CC BY
15УДК 539.3;543.1
СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
Майорова О.А.1, Сопенко А.А.2, Черепанов М.Д.3
1 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, lebedoksa95@gmail.com
2 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, saasar@mail.ru
3 Саратовский государственный технический университет
имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов, maksim_cherepanov@mail.ru
COMPLEX VIBRATIONS OF GEOMETRICALLY AND PHYSICALLY
NONLINEAR SLOPING SHELLS
Mayorova O.A.1, Sopenko A.A.2, Cherepanov M.D.3
1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,
Russia, Saratov, lebedoksa95@gmail.com
2 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,
Russia, Saratov, saasar@mail.ru
3 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,
Russia, Saratov, maksim_cherepanov@mail.ru
Аннотация. В работе рассматривается задача динамической реакции прямоугольной в плане сферической геометрически и физически нелинейной пологой оболочки на переменную во времени нагрузку. Рассматриваются процессы перехода от периодических к хаотическим колебаниям для конкретной оболочной системы.
Ключевые слова: нелинейная пологая оболочка, сложные колебания, хаотические колебания.
Abstract. The paper deals with the problem of dynamic response of spherical geometrically and physically nonlinear sloping shell of rectangular planform to time-dependent transverse loading. The transition process from periodic to chaotic vibrations for some concrete shell system is applied.
Keywords: nonlinear sloping shell, complex vibrations, chaotic vibrations.
Тонкостенные конструкции в виде прямоугольных в плане пологих оболочек широко используются в строительстве, машиностроении и других областях промышленности. В данной работе рассматриваются колебания такой конструкции под действием равномерно распределенной по плану оболочки и меняющейся во времени нагрузки. Отметим, что подобные задачи неоднократно рассматривались различными авторами, укажем, например, на работы [1-3]. Но ни в одной из указанных работ не рассматриваются сложные колебания оболочек с частотой вынуждающей силы близкой к собственной частоте оболочки в физически нелинейной постановке.
Система уравнений, полученная в смешанной форме в рамках модели Кирхгофа-Лява для пологой оболочки с учётом геометрической и физической нелинейностей, широко известна. Укажем, например, на [3,4]. Ниже данная система приводится в безразмерном виде:
1
12(1 -V2)
-V4w - L(w,F) -V2F
X~l(AM n)
-Д"1(АГ22 -vATn)X1X1 -A(ATU -vAT22)X2X2 + 2(1 + v)(AT12)X1X2
x\X! ¿(AM22 )x2x2 - 2(AM 12 )X!X2
V 4 F + V 2 w +1 L(w, w)-
q + k( w+ sw) = 0,
—
2
(1)
0,
a 2b 2p
Eh 6
где k
Подробное описание обозначений приводится в [3,4], отметим только, что здесь F - функция усилий, w - прогиб в направлении, перпендикулярном срединной поверхности, слагаемые типа АМ, АТ учитывают физическую нелинейность материала при использовании физических соотношений в форме Каудерера, а, Ь, h -размеры оболочки.
Рассматривалась оболочка, изготовленная из сплава АМц, а = Ь, а / h = 100. Безразмерные параметры кривизны ^ = k2 = 24. В начальный
момент времени оболочка находится в покое. По контуру оболочка опирается на гибкие, нерастяжимые в касательной плоскости ребра:
w
dw дx^
0,
S 22 = 0,
ds
22
ds
12
dX
dXn
0
(2)
На оболочку на поверхности
h
z = — 2
воздействует равномерно
распределенная нагрузка интенсивности q = q0 sin с t, где частота с выбиралась близкой к собственной частоте колебаний конструкции.
В качестве начальных условий примем соотношения w
t=0
= 0
w
t=0
= 0
Безразмерные переменные для системы уравнений (1) вводились следующим образом (здесь чёрточки сверху, опущенные для удобства в системе (1), стоят над безразмерными переменными):
X1
X1 =
a
X2
Xo = 2 b
X3
Xo = 3 h
— w — F w = —, F
h
Eh
3
X=a, t: b
t ■ a
q = q
2L2
a b —
a
2
Eh
k1 = h
— b2 -
k 2 = k 2 , ATj =ATj
ab
Eh3
AM и = AM
lJ
ab
lJ Eh4
Для решения системы (1) использовался метод конечных разностей для дискретизации производных по пространственным переменным, после этого полученная из первого уравнения (1) система алгебраических уравнений относительно функции усилий F решалась методом Гаусса. Отметим, что численное решение полученной из второго уравнения (1) системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно прогиба ^ в поставленной задаче в физически нелинейной постановке при использовании традиционных методов типа Рунге - Кутты встретило значительные трудности. Процесс интегрирования по времени расходился уже при малых значениях амплитуды вынуждающей нагрузки. Численные эксперименты показали необходимость перехода к итерационным методам решения данной задачи и достаточность использования явного метода Адамса 3 порядка точности для предсказания и неявного метода Адамса 4 порядка для уточнения решения.
Собственная частота колебаний квадратной, шарнирно опёртой на гибкие, нерастяжимые в касательной плоскости рёбра оболочки составила, согласно численным расчетам, значение ®0 = 30.215. Для изучения сценария перехода колебаний от гармонических к хаотическим расчёты приводились при значении частоты возбуждающей силы с = 32. В ходе решения задачи были получены следующие результаты.
