Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 163

БОТ 10.18698/2306-8477-2017-02-413

Естественные модели для итерированных модальностей

в системе Льюиса 84

© Н.Л. Архиереев

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Основное средство содержательного истолкования модальных исчислений в современной логике — так называемые семантики возможных миров (реляционные и окрестностные). Исходными в данных семантиках являются понятия возможного мира, модельной структуры, отношения достижимости между мирами. Хотя семантики возможных миров кажутся более естественными, чем алгебраические и топологические семантики модальных исчислений, лежащие в их основе понятия не имеют удовлетворительной содержательной интерпретации. Особенно трудной оказывается проблема содержательной интерпретации итерированных модальных операторов. В статье изложен принципиально новый подход к построению семантики модальных логик, при котором используются только традиционные для них понятия логической истинности, выполнимости и т. д. На основе этого подхода предложено естественное истолкование итерированных модальностей системы Б4.

Ключевые слова: модальность, возможный мир, модельная структура, отношение достижимости, относительно ограниченное множество описаний состояний, истинность, ложность, выполнимость, общезначимость

В работах [1-3] были изложены основные принципы построения теории логических модальностей (семантики исчисления S5 Льюиса), в которой используются только содержательно оправданные понятия логической истинности/ложности высказываний, совместимости/несовместимости высказываний по истинности/ложности и др. В данной статье указанные принципы распространяются на модальную систему Льюиса S4, дается естественная интерпретация итерированных модальностей этой системы, строится ряд арифметических функций, обеспечивающих исчерпывающий пересчет так называемых относительно ограниченных множеств описаний состояний (конечных упорядоченных множеств описаний состояний, выполняющих роль модельных структур семантик возможных миров).

Семантика относительно ограниченных множеств описаний состояний для системы Льюиса 84. Будем иметь в виду следующую формулировку S4:

• исходные символы: —, з, □ (отрицание, импликация, оператор необходимости соответственно), например 0А = — —А ;

• аксиомы и правила вывода классического исчисления высказываний;

• дополнительные аксиомы и правила вывода:

А1. □(А з В) з (А з В),

А2. □А з А,

А3. □Аз □□А,

RG. М. □ □ A

Как и в семантике для S5, различают три типа оценок:

1) оценки формул классической логики высказываний (к.л.в.) в отдельных описаниях состояний (о.с.);

2) оценки формул, находящихся в области действия модальных операторов; при этом собственные модальности 1-й, 2-й и 3-й степени — □, ◊, □◊, ◊□, □◊□, — рассматриваются соответственно как кванторы по отдельным о.с., по множествам о.с. и множествам множеств о.с.;

3) метаистолкования элементарных формул к.л.в. в терминах {N, C, I}; наличие существенных итерированных модальностей в S4 предполагает возможность вторичных метаистолкований формул к.л.в. в терминах {N, C, I}. Метаоценки N, I могут повторно истолковываться только как NN, NI (что фиксируется аксиомой □Аз□□А), метаоценка С может истолковываться как NC либо СС (что проявляется в необщезначимости формулы ОАз^ОА в S4).

В экстенсиональной семантике для S5 все о.с., входящие в один кластер, были связаны отношением достижимости — эквивалентности. В S4, как известно, отношение достижимости между мирами рефлексивно и транзитивно, но уже не симметрично, поэтому существенным становится понятие выделенного/действительного мира, вернее, его аналог. По каждому о.с. а, из исходного множества о.с. для формулы строится множество всех возможных ограничений на допустимые истинностные значения переменных, входящих в некоторую формулу. Поскольку каждое о.с. содержит n переменных, а каждая переменная может истолковываться как имеющая свое значение случайным образом или по необходимости, допустимыми по

n

каждому а, оказываются 2 таких истолкований. Однако в данном

случае удобнее рассматривать число 2n истолкований по отдельному о.с. в виде элементарной арифметической функции — строки треугольника Паскаля с основанием n: 2n = СЩ + Cln + C0 +... + СЩ .

Слагаемое CЩ обозначает число интерпретаций по отдельному а,, в которых все переменные истолковываются как строго детерминированные.

