CC BY
62
DOI: 10.18721/ JEST.230108 УДК 621
В.Г. Григулецкий, Ю.П. Савельев
КОЭФФИЦИЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ТЕЧЕНИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КОЛЬЦЕВОМ ЗАЗОРЕ ДВУХ СООСНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ
Рассматривается теоретическое описание динамики движения турбулентного потока жидкости в двух соосных цилиндрических трубопроводах с целью определения зависимости сопротивления движению от вязкости жидкости и соотношения размеров трубопроводов. Исследованы зависимости коэффициентов сопротивления от значений числа Рейнольдса при различной шероховатости поверхности труб и от соотношения их диаметров.
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ; КОЛЬЦЕВОЙ ЗАЗОР; ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА; ГЛУБИННЫЕ ШТАНГОВЫЕ НАСОСЫ; КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЮ; ШЕРОХОВАТОСТЬ СТЕНОК.
Ссылка при цитировании:
В.Г. Григулецкий, Ю.П. Савельев. Коэффициенты сопротивления при течении турбулентного потока вязкой жидкости в кольцевом зазоре двух соосных цилиндрических труб // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2017. Т. 23. № 1. С. 82-89. DOI: 10.18721/ JEST.230108
V.G. Griguleckii, Yu.P. Savel'ev
DRAG COEFFICIENTS UNDER TURBULENT FLOW OF A VISCOUS FLUID IN THE ANNULAR GAP OF TWO COAXIAL CYLINDRICAL TUBES
The problem of the theoretical description of the dynamics of turbulent fluid flow in two coaxial cylindrical pipelines is considered with the purpose of determining the dependence of the resistance to movement on its viscosity and the ratio of their magnitudes. The dependences of the drag coefficients on the Reynolds number are theoretically investigated for various roughnesses of the pipe surface and various ratios of their diameters.
TURBULENT MOTION; ANNULAR GAP; REYNOLDS NUMBER; DEEP ROD PUMPS; DRAG COEFFICIENT; WALL ROUGHNESS.
Citation:
V.G. Griguleckii, Yu.P. Savel'ev, Drag coefficients under turbulent flow of a viscous fluid in the annular gap of two coaxial cylindrical tubes, St. Petersburg polytechnic university journal of engineering sciences and technology, 23 (1) (2017) 82-89, DOI: 10.18721/ JEST.230108
Введение
В конструкциях многочисленных технических устройств применяют аксиально установленные цилиндрические трубы, в зазорах между которыми движутся жидкости с различными характеристиками вязкости. От этого параметра зависит характер их движения — ламинарный или турбулентный, что существенно влияет на затрачиваемую энергию, возникающие кавита-
ционные явления и связанные с этим разрушения поверхностей, по которым движется жидкость. В свою очередь их состояние влияет на характеристики ее движения.
Рассматриваемый процесс зависит от соотношения размеров соосных цилиндрических труб. В совокупности с физическими характеристиками описание движущейся жидкости представляет сложную гидротехническую и физико-механическую задачу.
В данной работе рассматривается проблема теоретического расчета уровня сопротивления течению жидкости, когда ее поток становится турбулентным, и условия возникновения такого течения. Ее решение дает возможность определить с учетом свойств жидкости оптимальные геометрические параметры труб.
Конструкции, состоящие из двух соосных цилиндрических труб различных диаметров, имеют широкое применение во многих технических устройствах: теплообменных системах типа «труба в трубе»; трубках Фильда; нефтегазодобывающих скважинах, состоящих из труб разных диаметров и окруженных внешней трубой (обсадная колонна) при наличии кольцевого зазора, по которому могут двигаться различные вязкие среды (от бурового раствора и до нефтегазовой среды, добываемой с различных глубин).
В процессах промывки забоя скважин при бурении, работы погружного лифта, глубинных штанговых насосов и др., как правило, характер течения жидких или газообразных сред в подобных технических системах — турбулентный, с повышенными значениями характерного числа Рейнольдса: при движении в кольцевом зазоре углеводородов (нефть, газ, конденсат) так называемое гидравлические число Рейнольдса
Ри( - ^) > 5-106 -1-107 (й2 > ^ , й —
«еЛ =
модели турбулентности, с введением понятия пути смешения в пристенной и других областях зоны турбулентности.
