Колебательные процессы в плохо обусловленных апериодических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ АПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ А. Акунова, А.В. Ушаков

В работе с использованием аппарата систем сравнения минимальной достаточности, конструируемых в функциональном базисе фундаментальной матрицы системы формулируется критерий, с помощью которого обнаруживается колебательность процессов в плохо обусловленных апериодических системах. Приводятся примеры.

Введение. Постановка задачи

Традиционно при исследовании процессов в многомерных системах по вектору состояния и выхода в основном учитывается структура собственных значений матрицы состояния системы. При таком подходе в апериодических непрерывных линейных системах, то есть системах с вещественным спектром собственных значений гурвицевой матрицы состояния простой структуры, невозможно априори ожидать появления процессов, обнаруживающих признаки колебательности, проявляющейся в выбросах на траекториях однородной и неоднородной версий. Однако, если при назначении матрице состояния системы желаемой структуры собственных значений, которая должна обеспечивать апериодичность траекторий, не контролировать геометрический спектр ее собственных векторов, то при плохой обусловленности матрицы последних апериодические свойства могут быть не достигнуты. Этой проблеме посвящена настоящая работа.

Основной результат

Рассматривается непрерывная система

х(() = ¥х(0 + Gg(t); х(0), у(г) = СхЦ); (1)

где х е Я", g е Ят , G е Я"хт,¥ е Я"х", матрица состояния ¥ гурвицева и простой структуры; х - вектор состояния, g - конечномерное экзогенное воздействие ограниченной нормы формируется с помощью автономной системы

¿(() = Гг(0; г(0) = *о, g( 0 = Р2((2) в котором г е Я1, Г е Яы,Р е Ятх'.

Утверждение 1. Общее решение системы (1)

хЦ) = х[х(0), g (г), t ] (3)

может быть записано в виде

х^) = П (t )*(0), (4)

где матрица П (V) имеет представление

П(t) = [ехр(¥) Тexp(Гt)-exp(¥t)Т], (5)

а вектор ^(0) задается в форме

^(0)=[хТ (0), гТ (0)Г. (6)

Матрица Т в (5) является решение матричного уравнения Сильвестра

ТГ- ¥Т = GP. (7)

Доказательство утверждения 1 можно найти в работах [1,2]. ■ Утверждение 2. Если система (2) является источником векторного ступенчатого воздействия g^) = g0 = Рг(0) , то матрица П^) (5) принимает вид

П() )-1)¥-1GР]. (8)

Доказательство утверждения 2 строится на использовании того факта, что при формировании векторного ступенчатого воздействия g ^) = g0 = Рг(0) минимальная реализация системы (2) характеризуется матричным условием

Г = 0 . (9)

Подстановка нулевой матрицы (9) в уравнение Сильвестра (7) позволяет найти явное решение для матрицы T = -F lGP, а подстановка в (5) дает exp(rt) = I, что в совокупности приводит к (8). ■

Сконструируем скалярные экспоненциальные системы сравнения (СЭСС) минимальной достаточности [3] в функциональном базисе фундаментальной матрицы ф(( ) = exp(Ft) системы (1) для решений x(t) = x[x(0), g (t) = 0, t ] однородной (автономной) версии системы (1) и для ее неоднородной версии x(t) = x[x(0) = 0, g (t) = g 0, t ].

Утверждение 3. Решение однородной скалярной системы

Z(t)+nZ(t) = 0; Z(0) MM (10)

мажорирует решение x(t) = x[x(0),g(t) = 0, t] однородной версии системы (1) в смысле выполнения неравенства

\\x(t)\\ <Z(t) = ße-n\\x(0)\, (11)

при этом

П = min{Re Д. = Д |; i = Щ} ß = C{M}, (12)

где C{M} - число обусловленности матрицы M = row\Mi;i = 1,n} собственных векторов Mt : |M\ = 1 матрицы F состояния системы (1).

Доказательство утверждения 3 строится на непосредственном вычислении нормы ||x(t)|| решения x(t) = x[x(0), g(t) = 0, t], задаваемого выражением (4), в котором

следует подставить ^(0) = [x(0)T 0T ] и матрицу n(t) в форме (5). Это вычисление дает цепочку неравенств

||x(t)|| = ||exp(Ft)x(0)|| < |MI|exp(A/ЦMЦ|x(0)| =

= C{M}|jiag{e^it; i = Щ}x(0)| = C{M}n|x(0)|.

Нетрудно видеть, что n - представляет собой степень устойчивости системы (1) с матрицей F простой структуры. Система (10) именуется системой сравнения для решений x(t) = x[x(0),g(t) = 0,t] системы (1).

Доказательство утверждения 3 делает справедливым положения следующего утверждения.

Утверждение 4. Множество непрерывных систем вида (1), обладающих совпадающими степенями устойчивости n и одинаково обусловленными структурами собственных векторов, характеризующихся единым числом обусловленности C{M}, образует класс эквивалентности в смысле выполнения условия идентичности экспоненциальных покрытий вида (11), задаваемых системой сравнения (10), при равных по норме начальных состояний. ■

Экспоненциальное покрытие (11) с параметрами (12) является критериальным в смысле обнаружения колебательности процессов ||x(t)|| = ||x[x(0), g(t) = 0, t]|. Так, если

C{M }=1, то матрица F связана с диагональной с помощью ортогональной матрицы M в форме MA = FM и в силу свойства ортогональной матрицы не менять нормы исходной при умножении на нее, процессы в апериодической системе (1) носят экспоненциальный характер, начинаясь в точке ||x(0)||.

