CC BY
8Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/17-64 Ссылка для цитирования этой статьи:
Сопенко А.А., Тебякин А.Д. Коэффициент демпфирования и достоверность решения задачи о сложных колебаниях пологой оболочки // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. №1_
УДК 539.3; 541.1
КОЭФФИЦИЕНТ ДЕМПФИРОВАНИЯ И ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ
Сопенко А.А.1 , Тебякин А.Д.2
1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, saasar@mail.ru
2 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, alexei.tebyackin@ya.ru
DAMP COEFFICIENT AND RELIABILITY OF SOLUTION OF
COMPLEX OSCILLATIONS PROBLEM FOR SHALLOW SHELL
Sopenko A.A.1, Tebyakin A.D.2
1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,
Russia, Saratov, saasar@mail.ru
2 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,
Russia, Saratov, alexei.tebyackin@ya.ru
Аннотация. Рассматривается влияние коэффициента демпфирования на решение задачи о сложных колебаниях пологой оболочки.
Ключевые слова: коэффициент демпфирования, сложные колебания, хаотические колебания.
Abstract. The paper deals with problem of complex oscillations of shallow shell and influence of damp coefficient to the solution of this problem.
Keywords: damp coefficient, complex oscillations, chaotic oscillations.
Рассматривается задача о колебаниях пологой оболочки под действием равномерно распределённой по плану нагрузки, меняющейся во времени по закону q = q0 sin ct. Система уравнений, полученная для геометрически нелинейной пологой прямоугольной в плане оболочки в рамках модели Кирхгофа-Лява в смешанной форме [1] приводится ниже
1
V4w - L(w, F) - V2F - q + k(W + sw) = 0
12(1 -v2) v ' ' k
V4 Ё + У2 м +1Ь{М>, м>) — 0.
Здесь F - функция усилий, w - прогиб в направлении, перпендикулярном срединной поверхности, Е и у - модуль Юнга и коэффициент Пуассона, р -плотность, е - коэффициент демпфирования.
При этом безразмерные переменные для (1) вводились следующим образом
Хц —
а
Хп
Х2 =
ь
Х3
Хо —
3 н
— М М — —,
н
Ё — Ё
ЕН
3
Я —
а
ь
г —
г ■ а
Н2
(2)
Ч — Ч
2и2
а Ь —
2
ЕН"
ь — ь —, 1 1 н
Г * ь 2 к 2 — к2 — Н
н
е— а
Здесь чёрточки, опущенные в (1) для удобства, стоят над безразмерными переменными. къ к2 - безразмерные параметры кривизны, а - коэффициент температуропроводности, а, Ь, Н - размеры оболочки вдоль осей х1, х2, х3 соответственно. Остальные обозначения, в том числе для известных дифференциальных операторов, приводятся в [1].
По контуру оболочка шарнирно опёрта на гибкие, нерастяжимые в касательной плоскости рёбра; для края х1 — 0;1 граничные условия имеют вид
м — — — 0, е22 — 0, —22--12 — 0. (3)
у 22 ^ л л V /
ОХ1 ОХ1 ОХ2
В начальный момент оболочка находится в покое.
При численных расчётах рассматривалась оболочка с размерами
а
а — Ь, — —100, безразмерными параметрами кривизны к1 — к2 — 24 и Н
физическими параметрами, соответствующими алюминиево-марганцеву сплаву АМц. Собственная частота колебаний конструкции, согласно численным расчётам, оказалась равной со0 — 30.125.
Алгоритм численного решения (1) изложен в [1]. В той же работе приведены формы колебаний оболочки при воздействии на неё нагрузки с частотой с — 32. При этом значение безразмерного коэффициента демпфирования е определить или рассчитать значительно сложнее, по старой традиции он, как и во многих других работах, например, в [2], [3], принимался равным 1.
Известно, что при помощи решения задачи динамики и выбора подходящего значения е, очень легко получить решение соответствующей
задачи статики, в частности, для конструкции с указанными параметрами, такое решение получено в [4].
Для определения допустимого значения коэффициента демпфирования было получено решение ряда задач статики при действии постоянной во времени нагрузки д0. Получено (рис.1), что скорость выхода на статику в широком диапазоне значений 20 < q0 < 80 определялась не столько величиной д0, сколько величиной е. Так, при q0 = 6 и е = 1 оболочка совершала большое количество колебаний, что на наш взгляд мало соответствует физической картине. Количество полных периодов колебаний приближалось к 80.
Рис 1.