В физически линейной задаче был реализован сценарий Помо-Манневиля с характерными эффектами перемежаемости форм колебаний. Данные по физически линейной задаче собраны в таблице 1, где приводятся сигнал (зависимость w(t) ) для центральной точки плана оболочки, фазовый портрет и спектр мощности, полученный при использовании быстрого преобразования Фурье. Следует отметить, что неоднократно проводилась проверка на совпадение форм колебаний, возникающих в центральной точке плана оболочки с формами колебаний, возникающих в других точках плана, в том числе в наиболее удаленных от центра. Сравнение показало полное качественное совпадение получаемых результатов.
Коротко результаты решения физически линейной задачи можно охарактеризовать следующим образом: трижды наблюдался переход от гармонических колебаний к квазипериодическим с зарождением новой независимой частоты колебаний и ряда линейно зависимых частот. Первый раз при q0 = 49.2 - гармонические колебания, при д0 = 49.3 наблюдаем зарождение новых частот. При значении нагрузки q0 около 60 наблюдается усложнение
формы колебаний, резкое изменение формы фазового портрета, образование большого количества новых частот с переходом спектра мощности в форму с непрерывным пьедесталом из частот. Происходит переход к хаотическим колебаниям, которые в диапазоне значений q0от 67.8 до 76 возвращаются
назад к квазипериодическим. В районе значения q0 = 77 снова возникает очень
узкая по изменению значений q0 зона хаотических колебаний, которые через
квазипериодические возвращаются в диапазоне q0 от 78 до 97 к
гармоническим. Далее наступает последний переход от гармонических к
квазипериодическим и далее к хаотическим при q > 100. Далее смена форм колебаний не наблюдалась.
Физически линейная задача Таблица 1
Наиболее интересные результаты, полученные при решении физически нелинейной задачи, представленные в таблице 2.
Физически нелинейная задача Таблица 2
Гармонические колебания, наблюдаемые в физически нелинейной задаче при значении нагрузки q меньше 30, в диапазоне 30 < q0 < 45 переходит в
квазипериодические. В диапазоне 45 < q0 < 55 наблюдаются хаотические
колебания, которые опять переходят в квазипериодические и далее в гармонические в диапазоне 60 < q0 < 67 . Как и в физически линейной задаче, гармонические колебания опять переходят в квазипериодические, а далее в хаотические. Но при дальнейшем увеличении значения q0 наступает качественное отличие решений, получаемых в физически нелинейной задаче, от решений физически линейной. При q0 > 90 наступает переход к гармоническим
колебаниям, далее в прослеживаемом диапазоне 90 < q0 < 150 форма колебаний не менялась. Появления новых независимых частот не наблюдалось. Можно отметить появление линейно зависимой частоты, ровно в два раза больше частоты возбуждающей нагрузки.
Хотя анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки в данной работе не проводился, следует отметить, что в случае использования физически линейных и нелинейных моделей следует ожидать весьма различных результатов. Так в физически линейной задаче при q0 = 110 наблюдаются хаотические колебания в диапазоне w от - 2 до + 6, тогда как в физически нелинейной при этом же значении q0 наблюдаются гармонические
колебания в диапазоне от - 0.3 до + 3.5. Сравнение НДС оболочки при одинаковых значениях амплитуды переменной нагрузки и при использовании разных моделей становится вообще делом неблагодарным, т.к. помимо нагрузки как в физически линейной, так и в физически нелинейной задачах отмечен значительный эффект влияния на НДС ещё и характера колебаний. При первых появлениях зон хаотических колебаний максимальные прогибы в этих зонах значительно превышают амплитуду колебаний в этих же точках плана при более значительных нагрузках, но при гармонических колебаниях. Например, в физически нелинейной задаче диапазон колебаний в центре плана оболочки от - 1.2 до +3.0 при нагрузке 50 и от -0.8 до +2.8 при нагрузке 80.
Выводы. При изучении колебаний геометрически и физически нелинейной пологой оболочки наблюдается переход от гармонических колебаний к хаотическим по сценарию Помо-Манневиля с чётко выраженным эффектом перемежаемости форм колебаний.
Использование физически нелинейной модели при значительных значениях амплитуды вынуждающей нагрузки q0 может привести к получению
качественно новых результатов по сравнению с физически линейной моделью как при изучении форм колебаний, так и при исследовании напряженно-деформированного состояния оболочки.
Литература
1. Крысько В. А. Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек/ Крысько В. А., Кравцова И. В. // Изв. вузов. Машиностроение. 2004. No1. С.3-13.
2. Трифанов Д.Е. Сложные колебания нелинейных пологих оболочек с учётом тепловых нагрузок/ Трифанов Д.Е., Сопенко А.А. // Сб. материалов V Международной научн. конф. для молодых учёных, студентов и
школьников. Саратов, 29 февраля - 15 мая 2016 г. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2016. С. 121 - 124.
3. Крысько, В.А. Сложные колебания геометрически и физически нелинейных пологих оболочек на прямоугольном плане/В.А. Крысько, А.А. Сопенко, Е.В. Салий//Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002.10, №1-2. С. 92-103.
4. Крысько, В.А. Динамическая устойчивость геометрически и физически нелинейных пологих оболочек при учете связанности деформаций и температуры /В.А. Крысько, А.А. Сопенко// Прикл. Механика, 1989. 25, №11. с. 49 - 54.
