Коэволюционный подход для решения задач условной многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

шения, однаш еш использование в оптически тонких сре- Библиографический список

дах и при наличии сильных градиентов поля температуры приводит, к существенным ошибкам по распределе- * • Четверушкин, Б. Н. Математическое моделированию поля излучения и радиационным потокам на повер- ние задач динамики излучающего газа / Б. Н. Черверуш-

кин. М.: Наука, 1988.

2. Chai, J. С. Finitc-volumc method for radiation heat transfer, to Appear in Advances in Numerical Heat Transfer / J. C. Chai, S. V Patankar. Editors: Minkowycz and Sparrow, Vol. 2.2000.

3. Файвлэнд, В. А. Решение уравнения радиационного тепло переноса методом дискретных ординат /В. А. Файвлэнд//Аэрокосмическая техника. 1989. №9.

4. Chai, J. С. Angular-multiblock procedure for radiation heat transfer / J. C. Chai, J. P. Moder // Intern. Conf. on Computational Heat and Mass Transfer. Famagusta, Cyprus, 1999.

вдоль линии г = 1 м,у = 0,5 м

Таблица 3

Сравнение сходимости и времени расчета для вариантов без использования угловой многоблочности и с ее использованием

Угловое разбиение Число итераций Общее время счета, с Затраты времени на одну итерацию, с

32 6 6 1

288 6 219 36,5

32 + 288 7 73 10,4

K. Yu. Litvitsev

FEATURES OF THE FINITE - VOLUME METHOD, DISCRETE - ORDINATES METHOD AND PI APPROXIMATION APPLICATION FOR RADIATION HEAT TRANSFER EQUATION

The article presents a comparison of the finite - volume method and PI approximation for radiation heat transfer equation. The expediency of these methods application for various problems are considered.

Keywords: radiation, FVM, DOM, PI approximation.

УДК519.68

Е.С. Семенкин, К. А. Токмин

КОЭВОЛЮЦИОННЫЙ ПОДХОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Предложен коэволюционный подход к решению задач многокритериальной оптимизации с ограничениями на основе метода обобщенного лагранжиана и эволюционных алгоритмов. Проведено исследование эффективности разработанного алгоритма на тестовых и практических задачах.

Ключевые слова: задача многокритериальной условной оптимизации, коэволюционный алгоритм.

Практические задачи оптимизации не всегда могут быть удобных для оптимизации свойств или, по крайней мере,

эффективно решены средствами классической теории оп- информации о таких свойствах и т. д. К тому ж характерной

тимизации [ 1; 2], так как эти задачи обладают свойствами, чертой, объединяющей классические подходы к решению

существенно затрудняющими их решение: дискретными или многокритериальных задач, является то, что в кавдом из них

смешанными переменными, алгоритмически заданными задача многокритериальной оптимизации сводится к одной

целевыми функциями и (или) ограничениями, отсутствием или нескольким задачам однокритериальной оптимизации.

хности исследуемого объекта.

оооооооооо X. М

Ф 1-ый вариант А, 2-ой вариант-^^З-ой вариант

Рис. 7. Распределение падающего теплового потока

Но таким образом теряется суть решаемой задачи, ее отличительная особенность, состоящая в одновременном учете многих критериев.

Алгоритмы, основанные на эволюционном подходе решения задач многокритериальной оптимизации [3], позволяют избавиться от основных недостатков классических методов: они подходят для задач большой размерности, не требуют информации о свойствах входящих в задачу функций и способных сформировать аппроксимацию множества Парето [4] даже при однократном запуске алгоритма. Однако большинство из этих подходов [3] не предусматривает возможности учета ограничений на переменные оптимизации, что затрудняет их применение в практических задачах. Таким образом, возникает необходимость в разработке специализированных эволюционных алгоритмов, способных эффективно решать сложные практические задачи с векторным критерием и ограничениями.

