CC BY
118
ОГНИТИВНЫЕ ОСНОВАНИЯ МА ТЕМА ТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ*
И. П. МЕРКУЛОВ
Вопрос о когнитивных основаниях математических знаний и их эпистемологическом статусе уже свыше двух тысячелетий, начиная с Пифагора, Платона и Аристотеля, остается предметом размышлений многих поколений философов и математиков. Являются ли математические знания лишь репрезентацией каких-то конкретных, эмпирически фиксируемых свойств окружающего мира? Существуют ли в природной действительности у этих знаний особые онтологические корреляты? Или математические знания все-таки имеют прямое отношение исключительно к работе нашего мышления и сознания, а если более точно - к работе нашей когнитивной системы, к информационной активности нашего мозга, который сам по себе является подлежащей эволюции природной, биологической системой, обеспечивающей информационный контроль окружающей среды и наших внутренних когнитивных состояний, а следовательно, и наше выживание? Философы и математики прошлых веков, как известно, по-разному отвечали на эти и аналогичные вопросы, касающиеся когнитивной природы математических формализмов.
Исследование проведено при финансовой поддержке РГНФ, грант № Об-ОЗ-ООООба.
Л X
а
«о X
I
с; С X
=г
и
1
£,; ф
@
й:
Необходимо, однако, учитывать, что вплоть до второй половины XX в. никаких эмпирических данных о работе нашей когнитивной системы, которые были бы получены с помощью объективных экспериментальных методов, просто не существовало. Инструментарий познания высших когнитивных функций человека ограничивался главным образом лишь интроспекцией, наблюдениями за поведением пациентов, использованием метода гипноза и анализом языка. Только интенсивное развитие когнитивной науки (включая исследования в области искусственного интеллекта) и создание высокотехнологичной экспериментальной техники, позволяющей исследовать работу человеческого мозга в реальном времени, заложили эмпирически верифицируемую основу для разработки принципиально новых эпистемологических представлений, касающихся когнитивной природы математики (и логики).
1. Когнитивные типы мышления
Радикальный сдвиг в наших взглядах на работу когнитивной системы человека фактически произошел в 60-70-х гг. XX в. после знаменательного открытия американского нейрофизиолога Р. Сперри и его коллег. Это - открытие функциональной асимметрии полушарий мозга и двух когнитивных типов мышления - пространственно-образного и знаково-ысиволического (логико-вербального)1, получившее убедительное экспериментальное подтверждение (с помощью метода электроэнцефалограммы, а также благодаря применению по-зитронно-эмиссионных, а позднее и магнитно-резонансных томографов). Оно заложило основы принципиально новых, основанных на эмпирических данных теоретических представлений о человеческом С£ мышлении, о его доминирующих стратегиях. Оказалось, что для пра-вополушарного, пространственно-образного мышления доминирую-и щей является холистическая стратегия переработки многопараметри-2« ческой когнитивной информации. Такого рода мышление работает параллельно с несколькими входами аналогично нейрокомпьютеру, состоящему из искусственных нейронных сетей.
<У
3
Ж В результате его работы происходит одновременное выявление
дГ соответствующих контекстуальных, смысловых связей между различными элементами ментальных перцептивных репрезентаций (образов, с; представлений, прототипов) или между целостными образами («геш-тальтами») и продуцирование многозначного контекста (например,
J мозаичной или калейдоскопической картин) с множественными U
X —--
См.: Sperry R.W. Hemispheric Disconnection and Unity in Conscious X Awareness // American Psychologist. 1968. V. 23. P. 723-733. См. также: Kolb В., Whishaw I.Q. Fundamentals of human neuropsychology. San Fran-(►3 cisco, 1990.
!
«размытыми» связями. Конечно, весь спектр смыслов такого контекста не может быть передан с помощью вербальной системы коммуникации.
Знаково-символическое (логико-вербальное) мышление использует преимущественно аналитические стратегии, обеспечивая выявление только некоторых существенных для анализа признаков, жестких причинно-следственных связей. Это мышление последовательно перерабатывает когнитивную информацию (вербальную и невербальную) по мере ее поступления, организуя однозначный контекст, необходимый для успешной вербальной коммуникации. Характерно, однако, что в случае предъявления испытуемым простейших стимулов (например, набора букв или простых геометрических фигур) различия между когнитивными типами мышления, касающиеся стратегий обработки информации, почти полностью нивелируются. Знаково-символическое (логико-вербальное) мышление обнаруживает способность к одновременной обработке относительно несложной многопараметрической информации, а пространственно-образное мышление - некоторые, хотя и довольно примитивные, способности к анализу.