В случае C{M}> 1 процессы ||x(t)|| = ||x[x(0),g(t) = 0,t]|, начинаясь в (o) ||x(0)||, возрастают со временем, обнаруживая в их ходе выброс, а затем экспоненциально

сходятся. Экспоненциальные покрытия таких процессов с выбросом возможно с помощью (11) только при С{М }> 1 так, чтобы они начинались в точке С{М Цх(0)||, при

этом мажорирующая их оценка ||х(0|| минимальной достаточности в силу (4)

определяется максимальным сингулярным числом аМ {П^)} на сфере ||х(0)|| = х0 так,

что ||х^)|| = аМ {exp(¥t)}Цх(0)|. Подобное обнаруживается и на траекториях системы (1)

||х(0|| = | |х[х(0) - 0, g ^) = g 0, t ].

Утверждение 5. Решение неоднородной скалярной системы ¿(0+и?(0 = НМ; ^(0) = 0, (14)

именуемой неоднородной СЭСС мажорирует решение ||х(0|| = ||х[х(0) = 0, g^) = g0, t]| неоднородной версии системы в смысле выполнения неравенства

||х(( М| g (1 - е""),

при этом

V = max

{Re Л

= Л ; i = 1, n

Я

Y = n 1GII ■

(15)

(16) (17)

Доказательство утверждения, как и в случае утверждения 3, строится на непосредственном вычислении нормы ||x(t) = х[х(0) = 0, g ^) = g0 = Рг(0), t ]|,

задаваемого выражением (4), в котором следует положить х(0) = [0Т гТ (0)]Т и матрицу П(() в форме (8). Это вычисление дает цепочку неравенств

<

() = ||(/ - exp(Ft)))-lGPz(0)|| = I\Mdiag(л-1 (1 - ev) i = 1, nM_1Gg0 \\M\ldiag ( (1 - e v) i = Щ ))

<

oil <'

(18)

С{М I1 (1 - е4 П

Как и в случае однородной версии системы (1), ее неоднородная версия для процессов ||х^)|| = ||х[х(0) = 0, g^) = g0, t]| в случае плохо обусловленной структуры

собственных векторов, характеризующейся выполнением условия С{М }> 1, обнаруживает колебательность этих процессов, при этом мажорирующая их оценка х(^ минимальной достаточности в силу (4) определяется максимальным

сингулярным числом аМ {п(()} матрицы П^) вида (8) на сфере ||^(0)|| = ||[0Т г1 (0)] ], порождающую в силу Рг (0) = g 0 сферу скачкообразного воздействия (t )|| = | ^0|| так,

что

) = ам {(( - exp(Ft))-G\\gо||. Установившиеся значения

(t )=)=n CM 1\Glllg oil

и

x(t)

= lim

у t^Ol

X(t)

= а

{ Ml

g 0

(19)

(20) (21)

по существу разнятся в

CM 1

раз.

Класс эквивалентности неоднородных версий системы (1) при скачкообразном экзогенном воздействии g(^) = g0 порождается четверкой показателей {г1,у,С{М},||}.

Примеры. В качестве иллюстрирующих примеров рассматриваются только однородные версии системы (1) второго порядка, матрицы Е]г (] = 1, р), где (р х г) -мощность выборки эксперимента, которых формируются по правилу

^ = М} Л ГМ} 1 , (22)

где Лг = diag{Яг1,Яг2}, М ] - реализации матриц собственных векторов с задаваемым С М]} - числом обусловленности.

Рассматриваются две реализации диагональных матриц Лг с различными спектрами, но единой степенью устойчивости п = 1

Лх = diag{Яl1 = -1,А12 = -20} и Л2 = diag{Я21 = -1,Я22 = -2}. Матрицы (22) из (23) получены с помощью матриц

1 0"

Мх = ; М 2 = ; М3 =

(23)

01

характеризующиеся числами обусловленности С{МХ}= 200; С{М2 }= 2,4 и С{М3 }= 1.

Кривые экспоненциальных покрытий ) и покрываемых процессов Цх^)| приведены соответственно на рис.1 ^рис.3. В полном соответствии с теорией, при С{М}> 1 процессы (см. рис.1,2) Цх^)| обнаруживают выбросы в апериодических

системах, на факт наличия которых экспоненциальные покрытия "реагируют" подъемом в С{М} раз начального значения ^(0). При С{М}=1 (см. рис. 3) выбросы

отсутствуют, процесс ||.х(() апериодический, при этом ) = I

250

200 -

150 -

100 -

50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Рис. 1. Кривые ||х(/) и мажорирующей экспоненциальной системы сравнения

С(() с параметром р = С{МХ}= 200

Рис. 2. Кривые \\х(:)\ и мажорирующей экспоненциальной системы сравнения

С(() с параметром р = С{М2 }= 2,4

Рис. 3. Кривые \\х(:)\ и мажорирующей экспоненциальной системы сравнения

£(() с параметром р = С{М3 }= 1

Заключение.

При синтезе систем вида (1) с априори желаемой апериодичностью ее процессов необходимо контролировать не только спектр собственных значений матрицы состояния, но и спектр ее собственных векторов. Для этой цели могут быть использованы возможности обобщенного модального управления [4], которая позволяет обеспечить оба желаемых спектра матрицы состояния системы.

Литература

1. Ушаков А.В. Модальные оценки качества процессов управления многомерными системами при гармоническом внешнем воздействии. // Автоматика и телемеханика, 1989. №11.

2. Модальные оценки качества процессов в линейных многомерных системах / Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В.; Под ред. А.В. Ушакова // Препринт. Бишкек: Илим, 1991.

3. Акунова А., Акунов Т.А., Ушаков А.В. Оценка качества решений системы дифференциальных уравнений с помощью систем сравнения минимальной достаточности // Вторая международная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения" / Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 1998. С.72-73.

4. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т.43, №3. С. 8-16.