Ясно, что по каждому о.с. такая интерпретация будет единственной, а выполнять ее будет одноэлементное множество о.с. Слагаемое

С обозначает число интерпретаций, истолковывающих в качестве случайной какую-либо одну переменную. Каждая такая интерпретация будет выполняться каким-либо двухэлементным множеством о.с. Наконец, последнее слагаемое обозначает число интерпретаций, в которых все переменные истолковываются как случайные. Такой интерпретации будет соответствовать 2п-элементное множество о.с. для формулы.

Пусть далее к — число переменных, которые в некоторой интерпретации имеют метаистолкование С. Если 2 < к < п, то по каждой такой интерпретации, как и в семантике для S5, строится набор дополнительных ограничений на образование конъюнкций логически недетерминированных высказываний. В результате этих ограничений из исходного множества о.с. для формулы могут исключаться некоторые элементы.

Таким образом, в качестве наиболее простых аналогов S4-модельных структур будем использовать трехэлементные множества

{ОГ{; а; ,

где ОГ' — одна из интерпретаций, выполняющая роль отношения достижимости семантик возможных миров; а, — исходное о.с. (аналог выделенного или действительного мира), относительно которого рассматривают все мыслимые ограничения возможных логических форм элементарных высказываний; — (относительно) ограниченное множество о.с. (возможных миров), выполняющее условия ОГ''.

Такое трехэлементное множество будем называть относительно ограниченным множеством описаний состояний (ОГОС), или кластером первой степени [3].

Пример. и: {а1 = {р, д}, а2 = {р, —д}, а3 = {—р, q}, а4 = {—р, —д}}. Относительно а1 возможны 4 кластера (ОГ{;аг:

1) ({Лр, Лд};{р, д};{{р, д}});

2) ({Лр,Сд};{р,д};{{р,д}{р, —д}});

3) ({Ср, Лд};{р, д};{{р, д}{—р, д}});

4) Сд};{p,д};{{p,q}{p, —д}{—p,д}{—p, —д}}).

(Относительно последнего множества возможны еще 7 дополнительно ограниченных кластеров [1].)

В кластерах первой степени приписываются значения формулам с модальностями □, По сути, условия истинности/ложности модальных формул первой степени остаются теми же, что и в S5:

\пВ\ш = t оУа(аеЖ ^ |В| а = t); | аВ |Ж = / о За (а е Ж л | В| а = /);

|0В= t о За (а е Ж л | В| а = t); |0В|Ж = / «Уа(аеЖ ^ |В| а = /).

Для определения значений формул с модальностями вида □◊, по каждому кластеру первой степени (ОГ';агследующим образом строится множество кластеров второй степени (ОГ2; а,; .

Переменные, получившие метаистолкования N или I в некотором ОГ', сохраняют исходные значения во всех ОГ' более высокого уровня (истолковываются как NN или N1 соответственно). А переменные, истолкованные как случайные в ОГ', могут на втором шаге получить интерпретацию N0 или СС. Если элементами Ж" являются отдельные о.с., то элементами Ж2' — объекты предыдущего уровня (множества о.с. Ж''). При этом если ОГ'2 некоторого {ОГ2; а,; Ж2'^ содержит для некоторой переменной рг истолкование NCpi , то элементами Ж2'' будут только такие множества о.с. Ж", в каждом из которых Рг по крайней мере однажды меняет значение. Если же в ОГ2 содержится интерпретация ССрг, то в Ж2' она будет представлена тройкой множеств о.с., соответствующей истолкованию NCpi VVСрг.

Пример. Относительно вышеприведенного кластера ({^р,Сд};{р,д};{{р,д}{р,-д}}) возможны два (вГ2; а,; Ж? ) :

({NNp,NCq};{p,д};{{{р,д}{р,-д}}});

({NNp,ССд};{р,д};{{{р,д}{р,-д}};{{р,д}};{{р,-д}}}).

Тройка множеств о.с. во втором кластере соответствует мета-истолкованию

NNp л жд V NNp л Щ V Шр л 1ц . Число (ОГ2; аг; Ж2 ^ по отдельному аг определяется функцией

С0 х20 + С,1 х21 + С? х22 +... + Скп х2к + Спп х2й = 3й,

где слагаемое Ск х 2к (0 < к < п) представляет число кластеров степени (ОГ2; аг; Ж2 ^, порожденных кластерами первой степени с к случайными переменными. Если все к случайных переменных получают метаистолкование СС, то Ж2 этого (ОГ2; аг; Ж> ) будет

представлять собой 3к -элементное множество множеств о.с.:

