CC BY
9
Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2022.
№ 70. С. 20-38.
Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 2022. 70. pp. 20-38.
Научная статья УДК 164.3
doi: 10.17223/1998863Х/70/2
КЛАСТЕРНАЯ СЕМАНТИКА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДАЛЬНЫХ И ИНТУИЦИОНИСТСКИХ СИСТЕМ
Николай Львович Архиереев
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия, arkhnl@bmstu.ru, arkh-nikolaj@yandex.ru
Аннотация. Рассматривается стратегия построения естественной семантики для ряда модальных и интуиционистских систем. Смысл модальных операторов, в том числе итерированных, а также смыл интуиционистских связок выражается при помощи кластеров - конечных множеств описаний состояний для формулы. Пересчет кластеров осуществляется посредством линейных арифметических функций. Все используемые понятия являются традиционными для логики. Ключевые слова: кластер, модельная структура, возможный мир
Для цитирования: Архиереев Н.Л. Кластерная семантика для некоторых модальных и интуиционистских систем // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2022. № 70. С. 20-38. doi: 10.17223/1998863Х/70/2
Original article
CLUSTER SEMANTICS FOR SOME MODAL AND INTUITIONISTIC
SYSTEMS
Nikolay L. Arkhiereev
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation, arkhnl@bmstu. ru, arkh-nikolaj@yandex. ru
Abstract. In modern logic, one of the main tools for clarification of modal operator's meaning is the so-called possible world's semantics based on the concepts of model structure, possible world, and binary relation of accessibility structuring a set of possible worlds. These concepts are considered to be a natural elaboration of certain methodological principles, which hark back at least to Leibnitz's philosophy and appear to be evident. However, in the author's opinion, their meaningfulness, justifiability and formal correctness can be called into question. For instance, an accessibility relation in the possible world's semantics is implicitly used as an analogue of a certain empirical procedure capable of discovering of some extra connections between possible worlds, which have not been caught initially in logical system axioms. According to the author, such a treatment is utterly incorrect. When constructing the original possible world's semantics, an accessibility relation in different systems was enriched with certain additional restrictions (reflexivity, transitivity, etc.) due to the specificity of modal axioms, not vice versa. That is why an accessibility relation, as well as all other notions of possible world's semantics, virtually remain formal and do not clarify properly the meaning of modal operators. An alternative method of semantic construction for some normal modal systems, which was firstly proposed by Yuri Ivlev, presupposes analyses of certain restrictions of possible truth-values of propositional variables of a formula with modal operators. As a result, some state-descriptions can be excluded from an initial state-descriptions set for the formula. Thus obtained clusters - restricted sets of state-descriptions and their ordered sequences - prove to be equivalent to model structures of possible world's semantics for Lewis's system S5, S46 and basic Heyting's system Int. Possible world is interpreted as a classical state-description.
© Н.Л. Архиереев, 2022
Cluster semantics rely on purely traditional notions of logical truth, falsity, logical indeterminacy of system statements, etc. Besides that, meaning of modal operators in these semantics is clarified by means of finite sets of clusters, whose effective enumeration can be implemented by linear arithmetic functions. Keywords: cluster, model structure, possible world
For citation: Arkhiereev, N.L. (2022) Cluster semantics for some modal and intuitionistic systems. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 70. pp. 20-38. (In Russian). doi: 10.17223/1998863Х/70/2
В [1] была опубликована большая обзорная статья известного отечественного ученого-логика Ю.В. Ивлева «Квазифункциональные отношения в логике и других областях знания», в которой, помимо прочего, кратко излагались принципы построения оригинальной теории логических модальностей -семантики так называемых ограниченных множеств описаний состояний для известной модальной системы Льюиса S5. Настоящее исследование посвящено более детальному рассмотрению содержательных оснований семантик данного типа, описанию технических особенностей их построения и изложению ряда актуальных результатов исследований в этой области.
На сегодняшний день наиболее распространенным инструментом содержательной интерпретации систем модальной логики является так называемая семантика возможных миров (реляционная и окрестностная). Предложенная как «техническая» экспликация классических лейбницевских представлений о необходимо истинном как имеющем место во всех возможных мирах и о случайно истинном как имеющем место только в некоторых из них, данная семантика была развита в хорошо известных работах С. Кангера, Я. Хинтикки, А. Прайора. С. Крипке и др. Центральными понятиями (с незначительными терминологическими вариациями) при построении семантик данного типа являются понятия возможного мира, модельной структуры, отношения достижимости между мирами. В современной логико-философской литературе эти понятия стали настолько распространенными, что обычно используются как нечто само собой разумеющееся. Между тем, на наш взгляд, как содержательная оправданность, так и формальная корректность определений указанных терминов вызывает определенные сомнения.
К примеру, в ставшей хрестоматийной работе С. Крипке «Семантический анализ модальной логики 1» отношение достижимости и условия истинности формул с модальными операторами возможности и необходимости определяются следующим образом:
«... „HiRH2" читается как „Н2 возможен относительно Hi", „возможен в Hi" или „зависит от Н1"; это значит, что каждое высказывание, истинное в H2, возможно в Hi. <...> мы оцениваем формулу А как необходимую в мире Н1, если она является истинной в каждом мире, возможном относительно Н1 <...> А возможно в мире Hi т.т.т., когда существует мир H2, возможный относительно Hi, в котором А истинно» (здесь и далее в цитатах курсив мой. - Н.А.) [2. С. 258].
Итак, «... „H1RH2" <...> значит, что каждое высказывание, истинное в H2, возможно в H1 <...> А возможно в мире H1 т.т.т., когда существует мир Н2, возможный относительно Н1, в котором А истинно».
Нетрудно увидеть, что в приведенной конструкции истинность высказывания в мире Н2 определяется с использованием понятия возможности этого
высказывания в Щ, а понятие возможности того же высказывания в мире Н1, в свою очередь, определяется с использованием понятия истинности высказывания в «достижимом» из Н1 мире Н2 (при условии существования такого мира).
По сути, при построении семантик возможных миров понятие «отношение достижимости» неявно (и, как нам кажется, некорректно) используется в качестве аналога некоторой эмпирической процедуры, позволяющей установить определенные «дополнительные» связи между возможными мирами, не описанные явным образом в аксиомах логической системы. По этому поводу известный отечественный философ-логик Е.А. Сидоренко отмечал: «...надо освободиться от иллюзии, что семантика возможных миров (как и вообще любая семантика) способна сама по себе предоставить нам некоторую новую информацию о связи событий (и говорящих об этих событиях высказываниях) помимо той, которую мы уже вложили заранее при описании и определении возможных миров. Скажем, два события мы считаем связанными между собой на том основании, что во всех возможных (или во всех достижимых) мирах одно невозможно без другого. Но на каком основании миры, в которых дело обстоит иным образом, оказались для нас невозможными, или недостижимыми, или какими-то там еще? Очевидно, только потому, что определенные предпосылки относительно и миров, и высказываний того или иного вида уже приняты» [3. С. 268].
