Классификация многообразий сложности 0 Текст научной статьи по специальности «Математика»

КЛАССИФИКАЦИЯ МНОГООБРАЗИЙ СЛОЖНОСТИ 01

В статье сформулирована и доказана теорема классификации ориентируемых 3-многообразий сложности 0.

Ключевые слова: 3-многообразие, сложность, спайн, 1Б1-разбиение

Введение

Известно, что 3-многообразия однозначно раскладываются в связную и гранично связную сумму, а сложность аддитивна относительно связного и гранично связного суммирования; по этой причине в работе рассматриваются неприводимые гранично неприводимые компактные ориентируемые 3-многообразия сложности 0. Неориентируемый случай аналогичен.

Определение 1. Пусть М — компактное связное 3-многообразие. Двумерный полиэдр Р С М называется спайном многообразия М, если выполняется одно из двух условий:

(a) дМ = 0 и М\Р гомеоморфно 3-шару,

(b) дМ = 0 и М\Р гомеоморфно дМ х [0,1).

Для несвязного 3-многообразия М спайн определяется как объединение спайнов соответствующих компонент связности М.

Определение 2. Двумерный полиэдр называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами (см. рисунок). Спайн 3-многообразия называется простым, если он является простым полиэдром.

Регулярная точка

Тройная линия

Истинная вершина

* Допустимые окрестности точек простого полиэдра

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00293-а).

Определение 3. Сложностью простого полиэдра Р называется число с(Р) его истинных вершин. Сложность неприводимого гранично неприводимого 3-многообразия М, отличного от сферы и шара, есть с(М) = шт{с(Р) | Р — простой спайн М}.

1. ^^разбиение 3-многообразий сложности 0

Напомним некоторые определения и факты теории ЛБЛ-разбиений.

Определение 4. Собственная поверхность Г в 3-многообразии М называется несжимаемой, если для любого диска О С М, такого, что О П Г = дО, кривая дО тривиальна в Г.

Определение 5. Собственная поверхность Г в 3-многообразии М называется гранично несжимаемой, если край Г непуст и для любого диска О С М, такого, что О П (Г и дМ) = дО и О П дМ = 0, дуга О П Г отсекает от Г диск.

Определение 6. Несжимаемый тор в 3-многообразии М называется существенным, если он непараллелен тору в дМ. Несжимаемое гранично несжимаемое кольцо в 3-многообразии М называется существенным, если оно непараллельно кольцу в дМ.

Определение 7. Пусть Г — собственный несжимаемый тор или собственное несжимаемое гранично несжимаемое кольцо в 3-многообразии М. Тогда Г называется грубым, если любой тор и любое несжимаемое гранично несжимаемое кольцо в М изотопны поверхности, не пересекающей Г.

Определение 8. Пусть М — 3-многообразие. ЗБЗ-система Б для М — это набор связных поверхностей в М, обладающих следующими свойствами:

1. Любая поверхность из Б есть либо грубый тор, либо грубое кольцо.

2. Любая поверхность из Б существенна.

3. Никакие две поверхности из Б не являются изотопными.

4. Б — максимальная система с указанными свойствами, т. е. любая другая система со свойствами 1, 2, 3, содержащая Б, изотопна Б.

Отметим некоторые важные свойства ЛБЛ-систем (см. [1]):

1) Для любого неприводимого гранично неприводимого компактного ориентируемого 3-многообразия ЛБЛ-система существует и единственна с точностью до изотопии.

2) ЛБЛ-ячейки (т. е. компоненты связности многообразия М;, полученного разрезанием М вдоль поверхностей ЛБЛ-системы) могут быть трех типов:

(a) простые многообразия (т. е. не содержащие существенных торов и колец);

(b) многообразия Зейферта;

(c) ориентируемые I-расслоения.

Ближайшей целью будет выяснение структуры ЛБЛ-разбиения многообразий сложности 0. Для этого нам потребуется несколько лемм, касающихся структуры спайнов.

Лемма 1. Для трехмерного шара не существует простого спайна сложности

0.

