба-Дугласа, растущая функция
A.D. Bogdanov1, D. V. Kolobov1, A. V. Shchepkin1'2
1 Moscow Institute of Physics and Technology institute of Control Sciences RAS
Quantitative validation of the utility function of secondary schools depending on the costs incurred and determination of its key parameters
This paper examines the general form of the utility function of secondary educational schools in the current year, which is a function dependent on three variables: spending on equipment and consumables in the current year, spending on the staffing of schools in the current year, as well as the total budget of the school. In this work, we assume that the school solves the problem of maximizing its usefulness calculated on the average score of the Unified State Exam (or percent of students with high exam results) in the current year, as well as using real data of educational results and spending of school budgets. The most probable type of this utility function, as well as its parameters is determined in St. Petersburg. The work is one of the first attempts to apply mathematical modeling to the field of large systems management in education.
Key words: school education, educational function, optimum, decision making, Cobb-Douglas function, growing function
© Богданов А. Д., Колобов Д. В., Щепкин А. В., 2022
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022
1. Введение
Отрасль школьного образования является одной из наиболее важных в социально-экономической жизни общества [1]. Именно школьное образование дает основной блок знаний для подготовки специалистов всех направлений, закладывает основы личности и нравственно-социальный базис человека. От школ зависит реализация целей государственных программ по развитию экономики и социальной сферы. В связи со сказанным выше необходимо понимать, как работает школа, как правильно должны распределяться ее ресурсы и как повысить эффективность ее управления.
Достаточно логичен тот факт, что школа должна финансово поддерживать своих учителей и педагогов, которые являются ключевыми проводниками образовательного процесса [1]. Учитель в России и многих иных странах мира осуществляет образовательный процесс по фиксированным стандартам образования (в случае России - Федеральный государственный образовательный стандарт). При этом учитель пользуется оборудованием, материальной базой как стандартизированной (парты, стулья, доски), так и более продвинутой - для реализации дополнительной образовательной или технологической деятельности. Остается вопрос: «Как руководство школы должно управлять, как распределить необходимые ресурсы, чтобы достичь максимальной полезности, и в чем эта полезность может выражаться?».
Для того чтобы понять, как работает среднестатистическая школа, необходимо определить ее функцию полезности. Данная работа фокусируется на выделении ключевых теоретических гипотез о том, как может выглядеть функция полезности. Затем с помощью реальных данных необходимо выделить ключевую гипотезу по форме функции полезности, которая наибольшим образом подходит для среднестатистической школы.
2. Теоретическое определение перспективных видов функции полезности
Представим, что мы берем среднестатистическую российскую школу по выборке, в которой учатся не отобранные дети, а дети и родители удовлетворены образовательным процессом. Школа не имеет финансовых трудностей и выполняет требования вышестоящих органов. Введем гипотезу, что образовательный результат школы является функцией полезности, и он измеряется как средний балл ЕГЭ. На него ключевое влияние оказывают два измеримых показателя: материально-техническое обеспечение (МТО) школы и траты на учителей [2, 3]. Стоит отметить, что МТО может быть как накопленным (переменная А), так и закупленным в текущем году (переменная К). Переменная, которая отвечает за кадры, обозначается как Ь. В данной модели все три ключевых переменных зависят от управленческих решений директора школы, который является распределителем бюджета, а также от выделенного на текущий год районным/городским департаментом образования бюджета школы, грантов и субсидий. Сумма всех средств школы на текущий год обозначается как М. Все переменные выражаются в рублях, так как общий бюджет, накопленная и закупленная на текущий год материальная база, затраты на работников выражаются в рублях.
Таким образом, мы имеем следующий вид функции образовательного результата:
Рассмотрим двухуровневую организационную систему с одним центром (департамент образования) на верхнем уровне и одним агентом (школа) на нижнем. Центр задает агенту ключевой параметр: бюджет (М) [4]. Школе-агенту необходимо правильным образом подобрать К и Ь. Предположим также, что школа не делает накоплений и не существует иных направлений трат, кроме трат на персонал и материальное обеспечение (т.е. М=К+Ь). Функция из четырех переменных становится функцией от трех.