В дальнейшем исследователи выявили другие весьма важные особенности переработки когнитивной информации человеческим мозгом, связанные с межполушарной специализацией, с доминантностью одного из полушарий. Так, например, оказалось, что наше правое полушарие, видимо, либо вообще не имеет прямого доступа к осознанному опыту, либо этот доступ для него крайне ограничен. Есть основания полагать, что в случае доминантного левого полушария оно функционирует в качестве своего рода медиатора и интерпретатора 3-сигналов, поступающих из правого полушария, которое не обладает «С развитыми вербальными способностями. Левое полушарие пытается адаптировать эти сигналы к аналитически дифференцированной вер- О бализованной концептуальной системе личностных оценок, ориента- ф ций, установок, а иногда даже стремится блокировать их и подавлять2. Это полушарие также способно инициировать порождение в кратко- и временной образной памяти модели воображаемого пространства и
X
запускать работу своего рода «дополнительного» пространственно-образного (визуального) мышления. Последнее способно использо- ¡jjj вать только аналитические стратегии переработки когнитивной ин- q_ формации, адаптированные к нуждам манипулирования визуализированными мысленными репрезентациями - символьными изображениями, схемами, графиками и т.д., которые поддаются аналити-ческому разложению на более простые элементы3. ■ х
аг
--и
2 См., например: Gazzaniga M.S. Mind Matters. How Mind and Brain Interact to Create our Conscious Lives. Boston, 1988. v;
См.: Cooper L.A. Spatial Information Processing: Strategies for Research // Aptitude, Learning, and Instruction: Cognitive Process Analyses. Hillsdale, NJ, 1980.
9 Зак. 3080
129
Открытия когнитивных типов мышления, взаимосвязей между работой специфических генов и функционированием когнитивной системы человека, а также другие достижения современной когнитивной науки, нейробиологии и нейрофизиологии дают достаточно веские, экспериментально подтвержденные основания полагать, что человеческое мышление направляется генетически и в силу этого подлежит (как и другие высшие когнитивные способности, включая сознание) биологической (когнитивной) эволюции. Разумеется, все, что мы знаем о мире, поступает к нам через органы чувств. Однако для того чтобы видеть, слышать, распознавать запахи, ощущать на вкус, чувствовать прикосновение и т.д. необходима скоординированная работа миллиардов нервных клеток, передающих срочные сообщения по информационным каналам и контурам обратной связи в наш мозг, который создает и перерабатывает когнитивную информацию. Когнитивная информация не содержится в окружающей среде как некая данность. Ее нельзя отразить, отобразить, как в зеркале, «сфотографировать» и т.п. с помощью органов чувств, а затем преобразовать и обогатить, используя для этого какие-то высшие когнитивные способности (например, «рациональное» мышление). В окружающей среде есть лишь инварианты, инвариантные структуры, их изменения, сигналы, какие-то их корреляции, регулярности, повторяемость сигналов и т.п. Когнитивная информация должна быть создана, порождена когнитивной системой живых существ на основе сигналов, извлекаемых из окружающей среды и их внутренних структур4.
Поэтому мышление - это не процесс копирования, отражения внешних, «онтологически первичных» механических воздействий, сигналов, их корреляций и зависимостей какими-то внеприродными X «психическими конструкциями», а протекающий в нейронных структурах нашего мозга, нашей когнитивной системы процесс переработ-
ез ки информации (манипулирования внутренними мысленными репре-О зентациями) в соответствии с определенными, генетически контролируемыми стратегиями. Мышление обеспечивает информационный С контроль окружающей среды, нашу адаптацию и выживание. Причем у область сознательного управления мыслительными процессами по X своей биологической (генетически контролируемой) природе носит Ф ограниченный характер. Как и другие высшие когнитивные функции, ■О это управление эволюционирует в ходе биологической (когнитивной) и культурной эволюции человеческих популяций.
Эволюция символьного (вербального) сознания" несоизмеримо увеличила эффективность нашего мышления. Но эта эффективность
С _
С —4--
К. Поппер был, безусловно, прав, критикуя традиционную «бадей-
x ф
и
ную» теорию познания. См.: Поппер К. Эволюционная эпистемология // Эволюционная эпистемология и логика социальных наук. (Карл Поппер и 5 его критики). М„ 2000. С. 59-62.
О перцептивном и символьном (вербальном) сознании см.: Меркулов И.П. Сознание как когнитивная способность // Эпистемология и философия науки. 2005. Т. V. № 4.
