Коэффициенты электромагнитных связанностей композита «пьезоэлектрик / феррит» с учетом реальной структуры и начальных напряжений Текст научной статьи по специальности «Физика»

2024

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 88

Научная статья УДК 539.3

doi: 10.17223/19988621/88/9

Коэффициенты электромагнитных связанностей композита «пьезоэлектрик / феррит» с учетом реальной структуры и начальных напряжений

Андрей Анатольевич Паньков

Пермский национальный исследовательский университет, Пермь, Россия, [email protected]

Аннотация. Получены новые уточненные аналитические решения для тензоров эффективных пиро-электро-магнито-упругих свойств пьезоактивного композита при наличии начального напряженно-деформированного состояния (как результата начального нагружения) с учетом реального вида двухточечных корреляционных функций нерегулярной квазипериодической случайной структуры. Представлены результаты расчета эффективных коэффициентов электромагнитной и магнитоэлектрической связанностей трансверсально-изотропного однонаправленного волокнистого композита «PZT-4 / феррит» при осесимметричном тензоре начальной деформации композита. Выявлено увеличение абсолютных значений этих эффективных коэффициентов при отрицательных (сжимающих) значениях компонентов тензора начальной деформации композита.

Ключевые слова: композит, эффективные свойства, начальное напряженное состояние, электромагнитоупругость, пьезоэффект, магнитострикция, численное моделирование

Благодарности: Результаты получены при выполнении государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации на выполнение фундаментальных научных исследований (проект № FSNM-2023-0006).

Для цитирования: Паньков А.А. Коэффициенты электромагнитных связанностей композита «пьезоэлектрик / феррит» с учетом реальной структуры и начальных напряжений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 88. С. 111-123. doi: 10.17223/19988621/88/9

Original article

Electromagnetic coupling coefficients of "piezoelectric / ferrite" composite accounting for the real structure and initial stresses

Andrey A. Pan'kov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, [email protected]

Abstract. New improved analytical solutions are obtained for tensors of effective pyro-electro-magneto-elastic properties of a piezoactive composite at initial stress-strain state

© А.А. Паньков, 2024

(resulting from initial loading) that account for real two-point correlation functions of an irregular quasi-periodic random structure. The calculations of effective coefficients of electromagnetic and magnetoelectric coupling of the transversal isotropic unidirectional fibrous composite "PZT-4/ferrite" with an axisymmetric tensor of initial strain of the composite are presented. An increase in the absolute values of the effective coefficients is observed at negative (compressive) values of the initial strain tensor components of the composite. Keywords: composite, effective properties, initial stress state, electromagnetic elasticity, piezoeffect, magnetostriction, numerical modeling

Acknowledgments: The results of this study were obtained within the framework of the state assignment of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (project No. FSNM-2023-0006).

For citation: Pan'kov, A.A. (2024) Electromagnetic coupling coefficients of "piezoelectric / ferrite" composite accounting for the real structure and initial stresses. Vestnik Tom-skogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal ofMathematics and Mechanics. 88. pp. 111-123. doi: 10.17223/19988621/88/9

Введение

Изучение закономерностей и эффектов влияния начального напряженного состояния элементов структуры материала на особенности его последующего нагружения - одна из современных задач механики композитов [1-7]. Для решения этой задачи успешно апробирован «линеаризованный подход» с использованием линеаризованных уравнений теории упругости [1-4] и магнитоэлектроупругости [5-7]. При этом актуальным остается нахождение уточненных решений связанных краевых задач механики пьезоактивных композитов с комплексным учетом статистического характера взаимного расположения элементов структуры, взаимодействия связанных электрических, магнитных и деформационных полей [8-11] и наличием начального напряженного состояния = (о0,D0,В0} в виде начальных напряжений о0, электрической Б0 и магнитной В0 индукций.