и = / (А,К,ЦМ).
(1)
и = / (А,К,Ь).
(2)
Пусть у агента заранее определено оборудование, которое поставлено туда на текущий год (параметр А). Введём предположения относительно вида функции V:
• и непрерывна по К и Ь\
ди
• —— > 0 - образовательный результат растет при увеличении оснащенности школы; дК
• ^^ > 0 - образовательный результат растёт с увеличением финансирования педаго-дЬ
гов, их профессионализма и их числа;
д2и д2и
• -тт < 0 и -т; < 0 - функция образовательного результата является вогнутой по К
дЬ2 дК2
и Ь.
Фактически, это является выражением принципа убывающей предельной полезности (Например, если школа тратит много средств на учителей, каждый новый потраченный рубль на учителей будет давать меньше результата);
• и, К и Ь > 0;
• Если Ь = 0, то и = 0 (если в школе не работают учителя, то школа не может производить образовательный результат).
Также учтем тот факт, что учителя могут пользоваться уже закупленным оборудованием, работать на нем. функция зависит от А. Представим себе крайний случай, когда весь бюджет школы текущего года тратится на учителей (М = Ь), а новое оборудование не закупается. Введем предположения:
• и непрерывна по А и Ь\
ди п 9дА> 0
ди
'дЪ> 0
°2и п д2и п ,
• -- < 0 и -- < 0 - функция образовательного результата является вогнутой по
дЬ2 дК2
А и Ь (если в первую школу поставлено больше оборудования, чем во вторую, то каждый вложенный рубль в прошлом году и, соответственно, накопленное МТО в текущем, будет меньше сказываться на образовательном результате);
• II, А и Ь > 0;
• Если Ь = 0, то и = 0 (если в школе не работают учителя, то школа не может производить образовательный результат).
К функциям, которые отвечают обозначенным выше требованиям, можно отнести [5]: 1) Степенные функции:
1.1. «Двойная» функция Кобба-Дуга аса: II = /(А, К, Ь) = СКаЬ1-а + ВА^ Ь1-/3, 0<а<1, О<,0<1, С,В > 0.
1.2. «Двойная» степенная функция: II = /(А, К, Ь) = СКа1 Ьа2 + ВА^1 Ь^2,
0 < «1,2 <1, о < А'2 < 1, С,В > 0.
1.3. «Тройная» степенная функция: и = /(А, К, Ь) = СКа1 Ьа2 + ВА?1 Ь132 К о < а:1'2 < 1, 0 < А'2'3 < 1) С,В > 0.
1.4. Упрощённая «тройная» степенная функция: и = ЦА,К,1) = В А31 В3"2К3з, 0 < £1,2,3 <1,В >0.
2) «Двойная» функция Стоуна: II = /(А,К,Ь) = С(К—К0)а(Ь—Ь0)1-а+В(А—А0)3(Ь—Ь0)1-3, 0 < а <1, 0 < р < 1, С,В > 0.
3) Степенная функция Леонтьева V = /(А,К,Ь) = тт(а1АаК1-а, а2А3Ь1-3), 0<а<1, 0<£<1, Л>0.
Напомним, что в текущем году N поставленное на данный год оборудование является фиксированным показателем. Тогда функция принимает следующий упрощенный вид:
и = / (А, К, Ь) = тт(^1Ка' , р^Ь3'), 0 < а' < 1, 0 < 0' < 1.
Данная функция выражает то, что педагоги и материально-техническое обеспечение являются комплементарными друг другу.
и = Р1КЫ = @2Ь3'.
ка'
Отношение —3^ Эластичность замещения Ка относительно
Ь3
Ь3 является постоянной и равна 0.
4) Логарифмические функции:
4.1. Логарифмический аналог «двойной» функции Кобба-Дугласа:
и = /(А,К,Ь) = С Ы(К + 1)Ы(Ь + 1) + В Ы(А + 1) Ы(Ь + 1),С,В > 0.