Методы решения задачи с векторным критерием. Многие задачи принятия решений не могут быть сформулированы как задачи выбора единственной наилучшей в каком-либо смысле альтернативы из допустимого множества. В большинстве случаев результатом решения многокритериальной задачи будет несколько эффективных решений, при этом все они будут оптимальными в смысле Парето и ЛПР и для того, чтобы определить наиболее подходящее из них, придется сравнивать значения целевых функций, соответствующих точкам Парето [4]. Однако чтобы сделать окончательный выбор альтернативы, необходимо сначала сформировать (аппроксимировать) исходное множество Парето.

Можно выделить три наиболее часто используемых подхода к формированию множества Парето [4]:

- ранжирование частных критериев по важности и их последовательное применение;

- выделение главного критерия и перевод остальных в ограничения.

- построение обобщенного критерия в форме свертки частных критериев.

В теории оптимизации известен эволюционный подход, широко применяемый при решении сложных практических задач. Используя множество (популяцию) решений и применяя концепцию парето-оптимальности, эволюционные алгоритмы способны получать несколько различных парето-оптимальных решений одновременно. В отличие от большинства классических подходов к многокритериальной оптимизации, когда для нахождения калеюй отдельной точки необходимо производить отдельный запуск алгоритма поиска парето-оптимальных решений, при применении эволюционного подхода возможно получение различных точек множества Парето даже при одном прогоне алгоритма. Данное обстоятельство является очевидным преимуществом эволюционного подхода к решению задач многокритериальной оптимизации перед традиционными методами.

В качестве основы алгоритма решения многокритериальных задач в теории эволюционных алгоритмов используется процедура общего эволюционного алгоритма. При этом отличие всех методов многокритериальной оптимизации генетическими алгоритмами (ГА) состоит в модификации этапов назначения пригодности и селекции. Эти

этапы реализуются различными методами, но таким образом, чтобы направить поиск к парето-оптимальному множеству и решить проблему поддержания разнообразия в популяции для предотвращения прежде временной сходимости и достижения хорошо распределенного (представительного) множества недоминируемых решений [3].

Коэволюционный алгоритм для решения многокритериальных задач условной оптимизации. Рассмотренные в [3] методы решения задач многокритериальной оптимизации позволяют достаточно эффективно находить подходящее решение. Но большинство практических задач оптимизации являются многокритериальными и одновременно содержат ограничения на переменные. В этих случаях обычно рекомендуется приводить задачу к однокритериальной с ограничениями, т. е. переводить критерии в ограничения или к многокритериальной без ограничений, т. е. переводить ограничения в критерии. Как первый, так и второй способы меняют условия исходной задачи.

Преимуществом однокритериального коэволюционно-го алгоритма [5] является его высокая эффективность при решении сложных задач оптимизации [6]. В основе этого алгоритма лежит стандартный генетический алгоритм для однокритериальной безусловной оптимизации. Его особенностью является применение метода обобщенного Лагранжиана в качестве механизма учета ограничений, а в качестве механизма глобальной минимаксной оптимизации выступает эволюционный алгоритм. При этом в точке, являющейся решением, достигается минимум по переменным задачи и максимум по коэффициентам Лагранжа (для задачи минимизации). Если бы оптимальные коэффициенты Лагранжа были известны заранее, то решение задачи условной оптимизации было бы сведено к однократному решению задачи безусловной оптимизации. Однако эти коэффициенты неизвестны и процесс решения задачи условной оптимизации состоит в поочередном решении задачи безусловной минимизации функции Лагранжа по объектным переменным и задачи безусловной максимизации по коэффициентам Лагранжа:

т

ЦХ, А) = ^(Х) + X Я, (X) • X,. -> пип,

,=1 х

т

ЦХ, А) = ^(Х) + (X) • \шах.