Постановка задачи

Рассмотрим представительную область V композита с нерегулярной «квазипериодической» структурой (рис. 1) при наличии в ней начального равновесного электромагнитоупругого состояния и выполнении известных [5-8] физических соотношений

ст.. = С е - е .Е - И И -В..©,

] утп тп пгу п пгу п г у ? ^ 1Л

Б = е. е +Х. Е +%.©, В = И е +ц. И +9 ©

1 1тп тп 1п п 1 1 1тп тп 1п п 1

для элементов структуры, свойства которых характеризуются совокупностью тензорных величин А у = (С,е/, , , , Р/,к/, } для каждой из фаз, f = 1, 2. При этом на «макроуровне» композита имеем

< >= C]mn < ^m„ > „j < Е„ > < Hn > ©>

< D, >= е' < ет„ > +'К„ < Е„ > +%„ < H„ > ©, (2)

D)im„

< Bi >= h'(B)im„ < Ът„ > +Ц*„ < H„ > +к„ < Е„ > +Q*©

для макроскопических величин тензоров напряжений < о >, деформаций < £ >, векторов индукций и напряженностей электрического < Б >, < Е > и магнитного < В >, < Н > полей с использованием совокупности эффективных характеристик А * = {С*,..., к *, х *,}, где к*, х* - искомые тензоры электромагнитной и

магнитоэлектрической связанностей композита:

Кп К12 0 Х11 %12 0

«К, II * -К12 1 К11 0 , ll^i'll i Xl2 i X11 0

0 0 1 К33 0 0 %33

(3)

При этом в отсутствие начального напряженного состояния выполняется равенство х*, = к«. Здесь © - приращение температуры при однородном нагреве, опе-

ратор <... >= 1/VJ ...dr.

О©

о о

1 »

О

Рис. 1. Квазипериодическая монодисперсная случайная структура Fig. 1. Quasi-periodic monodisperse random structure

При электромеханическом нагружении композита в области V возникают дополнительные поля (1) напряжений о и индукций D, B, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и непрерывности [1-7]

+ 'k),j = О, (D + Dtuuk) . = 0 , (B. + B0UjЛ),. = 0

(4)

с учетом поправок (дополнительных слагаемых), обусловленных наличием заданных начальных полей о0, Б0, В0 и искомого поля перемещений ^ Первое уравнение в (4) может быть преобразовано к виду ст^. . + ст0 и,^ = 0 с учетом выполнения уравнений равновесия ст0 . = 0 .

Метод корреляционных составляющих Корреляционный анализ структур

Рассматриваем статистически однородную случайную двухфазную монодисперсную структуру типа «включения / матрица» с квазипериодическим (КП) взаимным расположением включений в виде однонаправленных волокон (см. рис. 1) в представительной области V композита, которую описываем индикаторной случайной функцией \ (г) включений (1-й фазы), равной значениям 1 и 0 соответственно с вероятностями V, 1 - V в любой точке г е V . Величина V =< К > -одноточечный статистический момент в произвольной точке г е V , который равен значению относительного объемного содержания включений V в композите.

Особенности случайного взаимного расположения включений (волокон) в области V описываем нормированной корреляционной (двухточечной) функцией К\ (Р) =< ^(ГКСГ) > /А1 с учетом статистической однородности, где дисперсия Оп =< /2 >= V (1 - V), поле пульсаций / (г) = / (г) - V , вектор разности р = г - г, расстояние р = |р| между точками г,г с V, = v1/vlшax - вероятность появления волокна в типичной ячейке КП-структуры (см. рис. 1). Предельно допустимое значение у1шах и 0.717 имеем для рассматриваемого случая значения 8 / Я = 0.25 минимальной прослойки 5 между волокнами, где R - радиус поперечного сечения волокон.

В качестве начального приближения метода корреляционных составляющих [8] используем решение для полидисперсной матричной КП-структуры (рис. 2, а), коррелированной с заданной монодисперсной КП-структурой (см. рис. 1). Полидисперсная КП-структура (см. рис. 2, а) состоит из однотипных составных ячеек (как и традиционная «некоррелированная» полидисперсная структура [9]), и решение задачи эффективного модуля для этой структуры совпадает с известным решением на одиночной составной ячейке. В корреляционном приближении решение задачи эффективного модуля выражается через специальную нормированную корреляционную функцию включений

^11(р)=<,;(г),1(г1)>/Д1, (5)

где / (г) - пульсации индикаторной КП-функции / (г) матричной монодисперсной структуры (см. рис. 1), а (г) = / (г)-/'(г) - отклонения ее значений от индикаторной функции / ¡'(г) матричной полидисперсной КП-структуры (см. рис. 2, а), Ц[ = V (1 - V) - дисперсия при одинаковых значениях объемной доли включений V для различных структур (см. рис. 1, 2).