4.2. Логарифмический аналог «тройной» степенной функции:
и = / (А,К,Ь) = С Ы(К + 1)Ы(Ь + 1) + В Ы(А + 1)Ы(К + 1)Ы(Ь + 1),С,В > 0.
4.3. Логарифмический аналог упрощенной «тройной» степенной функции:
и = /(А, К,Ь) = В Ы(А + 1) Ы(К + 1) Ы(Ь + 1),В > 0.
Итого мы имеем 9 потенциальных моделей, которые могут описывать функцию полезности средних общеобразовательных школ. Для понимания, какие из этих функций наилучшим образом описывают реальное поведение школ, необходимо проверить данные функции на реальных данных.
3. Выборка данных для валидации моделей
Для того чтобы можно было провалидировать функции, в рамках данной работы были найдены базы результатов школ г. Санкт-Петербурга по Единому государственному экзамену, а также данные по бюджетам школ и числу учеников [6]. К сожалению, данные бюджетов школ и численность учеников не были представлены на едином агрегированном ресурсе и в связи с этим было необходимо искать данные точечно на сайтах школ. Санкт-Петербург является единственным субъектом Российской Федерации, по которому школы централизованно предоставляли свои данные по результатам госэкзамена в агрегированную базу, а также обладающим наибольшим числом школ в регионе среди субъектов, которые такой базой обладают. Также важно отметить, что для рассмотрения был выбран лишь один регион, так как было важно, чтобы система управления школьным образованием была единообразна, школы в регионе подчинялись одному центру (в случае Петербурга школы подчиняются напрямую городу), а также система распределения бюджетов была централизована.
По данным Департамента образования Санкт-Петербурга, в городе насчитывается 734 школы. Так как данные по бюджетам па своих сайтах выложили не все школы, было выбрано 519 школ, данные бюджетов которых были пайдепы в открытом доступе. Ниже представлены распределения суммарных бюджетов школ, а та,клее бюджетов школ па отдельного ученика. Данные по бюджетам школ усреднены за 2019-2021 годы в зависимости от того, по каким годам у школ представлены данные. Стоит отметить, что у всех школ в выборке представлены данные за 2020 год.
Рис. 1. Распределение суммарных и подушевых бюджетов школ по первоначальной выборке
Как мы можем заметить, распределение школ является крайне неоднородным. Это может говорить о том, что первоначальная выборка содержит в себе:
• Большие школы-комплексы или малокомплектпые школы, в которых обучается большое число учеников (более 5-10 тысяч), или, наоборот, малое число учащихся.
• Лицеи, гимназии или иные школы с повышенным уровнем финансирования или школы, которые привлекают большие обьемы внебюджетного финансирования.
• Школы, которые предоставили нерелевантные данные по своему финансированию.
Так как нам нужны школы, являющиеся «стандартными», в которых нет специфики внутреннего управления (как в школах-комплексах, малокомплектных школах или в школах с особым вниманием властей и внешних попечителей), а также чей финансовый ресурс слабо отличается друг от друга, необходимо взять школы, в которых наблюдаются схожие бюджеты как на одного ученика, так и суммарно. Для этого в данных выборках были посчитаны среднеквадратичные отклонения. Они составили 192 123 470 рублей для общего бюджета и 1 051 035 рублей на одного ученика. Далее были выбраны диапазоны от среднего значения по обоим выборкам (общие бюджеты и бюджет на ученика) и из этих диапазонов были выделены 377 школ, которые попали в оба диапазона.
Рассмотрим выборку из 376 школ, которая получилась в итоге. Распределение данных школ выглядит следующим образом (рис. 2).