<

{ ЛСр, ЛСд}; { р, д};

{p, д}{ рЛ д} {р д}{ 1р.тд}

>

{ЛСр, ССд}; {р, д};

{p, д}{ p, |д}

{к д}{ к д} {{р, к д}} {{р,1 д}{ V, д}}

>

<

{CP, Сд}; {p, д} ;<

{ p, д}{ р,~\ д} {к д}{к1 д}

>

{ССр, ЛСд}; {р, д};

{p, д}{ р^ д}

[{к д}{ к1 д}] {{р, д}{ рЛ д}}

{{к д}{ к1 д}}

>

<

{ССр, ССд}; { р, д};

2.{{ р, д}{ р] д}}

3.{{1р, д}{ 1р,1 д}}

{p, д}{ р\ д}

[{к д}{ к1 д} 6-{{ р, д}} 7К рЛ д}} 4.{{ р, д}{ к д}}

кд}} к! д}} 5.{{р,1 д}{к]д}}

>

Каждое из множеств о.с. в последнем Ж2 соответствует элементу дизъюнкции с тем же номером:

NCp & NCq V ^ & Жц V 1р & NCq V Жр & Щ V NCp & 1ц V V ^ & Nq V ^ & 1ц V 1р & ^ V 1р & 1д.

Формулам с итерированными модальностями второй степени следующим образом приписываются значения в (ОГ2; аг; Ж ) :

| пОВ|Ж«= г о УЖДЖ^е Ж2''^ За(а е Ж"л |В|а = г));

\0аВ\Ж„ = г о ЗЖДЖ'"е Ж2''лУа(а е Ж"^ |В|а = г));

|аО-В|Ж" = г о УЖДЖ/'е Ж2''За(а е Ж''л|В|а = /));

\Ъа-В\щ,= г о ЗЖДЖ'" е Ж2''лУа(а е Ж'" ^ |В|а = /)).

Приведенных определений достаточно, чтобы показать необщезначимость ОЛ за ОЛ и общезначимость аА заа А в полученной семантике.

Пусть формула содержит единственную переменную р; рассмотрим следующий (ОГ{; аг; Ж'") для нее:

({Ср};{р};{{р},{-р}}), относительно которого возможны два множества второй степени:

({Жр};{р};{{{р},{-р}}});

({ССр};{р} ;{{{р},{-р}};{{р}} ;{{-р}}}) .

В исходном Ж'" формула Ор истинна, потому что За(аеЖ л|р|а = г).

В Ж2" с метаистолкованием NCр формула аОр также является истинной, поскольку в данном случае

V Ж' "(Ж'" е Ж2 " ^ За(а е Ж' "л | р|а = г)).

Однако в Ж2" с метаистолкованием ССр содержится множество о.с. {{-р}}, в единственном элементе которого р ложно. Поэтому формула аОр ложна в данном Ж2 и естественным образом истинно ее отрицание Оа-р, поскольку выполняется условие

З Ж' "(Ж'" е Ж2 "л Vа(а е Ж'" ^ | р| а = /)).

Следовательно, ОЛ за ОЛ необщезначима в данной семантике.

Далее формула □ р будет истинной исключительно в (|Лр};{р};{{р}}). Возможным относительно него будет только кластер (|ЛЛр};{р};{{{р}}}), в котором истинна формула □□ р . Таким образом, □ р зстар истинна в данной семантике «по построению».

Для определения значений формул с итерированными модальностями третьей степени по каждому кластеру второй степени

ОГ2; а; ) следующим образом строится множество кластеров

ОГ3; а; Wз

Переменные, получившие метаистолкования NN N1, ЛС в некотором ОГ2, сохраняют исходные значения во всех ОГ3 (имеют истолкования ЛЛЛ, NN1, ЛЛС соответственно). А переменные с мета-истолкованием СС в ОГ2 могут на третьем шаге получить интерпретацию ЛСС или ССС. Элементами W3, являются объекты предыдущего уровня (множества множеств о.с. ). При этом если ОГ3 некоторого (рГЗ; а; содержит для некоторой переменной р^ истолкование ЛССрI, то элементами W3' будут только такие множества множеств о.с. , в каждом из которыхр^ имеет истолкование СС. Если же в ОГ'3 содержится интерпретация СССр^, то в W3' она будет представлена тройкой множеств множеств о.с., соответствующей истолкованию ЛССр, V Лр^ V Ср, .

