CC BY
13
x е щ, если
k f (N2 + 1)(U(i)n + x(гЛ
п
(N, + 1)(U(г) „ + x(i)
> V;
(13)
x ещ, если
п
г=1
N2 • U(г)n1
N • и
v(')
(г)
> V.
(14)
В отличие от оценок максимального правдоподобия, несмещенные оценки существуют не для любых функций неизвестного параметра 9, в частности, возможны ситуации, когда несмещенной оценки не существует даже для самого параметра 9. Однако, во всех случаях, когда несмещенная оценка существует для заданной функции неизвестного параметра 9, рекомендуется пользоваться именно ею, так как важное свойство асимптотической несмещенности оценки для нее выполняется автоматически. Также, в классе несмещенных оценок существует единственная оценка равномерно лучшая в этом классе в смысле минимума дисперсии и задача нахождения этой оценки имеет решение.
Далее построим статистические решающие правила групповой и поточечной классификации в случае полиномиального распределения (3) при неизвестном значении параметра 9 ^=1,2), используя его несмещенные оценки.
Пусть объекты в совокупностях ж имеют полиномиальное распределение (3), где параметр 9Ж неизвестен ^=1,2). При отнесении выборки Ж00 к
одной из совокупностей ж1, ж2 статистическое решающее правило групповой классификации, основанное на отношении несмещенных оценок, построенных по объединенной выборке Жм ^Ж00 ^=1,2) будет иметь вид
Ж00 с ж1, если
N1 +«0 1 ^ тг (Л
(пЫ2)![п(N1 + «о)] ^ и(0 N1! и(0 N2 +«о 1
При « = 1 из правила (15) следует статистическое решающее правило поточечной классификации для полиномиального распределения вида
x ещ
если
(nNxy{n(N2 +1.)]! A U (i) N2 !(U(i) n, + x (16)
(nN2)![n(N, + 1)]lП U(i)n, !(U(i)N2 + x(г))! ■
При статистическом моделировании методов групповой классификации, приведенных в данной статье, было установлено, что наиболее эффективными являются статистические решающие правила групповой классификации, построенные на основе несмещенных оценок по объединенной выборке
Щ (s=1,2)-
Список литературы:
1. Абусев Р.А. Групповая классификация. Решающие правила и их характеристики. Изд-во Пермского университета. Пермь. 1992. 220 с.
2. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика. 1974. 240 с.
3. Володин И.Н. О числе наблюдений, необходимых для различения двух гипотез о параметре биномиального распределения// Теор. вероятн. и ее применения. 1969, Т.14, №2. - С. 327-332.
4. Каменева С.В. О некоторых задачах проверки гипотез и групповой классификации. Случай дискретных распределений. LAP Lambert. 2016.104 c.
5. Марков А.А. Избранные труды. Теория чисел и теория вероятностей.
Изд-во АН СССР. 1951. - С.351-361, 575-585.
6. Математические методы в иммунологии и медицине. - М.: Мир, 1986. - 312 с.
x
i=1
УДК 539.3_
КОЛЕБАНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ В УПРУГОЙ СРЕДЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК.
Мамедли Рамиль Эльман оглы
Нижневартовский Государственный Университет
доцент кафедры ИиМПИ
АННОТАЦИЯ
В статье исследуется задача собственных колебаний двухслойных неоднородных стержней при нахождении в неравномерном температурном поле под действием термомеханических сил.
Здесь предполагается, что слои стержня изготовлены из разных неоднородных изотропных материалов, и температура является непрерывной функцией координаты толщины. (Т=Т(1)).
Для упругого основания принимается нелинейный модель и предполагается, что гипотеза плоских сечений справедлива для всей толщины элемента стержня. В общем виде получено уравнение колебаний рассматриваемого стержня и для конкретного случая найдена формула для собственная частота колебаний.
Ключевые слова: неоднородный двухслойных стержень, температура, колебания, собственная частота колебаний.
THE VIBRATION OF NONHOMOGENEOUS TWO-LAYER RODS AGAINST THE EFFECT OF THERMO-MECHANICAL STRESSES IN AN ELASTIC FOUNDATION.