О

°сШ г^? и!

........°Во

b

Рис. 2. Вспомогательные полидисперсные «матричная» (а) и «кластерная» (b) случайные структуры Fig. 2. Subsidiary polydisperse (a) "matrix" and (b) "cluster" random structures

На рис. 3, a даны графики действительной корреляционной функции kt, (р) (5) и ее аппроксимаций

^п' (р) = (1 ~ А (Р)-

(6)

а-1(12)(р) = Мп(Р)+(1-а-АЖ1(Р)

для двух последовательных приближений при значении 8 = 0.25R минимальной толщины гарантированной прослойки матрицы между соседними волокнами

а

(с радиусом поперечного сечения R) монодисперсной КП-структуры (см. рис. 1), где индексы «I» и «II» указывают на принадлежность к полидисперсным структурам (см. рис. 2, а, b) соответственно. Здесь p =< iji'' > /Du - коэффициент корреляции двух структур (см. рис. 1, 2, а), который рассчитывается через корреляционный < ii >= vu - Vj и см точечные моменты по формуле

^ -I' 2 " " ■ -I

ляционныи </j/j >=vu—vj" и смешанный начальный , =< / >= р v, m_|v одно-

(7)

Vi(1 - Vj) 1 - v

а

b

Рис. 3. Реальная корреляционная функция кп (•) с аппроксимациями кЦ1 (□), к[[] (о) (а), начальный p (□), поправочный p (А) с линейной аппроксимацией (+) и результирующий рч (о) коэффициенты корреляции (Ь) Fig. 3. (a) Real correlation function кп (•) witli approximations A-/}1 (□), k^' (o) and the (b) initial p (□), correction p (А) with linear approximation (+), and resulting p (o) correlation

coefficients

Значение поправки рд в разложении (6) определяется из условия наилучшего

приближения аппроксимации кц (р) к действительному виду корреляционной функции к11(р) (5). На рис. 3,б даны графики зависимостей коэффициента корреляции р1, поправки рд и результирующего коэффициента корреляции

Л = Р1 + Рд (8)

от относительного объемного содержания включений v-í в композите. Для рассматриваемых структур (рис. 1, рис. 2) выявлена практически близкая к линейной зависимость величины поправки рд и 1 - V от значений v-í , т.е. имеем приближенное равенство

р V - V,

Р. и 1 - V + р = 1 - V + р° 1тах—1

1 - V1

с учетом формулы (7). На рис. 3,б для сравнения приведен график ранее используемого коэффициента корреляции ^ех как функции от v1, найденного при

мысленном «наложении» КП-структуры (рис. 1) на идеальную периодическую структуру с гексагональной укладкой волокон. Выявлено, что значения результирующего коэффициента корреляции р. значительно превышают соответствующие значения рех при фиксированной величине объемной доли V].

Эффективные свойства композита

Искомые эффективные характеристики А* = {С*,..., к*, х*,} (2), (3) композита (см. рис. 1) в корреляционном приближении [10, 11] допускают представление в виде:

А* =< А >+Ж{кп }, (9)

где поправки к осредненным значениям < А > рассчитываются через интегро-дифференциальные операторы Ж = {Жс,...,Жк} [7, 8]. В частности, для первого и второго приближений имеем

= = а-р.жО+рЖ,} (Ю)

с учетом вида функций к^ (р), кЦ' (р) (6) и результирующего коэффициента корреляции рч (8). Аналогичные решения А1*, А11* вида (9) имеем для вспомогательных полидисперсных структур (см. рис. 2):

А1* =< А >+Ж{к\}, А11* =< А > +Ж{к11[}, (11)

при этом ранее установлено [8], что искомые А* и вспомогательные А1* тензоры связаны соотношением

Щкп} = А*-<А>-Л(А'*-<А>). (12)

Из формул (10) с учетом (11) следуют равенства

} = (1 ~ Л)(А11* - < А >), } = (1 -р.)(А11*- < А >) + рА(А1*- < А >)