{{{р, д}{ р, —»;{{р, д}};{{ р, -д}}}" {{{р, д}}};{{{ р, -д}}} _

Тройка множеств множеств о.с. в прямоугольных скобках соответствует метаистолкованию

ЛЛЛр а ЛССд V ЛЛЛр а Щ V ЛЛр а Ц.

Общее число (ОГ'; а,; Ж3'} по отдельному а, описывается арифметической функцией

С0 х30 + С1 х31 + СП х32 +... + Ск х3к + СП х3й = 4й,

Пример. {ЛЛЛр, СССд};{ р, д};

где слагаемое СЙ х 3к представляет число кластеров третьей степени (РГ3; аг; , порождаемых теми кластерами первой степени, в каждом из которых в качестве случайных истолковываются какие-либо к переменных (0 < к < п). Если все к случайных переменных

получают метаистолкование ССС, то ЖГ этого {РГ3; а,; Ж3") будет

представлять собой 3к -элементное множество множеств множеств о.с.:

{СССр, СССд}; { р, д}

1.

{ р. д}{ рЛ д} № р, д}{1 р.] д}

{{ Р. д}{ РЛ д}} {{1 Р, д}{1 РЛ д

{{ Р. д}}{{ РЛ д}} {{р.д}(М} {{Р.д}}{{РЛд}} {(рЛд)ОрЛд

2.

4.

{{ Р, д}{1 Р, д}} {{ Р, д}}{{1 Р, д}} {{ Р, д}{ РЛ д}} {{ Р, д}}{{ РЛ д}} б.{{{ Р, д}}}

N{{1 р. д}}}

3.

5.

7 9

{ РЛ д}{1 РЛ д}} {{ РЛ д}}{0 РЛ д р. д)0 РЛ д}}

¡0 Р. д}}{0 РЛ д •Ш РЛ д}}}

.{{О р) д}}}

Каждое из множеств множеств о.с. данного Ж3 соответствует элементу дизъюнкции с тем же номером:

ШСр & ШСц V ШСр & Щ V ШСр & 1ц V ^ & NCCq V

V 1р & NCCq V Щ & Щ V Щ & 1д V 1р & Щ V 1р & 1д.

Формулам с модальностями вида аОа , ОаО следующим образом приписываются значения в (ОГ3; аг; Ж3

I О В|щ,= г о VЖ2''(Ж2''е Ж"^ ЗЖ"(Ж"е

е Ж2^а(аеЖ' '|В|а= г)));

|О ОВ|Ж''= г о ЗЖ2''(Ж2''е Ж^Ж''(Ж' "е

е ЖТ ^За(аеЖ/'л| В| а= г)));

| О—>В|Ж" = г о V Ж2 "(Ж2 " е Ж3" ^ З Ж' "(Ж''

еЖ> "лVа(аеЖl |В| = /)));

<

|О О—В|Щ„ = t ^ 3 Щ2"(Щ2" е Щ3"лУЩ"(Щ' еЩ, "^3а(аеЩ "л| В = /))).

<{ #ССр.ССС*}{ р.*}

1.

{ р. *}{ р.1 *} { р, *}{ р.] *} {{р.«}}{{р.1«}}

{{р,«}{р,"И}

{{р.«1Пр.] *}} {{р.*}{р.*}}

ЦМЩЫ»}} ПаМЦр,!*}}

2.

{{р.*} {1 р.*}} {{р. *}}{{! р.*}}

3.

|{рЛ«1 {рЛ *}} {{рЛ *}}{{ рЛ *}}

>

ЫССр & ЫСС* V ЫССр & Щ V ЫССр & Формула □О^(рз*) истинна в данном Щ3. поскольку У Щ2" Щ" е Щз'' ^ 3 Щ" (Щ'' е Щ2" лУа(а е Щ'' ^ I(р з *)| = t))).

Сказанное о способах образования относительно ограниченных множеств описаний состояний различных степеней можно обобщить в виде таблицы.

Структура относительно ограниченных множеств о.с.

Степень кластера Число случайных переменных в ОГ Число элементов в Щ Тип элементов Щ

(ОГ[; а,; Щ") (0 < г < п) (п — число переменных в формуле) О.с.

(ОГ2; а,; Щ") (0 < к < г) 3к Множества о.с.

{ОГ'з; а,; Щ") (0 < т < к) зт Множества множеств о.с.