Доказательство. Пусть существует некоторый простой спайн Р сложности 0 трехмерного шара. Тогда Р содержит хотя бы одну тройную окружность, так как иначе Р — поверхность и спайном трехмерного шара быть не может.

Среди 2-компонент Р есть хотя бы одна дисковая компонента Р. Это связано с тем, что в разбиении граничной сферы непересекающимися окружностями (прообразы тройных линий при ретракции) будет хотя бы два диска, а это и означает наличие в Р дисковой 2-компоненты.

Регулярная окрестность тройной окружности дР гомеоморфна прямому произведению букета из трех отрезков на окружность. В противном случае Р либо неутолщаем, либо является тройным колпаком, задающим линзу ¿3,1.

Тройная окружность дР разбивает спайн Р на диск и два некоторых полиэдра с краем окружность. Заклеив край у последних дисками, получим простые спайны Р1 и Р1;. Отметим, что Р1 и Р1 — спайны трехмерных шаров, но с меньшим, чем у Р, числом тройных окружностей. Повторяя рассуждения для Р1, получим спайн Р2 шара. Индукцией по числу тройных окружностей на некотором шаге получим спайн Рп шара без тройных линий, т. е. поверхность, что невозможно. □

Лемма 2. Пусть Р — простой спайн сложности 0 неприводимого гранично неприводимого связного ориентируемого многообразия М с непустым краем. Тогда Р не содержит дисковых 2-компонент.

Доказательство. Пусть Р содержит дисковую компоненту Р. Тогда, учитывая, что М = ¿3;1 \ В3, тройная окружность дР гомеоморфна прямому произведению букета из трех отрезков на окружность.

Рассмотрим собственный в М диск О такой, что О I) Р. В силу неприводимости и граничной неприводимости многообразия окружность дО ограничивает в дМ некоторый диск О', а сфера О и О' ограничивает в М трехмерный шар.

Диск О — разбивающий для Р, так как он разбивающий для М. Таким образом, имеем некоторый простой спайн Р' трехмерного шара без вершин (переход от Р производится аналогично лемме 1), что по лемме 1 невозможно. □

Определение 9. Пусть М — 3-многообразие сложности 0, Р — его простой спайн сложности 0. Стыковочными будем называть собственные кольца многообразия М, средние линии которых изотопны тройным окружностям спайна Р.

Лемма 3. Если М — неприводимое гранично неприводимое ориентируемое 3-многообразие сложности 0 с непустым краем, то стыковочные кольца М существенны.

Доказательство. Пусть Р — спайн многообразия М и А0 — некоторое стыковочное сжимаемое кольцо. Тогда соответствующая кольцу А0 тройная окружность ограничивает некоторый диск О0 в М.

Из определения стыковочных колец следует, что кольцо А0 разрезает М на два многообразия, одно из которых является ориентируемым I-расслоением с базой, гомеоморфной некоторой 2-компоненте Г спайна Р.

Предположим, что пересечение диска О0 с любым стыковочным кольцом, отличным от А0, устранимо с помощью изотопии. Тогда О0 — собственный диск в некотором I-расслоении с базой Г, причем окружность дО0 изотопна краю Г. Так как фундаментальная группа многообразия совпадает с фундаментальной группой спайна многообразия, то Г необходимо гомеоморфна диску, что невозможно по лемме 2.

Пусть О0 пересекает некоторое стыковочное кольцо А1, неизотопное А0. Окружность О0 П А1 ограничивает в О0 диск О1. Повторяя рассуждения для стыковочного сжимаемого кольца А1 и диска О1, на п-м шаге получим противоречие с леммой 2.

Граничная несжимаемость и непараллельность краю стыковочных колец следует из определений. □

Следующая теорема дает ответ на вопрос, какова ЛБЛ-стуктура 3-многообразий сложности 0.