Изначально дополнительные ограничения, налагаемые на отношения достижимости в различных модальных системах (рефлексивность, транзитивность, связность и проч.), подбирались с учетом специфики аксиом данных систем. В дальнейшем «размножение» модальных систем зачастую стало осуществляться за счет обратной процедуры - рассмотрения различных (иногда достаточно экзотических и «произвольных») ограничений на отношение достижимости и подбора соответствующих аксиом. Получаемые в результате формальные системы можно было назвать логическими лишь условно, поскольку смысл используемых в них модальных операторов оказывался совершенно неясным.
Согласно мнению выдающегося отечественного ученого-логика Е.К. Войшвилло, «законы и правила логической системы могут быть оправданы, а сама система может найти обоснованные применения вне логики только в случае, когда выяснен смысл высказываний ее языка» [4. С. 76].
Описывая семантики рассматриваемого типа для модальных систем Льюиса, Е.К. Войшвилло отмечал: «Семантика возможных миров для модальных систем <.> в какой-то степени проясняет смысл модальных высказываний. Так, становится ясным, что содержащиеся в этих высказываниях утверждения относятся не только к некоторому (действительному, актуальному) миру, но и к множеству достижимых из него миров, составляющих определенную его окрестность. Однако до сих пор остается неясным, почему, например, действительный мир, как и его окрестность, относится всегда к некоторой модельной структуре и что представляет собой последняя в онтологическом плане или с точки зрения гносеологии.
Неясно также и то, что представляют собой возможные миры и отношения достижимости между мирами, чем обусловлено различие достижимости в различных системах.» [4. С. 76].
«Мир в естественно трактовать как множество фактов, относящихся к индивидам некоторого непустого множества с определенными на нем свойствами и отношениями <...> В языке это множество фактов представляет обычное классическое карнаповское описание состояния (о.с.). <...> описания мира в можно представить как Г^а, где а есть классическое о.с., а Г -множество. законов и, возможно. некоторых их следствий нефактического характера в языках рассматриваемых систем.
Существенно, что Г ограничивает множество возможных различных фактических состояний мира. Так, при наличии закона Ух(А(х) ^ В(х)) исключаются о.с. а, в которых имеются А(а^) и одновременно ТВ(а^ для любых индивидов а!. Если М есть множество всех возможных классических о.с., то Г выделяет из него подмножество МГ (которое не является пустым в силу непротиворечивости Г). Это последнее представляет собой модельную структуру S5, если учесть, что отношение достижимости R имеет место для любых а„ а е мг» [4. С. 76].
В результате «суждение ПА истинно в некотором мире в не потому, что А истинно во всех возможных мирах, достижимых из в, а наоборот, последнее имеет место потому, что необходимость ситуации А детерминирована в самом в» [4. С. 80].
Традиционно считается, что система Льюиса S5 наиболее адекватно выражает смысл логических алетических модальностей, т.е., таких модальных понятий, характеристики которых зависят только от логических форм высказываний, к которым они применяются. (Утверждение о логической истинности некоторого высказывания будет естественным образом истинным, если только логическая форма этого высказывания выражается общезначимой формулой; утверждение о логической возможности некоторой формулы будет истинным, если эта формула не тождественно-ложна и т.д.) Еще Р. Карнап, характеризуя особенности системы S5, отмечал, что произвольное высказывание р в этой системе может с «модальной точки зрения» оцениваться как необходимое, невозможное или случайное (логически недетерминированное) [5. С. 260].
Исходя из вышесказанного, в качестве набора законов Г, выделяющего из исходного множества М описаний состояний (о.с.) для формулы собственное подмножество МГ - аналог модельной структуры S5 - естественно понимать некоторое ограничение допустимых истинностных значений пропозициональных переменных (предикатных констант) соответствующей формулы (множества формул).
Именно эта идея и была впервые высказана Ю.В. Ивлевым, предложившим общую стратегию построения семантик для модальных систем, не требующую использования понятий «возможный мир», «модельная структура», «отношение достижимости» между мирами.
Для простоты изложения ограничимся далее описанием пропозиционального фрагмента системы S5.
При рассматриваемом подходе к построению семантики для системы S5 каждая пропозициональная переменная р1, входящая в некоторую формулу, последовательно интерпретируется в терминах I, С} (логически необходимо, невозможно, случайно соответственно), т.е. как обозначающая логически истинное, логически ложное, логически случайное (недетерминирован-
ное) высказывание. В первом случае из исходного множества о.с. W для формулы исключаются все описания состояний, содержащие — рь во втором -все о.с., содержащие pb в третьем случае итоговое ограниченное множество описаний состояний W' (далее - кластер) должно содержать последовательность о.с. с числом элементов >2, в которой p¡, по крайней мере, однажды меняет значение. Если, далее, в качестве логически недетерминированных рассматриваются две и более переменных, каждая их конъюнкция дополнительно рассматривается как логически случайное или логически невозможное высказывание, поскольку конъюнкция логически недетерминированных высказываний может оказаться логически невозможной («25.09.2036 астероид Апофис столкнется с Землей» и «25.09.2036 астероид Апофис не столкнется с Землей»). Получающиеся в итоге конструкции <Г; W'> (в терминологии Ю.В. Ивлева - ОМОСы, ограниченные множества описаний состояний), где Г - истолкование допустимых значений переменных формулы, а W' - итоговое множество о.с. для нее, оказываются аналогами модельных структур системы S5. В качестве возможного мира рассматривается классическое о.с. aeW'. Все о.с., принадлежащие некоторому кластеру W' (объединенные общим истолкованием Г), связаны отношением «достижимости».
Опишем данную семантику более строго.
Будем иметь в виду следующую формулировку S5. Пусть язык системы содержит исходные символы 1, з, □ (отрицание, импликация, оператор логической необходимости соответственно). Понятие формулы и другие логические связки определяются обычным образом. Операторы логической возможности и случайности определяются, соответственно, как 0A = 1dlA и VA = ОЛл 01Л.
Набранные жирным шрифтом связки 0,^,1 V, 3, е, л, v, v, з {N, I, C} -символы метаязыка, используемые для записи утверждений о выражениях объектного языка системы S5.
Аксиомами и правилами вывода S5 являются все аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а также три дополнительные модальные аксиомы и правило Гёделя:
А1. D(A з B) з (DA з ОБ);
A2. DA з A; A3. 0A з D0A; RG |-А; |-DA.
Формулам без модальных операторов стандартным образом приписываются значения в отдельных о.с. Модальные операторы □, ◊ рассматриваются как кванторы V, 3, пробегающие по о.с. - элементам кластеров W'. Соответственно, значения формулам с модальными операторами приписываются в множествах о.с. W'. Истолкования допустимых значений переменных формулы в терминах {N, I, C} также осуществляются относительно множеств W'. В результате в семантике рассматриваемого типа различают три вида оценок.
1) двухзначные истинностно-функциональные оценки формул классической логики:
| p |a = t О р е a; | p |a = f О р í a o1 p е a o|1 p |a = t;
| ЛзВ |a = t О | Л |a = f v | В |a = t; | Л з В |a = f О | Л |a = t Л | В |a = f и т.д.;
2) двухзначные не-истинностно-функциональные оценки формул с операторами □, 0:
I ОБ| w' = t О Va(aе W' ^ IБ |а= t); I ПВ |^г' = f о За(ае'|в1а = f); I ОБ I w' = t О Зa(aеW'л IБ | а= |0Б I w' = f О Va(aеW'^ | Б 1а = 9 и т.д.