-
и
была достигнута конечно же не за счет «отключения» управляющих мышлением природных генетических механизмов. Следует также иметь в виду, что эффективность человеческого мышления базируется не только на высокоуровневых мыслительных стратегиях, но и на работе огромного числа тесно интегрированных с ним относительно низкоуровневых когнитивных структур. Эти структуры (ответственные, например, за обнаружение связей между знаками и событиями, за процессы обобщения с помощью прототипов и т.д.) также влияют на мышление, «подпитывая» результатами своей работы верхние этажи мыслительной активности. Наша когнитивная система получила их «в наследство» от догоминидных и гоминидных предков человека.
2. Универсальная природа
математических формализмов
Достижения современной когнитивной науки (вычислительной эпистемологии, когнитивной психологии, когнитивной лингвистики, когнитивной антропологии, исследований в области искусственного интеллекта и т.д.), опирающиеся на открытие присущей человеческому мозгу информационной активности, которая проявляется в реализации его правым и левым полушариями различных генетически направляемых доминирующих стратегий переработки когнитивной информации, позволяют по-новому, хотя и с разных позиций6, взглянуть на когнитивную природу формальных наук - математики и логики. Отталкиваясь от имеющихся экспериментальных данных, можно предположить, что эти науки имеют непосредственное отношение не к каким-то структурам внешнего мира, а только к работе когнитивной системы человека - к внутренним (символьным) мысленным репрезентациям, к структурам управляемого нашим символьным (вер- gj бальным) сознанием знаково-символического (логико-вербального) мышления (функционирующего, естественно, в кооперации с мышлением пространственно-образным), к его способности генерировать идеальные понятия и концептуальные системы, к аналитическим стратегиям этого мышления, которые мы можем конструктивно он- — гимизировать. С учетом этого математику, видимо, вполне оправдан- -jj-но можно рассматривать не как науку о числе, пространстве и т.д., Q. а как науку об идеальных математических структурах, специальных формальных структурах нашего (неречевого) знаково-символического мышления, свойства которых она описывает с помощью аксиоматических теорий. X
В формальные структуры математики могут быть включены такие идеальные (обозначаемые символами и их последовательностями)
В
—I--2
См., например: Dehaene, S., Spelke, Е., Pinel, P., Stanescu, R., Tsivkin, ф S. Sources of Mathematical Thinking: Behavioral and Brain-Imagina Evi-dence.// Scicnce. 1999. № 284. P. 970-974.
концептуальные объекты, как, например, числа, множества, группы, функции, векторы, операторы, матрицы, интегралы и т.д., с которыми мы можем осуществлять формально заданные операции - сложение, умножение, преобразование, композицию, интегрирование и др. Независимо от вида символьной репрезентации концептуальных объектов - будь то теоретико-множественные, алгебраические и прочие символы либо визуально представляемые символьные изображения в виде геометрических фигур, графиков и т.д. - математика конструирует свои формальные структуры только с помощью собственных гипотез и правил преобразования (а также формальных и неформальных логических правил). Разумеется, это не означает, что математическое познание, являющееся продуктом эволюции человеческого зна-ково-символического мышления (и, конечно, символьного сознания), совершенно не использует ресурсы мышления пространственно-образного, правополушарного. В силу межполушарной кооперации и «разделения труда» именно пространственно-образное мышление обеспечивает (кроме всего прочего) наше общее целостное понимание смысла математических (а также и логических) формализмов. Под руководством левого полушария оно также способно манипулировать перцептивными репрезентациями (визуальными образами, представлениями) в воображаемом идеальном математическом пространстве.
Математические теории как формальные системы знаково-символического мышления непосредственно неприложимы к внешней, «внемыслительной» реальности. Сами по себе они ничего о ней не говорят. К этой реальности они имеют опосредованное отноше-ние - через применение к идеальным понятиям и концептуальным системам, создаваемым нашей когнитивной системой, в которых заключены наши эмпирически проверяемые знания, зафиксированы О теоретические допущения и гипотезы эмпирических наук. Математические формализмы позволяют извлечь из идеальных объектов эмпирических дисциплин потенциально содержащуюся в них концептуальную информацию, т.е. новые знания о природных и социальных явлениях. Исследуя функционирование механизмов, технических уст-ф ройств и т.п. с помощью математических моделей, мы .можем вывести (вычислить) ранее неизвестную концептуальную информацию, касающуюся их поведения в различных ситуациях, сделать соответствующие расчеты, позволяющие улучшить их конструкции, их производительность, эффективность, экономичность и т.д. Разумеется, на-
учные и технические знания, полученные благодаря применению математических формализмов, подлежат эмпирическим (эксперименту тальным) проверкам, которые могут их подтвердить или опроверг-2» нуть. Но это не означает, что вместе с этими знаниями подобной эм-С£ пирической проверке подвергаются математические формализмы, 3; обеспечивающие их выведение. В силу своей независимости от эмпирического опыта экспериментальных наук они не могут быть с его помощью доказаны или опровергнуты.