Теорема 1. Пусть М — неприводимое гранично неприводимое ориентируемое 3-многообразие сложности 0 с непустым краем, отличное от 3-шара. Тогда справедливы следующие утверждения :

1) ЗБЗ-система М состоит из колец;

2) ЗБЗ-ячейки М могут быть двух типов:

(a) ориентируемые 1-расслоения, база которых имеет отрицательную эйлерову характеристику;

(b) многообразия Зейферта вида (В; а*, * = 1,..., п), где а* = 2, 3, В — поверхность с непустым краем ;

3) кольца JSJ-системы М послойны относительно расслоений ЗБЗ-ячеек (каж-

дая ЗБЗ-ячейка содержит набор копий колец JSJ-системы, которые целиком состоят из слоев относительно указанной в п. 2 структуры расслоения ячейки).

Доказательство. Пусть Р — некоторый простой спайн нулевой сложности многообразия М. Покажем, что ЛБЛ-система М состоит из стыковочных колец. Действительно, пусть существует некоторая грубая существенная поверхность С, не являющаяся стыковочным кольцом. По лемме 3 стыковочные кольца несжимаемы, и можно считать, что пересечение С и любого стыковочного кольца пусто. Следовательно, с точностью до изотопии С С Г х I, где Г — некоторая 2-компонента спайна Р (либо С С Гх I, если Г неориентируема), а кольца дГ х I являются стыковочными в М.

Никакое ориентируемое I-расслоение существенных торов не содержит, т. е. С — грубое существенное кольцо. По определению пересечение С с любым другим несжимаемым кольцом устранимо с помощью изотопии; следовательно, С параллельно краю Г х I (Г х I), а это означает, что С параллельно дМ (так как С отлично от стыковочного кольца), что невозможно по определению ЛБЛ-системы.

Пусть А — стыковочное кольцо. С точностью до изотопии кольца А можно считать, что А П Р есть окружность, вложенная в некоторую 2-компоненту Г спайна Р. Иными словами, А отсекает от М I-расслоение с базой Г. Покажем, что А — грубое тогда и только тогда, когда эйлерова характеристика х(Г) < 0.

Пусть В — некоторый собственный несжимаемый тор либо собственное несжимаемое гранично несжимаемое кольцо, А П В непусто и неустранимо с помощью изотопии. Приведем А и В в общее положение и будем считать, что А П В состоит из окружностей, нетривиальных в А и В. Ясно, что окружности (А П В) разрезают В на кольца, как минимум одно из которых вложено в Г х I (либо Г х I, если Г неориентируема). Обозначим это кольцо А0. Заметим, что дА0 С (дГ) х I. Последнее вложение возможно тогда и только тогда, когда Г гомеоморфно либо кольцу, либо листу Мебиуса, т. е. когда х(Г) = 0. Учитывая то, что край Г непуст и Г отлична от диска (лемма 2), получаем требуемое.

Разрежем многообразие М вдоль колец ЛБЛ-системы. При этом будем считать, что для любого кольца его пересечение со спайном Р состоит из единственной окружности (аналогично п. 2). В результате разрезания получим ЛБЛ-ячейки, в каждую из которых собственным образом вложен некоторый подполиэдр спайна Р.

В силу п. 2 ЛБЛ-ячейки будут двух типов. Во-первых, ячейки, в которые вложена 2-компонента спайна Р с отрицательной эйлеровой характеристикой, т. е. ориентируемые I-расслоения с соответствующей базой. Во-вторых, ячейки Zj с вложенными в них подполиэдрами Р.,- спайна Р, 2-компонентами которых служат кольца и листы Мебиуса. В силу последнего каждый из Zj• расслаивается на окружности. При этом ясно, что листы Мебиуса утолщаются до особых слоев (2,±1), а компоненты, гомеоморфные проколотым тройным колпакам (полученные факторизацией кольца по действию группы ^3 на граничной окружности) — до особых слоев (3,±1). Это завершает доказательство теоремы. □

2. Классификация многообразий сложности 0

Пусть М — ориентированное неприводимое гранично неприводимое связное компактное 3-многообразие сложности 0 с непустым краем. Теорема 1 утверждает, что М может быть получено приклеиванием ориентированных I-расслоений К к ориентированным многообразиям Зейферта Zi по послойным кольцам.