3) трехзначные не-истинностно-функциональные оценки пропозициональных переменных в терминах {^ I, С}:
| р | w' = N О Va(aеW' ^|р|а= t); | р | w'= I О Va(aеW' ^|р|а= 9);
| р | w' = С О Зa(aеW'л| р|а = 0 л Зa(aеW' л I р |а = 9).
В качестве кластеров W' (аналогов модельных структур) рассматриваются все непустые подмножества множества о.с. W = 2П для формулы: W'е 2 .
Формула ШВ логически выполнима, е.т.е. В общезначима в некотором W'е2w.
Формула ШВ логически общезначима, е.т.е. В общезначима в каждом W'е2w.
Формула 0В логически общезначима, е.т.е. В логически выполнима.
Поскольку «существенными» в S5 оказываются только четыре типа модальностей первой степени: □, , 0, 0—, итерированные модальности можно рассматривать как кванторы по переменным, не имеющим вхождения в формулу.
Нетрудно заметить, что между понятиями из групп 2 и 3 имеется следующая связь:
|Ор| w' = t О | р | w' = N I Пр I w' = 9о | р | w'= I V | р | w' = С;
|0р| w' = t О |р| w' = N V |р| w' = С; |0р| w' = 9О |р| w' = I.
Учитывая эти соотношения, а также факт отсутствия в S5 существенных модальностей неэлементарных степеней, попытаемся выяснить, какую информацию несет «собственная» аксиома системы S5 0р з ПОр в данной семантике:
1. (0р з ПОр) О (Т0р V ПОр) - в силу эквивалентности р з р и Тр V р;
2. (Т0р V ПОр) О (Т0р V 0р) - в силу эквивалентности ПОр и 0р в S5;
3. (Тор V 0р) О 1р V Ср V Кр - в силу приведенных выше эквивалентно-стей между понятиями групп 2 и 3.
Таким образом, в данной семантике аксиома Ор з ПОр естественным образом выражает приведенную выше мысль Р. Карнапа о том, что произвольное высказывание в S5 может оцениваться как логически необходимое, невозможное или недетерминированное.
Рассмотрим несколько примеров.
Для формулы, содержащей единственную пропозициональную переменную р, возможны три кластера <Г; W'>:
1) <№}; {{р}}>;
2) <{Ip}; {{Тр}}>;
3) <{Ср}; {{р}, {Тр}}>.
(Очевидно, что в общем случае число исходных конструкций вида <Г; W'> для формулы с п различными пропозициональными переменными определяется выражением 3п).
Продемонстрируем истинность аксиом Пр з р, Ор з ПОр в этих кластерах.
Допустим, формула Пр з р опровержима в некотором <Г; W'>. Согласно приведенным выше определениям, это означает, что Пр истинна в этом кластере, т.е. Va(a е¥' ^ I р |а = 0, но при этом | р |а = 9 в некотором а е¥' -
противоречие. Следовательно, истинность Пр в некотором W' (первый из приведенных кластеров) естественным образом гарантирует истинность р в каждом его о.с. Если же формула Пр опровержима в некотором W' (кластеры 2, 3), импликация Пр з р истинна независимо от значения р. Таким образом, формула Пр з р общезначима в данной семантике.
Допустим, формула Ор з ПОр опровержима в некотором W'. Это означает, что Ор истинна в этом W', т.е. За(а ё^ л I р 1а = 0, а формула ПОр ложна в этом W'. Ложность ПОр означает истинность ОП —>р, что, в свою очередь, означает истинность утверждения Уа(а ё W' ^ I р |а = Г) - противоречие. Следовательно, истинность Ор в некотором W' гарантирует истинность ПОр в этом W' («возможности не исчезают») - кластеры 1, 3. При ложности Ор истинным оказывается утверждение Уа(а ё^ ^ I р |а = Г), и импликация Ор з ПОр также оказывается истинной. Следовательно, формула Ор з ПОр общезначима в данной семантике.
Рассмотрим все возможные кластеры для произвольной модальной формулы с двумя переменными р, q. Интерпретация р, q в терминах {] I, ^ дает 9 исходных кластеров <Г; W'>:
1. <{]р, {{р, q}}>.
2. <{]р, Iq}; {{р,Ъ }}>.
3. <{Ip, Nq}; {{Тр, q}}>.
4. <{Ip; Iq}; {{Тp,Тq}}>.
5. <{]р, Cq}; {{р, q},{p,Тq}}>.
6. <{Ip, Cq}; {{Тр, q},{Тp,Тq}}>.
7. <{Cp, Nq}; {{р, q},{Тp, q}}>.
8. <{Cp, Iq}; {{рГк},{¥Ь}}>.
В последнем девятом «кластере» в качестве случайных истолковываются 2 переменные, поэтому он порождает целый набор дополнительных истолкований конъюнкций р и q:
9. <{Cp, Cq, C{pлq}, C{pлТq}, C{ТpAq}, C{ТpAТq}};
{{р, q}, {Тр, q}, {Тp,Тq}}>.
10. <^р, Cq, I{pлq}, C{pлТq}, C{Тpлq}, C{ТpлТq}};
{{p,Тq}, {Тр, q}, {Тp,Тq}}>.
11. <^р, Cq, C{pлq}, I{pлТq}, C{Тpлq}, C{ТpлТq}};
{{р, q}, {Тр, q}, {Тp,Тq}}>.
12. <{Cp, Cq, C{pлq}, C{pлТq}, I{Тpлq}, C{ТpлТq}}; {{р, q}, {p,Тq}, {Тp,Тq}}>.
13. <{Cp, Cq, C{pлq}, C{pлТq}, C{Тpлq}, I{ТpлТq}}; {{р, q}, {p,Тq}, {Тp,q}}>.
14. <^р, Cq, I{pлq}, C{pлТq}, C{Тpлq}, I{ТpлТq}};
{{p,Тq}, {Тр, q}}>.
15. <^р, Cq, C{pлq}, I{pлТq}, I{Тpлq}, C{ТpлТq}}; {{р, q}, {Тp,Тq}}>. (Отметим, что дополнительные истолкования конъюнкций «случайных» переменных не должны противоречить исходной интерпретации этих переменных в качестве логически недетерминированных. Скажем, истолкование ^р, Cq, I{pлq}, I{pлТq}, C{Тpлq}, C{ТpлТq}} окажется с этой точки зрения «самопротиворечивым», а поэтому недопустимым, поскольку порождаемый
им кластер {{Тр, q}, {Тр,~^}} будет в действительности выполнять условия !р, Cq. Каждая логически недетерминированная переменная в соответствующем кластере должна, по крайней мере, однажды менять значение.)
Допустим, формула □ (р з q) з (Пр з □q) опровержима в некотором из приведенных кластеров. Следовательно, формула □ (р з q) истинна в соответствующем W', а формула □ р з - ложна, т.е. Va(a е W' ^ I р з q |а = 9), Va(a е W' ^ I р |а = t), но при этом За(а е W'л I q |а = 9). Нетрудно показать, что ни один непротиворечивый кластер не может выполнить все эти три условия.
Допустим, Va(a е I pзq|a = t), Va(a е W' ^ I р |а= 9). Чтобы в этом случае истинность р з q выполнялась в каждом а е W', формула q также должна быть истинной в каждом а е W', что противоречит условию За(а е W'л| q|a = 9).