- *
р I №
Математические формализмы (модели) не являются частью физических, химических, биологических и прочих гипотез, они «нейтральны» по отношению к их содержанию и сами по себе не обладают специально-научным эмпирическим смыслом (интерпретацией). Эти формализмы могут быть частью только математических теорий. Но почему мы тогда уверены, что математические формализмы действительно являются «описаниями природы» (например, уравнение Дирака) или «описаниями эволюции общества» (например, нелинейные уравнения)?
Большинство людей в своей повседневной жизни широко используют математические вычисления. Мы подсчитываем число вещей и предметов, вычисляем размер прибыли или убытков, математическую вероятность получения дохода при покупке или продажи акций, сравниваем рыночные цены товаров, составляем бухгалтерские балансы, сметы расходов и т.д. Пересчитывая какое-то множество предметов, мы, однако, далеки от мысли, что число является признаком, внутренне присущим этим предметам. Таким образом, в нашем обыденном познании мы ограничиваемся лишь сугубо инструментальной функцией математических формализмов и не делаем далеко идущих выводов о внутренней «присущности» реальным физическим объектам (вещам) свойств идеальных концептуальных объектов и формальных структур математики.
Однако в развитом научном познании исследователи-теоретики имеют дело не с непосредственно (перцептивно) воспринимаемыми физическими объектами, а с идеальными концептуальными системами (гипотезами, научными теориями, теоретическими моделями и т.д.), адекватность которых структурам физического мира может быть х* проверена только косвенным образом с помощью экспериментов и наблюдений, требующих сложных технических устройств. Поскольку и идеальные концептуальные системы научных знаний, и математические (и логические) формализмы - это «однопорядковые» структуры Ф нашего знаково-символического (логико-вербального) мышления, то в высокоабстрактных областях теоретического естествознания (например, в физике) математические теории (или их фрагменты) могут выступать не только как сугубо инструментальное средство вычисле- £ ний, но и как исключительно мощный когнитивный инструмент по- х рождения новых научных понятий и идеальных концептуальных сис- О. тем конкретных научных дисциплин (или даже нескольких областей одной дисциплины).
Применение математических формализмов в качестве «порождающей грамматики» концептуальной системы конкретной дисцип- ^ лины предполагает приписывание специально-научной интерпретации и (смысла) математическим понятиям и формулам. Так, например, выражение ёх/ск обладает сугубо математическим смыслом и может быть интерпретировано как полная производная некоторой функции ф х. В классической механике этому выражению может быть приписана физическая интерпретация (смысл) - мгновенная скорость изменения
положения в пространстве (обозначаемой х) материальной точки. Аналогичным образом с помощью математических формализмов и их преобразований определяются и другие понятия классической механики, например, «ускорение», «импульс силы», «количество движения тела», «мощность» и т.д. Дифференциальные или операторные уравнения, на языке которых формулируются законы движения в механике, также порождают новые понятия. Так, например, для того чтобы специфицировать понятие волны (как идеальную репрезентацию физического процесса распространения колебаний в среде), мы прибегаем к помощи математической функции, удовлетворяющей некоторому дифференциальному уравнению (волновому).
Таким образом, приписывая математическим понятиям физические интерпретации (смыслы), мы получаем возможность как бы «оседлать» формализм. Подвергая его сугубо математическим преобразованиям, мы можем вывести какие-то новые формулы, которые позволяют нам обнаружить ранее неизвестную концептуальную информацию. Формальная правильность (достоверность) математических преобразований (выводов) лежит в основе нашей когнитивной уверенности в том, что полученные в результате таких преобразований математические понятия (формулы) должны иметь какие-то физические смыслы. Благодаря способности генерировать новые научные понятия и концептуальные системы математические формализмы оказываются важнейшим структурным элементом дедуктивной системы абстрактных научных теорий. Они позволяют выводить следствия из их исходных и дополнительных гипотез, а также вычислять экспериментально проверяемые параметры (величины) Р7. Более того, в силу универсальности математических формализмов как идеальных структур знаково-символического мышления они могут порождать не ГО только понятийные каркасы отдельных научных теорий, но и концептуальные системы целого класса теорий, выступая по отношению к этим теориям в качестве базовых математических моделей. Примером могут служить уравнение теплопроводности, волновое уравнение ^ и уравнение Лапласа, составляющие основу математического аппара-^ та классической физики8. И, наконец, функцию своего рода «синтаксиса», порождающей грамматики математические формализмы вы-
Ч
*
Ф й
полняют по отношению к изолированным научным гипотезам и кон-
г
По словам Л. де Бройля, «теория также должна иметь свои инстру-X менты, для того чтобы получить возможность формулировать свои концепции в строгой форме и строго вывести из предположения, которые можно было бы точно сравнить с результатами эксперимента; но эти инструменты являются, главным образом, инструментами интеллектуально-
го порядка, математическими инструментами, если можно так сказать, которые теория постепенно получила благодаря развитию арифметики.
