Классификация способов измерений электрических величин с весовым усреднением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.317.

М. В. Чернецов

КЛАССИФИКАЦИЯ СПОСОБОВ ИЗМЕРЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С ВЕСОВЫМ УСРЕДНЕНИЕМ

Предлагается систематизация методов измерения, основанных на весовом интегральном усреднении. Рассмотрены различного вида средства измерения и весовые функции, способы интегрального усреднения, анализируются их преимущества и недостатки.

В настоящее время в информационно-измерительной технике отсутствует единая, общепринятая систематизация процедур измерений, объединяющая все многообразие способов измерения различных физических величин. Подобное положение может быть исправлено, например, путем использования всеми принятого и понятного универсального языка - языка математики. При этом в качестве методологического базиса могут послужить достижения в области теории интегрального преобразования. Известно, что проблема измерения связана с нахождением значений некоторых интегралов, т.к. именно «интегрирование дает общий метод измерения физических величин, представляет собой абстрактное выражение разнообразнейших способов измерений» (В. И. Гливенко). «Интегральное представление наилучшим образом соответствует способам описания физических величин» (А. Лебег) [1, 2].

Идеи, изложенные в приведенных цитатах, остаются конструктивными и логичными даже в тех случаях, когда выполняются, на первый взгляд, самые примитивные измерения, например измерение длины путем прикладывания конечной меры. Результат получают суммированием количества мер, уложившихся в измеряемой длине, а сумма - это просто скрытая форма представления интеграла.

Конкретно задача измерения электрических величин может быть сформулирована как определение интегральных значений функционалов:

где X(^) - функция изменения измеряемого сигнала, в качестве которого может выступать текущая мощность, напряжение (ток), квадрат напряжения и т.п.; ^(¿)- весовая функция (ВФ); Ти - длительность интервала интегрирования; а - нормирующий множитель. Подобная форма функционала, как отображения функции X (^) в число, наиболее удобна и применяется на практике даже в тех случаях, когда содержит обобщенные ВФ.

В информационно-измерительной технике важное место занимает проблема классификации способов построения средств измерений (СИ), решение которой не только систематизирует соответствующую базу знаний, что важно с позиций развития и повышения эффективности информационных технологий, но и играет, учитывая прогнозирующие свойства классификаций, существенную роль при совершенствовании способов измерений.

За основу классификации способов построения СИ логично принять математическую классификацию интегралов, которая основывается на спосо-

(1)

0

бах построения интегральных сумм [3, 4], что оправдано с учетом ориентации средств измерений на максимальное использование средств вычислительной техники. Исходя из этого, последовательно рассмотрим виды интегралов и покажем, какие способы построения СИ им соответствуют.

1. Интеграл Римана (1853), определяемый через интегральную сумму в виде следующего выражения:

где X = тах (ху — ху —); ху - точки, которыми интервал интегрирования разбит каким-либо образом на конечное число п частных промежутков (х^—1, х^), причем х0 = а, хп = Ь , а £г- е [ хг—1, хг- ].

Данный способ интегрирования непосредственно реализуется в измерительных каналах, в которых применяются так называемые интегрирующие АЦП, осуществляющие интегрирование в примыкающих циклах [4, 5]. В случае применения АЦП мгновенных значений [6] (с равномерной и неравномерной дискретизацией) соответствующие интегралы в результате суммирования оцениваются с некоторой методической погрешностью аппроксимации.

Основываясь на свойствах интеграла Римана, исходный функционал можно представить в виде математически корректных аппроксимаций и преобразований выражения (1):

Т I

I = | X(0£ О,Ж = 2 О | Xт; (2)

0 у у г-

Т г

I = | О(г)2 Х,ёг = 2 Ху | О(г)йг ; (3)

0 у у 4—1

I = 2 ХО , (4)

у

где 2 Оу и 2 Ху - ступенчатые аппроксимации на интервалах [ гг-—1, гг- ] со-

у у

ответственно функций О(г) и X(г); Ху и Оу - значения соответствующих функций в моменты гг- .

Соответствующие выражениям (2)-(4) способы построения СИ с весовым усреднением предполагают аппроксимацию ступенчатыми функциями либо Х (г), либо О (г), либо и той и другой функций. Такая аппроксимация позволяет при аппаратурной реализации обойти трудности, связанные с точным выполнением операции умножения в выражении (1). Рассмотрим подробнее структуры СИ, реализующие интегрирование по Риману.

Как следует из выражения (2), операции интегрирования можно выполнять в любой последовательности, и этому соответствует два вида структур СИ.

В первой структуре (рис. 1,а) масштабирующим преобразователем (МП) сначала осуществляется умножение Х (г) на поступающий с генератора

весовой функции (ГВФ) О (ґ) сигнал, а затем результат получается посредством интегрирующего дискретизатора (ИД) - устройства, которое осуществляет операции интегрирования и дискретизации.