/=1

Процесс решения задачи многокритериальной условной оптимизации коэволюционным генетическим алгоритмом состоит в поочередной работе с популяциями решений и множителей Лагранжа. Генетический алгоритм многокритериальной оптимизации сначала работает с популяцией^ объектных переменных, находя таким образом парето-оптимальные решения х*, а затем -с популяцией В коэффициентов Лагранжа, находя коэффициенты Лагранжа X *, которые также являются парето-оптимальными. Для назначения пригодности индивидам генетический алгоритм использует функцию Лагранжа, составленную для соответствующего критерия. Парето-оптимальность получаемых решений обеспечивает один из генетических алгоритмов многокритериальной оптимизации (ГРвА, ЫРСА. 8РЕА [3]), а соответствие системе ограничений - применение метода обобщенного лагранжиана.

Общая схема такого алгоритма выглядит следующим образом:

1. Создается начальная популяция^ объектных переменных.

Создается начальная популяция В коэффициентов Лагранжа.

2. Популяция^ оценивается по всем критериям с использованием функции Лагранжа:

A<->L.(X,JI*) =ffX) + Х/7*-я(Х),где/ = 1,

Популяция В оценивается по всем критериям с использованием функции Лагранжа:

B<+L.(X*,Л) = ffX) + Ш• g(X*), где/ = 1, ...,К.

3. Генерация популяций потомков (сшах запусков): MULTI GA1—> популяция^ (ашах поколений):

оценить^\А<с^Ьр[,Л*) =ffX) + YJI*g(X), где / = 1, MULTI GA2 —> популяция В (йшах поколений): оценить В: B<->L.(X*, Л) =ДХ(*) + UFg(Xt*), где /' = 1,..., К.

Сохранение недоминируемых индивидов.

4. Еслиусловие останова выполнено, то вывести множество недоминируемых индивидов; иначе, нужно перейти на шаг 3.

Таким образом, в результате работы алгоритма мы получаем репрезентативное множество парето-опти-мальных решений, удовлетворяющих системе ограничений.

Исследование эффективности коэволюционного алгоритма на тестовых задачах многокритериальной условной оптимизации. Исследование эффективности алгоритма проводилось на основании качества аппроксимации множества Парето, получающейся при решении задачи недоминируемыми точками.

Для большей наглядности тестовые задачи для коэволюционного алгоритма были выбраны в виде двух- и трехкритериальных задач оптимизации с ограничениями.

Работа алгоритма проверялась с различными сочетаниями параметров, после чего были выбраны наиболее подходящие их значения. Общие параметры алгоритма сведены в таблицу:

Параметры алгоритма CoEvGA

Количество вычислений целевой функции 10 000

Границы поискового пространства \а,Ь\ [0,10 00]

Точность вычислений 8 0,001

Тип скрещивания Одноточечный

Вероятность скрещивания рс 0,8

Результаты решения тестовых задач коэволюционным генетическим алгоритмом многокритериальной оптимизации с соответствующими настройками параметров представлены в виде рисунков, отображающих получившиеся при решении той или иной задачи недоминируемые точки, которые удовлетворяют системе ограничений.

Далее используются следующие обозначения:

П - множество Парето;

- Д - множество допустимых решений;

— П' - множество недоминируемых решений; -П'ПД = П.

1. Двухкритериальная задача с квадратичными функциями и ограничениями. В пространстве решений в виде прямой изображено множество Парето, которое в идеале должно получиться при решении данной задачи, точками обозначены недоминируемые решения, полученные в ходе работы коэволюционного алгоритма, а ограничения представлены в виде дуг окружностей (рис. 1,2).

3 4

Рис. 1. Множество П' в пределах множества Д: П' П Д * 0

2 3 4 5

Рис. 2. Множество П' за пределами множества Д: П' П Д = 0

2. Двухкритериальная задача с критериальными функциями Розенброка и Растригина и ограничениями вида g{xl,x2) = 10 + -10 соз(2хх1 )-х2 < 0. Решением зада-

чи, без учета ограничений, является кривая, соединяющая точки (0,0) и (1,1) (рис. 3). Множество допустимых решений состоит из пяти несвязных областей, которые образованы функцией ограничения. Таким образом, множество Парето состоит из двух точек (0,0) и (1,1).

'lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

-5-4-3-2-101234

Рис. 3. Множество П' в пределах множества Д: П' П Д * 0

3. Двухкритериальная задача с критериальными функциями Розенброка и Растригина и ограничением - функцией Гриванка. Решением задачи, с учетом ограничений, является множество точек, которые на рис. 4 окрашены темно-серым цветом. Множество допустимых ре-

шений состоит из восьми связных областей, которые образованы функцией ограничения.

Рис. 4. Множество ГГ в пределах множества Д: ГГ П Д = 0

4. Трехкритериальная задача с квадратичными функциями и ограничениями. При решении трехкритериальной задачи с критериями - квадратичными функциями, результирующее множество Парето представляет собой уже не прямую, а треугольник в пространстве решений, при этом множество Парето включает все точки этого треугольника: как внутри него, так и на границе (рис. 5,6 и 7).

Рис. 5. Множество П' соприкасается с множеством Д: П' П Д Ф 0

Рис. 6. Множество П' в пределах множества Д: П' П Д Ф 0

Итак, мы видим, что ко эволюционный генетический алгоритм успешно справился с тестовыми задачами многокритериальной оптимизации с ограничениями. Инди-виды-решения достаточно равномерно распределены на множестве Парето, аппроксимируют границу множества и удовлетворяют ограничениям задачи. При этом пространство допустимых решений (после бинаризации переменных, требуемой генетическими алгоритмами) со-

ставляет примерно 0,002 5 % от всего пространства поиска. Тестирование алгоритма на задачах с различными вариациями взаиморасположения допустимого и парето-множеств наглядно демонстрирует его эффективность при решении задач различной сложности.

Рис. 7. Множество П' за пределами множества Д: П' П Д = 0

Наибольшую трудность для коэволюционного алгоритма представляет случай, когда множества Парето и допустимых решений расположены на значительном удалении друг от друга. Тогда представительность полученного множества решений несколько хуже, чем в случае пересечения множеств.

Решение задачи формирования оптимального кредитною портфеля банка коэволюционным алгоритмом. Управление формированием оптимального кредитного портфеля при наличии жестких ограничений по суммам имеющихся в наличии свободных кредитных ресурсов, их стоимости, процентным ставкам на выдаваемые кредиты, срокам привлечения ресурсов, максимальному размеру кредита на одного заемщика - постоянная процедура, которую выполняют специалисты банков. При этом от правильности этих решений зависит финансовая стабильность банка, а значит, и защита интересов его инвесторов. Серьезные проблемы с ликвидностью, испытываемые основной массой коммерческих банков, требуют повышения эффективности процесса управления формированием активных и пассивных операций. Эго в полной мере касается кредитных операций, составляющих до 60 % активов.

Анализ проблемы и постановка задачи подробно описаны в [7]. Исходные данные также взяты из [7].

Ожидаемые проценты от комбинации кредитных заявок будут определяться по формуле

ч')=+М'//к.

/е/

Таким образом, целевая функция задачи максимизации дохода может быть представлена в следующем виде:

Е(х1) -> тах,

а целевая функция задачи минимизации риска в виде

= Xтт

/е/

при следующем ог раничении на объем выдаваемых кредитов:

___ /=1

где / =1,/; «Р— сумма свободных пассивов, которыми располагает банк; к. - сумма кредита, запрашиваемая г-м заемщиком; 11 - период размещения средств; х - бу-

лева переменная, принимающая значения {0,1}; с/ - проценты за пользованием кредитом; Р. - вероятность не-вьшолнения заемщиком обязательств по возврату кредита и процентов.