В каждом случае арифметические функции, характеризующие множества W соответствующей степени, принимают вид:

(ОГ{; а,; W{) : C0 + Cln + C2n +... + Cnn = 2n; (ОГ2; а,; W2") : C0 x20 + Cn x21 + C2n x22 +... + c2 x2k + Cnn x2n = 3n; (ОГ3; а,; W{) :

CO x30 + Cl x31 + C22 x32 +... + c2 x3k + Cn x3n = 4n .

Данные выражения можно естественным образом обобщить для множеств W произвольной конечной степени: {ОГ'к; а,; WRR):

CO xR0 + Cl xR1 + C2 xR2 +... + C2 xRk + Cn xRn = (R + 1)n.

Нетрудно убедиться, что при R > 3 итерированные метаистолко-вания не дают никакой новой информации о допустимых значениях элементарных высказываний. Иными словами, факт отсутствия в данной семантике собственных итерированных модальностей степени выше трех зафиксирован в самом способе ее построения.

Построенная семантика непротиворечива и полна относительно исчисления Льюиса S4. Доказательство опускается.

Как указывалось в начале настоящей работы, в семантиках предложенного типа используют только традиционные для логики понятия (логической) истинности/ложности, совместимости/несовместимости высказываний по истинности/ложности и т. д. При этом смысл модальных операторов выражается с помощью конечных множеств о.с., что, по мнению автора, делает семантики ограниченных и относительно ограниченных множеств о.с. возможной основой для построения автоматической процедуры проверки модальных формул на общезначимость/выполнимость. Кроме того, данный подход позволяет описать в традиционных терминах свойства целого ряда неклассических логических систем. В частности, на основе известного перевода исчисления Гейтинга в модальную систему S4, предложенного еще в 1948 г. Дж. Маккинси и А. Тарским, автор статьи разработал естественную семантику исчисления Int. Если в качестве исходного понятия семан-тик данного типа взять не классическое, а обобщенное о.с., то можно получить релевантные варианты соответствующих систем. Некоторые из этих вопросов будут более подробно рассмотрены в последующих работах автора, посвященных данной тематике.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Архиереев Н.Л. Логические модальности как арифметические функции — Философия науки, 2010, № 2 (45), с. 78-91.

[2] Архиереев Н.Л. Трехзначная неистинностно-функциональная модальная логика. Логико-философские исследования, 2010, вып. 4, с. 123-130.

[3] Ивлев Ю.В. Модальная логика. Москва. Изд-во МГУ. 1991. с. 168-190.

Статья поступила в редакцию 30.11.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Архиериев Н.Л. Естественные модели для итерированных модальностей в системе Льюиса S4. Гуманитарный вестник. 2017. вып. 2. http://dx.doi.org/10.18698/2306-8477-2017-02-413

Архиереев Николай Львович — канд. филос. наук. доцент кафедры «Философия» МГТУ им. Н. Э. Баумана. е-шаП: [email protected]

Natural models for iterated modalities in the Lewis' S4 system

© N.L. Arkhiereev Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The primary means of interpretation in the case of modal calculi in contemporary logic is the so-called possible worlds semantics (of the relational and neighbourhood types). In these semantics, the basic concepts include the possible world, the model structure and the accessibility relation between possible worlds. Though possible worlds semantics appear to be more natural than algebraic and topological semantics of modal calculi, their fundamental concepts lack a meaningful interpretation. The problem of interpreting iterated modal operators poses a particular challenge. The article describes a fundamentally new approach to developing modal logic semantics, using only their conventional concepts of logical truth, satisfiability etc. We suggest a natural interpretation of iterated modalities in the S4 system based on this approach.

Keywords: modality, possible world, model structure, accessibility relation, relatively bounded set of state descriptions, true, false, satisfiability, validity

REFERENCES

[1] Arkhiereev N.L. Filosofiya nauki — Philosophy of Sciences, 2010, no. 2 (45), pp. 78-91.

[2] Arkhiereev N.L. Logiko-filosofskie issledovaniya — Studies in logic and philosophy, 2010, issue 4, pp. 123-130.

[3] Ivlev Yu.V. Modalnaya logika [Modal logic]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1991, pp. 168-190.

Arkhiereev N.L., Cand. Sci. (Philos.), Assoc. Professor, Department of Philosophy, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: [email protected]