для первого и второго приближений соответственно. В результате, приравняв правые части равенств (12) и (13) в первом и втором приближениях, приходим к искомым решениям для эффективных характеристик А* = {С*,...,к*,х*,} композита (см. рис. 1) в виде формул

А(1)* = Р, А1* + (1 - р,)АП*,

А(2)* = р А1* + (1 - р )АП*, ( )

где А1*, А11* - эффективные характеристики вспомогательных полидисперсных структур (см. рис. 2) - частные случаи обобщенного сингулярного приближения [7] с учетом начального (электрического, магнитного, упругого) напряженного состояния. Точность полученных решений А* (14) подтверждена ранее для случая отсутствия начального напряженного состояния в сравнении с известными точными решениями [8].

Численные результаты

Графики зависимостей «начальных», т.е. при = 0, значений компонентов тензора к(0)* электромагнитной связанности композита «Р2Т-4 / феррит» с различными структурами (см. рис. 1, 2) от объемной доли ферритовых волокон V при относительной толщине прослойки 8 / Я = 0.25 с учетом равенства

(0)* (0)* л

к(/ = Ху представлены на рис. 4.

На рис. 5-9 приведены графики зависимостей относительных значений эффективных коэффициентов электромагнитной к*1 1233 и магнитоэлектрической

* " " 0* 0* гч 0* гч

Х111233 связанностей от значений компонент еп =е°2 ф 0 или е3* ф 0 осесиммет-ричного тензора начальной макродеформации г0* при Е0* = 0 , Н0* = 0 при объемной доле V = 0.2 . Выполняются равенства к^ = к*2, Хп = Х*2 , к*2 = -к^ ,

х*2 = Х21, к3з =х3з, пРи этом имеем к*2/ к02* = к21/ к2*, х*2/ х02* = х21/ х21

с учетом вида (3).

На рис. 4-9 графики решений для КП-структуры (см. рис. 1) приведены в сравнении с решениями для полидисперсных (I, II) структур (см. рис. 2). Выявлены линейные зависимости относительных значений всех ненулевых компонен-

* * у.» 0* 0* V

тов тензоров к , х от значений еП22, е3* осесимметричного тензора начальной

макродеформации г0 композита (см. рис. 5-9). Выявлено, что для рассматриваемого электромагнитоупругого трансверсально-изотропного композита «пьезо-электрик / феррит» тензоры электромагнитной связанности к* , х* по-прежнему

имеют однотипный вид (3), х*з = к*3, но х* ф к*,. для различных случаев осесимметричного (по оси г) начального деформированного состояния: = ф 0 или е°* ф 0 композита.

b

а

c

Рис. 4. Начальные ( Ç0 = 0 ) эффективные коэффициенты k<0'* = Хп'* (а), к®* = —к®* = x<0'* = -Xi<0)* (b), k®* = xT (c) композита в зависимости от объемной доли ^ ферритовых волокон в первом (□) и втором (о) приближениях,

для «матричной» (◊) и «кластерной» (А) полидисперсных структур Fig. 4. Initial ( Ç0 = 0 ) effective coefficients of the composite (a) k<0'* = x<0'*,

(b) KJ0'* = —k(0'* = x20'* = —x20'*, and (c) k20'* = x20'* depending on the volume fraction of ferrite fibers ^ in the first (□) and second (о) approximations for the "matrix" (◊) and "cluster" (А) polydisperse structures

Рис. 5. Эффективные коэффициенты к* (а), xû (b) композита в зависимости от начальной макродеформации е^ ( е°* = О ) в первом (□) и втором (о) приближениях,

для «матричной» (◊) и «кластерной» (А) полидисперсных структур, без учета начального напряженного состояния (—) Fig. 5. Effective coefficients (a) kÛ and (b) xû of the composite depending on the initial macrostrain еОО^ ( е0* = 0 ) in the first (□) and second (о) approximations for the "matrix" (◊) and "cluster" (А) polydisperse structures leaving out of account the initial stress state (—)

Рис. 6. Эффективные коэффициенты к* (а), Хп (b) композита в зависимости от начальной макродеформации 80* (80*22 = 0 ) в первом (□) и втором (о) приближениях,

для «матричной» (◊) и «кластерной» (А) полидисперсных структур, без учета начального