Допустим, Va(a е W' ^ I р з q |а = 9), За(а е W'л I q |а = 9). Поскольку q опровержима, а р з q при этом истинна в каждом а е W', р также должна быть опровержима (по крайней мере) в некотором а е W' (формула Пр должна быть ложной в W'), что противоречит условию Va(a е W' ^ I р |а = 9).
Пусть, наконец, Va(a е W' ^ I р |а = 9), За(а е W'л I I 9). Ложной при этом оказывается как формула Пр з И^, так и формула П(р з q). Последнее противоречит условию Va(a е I р з q | а = 9).
Следовательно, формула □ (р з q) з (Пр з истинна в каждом из приведенных кластеров (общезначима в S5).
При достаточно большом числе переменных в формуле общее количество кластеров для нее (число 3п) удобно представлять в виде линейной арифметической функции:
С0 лп | г^ 1 лп - 1 , г^ 2 --»п - 2 . . г* п - 1 л1 I г^ п --»0 ^п
п х 2 + Сп х 2 + Сп х 2 + ... + Сп х 2+ Сп х 2= 3, где Сп! (0 < 1 < п) есть биномиальный коэффициент.
Слагаемое Сп х 2п обозначает число кластеров, в которых все переменные формулы интерпретируются как детерминированные (необходимые или невозможные); каждый такой кластер содержит 20, т.е. ровно один элемент (о.с.). Слагаемое Сп1 х 2п - обозначает число кластеров, в которых какая-либо одна переменная формулы интерпретируется как логически случайная; каждый такой кластер содержит 21, т.е. два о.с. Соответственно, слагаемое Спк х 2п - к (п > к > 0) обозначает число кластеров, в каждом из которых к переменных интерпретируются как недетерминированные; каждый такой клак
стер есть 2 - элементное множество о.с.
Несколько менее тривиальной задачей является организация отдельного пересчета «индетерминистских» кластеров, содержащих две и более интерпретации переменных в качестве случайных и дополнительные истолкования конъюнкций таких переменных. Поскольку в качестве аналогов модельных структур используются все непустые W'е 2W (W = 2п), в случае п = 2 число
'-»W оп
указанных кластеров можно определить элементарным выражением 2 - 3 (в приведенном выше списке кластеров для формулы с двумя переменными это семь кластеров - с 9-го по 15-й). Однако в случае п > 2 необходимо использовать предложенное ранее представление числа 3п в виде линейной арифметической функции.
В качестве иллюстрации рассмотрим случаи п = 3, п = 4, п = 5.
При п = 3 арифметическая функция указанного выше вида для числа 3П примет вид
С30 х 23 + С31 х 22 + С32 х 21 + С33 х 20 = 3п.
Слагаемое С30 х 23 обозначает число кластеров, не содержащих истолкований С, слагаемое С31 х 22 - число кластеров, содержащих ровно одно истолкование С, слагаемое С32 х 21 - число кластеров, содержащих два истолкования С. При этом, как следует из примера для п = 2, каждый кластер из группы С32 х 21 будет порождать по семь «производных» кластеров, содержащих дополнительные истолкования конъюнкций двух «случайных» переменных. В результате при п = 3 число различных ограничений на образование конъюнкций трех логически недетерминированных высказываний будет определяться выражением
28 - [С30 х 23 + С31 х 22 + С32 х 21 х 7 + С33 х 20] = 256 - 63 = 193.
Соответственно, при п = 4 число индетерминистских кластеров, содержащих дополнительные истолкования конъюнкций четырех логически недетерминированных высказываний, будет определяться выражением
2 - [С4 х 2 + С4 х 2 + С4 х 2 х 7 + С4 х 2 х 193 + С4 х 2 ] = = 65536 - 1761 = 63775.
Для п = 5 нужный нам алгоритм примет вид 216 - [С50 х 25 + С51 х 24 + С52 х 23 х 7 + С53 х 22 х 193 + С54 х 21 х 63775 + + С55 х 20] = 4.294.967.296 - 646.143 = 4.294.321.153.
Если, далее, символом К(к) (2 < к < п - 1) обозначить число допустимых ограничений на образование конъюнкций к случайных переменных, то выражение, описывающее их общее число для формулы с произвольным конечным числом переменных п, примет вид
2W - [Сп0х 2п + Сп1 х2п - 1 + Сп2 х 2п - 2 х N(2) + Сп3 х 2п - 3 х N(3) + ... + + Спк х 2п - к х N(k) + ... + Спп - 1 х 21 х N(n - 1) + Спп х 20].
Описанная семантика непротиворечива и полна относительно исчисления S5 Льюиса [6, 7].
Таким образом, смысл модальных операторов системы S5 выражается при помощи конечных множеств о.с., исчерпывающий пересчет которых обеспечивается приведенными арифметическими функциями.
Особенно интересным, на наш взгляд, оказывается применение описанного подхода к построению семантик нормальных модальных систем, обладающих «собственными» (несводимыми) итерированными модальностями. К примеру, в семантике данного типа для модальной системы Льюиса S4 факт отсутствия в ней несводимых итерированных модальностей степени выше 3 оказывается естественным следствием самого способа построения семантики.
Будем иметь в виду следующую формулировку системы S4.
Исходные логические символы объектного языка: — , з, □ - отрицание, импликация, оператор необходимости соответственно (оператор возможности О обычно определяется как —□—).
Символы метаязыка, в котором формулируются условия истинности/ложности формул системы S4: 1, О, л, V, V, V, 3, ё, £ (понимаются, соответственно, как классическое отрицание, импликация, эквивалентность, конъюнкция, дизъюнкция, строгая дизъюнкция, кванторы общности и существования, знаки принадлежности/непринадлежности множеству некоторого элемента).
Аксиомами и правилами вывода S4 являются все аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а также следующие модальные аксиомы и правило Гёделя:
А1. П(А з Б) з (ПА з ПВ);
А2. ПА з А;
А3. ПА з ША; RG. 1-А |-ПА.
Одной из «технических» особенностей системы S4, нуждающейся в содержательном истолковании, является наличие в ней двенадцати «собственных» (несводимых) итерированных модальностей ненулевой степени: □, □—, О, 0—, ПО, ПО—, 0П, 00—, ПОП, ПОП—, 0П0, 0П0—. При этом в S4 отсутствуют собственные итерированные модальности степени выше 3 (все такие модальности сводимы к модальностям низших степеней).
При построении кластерной семантики для S4 исходной остается идея последовательной интерпретации переменных формулы в терминах I, С} и дополнительного истолкования конъюнкций двух и более «случайных» переменных как возможных (случайных) или невозможных. Однако, поскольку в модельной структуре для S4 уже не «каждый мир достижим из каждого» (отношение достижимости рефлексивно и транзитивно, но уже не симметрично), указанные интерпретации осуществляются относительно каждого отдельного о.с. а1 («выделенного мира») для формулы). Кроме того, поскольку значимыми в S4 являются итерированные модальности, допустимы и итерированные истолкования переменных в терминах {^ I, С}. Получаемые в результате таких истолкований конечные множества о.с. и их множества различной степени <Гп; а1; Wn > (п > 1) выполняют в кластерной семантике для S4 роль модельных структур семантик возможных миров.