Рис. 2. Распределение школ в отсортированной выборке
Как мы можем заметить по итоговому распределению из 376 школ, оно является похожим на нормальное распределение. Это логично, так как мы имеем в данной выборке похожие друг на друга школы по бюджетам, числу учеников, внутренней системе управления. Для того чтобы понять, является ли в итоге полученная выборка нормальной, нам необходимо воспользоваться стандартным тестом х2 Пирсона. В случае данного критерия проверяется гипотеза Н0, что случайная величина подчиняется нормальному распределе-
Для этого разделим весь имеющийся интервал значений на к непересекающихся интервалов (щ,Ы],г = 1.. .к.
Пусть пу количество наблюдений в каждом ^'-м интервале, ру = Р(Ьу) — Р(ау) - вероятность попадания наблюдения в интервал при выполнении гипотезы. Ру = пру -ожидаемое число попаданий в интервал.
Тогда необходимо посчитать статистику: к К — Еу )2
Ei
2
Хк-1
распределение хи-квадрат, имеющее к-1 степеней сво-
X2 = Ек=1
боды.
Число интервалов оцениваем с помощью критерия Стерджесса: к ~ 1 + 3,322\og N. Для нашей выборки из 376 значений получим 9.55, то есть, округляя, 10 интервалов. Характеристики данной выборки имеют следующие значения:
Проведем тест Пирсона. Сумма статистик II равняется 16,88. При этом критическое значение статистики при заданном числе интервалов (число степеней свободы - 9) и при 95% значимости равняется 16,92, что меньше, чем полученное значение 16,88. Таким образом, по критерию Пирсона мы можем говорить о нормальности распределения на уровне 95% значимости.
Таблица 1
Характеристики конечной отсортированной выборки бюджетов школ
Среднее значение 264750096
Стандартное отклонение 83558953
Минимум 93919134
Максимум 474369429
Таблица2
Данные теста Пирсона для определения нормальности выборки бюджетов
школ
Карман Частота Теоретическая частота Статистика II
т ПРг (Шг - П^)'2 ПРг
131964163,41 17 21,06 0,78
170009192,91 31 27,23 0,52
208054222,41 48 45,23 0,17
246099251,91 72 61,27 1,88
284144281,41 67 67,71 0,01
322189310,91 51 61,03 1,65
360234340,41 39 44,87 0,77
398279369,91 21 26,91 1,30
436324399,41 17 13,16 1,12
474369428,91 12 5,25 8,68
Сумма 375,00 373,72 16,88
хи-квадрат критическое 16,92
Итак, мы имеем набор данных школ, которые являются нормальными, что говорит о стандартизированности школ в выборке. Для проверки моделей необходимо определить, сколько средств школы потратили на материально-техническое обеспечение, а сколько на оплату труда педагогов, а также, какое оборудование стоит у школ на балансе.
В рамках анализа трат школ через сервис государственных закупок [7, 8] было выделено 65 направлений, которые были прописаны в бюджетах школ, 9 из которых относятся к перечню материально-технического обеспечения (МТО), а именно укрупненные статьи закупок по направлениям: услуги связи, транспортные услуги, коммунальные услуги, арендная плата за пользование имуществом, работы, услуги по содержанию имущества, увеличение стоимости основных средств, увеличение стоимости нематериальных активов, увеличение стоимости материальных запасов, поступление нефинансовых активов, прочие работы, услуги. Остальные 56 направлений трат относятся к затратам на персонал.
Практически весь бюджет школ тратится на МТО и персонал, суммирование данных по закупкам в рамках бюджета разделялось на две категории по направлениям трат, в результате чего были получены данные по тратам школ на персонал и МТО по 2020 году по всем 376 школам. Так как все данные по бюджетам исчисляются в десятках миллионов рублей, то в итоговых данных они нормировались, то есть делились на 10 ООО ООО.
В нашем исследовании данные по среднему баллу ЕГЭ учащихся в школах Санкт-Петербурга были недоступны (ввиду отсутствия открытого доступа к ним), однако было доступно число «супербалльников» в каждой школе, то есть число учащихся, набравших более 221 балла по трем ключевым предметам, которые выбрали выпускники. В качестве
допущения исследования фиксировался факт, что число «супербалльников» должно коррелировать со средним баллом государственного экзамена.
