CC BY
33
УДК 532.528
У. Т э й н
КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ДНИЩА С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ
Рассмотрена задача о малых колебаниях упругого перфорированного днища топливного бака с протекающей жидкостью, частично заполняющей жесткую оболочку вращения. Задача рассмотрена в линейной квазистационарной постановке.
Колебания упругого днища топливного бака с жидкостью, частично заполняющей жесткую оболочку, ранее рассматривали в работах [1-4 ]. В настоящей работе тонкостенный топливный бак представляет собой конструкцию, состоящую из жесткой оболочки, стыковочного шпангоута и частично перфорированного упругого днища, имитирующего заборное устройство. Подобная задача актуальна при исследовании продольных колебаний ракеты с топливными баками, содержащими внутрибаковые элементы (ВБЭ) и заборные устройства (ЗУ). Влияние ВБЭ и ЗУ на колебания упругого днища с жидкостью учитывается обобщенными коэффициентами гидравлического сопротивления, приведенными к поверхности ЗУ.
Постановка задачи. Введем цилиндрическую систему координат Охгп с началом в середине невозмущенной свободной поверхности Г0.
За невозмущенное состояние жидкости принимается установившееся напорное течение вязкого несжимаемого жидкого топлива, характеризуемое средней постоянной скоростью опускания У0 невозмущенной свободной поверхности Г0 и средней постоянной скоростью на поверхности слива Е, а также потерями напора на местные сопротивления и трение жидкости по длине топливного бака. К элементам, которые влияют на потерю энергии по длине топливного отсека, можно отнести тоннельную трубу, радиальные ребра, обечайку бака. Очевидно, такие ВБЭ, как кольцевые ребра, шпангоуты, перфорированные пластины и другие элементы влияют на диссипацию энергии, обусловленную местными гидравлическими сопротивлениями. За невозмущенное состояние упругой конструкции принимается состояние, отвечающее решению статической задачи о равновесии упругой конструкции под действием давления, вызванного невозмущенным движением жидкости.
При рассмотрении возмущенного движения жидкость предполога-ется идеальной, совершающей малые безвихревые волновые движения и имеющей потенциал смещения х(х,£). Дно полости считается
настолько пологим, что при определении потенциала смещения жидкости граничные условия можно перенести на плоскость х = —Н, совпадающую с поверхностью слива, что позволяет рассматривать днище как упругую пластину или упругое кольцо.
Уравнения возмущенного движения. Задача о малых возмущенных движениях рассмотриваемой механической системы может быть сформулирована в следующем виде:
ДХ = 0; х = 0 на Г0; | =0 на 5; ^ = 7 (Ц — -д) » (!)
БААтд + = на Е, (2)
(3)
д2—д д2 х = —Р~д¥
где х(х, г,Ь) — потенциал малых смещений частиц жидкости в возмущенном движении; —д(г,Ь) — нормальное перемещение днища; Ю — цилиндрическая жесткость; 8Я — толщина днища; рд,р — плотность материала днища и жидкости; 7 = — обобщенный коэффициент гидравлических потерь; — приведенный коэффициент сопротивления топливного бака; Е — модуль упругости материала днища; V — коэффициент Пуассона. Потенциал смещений х(х,г,Ь) представляется в виде суммы х = Фг + ф2, где
те те
фг = Е [х + Е СзпХп(х)Яп(г)^ Ц(Ь);
}=1 п= 1
Ф2 = Е ? Дп(г)^п (х)дп(гу, Хп (х) = ^^хН) ■
п=1 п^ '
Здесь п^(Ь), дп(Ь) — обобщенные координаты днища и жидкости;
т-> / \ _ ^0(кпг) 7 , \ __кпх
Яп (г) = -Щ)'1 2п(х) = ык~н;
го
Сзп = ~2 У (г)Я,п(г)гд,г;
г0 ■)
о
£п — корень функции Бесселя (^(С) = 0); г0 — радиус цилиндрической обечайки; У^ (г) — полная система функций (0 ^ г ^ г0), замкнутая по отношению к V д(г, Ь).