Увеличение значения s приводило к уменьшению числа периодов колебаний при выходе на решение задачи статики. Так при s = 6, оболочка совершала порядка 10 периодов таких колебаний, что на наш взгляд более соответствует физической картине.
В связи с этим было принято решение пересчитать результаты, полученные в [1] со значением s = 6.
Результаты расчётов с новым значением коэффициента демпфирования при частоте вынуждающей нагрузки q = q0 sin cot, равной 32, приведены в табл.1. Там же для примера приведены результаты расчётов, взятые в [1] для q0 = 67.7. Отметим, что в [1] получено: гармонические колебания до значения q0 = 49, появление новых частот на спектре мощности при q0 = 49.2, область хаотических колебаний в диапазоне q0 от 50 до 67.5, возврат к квазипериодическим колебаниям и окончательный переход в фазу хаотических колебаний при значениях q0 около 100.
При s = 6 первые изменения формы колебаний наблюдаются в районе q0 = 60, при этом эти изменения заметны на фазовом портрете и на графике сигнала. Спектр мощности не показывает формирования новой частоты. Первая петля на фазовом портрете формируется при значениях q0 около 100, на
спектре мощности по-прежнему присутствует только одна частота, совпадающая с частотой вынуждающей нагрузки.
В районе значений д0 —140 формируется резкий переход от квазипериодических к хаотическим колебаниям, которые продолжаются до значений д0 — 200. Далее в области значений д0 от 200 до 320 ещё раз наблюдается область квазипериодических колебаний, хаотических, опять квазипериодических. Причём, при д0 — 320 опять наблюдается спектр мощности лишь с одной частотой, фазовый портрет также не показывает формирования новой частоты колебаний.
Воздействие вынуждающей нагрузки с частотой с — 32 Таблица 1
е
40
Сигнал
Фазовый портрет
Спектр
с-'
о
2
И при д0 больше 320 резко формируется зона хаотических колебаний.
Рассматривать дальше процесс, на наш взгляд, не имеет смысла, т.к. в оболочке наблюдаются большие прогибы, в центре более 8 толщин, что свидетельствует о прохлопывании оболочки, и явно требует рассмотрения физически нелинейных или упруго-пластических моделей.
Воздействие вынуждающей нагрузки с частотой С = 24 Таблица 2
Сигнал
Фазовый портрет
В целом же полученные результаты говорят о сохранении эффекта перемежаемости форм колебаний, но показывают, что эта смена форм происходит при качественно других значениях q0, чем получено в [1] при s = 1.
В табл. 2 приведены результаты численных экспериментов при действии вынуждающей силы q = q0 sin ot с частотой о = 24. Следует отметить, что при
s = 6 и данном значении о на прослеживаемом диапазоне значений q0 вообще
не наблюдаются зоны хаотических колебаний. При значении q0 = 145 прогибы
в центре плана оболочки уже превышают 8 толщин, а далее прогибы возрастают, оставаясь квазипериодическими. Расчёты по физически нелинейной модели в данной задаче не проводились, а физически линейная модель до значений q0 = 200 не показывала наступления хаотических колебаний, тогда как при значении s = 1 хаотические колебания наступали уже при q0 = 65.
Выводы. Таким образом, использование коэффициента демпфирования большего по величине, что более соответствует физической картине процесса, приводит к качественно иным результатам, чем с малым значением s. И это ставит под вопрос физическую достоверность многих расчётов, проделанных для получения характеристик колебаний в обширном диапазоне значений q0 -о, как, например, в [1], [2], [3].
Литература
1. Сопенко А.А., Майорова О.А., Черепанов М.Д. Сложные колебания геометрически и физически нелинейных пологих оболочек // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 3. URL: mathmod.esrae.ru/3-16.
2. Awrejcewicz J., Erofeev N.P., Krysko V.A. Non-symmetric and chaotic vibrations of Euler-Bernoulli beams under harmonic and noisy excitations // 5th Symposium on the Mechsnics of Sleder Structures. Journal of Phisics: Conference Series 721 (2016), p. 1-11.
3. Awrejcewicz J., Krysko A.V., Papkova I.V., Zakharov V.M., Erofeev N.P., Krylova E.Yu., Morozowski J., Krysko V.A. Chaotic dynamic of flexible beams driven by external while noise // Mechanical System and Signal Processing. 79 (2016) p. 225-253.
4. Егурнов Н.В., Крысько В.А., Сопенко А.А. Решение задач статики через динамику в нелинейной теории пологих оболочек // Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 1986. - №6, - С. 16-20.