1. В соответствии с рис. 1 динамическое поле в установившемся и полностью развитом турбулентном потоке между двумя соосными цилиндрическими трубами описывается уравнением изменения импульса в направлении оси симметрии течения
0 йх г дгУ хг)'
(1)
где касательное напряжение трения тхг задается следующими выражениями: в зоне 2
дух
дг
р12
ду
х2
дг У
дух
дг
1-
¡1 зуъ
V дг
(2)
в зоне 1
ду
т хг
Х1
дг
+Р1
дух _Хк
дг
ду
Х1
дг
¡2 дух
1 + 11--^
V дг
(3)
среднемассовая скорость движения).
Потери расхода через кольцевое сечение за-трубного пространства из-за развивающейся с течением времени коррозии стенок зазора и увеличивающейся шероховатости стенок труб весьма высоки.
Турбулентное движение жидкости в кольцевом зазоре
Приведем методику расчета турбулентного течения в кольцевом зазоре, основанную на идеях хорошо исследованной полуэмпирической
По аналогии с гипотезой о пути смешения для турбулентного пристеночного течения в круглой трубе, переходящего в зону с максимумом скорости продольного течения вблизи оси симметрии трубы [1], запишем выражения для без-
размерных величин путей смешения
¡1
и
^ - Я1
2
Я - Я
в следующем виде:
= ¡2 =
Я2 -
////////////////////////////////^///
Зона 2
Зона 1
/У,
7/
' / /
У У У
//////////////////////7//,
Рис. 1. Схема течения в кольцевом зазоре двух соосных цилиндрических труб
2
т
2
2
X
5
т
г
X
1 - e
—Re Г2 1-П - d2 2A+ М 8 1-% + e 2C+s2
(1-n)
0,4
+ 0,24
/ л
1 -n-ns
1
- 0,44
2
1 -n-ns
1 -ns
1-
1
V
- 0,06
1-
1
v
(4)
1 - e
2 A
RS - R1
1 Re fi! u1 П-П1 A+ ^8 U21
= h =
d1 П-П1 2 1-% + e 2C+e1 П1
/ л / л
X 0,4 |1 -ns -n - 0,44 1 - ns -n
1 ns -n1 j V ns -n1 J
+ 0,24
r V
1 ns-П
- 0,06
r \4
%-П
1-
% -П1
(5)
л = , п = ± % = ^ — безразмерные по-
я2 я2 я2
перечные ординаты, указанные на рис. 1.
Согласно (4) и (5) при п = 1 будет 12 = 0, а при
П = П1 — 11 = °
Вместо продольного градиента давления —,
йх
одинакового для зон 1 и 2, из интегрального условия к уравнению (1) для зон 1 и 2 получим: для зоны 2
!!(( -%) = -т^2 =-^Р"22% (6)
для зоны 1
г(
dp2(( -^) = -TW1 R =4-P*R
(7)
где тщ и т — касательные напряжения трения на соответствующих стенках кольцевого зазора. Среднемассовые скорости Щ и «2, введен-йр
ные вместо — , определяются соотношениями йх
для потока массы
% -П1
Здесь обозначено: „ pU2 (d2 - dS)
Re^ =---- — характерное число
* Ц
Рейнольдса, подсчитанное с использованием средней скорости U2 в пространстве течения кольцевого зазора между осью OxS и стенкой
Г =
Tw
= 8—^2 _ коэффициент сопротивления Р«1
на стенке г = R{; йх — среднемассовая скорость в пространстве между осью OxS и стенкой г = Ri; Tw
= 8—^2 — коэффициент сопротивления р«2
на стенке г = R2; U2 — среднемассовая скорость в пространстве между осью OxS и стенкой г = R2; 26
A+ = 26, C+ = — — эмпирические коэффициенты для описания закона турбулентного трения в пристеночной зоне турбулентности;
— и — — относительные шероховатости di d2
соответственно стенок г = Ri и г = R2;
Pu1
Pu2
/ ,2 ,2 ^ R nds nd1
nd2 nd.