Как и в семантике для S5, различаются оценки трех типов:
1) оценки формул к.л.в. в отдельных о.с. (двухзначные истинностно-функциональные или «чисто классические» оценки);
2) оценки формул, находящихся в области действия модальных операторов (двухзначные не-истинностно-функциональные оценки, которые приписываются в множествах о.с.); условия истинности/ложности формул с модальностями первой степени совпадают с аналогичными условиями для S5; при этом «собственные» для S4 итерированные модальности вида ПО, 0П, 0П0, ПОП рассматриваются как кванторы по множествам и множествам множеств о.с. и значения формулам с данными модальностями приписываются в множествах соответствующей степени:
I ПОВ| w2 = 9 О е ^ОВ^ = 9); I ПОВ| W2 =
= 9О ЗWl(Wl е ^^2 л|0В^1 = 9);
|0та|то = 9 О ЗWl( Wl е ^^2 л|□вlwl = 9); I ООВ | = = 9о VWl(Wl е ^^2 ^ I□Blwl = 9);
|П0ПВ^з = 9 О VW2(W2 е Wз ^ I ОПВ|= 9);
|П0ПВ^3 = 9О е Wз л I ОПВ | W2 = 9);
|0□0B|wз = 9 О е Wз л I ПОВ | W2 = 9); |0□0B|wз =
= 9 о VW2(W2 е Wз ^ I ПОВ | W2 = 9)
(для отрицательных модальностей определения аналогичны);
3) истолкования пропозициональных переменных в терминах {] I, ^ -трехзначные не-истинностно-функциональные оценки, которые также осуществляются относительно множеств о.с.:
| р | Wl' = N О Vа(а eWl'^|р|а = t); | р| wl' = I О Vа(а eWl'^|pIа = Г);
| р | wl' = C О 3а(а ё Wl' л|р|а = t) л 3а(а ËWl'л|pIа = Г).
При этом оценки ] I могут повторно истолковываться только как N («логически детерминированные высказывания не меняют своего статуса»), оценка С может повторно истолковываться как N либо С, т.е. для произвольной элементарной формулы р1 справедливы утверждения ]р1 V IPl ^ ]]р1 V NIp1; Cp1 ^ NCp1 V ^рь При этом если Г2 некоторого <Г2; а1; W'2> содержит для некоторой переменной р1 истолкование NCp1, то элементами W'2 будут только такие множества о.с. W'1, в каждом из которых р1, по крайней мере однажды, меняет значение. Если же в Г2 содержится интерпретация CCp1, то в W'2 она будет представлена тройкой множеств о.с., соответствующей истолкованию Cpi V Npi V Ip1:
| р | тез' = NC О ё = C);
| р = те О 3Wl(Wl Л | р | Wl' = C) Л 3Wl(Wl Л | р | Wl' =
= ] л 3Wl(Wl ё л|рЦ' = I).
Рассмотрим множество о.с^ для произвольной формулы с двумя переменными:
а1 = {р, q}, а2 = {p,Тq}, а3 = {Тр, q}, а4 = {ТрГк}.
Каждое такое о.с. в кластерной семантике для S4 рассматривается как «действительный» мир некоторой модельной структуры. Для построения кластеров первой степени - множеств о.с. W1, в которых приписываются значения формулам с модальностями первой степени - каждая переменная, входящая в некоторое а1 , интерпретируется как логически детерминированное (имеющее свое значение по необходимости) или логически недетерминированное высказывание. В результате переменная р1, входящая в исходное о.с. без отрицания, может получить истолкования ]р1 или Cр1, переменная —р1 -истолкования ^ или Cр1 (переменная, входящая в а1 без отрицания, не может интерпретироваться как невозможное высказывание, так как каждый «мир» достижим из самого себя - отношение достижимости рефлексивно в S4; соответственно, переменная — р1 не может интерпретироваться как логически необходимое высказывание).
В результате, скажем, о.с. а1 = {р, q} порождает четыре конструкции <Гь аь Wl'>:
1. <{]р, Nq}; {р, q}; {{р, q}}>.
2. <{]р, Cq}; {р, q}; {{р, q}{p, — q}}>
3. <{Cp, Nq}; {р, q}; {{—р, q}{p, q}}>.
4. ^С^ Cq}; {p, q}; {{p, q}{p, — q}{— p, q}{— p, — q}}>.
(Как и в кластерной семантике для S5, если две и более переменных интерпретируются как логически недетерминированные, все их возможные конъюнкции дополнительно рассматриваются как логически случайные (возможные) или логически невозможные высказывания. Общее число подобных «индетерминистских» кластеров, содержащих дополнительные истолкования конъюнкций двух и более логически случайных переменных, определяется так же, как и в системе S5.)
Число исходных кластеров <Г^ а1; Wl'> по отдельному а1 удобно в общем случае представлять в виде арифметической функции Сп0 + Сп1 + Сп2 + + Спк + ... + Спп = 2п. Слагаемое Спк (п > к > 0) - биномиальный коэффициент - обозначает число кластеров, в каждом из которых какие-либо к переменных толкуются как «случайные»; исходное W1' каждого такого кластера есть 2к - элементное множество о.с.
По каждому кластеру первой степени описанным выше образом строится множество кластеров <Г2; а1; W2'> второй степени. К примеру, кластер 4 порождает следующие кластеры второй степени:
1. <{1ЧСр, Жф; {р, д}; {{{р, д}{р, —я>{—р, я}{—р, —я}}}>.
2. <{NCp, ССя}; {р, я}; {{{р, я}{р, —я}{—р, я}{—р, —я}}; {{р, я}{— р, я}}; {{р, —я}{—р, —я}}}>.
3. <{ССр, NCq}; {р, д}; {{{р, д}{р, —д}{—р, д}{—р, —д}}; {{р, д}{р, —д}}; {{—р, я}{—р, —я}}}>.
4. <{ССр, ССд};{р, д}; {{{р, д}{р, — д}{—р, д}{—р, —д}}; {{р, д}{—р, д}};
{{p, —д}{—p, —д}}; q}{p, —я}}; {{—p, я}{—p, —я}}; я}}; {{p, —я}};
{{—р, д}}; {{—р, —д}}}>.
Элементами W2' являются множества W1' «предыдущего уровня». Так, первый кластер W2' является одноэлементным. Его единственный элемент -базисное множество W1' исходного кластера первой степени. Второй и третий кластеры содержат по три элемента, четвертый кластер содержит 9 элементов - множеств о.с. W1' с числом элементов «от» 22 «до» 20.
Представим четвертый кластер <Г2; а1; W2'> в более «наглядном» графическом виде:
<{ССр, CCq};{p,q};
1
{р, q} {p,lq} {lp,q}{lp,lq}
2 {{p,q}{p,lq}}
3 {{lp,q}{lp,lq}}
6{{p,q}} 7{{p,lq}} 4 {{p,q} {lp,q}} 8{{lp,q}}9{{lp,lq}} 5 {{p,lq}{lp,lq}}
Поскольку, как отмечалось выше, для любой переменной р1 истолкование ССр1 читается как «триплет» Ср1 V V Ip1, каждое множество о.с. W1'с определенным номером в данном <Г2; а1; W2'> соответствует элементу следующей дизъюнкции (истолкованию допустимых значений р и я) с тем же номером:
1. Ср л Ся V 2. ^ л Ся V 3. 1р л Ся V 4. Ср л ^ V 5. Ср л V
6. Np л ^ V 7. Np л V 8. 1р л ^ V 9. 1р л 1д.
Число кластеров второй степени по отдельному а1 в общем случае определяется выражением Сп0 х 20 + Сп1 х 21 + Сп2 х 22 + ... + Спк х 2к + ... +
ппп
+ Сп х 2 = 3 .