геометрии, анализа и которые не перестают множиться и совершенствоваться» (Бройль Л. де. По тропам науки. М., 1962. С. 163.)
ь См.: Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Синергетика -новые возможности. М., 1989. С. 4.
кретным теоретическим моделям, а также в прикладных и технических дисциплинах, где широко применяются приближенные методы вычислений.
История физики дает множество примеров, свидетельствующих о том, что формированию каждой ее новой области, возникновению каждой новой физической теории предшествовала разработка соответствующих разделов математики. Без изобретения математического анализа, интегрального и дифференциального исчислений было бы невозможно создание классической механики, без теории вероятности - молекулярно-кинетической теории и вообще классической статистической физики, без векторного анализа - классической электродинамики Максвелла, без тензорного анализа - теории относительности, без теории гильбертовых пространств, матричной алгебры, теории дифференциальных уравнений в частных производных -квантовой механики, без теории групп и обобщенных функций - теории элементарных частиц и т.д. Причем создание новых математических теорий, как правило, обусловливалось проблемами самой математики и происходило совершенно независимо от положения дел в физике.
Возникает, однако, вопрос, какова когнитивная природа универсальности математических (и логических) формализмов? В формальных аксиоматических теориях математики значения исходных терминов с самого начала не определяются, и они остаются неопределенными при выводе теорем из аксиом. Поэтому мы можем довольно произвольно выбирать значения этих исходных терминов при одном только условии, что аксиомы останутся истинными. Но почему мы выбираем именно эти аксиомы, а не другие? Выбор диктуется прежде х всего тем, приложима ли данная система к любым идеальным объектам, заданным извне в качестве интерпретации исходных терминов. Во многих случаях в качестве интерпретации какой-либо системы аксиом берется система концептуальных объектов из какой-нибудь ф
С
другой аксиоматической теории. Тогда вопрос сводится к значению этой другой аксиоматической теории. Но когда мы утверждаем, что и какое-то конкретное предложение данной формальной аксиоматической теории является теоремой и что оно истинно, то это означает лишь, что это предложение может быть выведено из аксиом с помощью соответствующих правил вывода. Однако вопрос, что этому О. предложению (формуле) соответствует в действительности и соответствует ли вообще, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике выводы осуществляются до какого бы то ни было приписывания значений исходным терминам. X Универсальность математики (и ее языка) находит свое проявле- ^ ние в неопределенности исходных терминов и нефиксированности операций. А это порождает многообразие приложений математических формализмов как идеальных структур знаково-символического мышления. Эти структуры обеспечивают развертывание потенциальной концептуальной информации в понятийных системах самых раз-
0
.¡Ш
личных дисциплин. Убедительным примером здесь может служить современная алгебра, в частности, абстрактная теория групп, система аксиом которой допускает существенно различные интерпретации -она обеспечивает извлечение новой когнитивной информации из самых разнообразных концептуальных объектов, будь то античастицы (ядерная физика) или брачные отношения (социология). Такие математические понятия, как «вероятность» или «информация», также универсальны. Так, например, математическое понятие информации совершенно не зависит от формы сигналов в каналах связи, способов их передачи, конкретного содержания сообщений и т.д., оно касается только идеальной формальной структуры, идеального сообщения, уменьшающего или полностью исключающего неопределенность выбора одной из нескольких возможных альтернатив. Но именно поэтому математическое понятие информации может служить формальной структурой, порождающей в различных научных дисциплинах частные понятия о конкретных видах информации - генетической, когнитивной, семантической, цифровой и т.д., которые возникают благодаря приписыванию соответствующих эмпирических интерпретаций.
Таким образом, в силу сугубо идеального характера структур нашего знаково-символического мышления формальные структуры математики (и ее язык) универсальны. Только идеальные объекты могут быть универсальными, в то время как реальные (материальные) объекты всегда индивидуальны. Благодаря универсальности математических структур открываются возможности для глубоких аналогий между различными областями математизированных дисциплин. Так, например, открытие Гамильтоном оптико-механической аналогии, сыгравшей впоследствии важную роль в создании квантовой механики, было инициировано сугубо формальным подобием математического уравнения движения материальной точки в консервативном по-
Q ле и уравнения лучевой оптики.