Обозначим через Ам множество всех послойных колец из дК, а Вм — множество всех компонент краев Zi. Отметим следующие факты:

1. Естественным образом задано отображение /м : Ам ^ Вм, а именно /м(а) = Ь тогда и только тогда, когда кольцо а приклеивается к тору Ь.

2. На каждом торе Ь имеет место естественная система координат, также как и на каждом кольце а. Так как существует всего два сохраняющих ориен-

тацию гомеоморфизма колец, то каждому кольцу а сопоставим индексы ±1 в зависимости от того, по какому гомеоморфизму проводится склейка в некоторых выбранных системах координат.

3. Множество А разбито на непересекающиеся классы /—1(Ь), Ь € В. На каждом множестве /Л-1(Ь) = {а1;... , ап} введем циклический порядок в зависимости от последовательности приклейки колец а1,... , ап к тору Ь (относительно ориентации меридиана тора Ь).

Введем следующие преобразования индексированного множества Ам и упорядоченных множеств /Л-1(Ь):

(1) переобозначение а* ^ а.,-, где а*, а, — кольца одной ЛБЛ-ячейки;

(2) переобозначение Ь* ^ Ь,, где Ь*, Ь, — граничные торы одной ЛБЛ-ячейки;

(3) смена знака элемента а, если а есть граничное кольцо I-расслоения с неориентируемой базой;

(4) одновременная смена знаков элементов множества /—1(Ь), где Ь — граничный тор зейфертовой ячейки с неориентируемой базой;

(5) одновременная смена знаков элементов множеств /—1 (Ь1),..., /^1(Ьп), где торы Ь1 , . . . , Ьп есть край некоторой зейфертовой ячейки с ориентируемой базой;

(6) одновременная смена знаков элементов а1 , . . . , ап, где кольца а1 , . . . , ап — все послойные граничные кольца I-расслоения с ориентируемой базой;

(7) замена упорядоченного множества /^1(Ь) = {а1,...,ап} на /^1(Ь) = {ап,... , а1}, где Ь — граничный тор зейфертовой ячейки с неориентируемой базой.

Теорема 2. Пусть М и N — ориентированные неприводимые гранично неприводимые компактные связные многообразия сложности 0 с непустым краем. М гомеоморфно N с сохранением ориентации тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) JSJ-ячейки многообразий М и N попарно гомеоморфны с сохранением ориентации. Пусть ^:Ам ^Ам, V:Вм ^Вм — биекции, индуцированные гомеоморфизмами JSJ-ячеек;

2) индексации множеств ^(Ам) и Ам эквивалентны относительно преобразований (1) — (6);

3) множества ^(/—11^_1(Ь))) и /—1 (Ь) при всех Ь € Вм совпадают, а их упорядочивание эквивалентно относительно преобразования (7).

Доказательство. Необходимость условий 1) — 3) непосредственно следует из свойства единственности ЛБЛ-системы многообразия и построения отображений /м, /м.

Докажем достаточность. Пусть ЛБЛ-ячейки многообразий М и N попарно гомеоморфны с сохранением ориентации. Покажем, что при выполнении условий

2) и 3) гомеоморфизмы ячеек можно продолжить до гомеоморфизма многообразий М и N .В самом деле, преобразования (1) — (7) не меняют многообразия. Так как все послойные граничные кольца в I-расслоении, а граничные торы в многообразиях Зейферта равноправны, то (1), (2) есть допустимые переобозначения.

Преобразования (3) — (7) есть смена систем координат на граничных торах b и кольцах а.

Далее, если условия 2) и 3) выполняются тривиальным образом, т. е. индексации множеств ^(Ам) и An совпадают и ^(/—1(v_1(b))) = 1 (b) как упо-

рядоченные множества, то утверждение следует из того, что отображение /м, индексация Ам и множества /^(Ь) однозначно задают многообразие М. □

Список литературы

1. Matveev, S. Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds / S. Matveev.— Berlin ; Heidelberg : Springer-Verlag, 2003.