Анализ эффективности ГА проводился для случая, когда объём кредитных заявок равнялся 20. Здесь мы имеем возможность получить множество допустимых недоминируемых решений с помощью полного перебора всех возможных решений. Размерность множества Парето составляла 0,001 % от всего пространства поиска. Полученные решения сравнивались с решениями из множеств;) Парето.

При применении оптимальных структур множество решений, найденых с помощью коэволюционного генетического алгоритма, содержало от 5 до 10 возможных вариантов. Все решения удовлетворяли ограничениям задачи, но паре-то-оптимальными из них были от 4 до 7 решений. Остальные же не принадлежали множеству Парето, но значения целевых функций незначительно отличались от парето-опгималь-ных и в общем случае могли быть использованы в качестве решения исходной задачи. Кроме того, получающимися при решении задачи точками, достаточно точно могут быть аппроксимированы фронт и множество Парето (рис. 8).

File Start

Summary Visualization |

Рис. 8. Фронт Парето и недоминируемые индивиды

Затем решалась исходная задача формирования кредитного портфеля банка, когда объем кредитных заявок был равен 50. В связи с ростом сложности задачи количество разрешенных вычислений целевой функции было увеличено до 50 000.

Оптимальная структу ра коэволюционного ГА для решения данной задачи совпадает с оптимальной структурой коэволюционного ГА для задачи с 20 заявками.

При применении оптимальных стру ктур множество решений, получаемое с помощью коэволюционного генетического алгоритма (рис. 9), содержало от 10 до 25 возможных вариантов. Индивиды-решения достаточно равномерно покрывают пространство решений и обеспечивают представительность множества Парето. Большинство полученных решений более эффективны, чем представленные в [7].

Таким образом, авторами обоснован и разработан коэволюционный подход к решению сложных практических задач условной многокритериальной оптимизации. Проведен анализ эффективности алгоритма при решении тестовых задач, а также успешно решена реальная практическая задача формирования оптимального кредитного портфеля банка, где коэволюционный алгоритм показал высокую эффективность.

Рис. 9. Не доминируемые индивиды, полученные при решении задачи

Библиографический список

1. Zilinskas, A. System Analysis, Design and Optimization. An Introduction / A. Zilinskas [et at]. Krasnoyarsk, 1993.

2. Моисеев, H. H. Методы оптимизации/Н. H. Моисеев [идр.]. М.: Наука. 1978.

3. Zitzler, Е. Multiobjective evolutionary algorithms: A comparative case study and the strength Pareto approach / E. Zitzler, L. Thiele // IEEE Transactions on Evolutionaiy Computation 1999.

4. Подиновский, В В. Парето-оптимальные решения много-критериальных задач / В. В. Подиновский,

B. Д. Ногин. М.: Наука, 1982.

5. Barbosa, Н. J. С. On genetic algorithms for mini-max problems / H. J. Barbosa // EvCA’96: program and procedeengs. 1996. C. 99-109.

6. Процыков, Г. В. Об эффективности коэволюцион-ного подхода в практических задачах оптимизации / Г. В. Процыков, Е. С. Семенкин, К. А. Токмин//Вестник КГУ Серия «Физико-математические науки». 2005. № 4.

C. 233-239.

7. Пуртиков, В. А. Оптимизация управления формированием кредитного портфеля банка: дис.... канд. техн. наук/В. А. Пуртиков ; Сиб. аэрокосмич. акад. Красноярск, 2001.

E. S. Semenkin K. A. Tokmin

CO-EVOLUTIONARY APPROACH TO CONSTRAINED MULTICRITERIA OPTIMIZATION PROBLEMS

Co-evolutionary approach to constrained multicriteria optimization problems based on augmented Lagrangian and evolutionary algorithms is suggested. The hwestigation on test real problems efficiency ofthe given algorithm is carried out.

Keywords: enstrained multicriteria optimization problems, co-evohitionary algorithm.