= ¡PvXl2nrdr; (8)
R1 1
R2
= \pvx22nrdr. (9)
В дальнейшем для нормировки скоростей и ух будет использоваться среднемассовая скорость «2 в виде
Р (л)=^ и /2 (п)=^-. (10) «2 Щ2
Безразмерное уравнение связи для опре-
«2
деляется через ^ и из условий (6) и (7) в виде
u = ^2 nS -n2 1
u2 1 -n22 n1
(11)
В соответствии с введенными выше обозначениями перепишем уравнение (1) отдельно для зон 2 и 1, разделенных линией постоянных масс % = const:
1
для зоны 2
8 «2
(1 -п,) ( + п,)
1 а
п
П дп для зоны 1
1 - Н (1 -п, )Щ
Щ(12)
8 «2
(1 -п,) (1 + п,)
1 д_ П дп
1 + 5«»«,
72 (п, -п0 ¡1 ^
дК
1 -п, дп
дК к (13)
дп
п,
для зоны 1 )
при п = п1 ^ К (щ ) = 0 — условие прилипания,
при п = п, ^ К'(п, ) = 0
(17)
(18)
и интегральное условие (8) с учетом (11) в виде
2 2 п,-п1 =
'1
(1 -п, )п1 п, ^ 2 \К (п)пйп.
Х2 (п, -п2
(19)
Л1
стоянные интегрирования, а третье (интегральное) позволяет найти соответственно Х или Х2 как собственные значения уравнений (12) и (13).
Координата п, максимума продольной составляющей скорости находится из условия сопряжения решений в зонах 1 и 2 по скорости, то есть
К1 (п, ) = К2 (п,).
(20)
Решение должно быть построено таким образом, чтобы на линии п, автоматически выполнялось условие
йп У
й¥1 й п У
п=п,
= 0.
(21)
где левая часть является безразмерной формой
йр
продольного градиента давления — в соответ-
йх
ствии с (6) и (7).
Граничные условия к уравнениям (12) и (13) формулируются следующим образом:
для зоны 2 (п,
при п = 1 ^ К2 (1) = 0 (14)
— условие прилипания,
при п = п, ^ К'(п,) = 0 (15)
и интегральное условие (9) в виде 1
1 -п, =21 Д (п)пйп; (16)
Первыми интегралами для уравнений (12) и (13) являются: для зоны 2
-^Яе
1
8 « (1 -п,)2(1+ п,)
2 (п2-п, )
= п
1 и (1 -п,
5п
(22)
для зоны 1
—2Яе
1
8 (1 -п,)2(1 + п,)2
2
2 (п2 -п )
= п
1 + 1яе«
2 «2
¡2 (п, -п1) дД 1 1 -п, дп
(23)
дп
где использовано очевидное условие
щ = щ = 0
5п дп
при п = п,'
(24)
Таким образом, для каждого из дифференциальных уравнений второго порядка (12) или (13) существуют три условия — (14)—(16) или (17)—(19), два из которых определяют две по-
Безразмерная ордината п, подлежит определению в ходе решения задачи.
Вблизи стенок г = Я2 иг = Я1 с учетом того,
V у
что = К (п) ^ 0 при г ^ Я1 и^ = К2 (п) ^ 0 й2 й2 при г ^ Я2 (условие прилипания), а также с учетом (12)—(13) и (22)—(23) для второй производной могут быть построены пристеночные разложения продольной составляющей скорости:
для зоны 2при п —^ 1 (п02^пС1) к2 (п) —-—ЯеИ-1-;
8 И (1 -% )2 (1+п,)
4 (+п| )п2-п| п-
1(1 - 3п2)
(25)
для зоны 1 при п — П1 (П1^П^П01)
К (п) —--^Яе
п1
8 И (1 -п,)2(1 +п,)
4(п2 -
1 п2+п! п2 _п| п
п1
(26)
йК2
-2--2 X
йп) Яе^(1 -п,) йп 8
хп2-п! 1 1 п (1 -п, )3 (1 + п, )
для зоны 1 (п01 < п^п,)
= 0;
(27)
2 (1 -п,) й¥х А,
—2. X
йп) Яе^1 (п,-щ)2 йп 8
,п|-п2 1 1
п (1 -п! )(п,-п1 )21
= = 0. (28)
Значения п01 и п02 выбираются таким об-
разом, чтобы не влиять на величины
йп )л=1
и
данным) гидравлическим числом Рейнольдса
„ ри (й2 - ) ЯеИ = —--- соотношением
й
Яе^ =
Яе,
12—2 2\ 1 + м1 п^-п1
1 -п1
(29)
1 -п,
1 -п2 и2 1 -п2
вытекающим из условия постоянства расхода через кольцевое сечение в виде
2 пй^ пй2 ^ + и2 2 2 пй2 пй'2
4 V 4 ) 4 V 4 )
= и
пй^ пй2 1
(30)
Эти разложения позволяют преодолевать особенность в решении уравнений (22) и (23)
дК дК2
как квадратных относительно —1 и —2 при
дп дп
п — п1 ((1 — 0 )ип —1 ((2 — 0):
для зоны 2 (п,< п02)
2
Таким образом, решение исходной задачи — нахождение коэффициентов сопротивления А2, безразмерной поперечной координаты максимума скорости в кольцевом сечении трубы
Я,
п, = и вспомогательного выражения для от-
Я2 _
ношения и1--свелось к необходимости реше-
и2
ния следующей группы уравнений, вытекающих из (16), (19), (11) и (20):
2 п2\«1 = ЯеИ (1 + п1 )(1 -п,) х
/2 2\« (п2 -п2 ))
8 (1 -п, )2 (1 + п,)
(1 -п)+§ (п2 -п2)
п,
2 \ к (п)п й п; (31)
Л1
(|-л1)
2\ = ЯеИ (1 + п1 )(1 -п, )^2.