в)

Рис. 1 Виды структур СИ с весовым усреднением по Риману

Во второй структуре (рис. 1,б) ИД сначала определяет интегральные значения Х(г) в интервалах [гг-_ 1, гг- ], а затем в накапливающем сумматоре

(НС) суммируются произведения О (г) на ^ Х (г )ёг, которые получаются в

перемножающем устройстве (ПУ).

При описании данных структур специально не раскрывается физическая суть сигналов Х (г), промежуточных и I, чем подчеркиваются возможности их реализации как средствами чисто аналоговой, так и полностью цифровой техники. Например, в известных реализациях в качестве элементов структур используются: МП - кодоуправляемые масштабные преобразователи (делители напряжения, делители частоты, масштабирующие операционные усилители и т.п.); ИД - интегрирующие АЦП напряжения, АЦП среднего значения частоты, интеграторы на операционных усилителях; ГВФ - специализированные в виде субблоков цифровые устройства, микропроцессоры и микроконтроллеры; ПУ - программируемые устройства обработки сигнала (масштабирующие усилители, микропроцессоры, программируемые логические матрицы); НС - специализированные цифровые схемы, счетчики импульсов, интеграторы на операционных усилителях, микропроцессоры. Но даже при таком наборе элементов структур можно сформулировать общие требования к их точности.

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что их реализация сводится к структуре (рис. 1,в), которая предполагает осуществление дискретизации X (:) посредством дискретизатора (Д) и дальнейшее преобразование, как в структуре на рис. 1,б. Наиболее распространенным примером данной структуры является использование АЦП мгновенных значений X ^) и цифрового нерекурсивного фильтра, реализованного аппаратными или программными средствами.

Таким образом, структуры, реализующие интегрирование по Риману, представляют собой подкласс СИ, в которых воспроизводятся ступенчатые и решетчатые ВФ с равномерной или неравномерной дискретизацией, и, следовательно, их возможности в плане обработки изменяющихся сигналов ограничиваются свойствами указанных типов весовых функций.

2. Интеграл Лебега (1901), по определению автора, указывает на возможность двоякого подхода к конструкции интегральных сумм: 1) можно строить интегральные суммы Римана; 2) можно также разбить на частные промежутки [у—1, Уу ] область изменения функции с тем, чтобы объединить в группы близкоотстоящие значения функций. В конструкцию интегральных сумм Лебега входят множества точек ег- (на рис. 2 выделены серым цветом), в

которых выполняется неравенство Уi-1 < /(х) < Уу.

Рис. 2 Формирование интегральной суммы по Лебегу

Таким образом, область изменения функции [ A, B] делится на п частей:

A = Уо < У1 < У2 <... < Уп = B, и интеграл через интегральную сумму определяется следующим образом:

b п

Гf (x) dx = lim У Уі m [$■ ],

a i=1

где m [Si ]= lim m [(-X, X) n S] - мера Лебега, означающая принадлежность

X ——^

к области S; п = max (у- - у—).

В случае функций произвольного знака ординатное множество ограниченной f (x) разбивается на два подмножества: E(f +, [a, b ]), где f (x) > 0 , и

E(f-, [а,b]), где f (x) < 0 . Соответствующий интеграл оказывается равным

b

Гf(x) dx = m E(f+, [a,b] - m E(, [а,b]

Рассмотренный способ составления интегральных сумм широко используется при статистических измерениях, например гистограмм законов распределения плотности вероятности [7], и соответствует требованиям ГОСТ 13109-97. Своеобразная мера Лебега применяется при реализации способов стохастического измерения мощности, в которых реализуется метод Монте-Карло [8]. Согласно этим способам организуется комулянта, в начальный момент равная нулю, и далее генерируются случайные некоррелированные числа с равномерным законом распределения, полученные числа сравниваются с текущими значениями напряжения и тока, и в случае, если значения чисел меньше текущих значений тока и напряжения, комулянта увеличивается на единицу. Данная процедура повторяется до момента окончания интервала времени измерения Ти. Результат измерения получается путем деления накопленного в комулянте числа на интервал измерения Ти . Недостатком такого способа измерения являются низкие точность и быстродействие. Низкое быстродействие обусловливается необходимостью проведения большого числа статистических испытаний, а низкая точность связана с необходимостью построения качественных генераторов случайных чисел.

3. Интеграл Стилтьеса. Рисс (1909) доказал, что всякий линейный функционал U [f ], определенный в пространстве непрерывных функций

f (x), x e[a, b ], расстояния между которыми p(/i, f ) =

= max[fi (x)- f (x), выражается интегралом Стилтьеса:

b n

U[f]= ff(x) dG(x)= lim2f&) (G(xi)-G(x-i)),

a i=1

где X = max (xi - xi-1); e [ xi-1, xi ].