Mamedli R.E.
Nizhnevartovsk State University
ABSTRACT
We study the problem of vibration two-layered nonhomogeneous rectilinear rods on an elastic foundation against the effect of thermo-mechanical stresses in this article.
It is assumed that the rod is in the uneven temperature field and the elasticity modules of the material layers depend on temperature.
For the elastic foundation of nonlinear model is accepted and it is assumed that the hypothesis of plane sections is valid for the entire thickness of the element of the rod. In general, we achieve the steadiness equation of the considered rod, and a formula is found for determining the frequency of vibration.
Keywords: nonhomogeneous two-layered rod, temperature, vibration, critical load.
Введение
Многослойные стержни часто используются в качестве несущих элементов во многих сложных конструкциях, работающих в различных режимах нагружения. Такие конструкции в некоторых случаях находятся на нелинейно упругом основании и в неравномерном температурном поле.
В работах [1-4] исследованы колебаний однослойных и многослойных стержней при нормальной температуре и под действием высокой температуры.
В данной работе исследуется задача собственных колебаний двухслойных неоднородных стержней при нахождении в неравномерном температурном поле под действием термомеханических сил.
Постановка задачи
Рассмотрим собственных колебаний двухслойных неоднородных стержней при нахождении в неравномерном температурном поле под действием термомеханических сил.
Координатная система выбрана следующим образом: оси ОY и OZ находятся в поперечном сечении стержня; ось ОХ - направлена по оси стержня.
Здесь предполагается, что слои стержня изготовлены из разных неоднородных изотропных материалов, и температура является непрерывной
функцией координаты толщины (т.е. Т = Т ) )
Допустим, модули упругости материалов слоев зависят от температуры нижеследующим образом:
Е1(г) = Е10-/3(Т-Т0) Е2(г) = Е20-р(Т- То) ; (Т = Т(г)). (1)
Предположив, что принцип плоских сечений справедлив для всей толщины стержня, соотношение между увеличениями нагрузок и деформаций будет:
Ао1 = [ЕЮ, - р1Т(г)](е + гх), -Н1 < г < 0
Ао2 = [Ё2Г0- р2Т(г)](е + гх), 0 < г < Ь2 (2)
В этих формулах сделаны следующие замены:
Ew = Его + Р1Т0 ^20 = Е20 + ^2^0
Тогда, увеличения нагрузки и момента определяются следующими формулами:
г0 гк2
АР = I Аа1Ьйг+\ Аа2Ьйг,
'о
АМ = Аа1Ьгйг + $*2Аа2Ьгйг (3)
rh2
Подставляя выражения (2) в (3), получим для
силы и момента:
'20и1
АР = e[TWW,a°0 - Р1А°1 + Ё:
+x[EW°a1 - р1А11 + Ё: АМ = е\Ё0>а1 - ргА1 + Ё:
+JjWWal - №1 + - Р2Щ] , (5)
В этих формулах сделаны следующие замены:
-№1] + ооа0-р2_А1],(4) -№2] +
20а1
4= f
j-1
bzldz,
hl h2
w1 = I bzldz,
0
01 = f'
0
A[= f0
J-hi
bT(z) zldz ,
(6)
bT(z)zl dz ,(i = 0,1,2)
Используя разные модели упругой среды, можно получить уравнение равновесия для данного стержня.
В общем случае, уравнение движения стержня в среде, оказывающей сопротивление, будет в следующем виде:
АР = 0
d2(АM) d2 № д2 №
__ + Р— + К(Ю + т1_.= 0, (7)
Здесь т - представляет собой общую массу единицы длины стержня. К(Ж) - сила сопротивления среды.
Получение уравнения равновесия.
Подставляя выражения (4) в первое уравнение системы (7), получим:
из (13) получим следующую формулу для собственной частотой колебаний:
е = —-
3ioai
/М
£ioa0 ft-^l + ^2°0а0°
■ ж
Подставив это выражение в (5), получим:
ДМ = ж (8) Здесь были сделаны замены с Ы:
_к! = —М2 + - МГ
£°i ° а? — + ^2 ° а 0° — ^2^4 °°
(9)
Так как рассматриваем собственные колебания данного стержня, принимаем P=0. Тогда уравнение (7) будет:
^ + + °'(10)
Применяем метод Винклера для данной среды.