(1 -п2) ((-п2)
8 (1 -п, )2 (1 + п,)
2} К2 (п)пйп; (32)
п,
—1 I . Функции К2 (п) и К (п) находятся V й п )
в квадратурах при решении (27) и (28) с учетом (25) и (26), при этом характерное число Рейноль-рм2 (й2 - й,)
дса Яе^ =---- связано с исходным (за-
ГттХ
V и2 )
й
^ ((-п2)
^ (1 -п,) пГ К1 (п, ) = К2 (п,).
(33)
1
X
Обычно в практических приложениях вместо локальных коэффициентов сопротивления Х1 и Х2 требуется задать обобщенный коэффициент сопротивления для кольцевого зазора Х, определяемый через Х1 и Х2 соотношением
2пЯ1Тщ1 + 2пЯ2 тщ2 = 2П(Я2 + Я ), (35)
где принято записывать тщ через обобщенный коэффициент сопротивления Х вформеДарси:
Х -2
тщ = 77Ри .
(36)
Согласно (35) получим
г Л
Яе«, п1. ^
й1 й2 у
Х 2 + М1
й2 У
(1+п0
А -Л2
и
(37)
Vй 2 у
где
/ -Л2
и
V"2 У
находится из (30) в виде 1
Г2 1 -п2
X
1 -п, + й- (-п?)
(38)
Некоторые результаты расчетов согласно формулам (31)—(34) и (37) приведены на рис. 2.
Экспериментальная проверка теоретических решений
В качестве примера использован геометрический фактор п1 = 0,76, соответствующий широко распространенной в практике бурения комбинации внутренней (лифтовая) трубы с теплоизоляцией и наружной трубы (эксплуатационная колонна).
Для простоты коэффициенты шероховатости приняты одинаковыми, но их значения варьировались в обширном диапазоне:
0,000К — = — ^0,01. й1 й2
Рассмотрен большой диапазон характерных «гидравлических» чисел Рейнольдса:
4-103 -107.
На рис. 3 даны для сравнения результаты расчетов с соответствующими экспериментальными данными, приведенными в работе [2] для гладких поверхностей концентрических труб: поверхности сопряженных труб в кольцевом
0,10 0,09 0,08 0,07 0,06
0,05 0,04
0,03 0,02
0,01
1103
1104
1105
1106
1107
1108 Ке^
Рис. 2. Коэффициенты сопротивления для кольцевого зазора, образованного двумя соосными цилиндрическими трубами с диаметрами й2 > й1,
при турбулентном режиме течения: = п1 =0,76; — = —
й2 ' й1 й2
(1— - = 0,0004; 2 — - = 0,0008; 3 — - = 0,0012; 4 — - = 0,002; й й й й
5— - = 0,006; 6— - = 0,01; 7— - = 0,0001) й й й
0,02
0,01
1-103
1-104
1-105
1-106
1-107
1.108 Кеь
Рис. 3. Закон сопротивления кольцевого пространства, образованного двумя соосными цилиндрическими трубами d1 = 40,95 мм и d2 = 50,23 мм
П = ^ = 0,815
при турбулентном движении воды; ^ = 22 = 0,0001
й1 й2
(поверхности труб покрыты эпоксидной смолой); 6 — зона экспериментальных результатов из [2]
зазоре были покрыты эпоксидной смолой, что и позволило получить гладкие поверхности с относительной шероховатостью — порядка 0,0001
й
при й1 = 40,95 мм и = 50,23 мм, т.е. при гц = = 0,815. К сожалению, диапазон проведения экспериментов был ограничен областью изменения характерного гидравлического числа Рейнольдса
Ри ( - й1) порядка 104<Ие^5,4 -104. От-
^ =
сутствовала возможность продвинуться в об-
0,015
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 4. Влияние геометрического размера п =
1 ¿2
на величину коэффициента сопротивления X кольцевого зазора
ласть повышенных значений Reh -10 —10 , однако судя по полученному уверенному согласованию результатов расчетов по приведенным выше формулам с результатами экспериментов, возможно, и в этой области результаты экспериментов расположились бы вдоль кривой, приведенной на рис. 3.