Ч с
3. Является ли математическое знание
* предположительным?
ф
мм
^ Рудименты знаково-символического мышления у животных перво-
начально проявляются в ритуализации их поведения. Исходная функция какого-либо поведенческого сценария модифицируется, упрощается и, превращаясь в знак, информационный сигнал, становится
Ч *
Ф
й
средством коммуникации смыслов, мыслей, средством передачи на
расстояние необходимой для выживания внутривидовой когнитивной информации. Таким образом, формирование знаково-символического мышления связано с появлением когнитивных структур, обеспечи-
вающих «вторичное», символьное кодирование смыслов перцептивных репрезентаций, знак как строгая последовательность непосредственно воспринимаемых стереотипных перцептивных образов репрезентирует только смысл поведенческого сценария. Изменение этой
выживания гоминид вербальной коммуникации и тесно интегриро-
¡р Р
последовательности или входящих в нее стереотипных действий влечет за собой непонимание животным смысла перцептивно воспринимаемого ритуализированного поведения другой особи в целом.
Ритуализация поведения позволяет животным получать самую разнообразную необходимую для выживания внутривидовую информацию. Так, например, танец пчелы-разведчика, исследовавшей окружающую местность, передает информацию своим сородичам о местоположении медоносного поля, о направлении полета, которого следует придерживаться и т.д. Благодаря своим когнитивным способностям к ультразвуковому сканированию самка летучей мыши может обнаружить сигналы своего заблудившегося детеныша на расстоянии до 500 м. Дельфины общаются между собой на языке свиста, передавая друг другу информацию о движущихся в определенных направлениях косяках рыб, об их размере, виде, и т.д., которая позволяет им успешно организовать коллективную охоту. В свисте дельфинов удалось выявить различные типы звуков, обозначающие, например, «поиск», «знакомство» и т.д. Таким образом, от наличия эффективных символьных средств передачи адаптивно ценной когнитивной информации зависит выживание отдельных особей, видов и групп общественных животных. Поэтому естественный отбор способствовал генетическому наследованию и эволюции также и тех когнитивных структур, которые ответственны за извлечение, понимание и манипулирование когнитивной информации, репрезентируемой в форматах визуальных, звуковых и других символов.
По-видимому, символьная коммуникационная система давала древним гоминидам большие адаптивные преимущества. Не исклю- "« чено, что это было связано с радикальным изменением их образа жизни - переходом от собирательства и охоты на мелкую дичь к охоте на средних, а затем и крупных животных. Успешный охотничий промысел в условиях саванны конечно же требовал координации действий членов сообществ, управления этими действиями. Систематическая охота способствовала развитию высших когнитивных функций, вклю-
и X
О
чая элементы сознательного управления, его распространению на сферу обмена адаптивно ценной информацией, а следовательно, и формированию более развитой коммуникационной системы. Давление естественного отбора, по когнитивным функциям, оказалось направленным на генерацию и эволюционные изменения комплекса О. когнитивных программ, обеспечивающих развитие необходимой для
ванного с речью логико-вербального мышления - специфической, присущей только людям разновидности мышления знаково- ^ символического. Благодаря возникновению и развитию символьного и (вербального) сознания, получившего в управление комплекс высших когнитивных функций, эволюция невербальной репрезентации мысли увенчалась изобретением письменности и математики. ф
По-видимому, некоторые элементарные математические структуры являются врожденными в силу генетической детерминированности
г*
встроенных в нашу когнитивную систему относительно «низкоуровневых» аналитических стратегий знаково-символического мышления, В пользу этого свидетельствуют, в частности, результаты исследований интеллектуальных способностей отдельных видов животных (например, птиц), обладающих зачатками неречевого знаково-символического мышления. Как оказалось, они справляются с задачей подсчитать число предметов (естественно, в весьма ограниченных пределах, как правило, не более десяти). Таким образом, человеческая способность к знаково-символическому мышлению, по меньшей мере частично, является нашим генетическим наследием, полученным от догоминидных предков.