Слагаемое Сп х 2к (п > к > 0) представляет число конструкций <Г2; а1; W2'>, порожденных кластерами первой степени с к случайными переменными. Если все к переменных получают истолкование СС, то W2' этого
<Г2; ai; W2'> будет представлять собой 3 -элементное множество множеств о.с. с «размерностью» элементов от 2n до 2k; так, W2' в последнем из вышеприведенных примеров представляет собой 9-элементное множество множеств о.с. При этом «размерность» элементов W/eW2' варьируется от 2n до 20.
Приведенных определений достаточно, чтобы продемонстрировать опровержимость формулы Ор з ШОр в данной семантике и общезначимость формулы Пр з Шр.
Пусть |Ор| wi' = t в некотором <Ti; ai; Wi'>. Согласно условиям истинности / ложности формул с модальными операторами, это возможно, если Г1 содержит истолкования Np или Ср. В первом случае |р|а = t для любого aeW1' и Ор з ШОр истинна в каждом W2', «производном» от такого W1'. Во втором случае <Г1; ai; W1'> примет вид <{Ср}; {р}; {{р}, {1р}}>. Одним из кластеров второй степени, допустимым относительно данного W1', будет конструкция <{ССр}; {р}; {{{р}, {1р}}; {{р}}; {{1р}}}>. I□0рlw2 = = t ^ VW1(W1 е W2 ^ |Ор | W1 = t). Очевидно, однако, что в множестве {{1р}} формула Ор ложна, поэтому во включающем его W'2 ложна и ШОр. Таким образом, истинность Ор в некотором W1' не гарантирует истинность ШОр во всех «производных» от него W2' («возможности могут исчезать» - допусти'м переход от Ор к р).
Пусть |йр|ш' = t в некотором <Г1; ai; W1'>. Это возможно только при истолковании Np, которое остается неизменным при построении кластеров более высоких степеней, что гарантирует истинность Пр з Шр. При ложности Пр в исходном W1' формула Шр оказывается ложной, что также сохраняет истинность всей импликации. Таким образом, формула Пр з Шр оказывается истинной «по построению» в данной семантике.
При построении кластеров более высоких степеней все переменные с интерпретациями N или I сохраняют свои значения. Логически недетерминированные переменные могут интерпретироваться повторно как необходимые или случайные: Cpi ^ NCpi v CCpi.
Например, одним из кластеров третьей степени, построенным на основе вышеприведенного кластера с интерпретацией переменных ССр, CCq, будет следующая конструкция <Г3; a;; W3'>:
Г
<{NCCp, CCCq};{p,q};
1
{p,q}{p,lq} 1р, q} {1p,lq}
{{p,q}{p,1q}}; {{1p,q}{1p,1q}};
{{p,q}}; {{p,1q}}; {{p,q} {1p, q}}; {{1p,q}};{{1p,1q}};{{p,1q};{1p,1q}};
s
2[{{p,q}{1p,q}}; 1 3f{{p,1q}{1p,1q}} 1 { {p, q} }; {{1p, q)} J [{{P ,1q} 1 i ( OpM ) J
Каждое нумерованное множество W2' в данном W3' соответствует элементу дизъюнкции с тем же номером: 1. ССр л CCq V 2. ССр л ^ V 3. ССр л Ь[.
Нетрудно убедиться, что, к примеру, формула П0П(р з я) будет истинной в данном W3, поскольку
VW2'(W2'eWз' ^ ЗWl'(Wl'eW2' л Va(ae Wl' ^ I (р з я) |а = 0)).
Общее число <Г3; а1; W3 ' > по отдельному а1 описывается арифметической функцией вида Сп° х 30 + Сп1 х 31 + Сп2х32 + ... + Спк х 3к + ... + Спп х 3п = 4п, где слагаемое Спк х 3к представляет число <Г3; а1; W3 ' >, порождаемых кластерами первой степени с к «случайными» переменными (п > к > 0). Элементами таких W3 ' будут объекты «предыдущего уровня», т.е. 3к-элементные множества множеств о.с. (п > к > 0).
Сказанное о способе порождения конструкций <ОГп'; а1; Wn">, их общем числе, а также числе и типе их элементов (таблица) можно обобщить следующим образом:
<Г1; а1; Wl '>: Сп0 + Сп1 + Сп2 + Сп3 + ... + С/ = 2п;
<Г2; а1; W2'>: Сп0 х 20 + Сп1 х 21 + Сп2 х 22 + ... + Спкх 2к + ... + + Спп х 2п = 3п;
<Гз; а1; Wз'>: Сп0 х 30 + Сп1 х 31 + Сп2 х 32 + ... + Спк х 3к + ... + + Спп х 3п = 4п.
Степень кластера Число «случайных» переменных в Г Число элементов в W Тип элементов W
<Г1; а;; W1 '> 0 < 1 < п (п - число переменных в формуле) 2' О.с.
<Г2; а;; W2'> 0 < к < 1 3k Множества о.с.
<Г3; а;; W3 '> 0 < т < к 3m Множества множеств о.с.
Для кластеров произвольной конечной степени R > 1 соответствующий алгоритм примет вид
а1; WR'>: Сп0 х R0 + Сп^1 + Сп2 х R2+ ... + Спк х Rk + ... + + Спп х Rn = (К + 1)п.
Однако, как нетрудно убедиться, конструкции степени >3 не несут никакой новой информации о допустимых значениях переменных и их конъюнктивных сочетаниях. Таким образом, факт отсутствия в S4 собственных итерированных модальностей степени >3 оказывается естественным следствием самого способа построения данной семантики.
Описанная семантика полна и непротиворечива относительно исчисления S4 [8].
В основу дальнейшего изложения положим известный перевод основной интуиционистской системы А. Гейтинга в систему S4, предложенный в 1948 г. Дж. Маккинси и А. Тарским.
Пусть у - функция перевода. Тогда, в зависимости от степени сложности интуиционистской формулы, ее перевод в S4 примет следующий вид:
1) у(р) = Пр, где р - пропозициональная переменная;
2) у(—А) = П—у(А), где А - произвольная формула;
3) у(А л В) = у(А) л у (В);
4) у(А V В) = у(А) V у (В);
5) у(А з В) = П(у(А) з у(В)).
Произвольная формула А доказуема в системе Гейтинга, если только ее перевод у(А) доказуем в системе S4.
Очевидно, что при данном переводе все формулы системы Int, включая элементарные, рассматриваются как модальные. Отрицание и импликация системы Int рассматриваются как модальные понятия второй степени.
Распространим вышеизложенные принципы построения кластерной семантики для системы S4 на систему Int.
Как и в семантике для S4, в кластерной семантике для Int различаются три типа оценок:
1. Двухзначные истинностно-функциональные оценки {t, f} пропозициональных переменных в отдельных о.с. - в кластерной семантике для Int они служат исключительно для выражения смысла интуиционистских связок.