На рис. 4 приведены результаты расчетов по оценке влияния геометрического фактора п на величину обобщенного коэффициента сопротивления X кольцевого зазора: здесь использовано число Рейнольдса Reh = 8 -10 для гладких поверхностей в зазоре с — = — = 0,0001 и
й1 й2
0,1^1^0,95. Рис. 4 демонстрирует необходимость
учета геометрического фактора п = — как при
й2
проведении экспериментальных исследований, так и при осуществлении инженерных расчетов.
Основные выводы
Теоретически обоснован и экспериментально подтвержден вывод о существенном влиянии физико-механических свойств поверхностей соосных цилиндрических труб на турбулентный характер движения в них жидкостей.
Разработаны практические рекомендации по соотношению диаметров труб с учетом числа Рейнольдса жидкости.
Определено влияние геометрических размеров труб на величину коэффициента сопротивления кольцевого зазора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Протодьяконов И.О., Сыщиков Ю.В. Турбулентность в процессах химической технологии. Ленинград: Наука, 1983.
2. Минигазимов М.Г. Экспериментальное исследование турбулентного движения жидкости в кольцевом пространстве // Нефтяное хозяйство. 1971. № 4. С. 24-27.
3. Поспелов Л.П. Гидравлика и основы гидропри-
вода. Москва: Недра, 1989.
4. Пустовойт Б.В. Механика движения жидкости в трубах. Москва: Недра, 1971.
5. Рабинович Е.З. Гидравлика. Москва: Недра, 1980, 278 с.
6. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы. Москва: Машиностроение, 1982. 433 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
ГРИГУЛЕЦКИЙ Владимир Георгиевич — доктор технических наук профессор Российского государственного университета нефти и газа (национальный исследовательский университет) имени И.М. Губкина 119991, Москва, Ленинский пр-т., д. 65. E-mail: com@gubkin.ru
САВЕЛЬЕВ Юрий Петрович — доктор технических наук профессор Балтийского государственного технического университета «Военмех» им. Д. Ф. Устинова 190005, Санкт-Петербург, ул. 1-я Красноармейская, д. 1. e-mail: acoms@bstu.spb.ru
REFERENCES
1. Protodyakonov I.O., SyshchikovYu.V. Turbulent-nost v protsessakh khimicheskoy tekhnologii. Leningrad: Nauka, 1983. (rus.)
2. Minigazimov M.G. Eksperimentalnoye issledovani-ye turbulentnogo dvizheniya zhidkosti v koltsevom pros-transtve. Neftyanoye khozyaystvo. 1971. №4. S. 24—27. (rus.)
3. Pospelov L.P. Gidravlika i osnovy gidroprivoda. Moskva: Nedra, 1989. (rus.)
4. Pustovoyt B.V. Mekhanika dvizheniya zhidkosti v trubakh. Moskva: Nedra, 1971. (rus.)
5. Rabinolvich Ye.Z. Gidravlika. Moskva: Nedra, 1980, 278 s. (rus.)
6. Bashta T.M., Rudnev S.S., Nekrasov B.B. Gidravlika, gidromashiny i gidroprivody. Moskva: Mashinostroy-eniye, 1982. 433 s. (rus.)
AUTHORS
GRIGULECKII Vladimir G. — Gubkin Russian State University of Oil and Gas (National Research University) Leninsky prospekt, 65, 119991, Moscow, Russian Federation. E-mail: com@gubkin.ru SAVEL'EV Yuriy P. — Baltic State Technical University "Voenmeh" named after D.F. Ustinov. 1 1st Krasnoarmeyskaya St., St.Petersburg, 190005, Russia. E-mail: acoms@bstu.spb.ru
Дата поступления статьи в редакцию: 10.04.2017.
© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2017