4. Валидация моделей. Определение вида функции полезности
Для того чтобы определить, какая из 9 моделей, представленных в п. 1 исследования, наибольшим образом отвечает реальным данным, был проведен корреляционный анализ по всем представленным выше функциям. Для этого была написана программа, которая должна была подбирать параметры описанных в п. 1 функций и выбирать те из них, у которых наибольшая корреляция числа «супербалльников» с результатами функций полезности. Ниже представлены корреляции с реальными данными [7] по каждой из функций.
ТаблицаЗ
Результаты корреляционного анализа по ключевым моделям работы
№ Вид функции Функция с коэффициентами (согласно вычислениям) Корреляция
1. Степенные функции
1.1. СКаЬ1-а + ВА@Ь1-Р - К055Ь0ЛЪ + 2 а0.12ь0.88 3 0,437
1.2. С К а1Ьа2 + ВА^Ь?2 - К087Ь052 + 10.4 А0Л2Ь0.82 0,444
1.3. С к а1Ьа2 + ВА^Ь^К133 - К081Ь0.6 + 11 7а0.01ь0.86к 0.04 0,443
1.4. ВА^Ь^К - А0.01 ь0.ЭЗк0Л 0,436
2. Функция Стоуна
С (К -Кс)«(Ь -Ьо)1-« + В (А -Ао)^ (Ь -Ьо)1-^ - (К -К0)0Л8(Ь -Ь0)а82 + 3(А -А0)0.04(Ь -Ь0)а96 0,432
3. Функция Леонтьева
тш(а1АаК1-а, а2А^Ь1-^) -тш(К °.33,Ь°.67) 0,328
4. Логарифмические функции
4.1. С 1п(К + 1)1п(Ь + 1) + В 1п(а + 1) 1п(Ь + 1) - 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) + 0.11п( А + 1) 1п(Ь + 1) 0,391
4.2. С 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) + В 1п(а + 1) 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) - 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) + 0.21п( А + 1) 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) 0,389
4.3. В 1п(А + 1) 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) - 1п( А + 1) 1п(К + 1) 1п(Ь + 1) 0,324
Важно отметить несколько фактов. При расчете корреляций в степенных и логарифмических функциях важно не численное значение коэффициентов С и В, а их отношение, что выражается в том, что функция полезности будет пропорциональна получившимся значениям. В функции Стоуна в качестве КоДо,Ао были выбраны минимальные показатели по получившейся выборке. В функции Леонтьева оборудование считалось фиксированным показателем для каждой из школ.
Также важным является тот факт, что в работе коррелировались не непосредственно данные среднего балла госэкзамена, а число мультибалльников, что также могло повлиять на итоговый результат.
Как мы можем заметить из получившихся корреляций, наибольшим образом с реальными данными коррелируют именно степенные функции, причем коэффициенты корреляции слабо отличаются друг от друга. Наибольшей корреляцией с реальными данными обладают функции «двойная» и «тройная» степенная, а также функция «Кобба-Дугласа». Корреляционный анализ обладает не самой высокой степенью доказательности, однако позволяет нам выдвинуть важную гипотезу, что функция полезности школ является степенной функцией от трат на МТО, педагогический состав и от накопленной материальной базы.
Также важно отметить достаточно высокий уровень показателей степеней у переменной L (оплата труда) в функциях, обладающих наибольшей корреляцией. Данный показатель говорит о том, что траты на педагогов в образовательных школах имеют решающее влияние на образовательный результат и это влияние выше, чем влияние материально-технической базы (то есть, школы будут тратить большую долю своего бюджета на педагогов). Однако материально-техническое обеспечение тоже важно и на него необходимо тратить финансовые ресурсы школы.