2. Трехзначные не-истинностно-функциональные оценки формул системы Int {T, R, F} («достоверно истинно», «опровержимо - refutable», «достоверно ложно» соответственно); выделенным значением является Т.
3. Трехназначные не-истинностно-функциональные оценки пропозициональных переменных в терминах {N, I, C}.
Очевидно, что оценки типов 2, 3 осуществляются в кластерах - ограниченных множествах о.с. Wn' (n > 1).
Будем иметь в виду следующую формулировку Int: логические символы объектного языка av, - сильное отрицание, импликация системы Int,
конъюнкция и дизъюнкция системы Int соответственно; символы 1, о, a, v, V, 3, е, g являются символами метаязыка, в котором формулируются условия истинности/ложности формул системы Int.; аксиомами системы будут все аксиомы к.и.в. за исключением —А^А, вместо которой вводится ~А^(А^В). Правилами вывода Int являются правила вывода классического исчисления высказываний.
Символ «~» обозначает «интуиционистское» отрицание, которое является, по сути, модальным понятием: в семантике возможных миров для Int ~А трактуется как «ложность А во всех мирах, достижимых из данного». Отрицанию ~ соответствует значение F. Интуиционистские значения T, F обладают свойствами «прямой сохранности» (монотонности): истинное/ложное в «сильном» смысле высказывание сохраняет свое значение в любом мире, достижимом из исходного.
Символ метаязыка «1» обозначает слабое (в терминологии Гейтинга -«фактическое») отрицание, которое может пониматься как отсутствие доказательства утверждения А на определенном этапе развития некоторой теории. Данному отрицанию соответствует значение R, которое не обладает свойством прямой, но обладает свойством «обратной сохранности»: все, что является недоказанным на нынешнем этапе развития теории, было таковым на всех предыдущих этапах [9].
Как и в семантике для S4, для построения кластеров в Int последовательно рассматриваются все исходные о.с. для формулы и возможные истолкования допустимых значений входящих в них переменных в терминах {N, I, C}. Если при этом в исходное о.с. переменная р; входит без отрицания 1, ей может приписываться только значение N. Если же в исходное о.с. переменная р; входит с метаотрицанием, то ей могут приписываться значения I или C. В последнем случае, как и в семантике для S4, кластер Wn' содержит последовательность о.с., в которой р;, по крайней мере однажды, меняет значение.
Если две или более переменных получают оценку С, дополнительно рассматриваются все допустимые ограничения на образование конъюнкций таких переменных. Переменные, получившие истолкование С, в дальнейшем могут оцениваться как NC или CC. В результате кластерами Int окажется ровно половина кластеров S4.
Пусть k - число переменных с «фактическими» отрицаниями в некотором о.с. a,j. Тогда число кластеров <Л; a^ Wi' >, возможных относительно этого aj, описывается выражением Ck0 + Ck1 + ... + CkJ + ... + Ckk = 2k, где i (k > i > 0) - число истолкований C. Исходное W1 ' в этом случае содержит 2J о.с.
Соответственно, число кластеров <Г2; ai; W2' >, возможных относительно такого ai, определяется выражением Ck0 х 20 + Ck1 х 21 + ... Ckrx2r + ... + + Ckk х 2k = 3k, где г (i > г > 0) - число истолкований CC. W2 ' в этом случае представляют собой упорядоченные 3г - элементные множества множеств о.с.
Число кластеров третьей степени определяется выражением Ck0 х 3 + + Ck1 х 31 + ... Ckm х 3m + ... + Ckk х 3k = 4k, где m (г > m > 0) - число истолкований CCC. Каждый кластер W3 ' содержит 3m элементов - 3г - элементных множеств W2 .
Соответственно, число кластеров произвольной конечной степени R, возможных относительно некоторого о.с. с k слабыми отрицаниями, описывается выражением
Ck0 х R0 + Ck1 х R1 + Ck2 х R2 + ... + Cnn х Rn = (R + 1)n.
Формулам системы Int следующим образом приписываются значения в данной семантике: переменная обычным образом принимает значение t или f в о.с. в зависимости от того, входит ли в о.с. она сама или ее метаотрицание: | p |a = t О р £ a; | p |a = f О р € a o]p £ a О |]p |a = t.
1.|A|w1 = T О V a(a £ W1 ^|Ala = t).
2.|A|W1 = R О 3 a(a £ W1 л l А|a = f).
3.|A|w2 = F О |~A|w2 = T О V W1(W1 £ W2 ^ |A|w1 = R).
Таким образом, значения T и F в данной семантике «несимметричны»: если истинность некоторой формулы определяется в множестве уровня Wn, то ее (сильная) ложность определяется в множестве следующего уровня Wn+1; в Wn устанавливается только ее слабая ложность (опровержимость).
4. |~А l W2 = R О 3 W1(W1 £ W2 л | А |W1 = T).
5. |~A| W3 = F О l —Аl W3 = T О VW2(W2 £ W3 ^|~А| W2 = R).
Попытаемся продолжить процесс «навешивания» отрицаний:
l--А | W3 = R О 3W2(W2 £ WзЛ |~А l W2 = T)
l ~~А| W4 = F О l---A| W4 = T О VW3(W3 £ W4 ^ 3W2(W2 £ Wзл|~А| W2 =
= T)) - в силу принятых в классической логике правил удаления кванторов последнее определение эквивалентно определению 3, поэтому «нет надобности рассматривать более двух последовательных отрицаний» [10. С. 125].
6. l АлВ l W1 = T О (|Alw1 =T л |В| W1 = T).
7. |АлВ| W1 = R О (|A|w1 =R v|Blw1=R).
8. | АлВ | W2 = F О | ~(АлВ) | W2 = Т О VW1(W1 £ W2 ^ (l A|w1 = = R v | В | W1 = R)).
9. | АvВ | W1 = T О ( | A | wi = T v | В | wi = T).
10. |AvB| W1 = R о (IА|W1 = R A iBiwi = R)
11. |AvB| W2 = F о I- (AvB)Iw2 = T о (IaI W2 = F a|b| w2 = F) о о (|-a| W2 = T a|~b| W2=T)
12. IА ^ B|w2 = T о V Wi( Wi EW2 ^ (IaI W1 = T ^|b| W1 = T) или, поскольку импликация ^ рассматривается как материальная:
12'. |А ^ B|w2 = T о VWi(Wi е W2 ^(iaiwi = R V ibiwi = T)).
13. |A ^ ВIW2 = R о 3Wi(Wi е W2 a (IАI wi = T a iBiwi = R)).
14. IА ^ B|w3 = F о|~(А ^ B)iw3 = T о VW2(W2 е W3 ^ (I А ^B|w2 = R). Формула B выполнима в Int, е.т.е. В принимает значение Т в некотором
Wn (n > 1).
Формула B общезначима в Int, е.т.е. В принимает значение Т в каждом Wn (n > 1).
Приведенных определений достаточно, чтобы показать необщезначимость в Int ряда законов классической логики.
Формула ~AvA необщезначима в Int. Рассмотрим <Г1'; а;; W1'> с характеристиками <CA; {1a}; {{1А}{А}}> и один из возможных относительно него <Г2'; а,; W2'>: <CCA; {1A}; {{{1А}{А}}; {{IAH; {{А}}>.