Интегрирование по Стилтьесу применяется в способах измерений с промежуточным частотным преобразованием [9, 10]. Например, если весовое интегрирование осуществляется согласно выражению

T

Nx =а

0

fx(t) g(t) dt, (5)

где х(г) - измеряемая величина (модулирующая функция), то представленный интеграл сводится к интегралу Стилтьеса:

т

Нх =“{ Я (() ^((),

0

где S(г) = |х(т)^т - первообразная модулирующей функции.

г

Интегралу Стилтьеса соответствует интегральная сумма

нх = «2я (г- )м(^), (6)

где

Ч

AS(tj) = J х(т) dт - (7)

4i -1

приращение интеграла модулирующей функции за время [tj _i, tj ].

Если выбрать AS (tj) = S0 = const, выражение (6) преобразуется к виду

Nx = a S0 2 ^ (ti). (8)

i

Условие So = const можно интерпретировать как отношение приращений фазы по времени [10]. Тогда формула (6) указывает способ измерения частоты путем суммирования значений весовой функции в моменты равных приращений фазы.

Согласно (8) для реализации функционала (1) структура СИ (рис. 3,а) должна включать в себя генератор, воспроизводящий весовую функцию -

ГВФ, интегратор (ИНТ) со сбросом, осуществляемым компаратором (К) в

моменты времени tj, в которые накопленный интеграл от X(t) достигнет значения S0 , и накапливающий сумматор (НС), который суммирует значения G(t) в моменты времени tj. Функции интегратора и компаратора могут выполнять, например, дельта-сигма-модуляторы, интегрирующие преобразователи напряжения в частоту с импульсной обратной связью и другие устройства. Следует отметить, что условие AS (tj) = So = const выполняется для большинства частотных датчиков, осуществляющих частотно-импульсную модуляцию, следовательно, рассмотренный способ весового усреднения наиболее приемлем для измерения и преобразования частотно-импульсно-модулированных сигналов либо сигналов частоты.

Если исходный функционал (5) представить в виде

T

Nx = a J x(t) dG(t) (9)

0

и проделать аналогичные преобразования, то получим:

Nx =aGo2X(tj), tj e[0,T]; (10)

i

при условиях

в ч

Jg(t)dt Ф 0, [a,в]e [0, T]; G0 = J g(t)dt = const; x(tj) = x(£f),

a 4-1

где e[tj_b ] .

В этом случае реализация (см. рис. 3,б) сводится к воспроизведению

ГВФ ряда импульсов, выделяющих моменты времени tj согласно (10), и

суммированию дискретных значений в накапливающем сумматоре за интервал [0, T]. Способы реализации интегрирования по Стилтьесу, представленные структурами на рис. 3, позволяют воспроизводить ВФ любого типа для сигналов x(t) и g (t).

б)

Рис. 3 Виды структур СИ с весовым усреднением по Стилтьесу

Изложенные взгляды на классификацию способов измерений полезны как для инженеров-разработчиков СИ для обеспечения их возможностью с единых позиций рассматривать все множество проблем практических измерений, так и для студентов и аспирантов, для которых, несомненно, полезной представляется единая обобщенная форма математизации знаний.

Список литературы

1. Гливенко, В. И. Интеграл в математике и в математическом естествознании / В. И. Гливенко // На борьбу за материалистическую диалектику в математике. -М. ; Л. : ОНТИ, 1930.

2. Медведев, Ф. А. Развитие понятия интеграла / Ф. А. Медведев. - М. : Наука, 1974. - 423 с.

3. Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. - М. : Наука, 1974. - 832 с.

4. Ш ахов, Э. К. Разработка основ теории и новых принципов построения интегрирующих развертывающих преобразователей : дис. ... докт. техн. наук. /

Э. К. Шахов. - Куйбышев, 1978. - 438 с.

5. Измерительные преобразователи на базе замкнутых структур интегрирующего типа / под ред. В. В. Усманова. - Пенза : Изд-во Пенз. технол. ин-та, 2000. - 138 с.

6. Шляндин, В. М. Цифровые измерительные устройства / В. М. Шляндин. -М. : Высшая школа, 1981. - 336 с.

7. Цапенко, М. П. Измерительные информационные системы / М. П. Цапенко. -М. : Энергия, 1974. - 320 с.

8. Новенко, Б. А. Цифровые приборы для измерения энергетических величин / Б. А. Новенко, Л. И. Каплан // Сборник научных трудов Ивановского энергетич. ин-та. - Вып. 23. - Иваново, 1972.

9. Дорожовец, М. М. Применение импульсно-модулированных весовых функций при аналого-цифровых преобразованиях интегральных характеристик измерительных сигналов / М. М. Дорожовец // Проблемы создания преобразователей формы информации : тез. докл. - Киев : Наукова думка, 1984. - 1 т. - С. 110-112.

10. Михотин, В. Д. Методы построения цифровых частотомеров / В. Д. Михотин. -Пенза : Изд-во Пенз. политехн. ин-та, 1986. - 68 с.