напряженного состояния (—) Fig. 6. Effective coefficients (a) к^ and (b) Хп of the composite depending on the initial macrostrain 8°* (80*и = 0 ) in the first (□) and second (о) approximations for the "matrix" (◊) and "cluster" (А) polydisperse structures leaving out of account the initial stress state (—)

Рис. 7. Эффективные коэффициенты к*2 (а), %'и (b) композита в зависимости от начальной макродеформации 80* 22 (80* = 0) в первом (□) и втором (о) приближениях,

для «матричной» (◊) и «кластерной» (А) полидисперсных структур, без учета начального

напряженного состояния (—) Fig. 7. Effective coefficients (a) к*2 and (b) %'u of the composite depending on the initial macrostrain 80* 22 (s0* = 0 ) in the first (□) and second (о) approximations for the "matrix" (◊) and "cluster" (А) polydisperse structures leaving out of account the initial stress state (—)

Рис. 8. Эффективные коэффициенты к*2 (а), %и (b) композита в зависимости от начальной макродеформации 80* (sj^ = 0 ) в первом (□) и втором (о) приближениях,

для «матричной» (◊) и «кластерной» (А) полидисперсных структур, без учета начального

напряженного состояния (—) Fig. 8. Effective coefficients (a) к*2 and (b) %'u of the composite depending on the initial macrostrain 80* (80*22 = 0 ) in the first (□) and second (о) approximations for the "matrix" (◊) and "cluster" (А) polydisperse structures leaving out of account the initial stress state (—)

Рис. 9. Эффективный коэффициент к*3 = x*3 композита в зависимости от начальной макродеформации 80*22 (е°* = 0) (а), е°* (80* 22 = 0 ) (b) для случая Vj = 0.2 в первом (□)

и втором (о) приближениях, для «матричной» (◊) и «кластерной» (А) полидисперсных

структур, без учета начального напряженного состояния (—) Fig. 9. Effective composite coefficient к*3 = x*3 of the composite depending on the initial

macrostrain (a) е"*22 (е"* = 0) and (b) 80* (80*22 = 0 ) at Vj = 0.2 in the first (□) and second (о)

approximations for the "matrix" (◊) and "cluster" (А) polydisperse structures leaving out of account the initial stress state (—)

Заключение

Представлены результаты расчета независимых компонент тензоров эффектив-

w * w * w

ных электромагнитной к и магнитоэлектрической х связанностей трансвер-сально-изотропного однонаправлено-волокнистого композита «PZT-4 / феррит» при осесимметричном тензоре начальной макродеформации £0* композита, когда

компоненты е0* = е"* Ф 0 и / или е33 Ф 0. Выявлено, что при осесимметричном

\у -I 0* * *

тензоре начальной макродеформации £ композита тензоры к , х по-прежнему имеют однотипный вид (3), x*3 = к*3, но х* Ф к*т для рассмотренных случаев: 80* =80* Ф 0 и / или е0* Ф 0 осесимметричного по оси r3 начального напряженно-деформированного состояния композита. Для всех ненулевых значений компонент тензоров к*, х* выявлены (см. рис. 5-9) линейность и монотонно убывающий характер зависимостей относительных величин к / к , x / X от значений начальных осевых макродеформаций 80* 22 и / или е0* композита с учетом равенств к* / к0* = X* / X0* = 1 при £0* = 0. Выявлено увеличение абсолютных значений компонентов тензоров к*, х* рассматриваемых структур (см. рис. 1, 2)

0* 0* 0*

композитов при отрицательных значениях компонентов еп , е°2, е33 осесиммет-ричного тензора начальной макродеформации £0* композита, при этом наиболее

существенное влияние имеем, в частности, для компоненты x*i (см. рис. 5, b, 6, b). В случае комбинированного начального макродеформирования композита, когда одновременно имеем s0j*22 Ф 0 , s0* ф 0 , результирующие значения относительных величин к* / к0*, х* / X0* находим суммированием соответствующих «коэффициентов влияния» к* /к0*, х* /X0* от каждой из компонент е°*22, s°* осесим-метричного тензора начальной макродеформации £0* композита.

Список источников

1. Baсидзу К Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. : Мир, 1987.

542 с.

2. Akbarov S.D. Dynamics of pre-strained bi-material elastic systems: Linearized three-

dimensional approach. Springer, 2016. 1004 p.