А опровержима в W1', ~А опровержима в W2', так как множество {{А}} не содержит ни одного о.с., в котором А принимала бы значение f. Формула - (AaB) ^ (-Av-B) не общезначима в Int.
Пусть исходным <Г1'; а;; W1'> является <{СА, СВ, I(AaB), C(~|AaB),
C(Aa1B), I(1Aa1B); {1А,1В}; {oA, В}{А,1В}}>.
Рассмотрим следующий <Г2'; а,; W2'>, построенный на его основе: <{ССА, ССВ, NI(AaB), СС(1АаВ), СС(Аа1В), NI(1Aa1B}; {1А,1В}; {{{1А,В} {А,1В}}; {{1А,В}}; {{А,1В}}}>. В каждом элементе данного W2' формула AaB опровержима, т.е. I-(AaB)| W2' = T, но при этом I-АIW2' = R,
I—BIW2' = R.
Формула (А ^ В) ^ (-А v В) необщезначима в Int (интуиционистская импликация невыразима через суперпозицию сильного отрицания и дизъюнкции).
Рассмотрим <Г1'; а;; W1'> с характеристиками <{СА, СВ, С(АаВ),
I(1AaB), I(Aa1B), С(1Аа1В}; {1А,1В}; {{А,В}{1А,1В}}>.
Одним из допустимых относительно него W2' будет {{{А, В} {1А, 1В}}; {{А, В}}; {{1А, 1В}}}. Формула А ^ В принимает значение T в W2' (А ^ В истинна в каждом W1'eW2'). Однако в том же W2' формула ~А опровержима (опровергающее множество о.с. - {{А, В}}), а в исходном W1 = {{А, В} {1А, 1В}} опровержима формула В. (Нетрудно убедиться, что обратная импликация (-AvB) ^ (А ^ В), а также формула (-А ^ (А ^ B)) общезначимы в кластерной семантике для Int.)
Семантика полна и непротиворечива относительно исчисления Int. Подведем предварительные итоги. Как следует из вышеизложенного, отличительными особенностями семантик предложенного типа является «конструктивный», конечный характер всех используемых процедур и понятий и их содержательная оправданность: в пропозициональных фрагментах S5, S4, Int смысл модальных операторов и интуиционистских логических связок выявляется при помощи конечных последовательностей кластеров - упорядо-
ченных множеств о.с. для формулы. Для предикатных расширений подобных семантик дополнительным условием конструктивности используемых процедур и понятий оказывается конечность предметной области теории.
Указанные особенности данных семантик делают их эффективным инструментом автоматизации проверки правильности логических выводов в соответствующих логических системах.
Список источников
1. Ивлев Ю.В. Квазифункциональные отношения в логике и других областях знания // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2021. № 63. С. 214-235
2. Фейс Р. Модальная логика. М. : ФИЗМАТЛИТ, 1974. 520 с.
3. Сидоренко Е.А. Логика, парадоксы, возможные миры. М. : Едиториал УРСС, 2002. 312 с.
4. Войшвилло Е.К. Содержательный анализ модальностей S4 и S5 // Философские науки. 1983. № 3. С. 76-80.
5. Карнап Р. Значение и необходимость / пер. с англ. Н.В. Воробьёва. М. : Изд-во иностр. лит., 1959. 383 с.
6. Ивлев Ю.В. Модальная логика. М. : Изд-во Мос. ун-та, 1991. 224 с.
7. Архиереев Н.Л. Теория логических модальностей без «возможных миров» // Гуманитарный вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Эл. № ФС77-51037 от 3 сентября 2012 г. 2016. № 7 (45). doi: 10. 18698/2306-8477-2016-7-373
8. Архиереев Н.Л. Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4 // Гуманитарный вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. № 2 (52). doi: 10. 18698/23068477-2017-2-413
9. Шрамко Я. В. Обобщенные истинностные значения: решетки и мультирешетки // Логические исследования. 2002. Вып. 9. С. 264-291.
10. Гейтинг А. Интуиционизм / пер. с англ. В.А. Янкова. М. : Книжный дом «Либроком», 2010. 160 с.
References
1. Ivlev, Yu.V. (2021) Quasi-functional relations in logic and other fields of knowledge. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 63. pp. 214-235. (In Russian). DOI: 10.17223/1998863X/63/21
2. Face, R. (1974) Modal'naya logika [Modal logic]. Translated from English. Moscow: FIZMATLIT.
3. Sidorenko, E.A. (2002) Logika, paradoksy, vozmozhnye miry [Logic, Paradoxes, Possible Worlds]. Moscow: Editorial URSS.
4. Voyshvillo, E.K. (1983) Soderzhatel'nyy analiz modal'nostey S4 i S5 [A meaningful analysis of modalities S4 and S5]. Filosofskie nauki. 3. pp. 76-80.
5. Carnap, R. (1959) Znachenie i neobkhodimost' [Meaning and Necessity]. Translated from English by N.V. Vorobiev. Moscow: Izd-vo ino-str. lit.
6. Ivlev, Yu.V. (1991)Modal'naya logika [Modal logic]. Moscow: Moscow State University.
7. Arkhiereev, N.L. (2016) Teoriya logicheskikh modal'nostey bez "vozmozhnykh mirov" [Theory of logical modalities without "possible worlds"]. Gumanitarnyy vestnikMGTU im. N.E. Baumana - Humanities Bulletin of BMSTU. 7(45). DOI: 10. 18698/2306-8477-2016-7-373 [Online] Available from: http://hmbul.ru/catalog/hum/phil/373.html (Accessed: 3rd September 2022).
8. Arkhiereev, N.L. (2017) Estestvennye modeli dlya iterirovannykh modal'nostey v sisteme L'yuisa S4 [Natural models for iterated modalities in the Lewis system S4]. Gumanitarnyy vestnik MGTU im. N.E. Baumana - Humanities Bulletin of BMSTU. 2(52). [Online] Available from: http://hmbul.ru/catalog/hum/phil/413.html (Accessed: 4th September 2022).
9. Shramko, Ya.V. (2002) Obobshchennye istinnostnye znacheniya: reshetki i mul'tireshetki [Generalized truth values: lattices and multilattices]. Logicheskie issledovaniya. 9. pp. 264-291.
10. Geyting, A. (2010) Intuitsionizm [Intuitionism]. Translated from English by V.A. Yankov. Moscow: Librokom.
Сведения об авторе:
Архиереев Н.Л. - доктор философских наук, профессор кафедры СГН-4 («Философия») Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (Москва, Россия). E-mail: arkhnl@bmstu.ru, arkh-nikolaj@yandex.ru
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Information about the author:
N.L. Arkhiereev, Dr. Sci. (Philosophy), professor of the Department of Social and Humanitarian Sciences-4 ("Philosophy"), Bauman Moscow State Technical University (Moscow, Russian Federation). E-mail: arkhnl@bmstu.ru, arkh-nikolaj@yandex.ru
The author declares no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 07.09.2022; одобрена после рецензирования 22.11.2022; принята к публикации 05.12.2022
The article was submitted 07.09.2022; approved after reviewing 22.11.2022; accepted for publication 05.12.2022