Подставив потенциалы смещений в уравнения (1) и (2), получим систему уравнений возмущенного движения:
д2V) 2Н Г д2V) л Я (г)
ЮАА— + Рд^д~оЦ2 = —Р2гн у ~оЦ2 гйг — Рго Е ЯТ-<1п(Ь) —
r2 z—' v I dt2 / kn cth kn H
0 n= 1
ro
d2U „ 2
- (pÄ8 + pH) —; Cn = -2 I Y(r)Rn(r)rdr; (4)
r
0
те те те
£ Дп(г)^-1 + 7 £ Яп(г)^1 кпИс1п - ^ Оп1тп(т) = 0. (5)
п=1 п=1 п=1
Собственные колебания. Предположим, что
Цг,*) = У(г)и(*); и(*) = и^*; дп = дп(6)
У (го) = Уг'(го) = 0; У (п) = У;(п) = 0 ()
тогда, подставив соотношения (6) в выражения (4) и (5), можно получить уравнения, содержащие параметры и0 и дп, а исключив из преобразованных уравнений дп, прийти к интегродифференциально-му уравнению для функции У (г):
ro
/d2 1 d \ 2 2 Г
4dr2 + 2 Y(r) + P^^(r) = -PH.2Y(r)rdr-
о
ro
- £ Rn(r)(kn cth knH + -)-1 i Y(r)Rn(r)rdr. (7)
ro v 1' J
о
Решение уравнения (7), удовлетворяющее граничным условиям, приводит к трансцендентному уравнению для определения числа £, которое для сплошной пластины имеет вид
ЧС,) + /0(С)
Ji(Z) ii(Z)
те £
1 «2-pro(cth^ + -§4) + 1
4 , (8)
z
1+-P=i)
proH/i
где <5 = 8/г0\ И = И/г0; 7 = (Y/a)v/Г—V2; Л = ¿С = Л2Е/(рдг02(Г - V2)).
Трансцедентное уравнение для кольца ввиду громоздкости здесь не приводится.
Результаты расчета при < = Г/375, р/рд = 0,363, И = 3, V = 0,3, а = 5000 м/с, Е = 7,2 • Г010 Н/м2, I = г1 /г0 приведены в таблице.
4
4
Таблица
Топливный бак
сухой с жидкостью
1 без слива со сливом (y = 1)
Zi Ai Zi Ai Zi Ai
0 3,19 0,523-10-3 0,8134 0,509-10-3 ±0,0065±0,8177i ±8,18-10-6±0,5146-10-3i
0,2 5,88 0,02664 4,947 0,018839 ±0,19540-3±1,54i ±0,463-10-6±0,00183i
0,4 7,87 0,04763 7,1103 0,03892 ±0,75-10-3±1, 559i ±0,18M0-6±0,00187i
Вывод. В результате расчетов выявлено, что наличие ВБЭ и ЗУ может качественно и количественно повлиять на динамические характеристики топливного отсека с жидкостью.
Автор выражает благодарность доценту А.Н. Темнову за полезные консультации и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
¡.Колесников К. С. Продольные колебания ракеты с ЖРД. - М.: Машиностроение, 1971. - 260 с.
2. Пожалостин А. А. Определение параметров механического аналога для осесимметричных колебаний упругого цилиндрического сосуда с жидкостью. // Инж. журнал МТТ. - 1966. - № 5. - С. 157-159.
3. Пожалостин А. А. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим плоским дном // Изв. вузов. Сер. "Авиационная техника". - 1963. - № 4.
4. Пожалостин А. А. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим дном в виде пологой сферической оболочки. Изв. вузов. Сер. "Авиационная техника". - 1967. - № 2.
Статья поступила в редакцию 25.03.2008
У Тэйн родился в 1975 г., окончил магистратуру МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 г. Аспирант кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители МГТУ им. Н.Э. Баумана". Специализируется в области механики жидкости и газа и ракетно-космической технологии.
U. Tane (b. 1975) graduated from the Bauman Moscow State Technical University (master's degree) in 2004. Post-graduate of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in mechanics of liquids and gases and rocket and space technology.