3. Kolpakov A.G. Effect of influation of initial stresses on the homogenized characteristics of

composite // Mechanics of materials. 2005. V. 37 (8). P. 840-854. doi: 10.1016/j.mechmat. 2004.08.002

4. Yesil U.B. Forced and natural vibrations of an orthotopic pre-stressed rectangular plate with

neighboring two cylindrical cavities // Computers, Materials & Continua. 2017. V. 53 (1). P. 1-22. doi: 10.3970/cmc.2017.053.001

5. Guo X., Wei P. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric / piezo-

magnetic phononic crystal with initial stresses // Ultrasonics. 2016. V. 66. P. 72-85. doi: 10.1016/j.ultras.2016.04.025

6. Dasdemir A. Forced vibrations of pre-stressed sandwich plate-strip with elastic layers and

piezoelectric core // International Applied Mechanics. 2018. V. 54(4). P. 480-493. doi: 10.1007/s10778-018-0901-3

7. Pan 'kov A.A. Effect of initial stress state on effective properties of piezocomposite // Mechanics

of Composite Materials. 2022. V. 58 (5). P. 733-746. doi: 10.1007/s11029-022-10063-w

8. Pan'kovA.A. Pyroelectromagnetic effects of a piezocomposite in the binary refinement of the

method of quasi-periodic polydisperse correlation components // Mechanics of Composite Materials. 2016. V. 52 (4). P. 535-544. doi: 10.1007/s11029-016-9604-1

9. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М. : Мир, 1982. 334 с.

10. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. М. : Наука, 1984. 115 с.

11. Шеpмеpгоp Т.Д. Теоpия упpугости ми^о^одн^днЕМ сpед. М. : Наука, 1976. 399 с.

References

1. Washizu К. (1982) Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Oxford: Pergamon

Press.

2. Akbarov S.D. (2016) Dynamics of Pre-trainedBi-Material Elastic Systems: Linearized Three-

DimensionalApproach. Springer.

3. Kolpakov A.G. (2005) Effect of influation of initial stresses on the homogenized characteristics

of composite. Mechanics of Materials. 37(8). pp. 840-854. doi: 10.1016/j.mechmat.2004.08.002

4. Yesil U.B. (2017) Forced and natural vibrations of an orthotopic pre-stressed rectangular

plate with neighboring two cylindrical cavities. Computers, Materials & Continua. 53(1). pp. 1-22. doi: 10.3970/cmc.2017.053.001

5. Guo X., Wei P. (2016) Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric /

piezomagnetic phononic crystal with initial stresses. Ultrasonics. 66. pp. 72-85. doi: 10.1016/j.ultras.2016.04.025

6. Dasdemir A. (2018) Forced vibrations of pre-stressed sandwich plate-strip with elastic layers

and piezoelectric core. International Applied Mechanics. 54(4). pp. 480-493. doi: 10.1007/ s10778-018-0901-3

7. Pan'kov A.A. (2022) Effect of initial stress state on effective properties of piezocomposite.

Mechanics of Composite Materials. 58(5). pp. 733-746. doi: 10.1007/s11029-022-10063-w

8. Pan'kov A.A. (2016) Pyroelectromagnetic effects of a piezocomposite in the binary refine-

ment of the method of quasi-periodic polydisperse correlation components. Mechanics of Composite Materials. 52(4). pp. 535-544. doi: 10.1007/s11029-016-9604-1

9. Kristensen R. (1982) Vvedenie v mekhaniku kompozitov [Introduction to mechanics of compo-

site materials]. Moscow: Mir.

10. Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. (1984) Mekhanika deformirovaniya i razrusheniya strukturno neodnorodnykh tel [Mechanics of deformation and destruction of structurally heterogeneous bodies]. Moscow: Nauka.

11. Shermergor T.D. (1976) Teoriya uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of microheterogeneous media]. Moscow: Nauka.

Сведения об авторе:

Паньков Андрей Анатольевич - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета, Пермь, Россия. E-mail: [email protected]

Information about the author:

Pan'kov Andrey A. (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 22.02.2023; принята к публикации 10.04.2024

The article was submitted 22.02.2023; accepted for publication 10.04.2024