Тогда сила сопротивления среды будет в виде:
=
Подставив это выражение в (10), получим частоту колебаний данного стержня:
Когда концы стержня закреплены шарнирно, тогда решение уравнения (11) будет:
W(x, t) = W1(x) cos wt (12) Здесь w - собственная частота колебаний стержня. Подставляя (12) в (11), получим:
tf2iW7Vx) — rnw2W1(x) — = 0 (13) Приняв решение данного уравнении как:
тсх
W1(x) = Wlsin— (14)
ю2 = (-)4—+ — (15)
е ш т Ы определяется по формуле (9) Понятно, что для вычисления собственной частоты колебаний, надо знать распределение температурного поля.
Решение задачи.
Допустим, что температура является непрерывной функцией координаты толщины. Тогда характеристики жесткости стержня определяются как:
= йй^а" = йй2 ,
й2 й2
г. "ГГ г. й2
= — Ь —, а" = й —,
а1
i
ft
2 ft?
ft!
л?
= ftT, fti
3
1—£
2
(16)
71 .
= ¿71^2(1 +
2
Л1 =
ftT, fti
1 71 . 1 — :Г + -г) _
b^ft,
71
2+ t
Л? = b^fti
1—
7?
= b^ft2
Т,
1+
ц
гр1 _ 2
71 = 71
и собственная частота колебаний вычисляется на основе формулы (15).
Приведены вычисления при разных значениях параметров, и полученные результаты показаны на рисунке 4.11:
2
ft
3
2
2
3
4
4
ЙМ0
1
0.8
0.6
0.4 0.2
0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
(h)
Рис. 4.11
Ел к — 2
106кг
см2
-; Е20 — 1.6
106кг
см
о
— 1.8
106кг h! h
--; -1—0.4 ; -— 0.5;
см h2 b
ß1 — 1000 • кг/см2 • град; ß2
2
— 800 кг/см2 • град; Т0 — 300К; Т1 — 300К; Т? — 500К;
ш
ш —
Кп
п4Е10 ' п2Е0 12т
— 0.001
Литература
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. м.Наука, 1967, 984 с.
2. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. м.Изд-во МГУ, 1976, 320 с.
3. Шаповалов Л.А. Влияние неравномерного нагрева на устойчивость сжатого стержня. ПММ, 1957, т. XXII, в.1., с. 119-123.
4. Зубчанинов В.Г. Об упругопластической устойчивости слоистых стрежней. Прикладная Механика, 1970, в.6, №2, с.127-129.
5. Yang Y.B., Lin T.J., Len L.I. Thermal effect on the Postbuckling Behavior of an elastic or elasto-plastic truss. Journal of Mechanics, vol.134, №4, 2008, p. 330-338.
6. Amin Heydarpour and Mark Andrew Bradford. Nonlinear Analysis of Composite Beams with Partial Interaction in steel Frame Structures at Elevated Temperature. Journal of Structural Engineering. V. 136, 2010, p. 968-978.
7. Voshoughi A.R., Malekzadeh P., Banan Mo.R. Thermal postbuckling of laminated composite skev plates with temperature-dependent properties. J.Thin Walled structuresv.47.N-7 .2011.p.804-811.
8. Thug P.Vo, Huu-Tai Thai. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory.International Journal of Mechanical Sci-ences.V.62.N1.2012.p.67-76.
ON SPECTRAL PROPERTIES OF BI-DOPED SILICA OXIDE GLASS
SYSTEM.
Shulman I.L., Sadovnikova Y.E.
MIREA - Russian Technological University
Abstract. A new Bi-doped Mg-Al-silicate glass is suggested and investigated. The characteristic relaxation time of 300-800 |is in combination with the high quantum yield and wide excitation spectrum makes this glass a promising laser material. The obtained quadratic dependence of visible absorption intensity is an argument in favor of the hypothesis that the absorption and IR luminescence in Bi doped glasses are caused by Bi2 dimers.