Хотя представления о простейших геометрических фигурах скорее всего возникли в результате генерации соответствующих перцептивных абстракций - прототипов, изобретение символьного обозначения их смыслов открыло путь к аналитической конструктивизации геометрических форм и их превращению в идеальные математические объекты. Благодаря символизации появилась возможность мысленно представить эти объекты в воображаемом идеальном геометрическом пространстве с помощью перцептивно воспринимаемых чертежей, схем и рисунков. Оказалось, что, пользуясь чертежами, в таком пространстве можно построить идеальные геометрические фигуры с наперед заданными математически вычисленными параметрами. Благодаря изобретению математики, открытию математических формализмов в распоряжении людей оказался мощнейший инструмент анализа, позволяющий вычислить и выявить потенциально содержащуюся в концептуальных объектах информацию.
Поскольку математические формализмы обеспечивают выведение новой информации, потенциально содержащейся в концептуальных объектах эмпирических наук, то в силу присущей архаическому, преимущественно образному, мышлению «магии знака» возникает когни-тивная установка (первоначально не осознаваемая), отождествляющая эти формализмы со структурами внешней реальности. Примером мо-
и жет служить «числовая парадигма» древних пифагорейцев, сформулированная в их известном тезисе «Все есть число». Конечно, мы мо-Ф жем «превращать» наши идеальные интеллектуальные инструменты в некое «субстанциональное» знание о внешнем мире только в силу того, что действительно мыслим с их помощью и, что особенно важ-но, мыслим достаточно эффективно. Отождествляя цель и эффективное интеллектуальное средство ее достижения («магия цели»), архаическое мышление распрос граняет эту когнитивную установку и на С математические формализмы, ориентируя на поиск соответствующих 3- коррелятов в структурах внешней реальности9.
и _
X ^
С{ Аналогичным образом дело обстояло и с логическими истинами, ко-
3; торым на протяжении многих веков, начиная с Аристотеля, приписыва-Ф лась онтологическая интерпретация. Постепенная эволюция логико-вербального мышления (в кооперации с мышлением пространственно-об-
История прикладной математики берет свое начало с простейших арифметических вычислений и геометрических построений, отвечавших сакральным и сугубо прозаическим, практическим целям. Изобретение языка символов и формул позволило (по крайней мере, уже древневавилонским математикам) конструировать из простейших математических формализмов все более сложные и абстрактные, не заботясь о том, имеют ли они какое-либо прикладное значение. Развитие устной культуры и искусства аргументации в Древней Греции способствовало формированию теоретической математики, где впервые стали применяться неформальные доказательства (с помощью геометрических построений, использующих линейку и циркуль, доказательства силлогистического типа и др.). Критерии неформальных доказательств эволюционировали на протяжении всей последующей истории математики, оставаясь при этом достаточно неопределенными. Даже интуиционистской математике, вопреки первоначальным планам Л.Э.Я. Брауэра, так и не удалось разработать критерии абсолютного понятия конструктивного доказательства, а лишь его более слабые и более сильные версии. Только по отношению к формальным доказательствам, отвечающим жесткому набору требований, можно говорить о стандартах строгости, не зависящих от времени. Но ведь многие математические теории, в том числе такие «простые», как, например, арифметика натуральных чисел, формально не аксиоматизируемы. По-видимому, любой перечень методов математического доказательства и принципов построения математических объектов всегда остается и должен оставаться неполным, эти методы и принципы подлежат пересмотру и уточнению.
Но можно ли тогда угверждать, что элементы гипотетичности, предположительности обязательно присущи математическим формализмам, или как формальная наука, которая в принципе не подлежит эмпирическим проверкам, математика полностью лишена таких элементов? Ведь математические формулы действительно не могут быть Ф верифицированы или фальсифицированы вместе с допущениями теорий эмпирических наук, к которым они подключены. Или математическое знание все же обладает свойством эмпирической проверяемости, но в особом, отличном от эмпирических дисциплин, смысле? 22
В качестве формальных систем математические теории необяза- х тельно должны быть наглядными или «интуитивно истинными» - на- О. глядность и интуитивная достоверность не являются их критериями
X
истинности. Достаточно лишь, чтобы эти теории были формально
правильными, свободными от внутренних противоречий. В рамках £
формальной аксиоматики система аксиом может быть также исследо- ¡¡¡¡Ц,
--и
разным) создала предпосылки для разрушения атавизмов «магии знака» и ц»
«магии цели» и способствовала формированию все более артикулирован- ^
ных эпистемологических представлений о наших интеллектуальных ин- ф струментах познания. Более подробно об архаическом мышлении см.: Меркулов И.П. Эпистемология. Т. 2. СПб., 2006. Ч. I. Гл. VI.