5. Заключение
В данной работе рассмотрены 9 ключевых моделей функции полезности средних образовательных школ в зависимости от распределения бюджета на МТО и оплату труда педагогов. В рамках исследования была получена база данных 376 школ по общим бюджетам, тратам на МТО, педагогов, а также оборудованию, которое стоит у школ на балансе, и их образовательных результатах, исчисляемых в количестве учащихся, набравших более 220 баллов на едином государственном экзамене. Выборка школ является нормальной с высокой долей значимости, что говорит о том, что школы отличаются сходной внутренней системой управления, а также сходны по бюджетам и числу учащихся.
В результате корреляционного анализа образовательных результатов школ и распределения их трат была выдвинута ключевая гипотеза о том, что функция полезности школ является степенной функцией от трех переменных (трат на МТО, трат на оплату труда и поставленного в школу оборудования), а также, что в качестве потенциальной модели для теоретического рассмотрения может выдвигаться модель «двойного» Кобба-Дугласа и иные степенные функции. Также важным выводом является то, что корреляционный анализ показал, что траты на педагогов должны занимать большую часть в бюджетах образовательных школ, что связано с большим по сравнению с МТО показателем степени у трат на персонал в степенных функциях.
Литература
1. Valeeva R.A., Gafurov I.R. Initial Teacher Education in Russia: Connecting Theory, Practice and Research // European Journal of Teacher Education. 2017. V. 40, N 3. P. 3 12 360.
2. Zakharov A., Camay M., Loyalka P. Which Teaching Practices Improve Student Performance on High-Stakes Exams? Evidence from Russia // International Journal of Educational Development. 2014. V. 36. P. 13-21.
3. Galeev Y., Gilmutdinov A., Alishev T. Regional General Education System as seen by its Players 11 Voprosv Obrazovaniva. 2012. V. 2, N 2. P. 232-256.
4. Yankevich S. V., De Grof Y. Management of the education system at different levels: vertical of power, transfer of powers and regional cooperation. 2019.
5. Baikin A., Ivanov E., Isaeva O. Managing the choice of a manufacturer taking into account the influence of market information // Control sciences. 2008. V. 4. P. 55-64.
6. Ministry of Education of St. Petersburg. The official information portal of the state final exam of graduates of grades 9 and 11 in St. Petersburg. https://www.ege. spb.ru/index. php?option=com_k2&view=itemMayout=item&id=865 &Itemid=230. Accessed 10 November 2021
7. Phvstech center analytical agency. Predicting model for the needs of educational institutions in educational equipment. Moscow. http://idt.phvstech.center. Accessed 15 April 2021.
8. Federal Treasury of Russian Federation. Russian public procurement website. https://zakupki.gov.ru Accessed 10 April 2021.
References
1. Valeeva R.A., Gafurov I.R. Initial Teacher Education in Russia: Connecting Theory, Practice and Research. European Journal of Teacher Education. 2017. V. 40, N 3. P. 3 12 360.
2. Zakharov A., Carnoy M., Loyalka P. Which Teaching Practices Improve Student Performance on High-Stakes Exams? Evidence from Russia. International Journal of Educational Development. 2014. V. 36. P. 13-21.
3. Galeev Y., Gilmutdinov A., Alishev T. Regional General Education System as seen by its Players. Voprosv Obrazovaniva. 2012. V. 2, N 2. P. 232-256.
4. Yankevich S. V., De Grof Y. Management of the education system at different levels: vertical of power, transfer of powers and regional cooperation. 2019.
5. Baikin A., Ivanov E., Isaeva O. Managing the choice of a manufacturer taking into account the influence of market information. Control sciences. 2008. V. 4. P. 55-64.
6. Ministry of Education of St. Petersburg. The official information portal of the state final exam of graduates of grades 9 and 11 in St. Petersburg, https://www.ege.spb.ru/index.php?option=com_k2&view=item&layout=item&id=865 &Itemid=230. Accessed 10 November 2021
7. Phvstech center analytical agency. Predicting model for the needs of educational institutions in educational equipment. Moscow. http://idt.phvstech.center. Accessed 15 April 2021.
8. Federal Treasury of Russian Federation. Russian public procurement website. https://zakupki.gov.ru Accessed 10 April 2021.
Поступим в редакцию 09.10.2022