вана на предмет наличия таких свойств, как независимость какой-либо аксиомы от других, полнота, категоричность и т.д. Традиционным способом проверки формальной правильности математических доказательств является их перепроверка другими математиками, сообщество которых выступает в роли окончательных «верховных» судей. Однако математики - тоже люди, и они могут ошибаться - такие случаи широко известны из истории математических дисциплин. Формализация доказательств позволила автоматизировать вычисления и тем самым создала теоретические предпосылки для конструирования современной вычислительной техники. Эта техника, в свою очередь, открыла новые возможности для проверки правильности математических доказательств и их поиска компьютером Не вдаваясь в тонкости, отметим, что, как показывают исследования по вычислительной эпистемологии, только в случае обозримости используемых программ, а также при наличии формального вывода в некоторой формальной дедуктивной системе степень строгости и эпистемологический статус математических утверждений, доказательство которых проведено с использованием современной вычислительной техники, нисколько не уступает результатам, полученным традиционным способом".
В силу изначально идеального характера нашего знаково-символического мышления (предполагающего «вторичное» кодирование мысли) гипотетичность, по-видимому, остается неустранимым элементом формальных математических структур (так же как и гипотетичность нашего естественного языка и любой культурной информации, включая эмпирически проверяемое научное знание). Ведь иде-3« альное (или внутренняя мысленная репрезентация, создаваемая человеческой когнитивной системой), независимо от того, можно ли его Ю проверить эмпирически, всегда гипотетично. В ходе развития матема-^ тики происходят открытия новых формальных структур, принципов ф построения математических объектов и методов доказательства. Вся история математики (разумеется, наряду с биологическими данными в
^ пользу продолжающейся нейроэволюции) свидетельствует о том, что £
,1 X
эволюция конструктивных способностей человеческого мышления, в том числе и мышления знаково-символического, ничем не ограни-
10 Первые попытки использовать ЭВМ для получения и проверки ло-X гико-математических доказательств были предприняты еще в 50-х гг. XX в. (программа «Логический Теоретик»), К настоящему времени эта область применения ЭВМ значительно расширилась, причем перечень вы-¡jjj, числительных проблем, которые способен решать только компьютер, у постоянно пополняется.
X 1' Более подробно см.: Знатнов С.Ю. Эпистемологический статус ком-
пьютерных теорем. Кандидатская диссертация. М., 2000; Знатнов С.Ю. О программном обеспечении компьютерных доказательств // Логические j^i исследования. Вып. U.M., 2004. С. 138-148.
чена (пожалуй, лишь пределами эволюции человека как биологического вида). Появление современной вычислительной техники, ее бурное развитие за последние десятилетия размывает функциональные границы между искусственным и естественным интеллектом. Фактически в последние десятилетия возникла экспериментальная техника
И
нового типа, позволяющая эмпирически проверить с помощью искусственных интеллектуальных устройств адекватность работы наших естественных когнитивных способностей, в том числе и адекватность формальных математических структур нашего знаково-символи-ческого мышления.
Но тогда оказывается, что эпистемологический статус утверждений формальных наук ничем принципиально не отличается от статуса гипотез наук эмпирических, хотя эти утверждения и относятся исключительно к нашему левополушарному знаково-символическому мышлению, к аналитическим стратегиям этого мышления, которыми мы (в отличие от природных и социальных процессов) можем непосредственно сознательно управлять (пусть даже частично) и которые мы в состоянии конструктивно оптимизировать.
Итак, математические (и логические) формализмы имеют непосредственное, прямое отношение только к нашим внутренним (символьным) мысленным репрезентациям, к нашему левополушарному знаково-символическому (логико-вербальному) мышлению. В отличие от пространственно-образного мышления, мышление знаково-символическое является эволюционно более поздним приобретением. Это мышление базируется на «вторичном», символьном кодировании мысли и уже в силу этого оказывается «идеальным». Прибегая к помощи аналитических стратегий, оно способно оперировать (манипу- х* лировать) внутренними символьными репрезентациями, порождая идеальные понятия и концептуальные системы. Как идеальные и й формальные структуры знаково-символического мышления матема- О тические (и логические) теории применимы к «внемыслительной» реальности только косвенным образом, опосредованно - через применение к нашим эмпирическим знаниям, теоретическим допущени- у
X
Ф
3
х
ям, гипотезам и теориям. Математические (и логические) формализмы позволяют выявить, развернуть огромный массив скрытой, потенциально содержащейся в теоретических объектах эмпирических наук концептуальной информации, они дают возможность вычислить эмпирически проверяемые параметры и величины, получить новые следствия из научных теорий и гипотез и т.д., а в абстрактных, математизированных областях естествознания выступают и как инструмент порождения новых научных понятий и концептуальных систем.
=Г У 1 1 x о
