CC BY
47
Энергетика
УДК 658.567
КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЯВЛЕНИЯ И ОСАЖДЕНИЯ КАПЕЛЬ ЖИДКОСТИ В РАЗНОТЕМПЕРАТУРНОМ КАНАЛЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПОТОКА
В.И. Ряжских, А.И. Павелко, П.А. Солженикин, В.Г. Стогней
Синтезирована сопряженная математическая модель тепломассообменных процессов при очистке газовых потоков от жидкостных аэрозольных частиц между поверхностями неодинаковой температуры, позволяющая определить потоки конденсата как на стенке конденсатора, так и на выходе из него
Ключевые слова: математическая модель, температурное поле, конденсация
До настоящего времени, несмотря на имеющиеся теоретические и
экспериментальные исследования
разнотемпературного конденсационного
процесса очистки, (в которых самое
непосредственное участие приняли видные ученые, такие как Амелин А.Г., Фукс Н.А., Медников Е.П., а за рубежом это Грин Х. и др.), не удалось синтезировать сопряженную математическую модель тепломассопереноса в очищаемом потоке среды, учитывающую физико-химические явления переноса при образовании, росте и осаждении капель аэрозоля в проточных камерах конденсаторов, что не позволяет пока в полной мере использовать разнотемпературных фильтров [1].|
Авторами выполнен анализ подобного процесса [2]. Расчетная схема представлена на рис. 1.
преимущества
конденсационных
математический
■
to h : ; />,•
/fix 1 Л?
концентрация образующихся в
конденсационной камере аэрозольных частиц достаточно не велика, мы перешли к тому, что температурное поле можно, в первую очередь, посчитать отдельно от массообмена. Для этого нами было записано уравнение конвективного теплопереноса:
^ Э 2 і Э 2 і ^
dt п dt dt
— + J— + u— = а dt dx dy
dx2 + dy2
где т, х, у - текущие время и координаты; t
- температура; д, и - компоненты скорости потока в направлении осей ох и оу соответственно; а - температуропроводность бинарной смеси.
Однако если пренебречь при достаточно большой длине и относительно малой ширине канала неравномерностью поперечной скорости в стационарном состоянии и при таком режиме пренебречь в виду его малости переносом теплоты вдоль потока теплопроводностью, то упрощенная постановка задачи примет вид уравнения (1):
dt d 2 t
J— = а—-dx dy
(1)
Рис. 1. Расчётная схема
Учитывая линейность этой задачи, она может быть решена аналитически. Прежде всего, исходная задача в размерном виде записана в безразмерной форме как система уравнений (2):
Прежде всего, учитывая, что задача сопряженная, но принимая во внимание, что
Ряжских Виктор Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-76-62
Павелко Александр Ильич - ВГТУ, соискатель, тел. (473) 243-76-62
Солженикин Павел Анатольевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 243-76-62
Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, Заслуженный работник высшей школы, профессор, тел. (473) 243-76-62
dT(X, Y)_ 1 d2T(X, Y) .
dX
Pe dY2
(2)
т(о,Y)= о; т(х,1)= $ 1; т(х,0) = $„,
где х = х/к; Y = у/1г; (1 =(!ь -)/ 1вх ;
(о = (‘о -‘вх)/‘вх ;т(х^) = №.У)~‘вхУ‘вх ’
Ре = дк/ а.
Решение задачи (2) получено аналитически с помощью преобразования Лапласа:
T (X, Y ) = § • Y + §0 .(1 - Y) + + — ^ ( l) {§1 • sin(Y • п • n) +
(3)
П “ n
n=1
+ ■ sin[(l - Y) ■ n ■ и]} x exp(- n2и2X/ Pe)
Путем осреднения по поперечной
координате вычислена средняя температура вдоль канала:
i
T (X )= J T (X , Y )1 Y = (S 1 + £ 0 )х
о
2 ,2 •(- 1)" ]х 141
х exp (- П 2 П 2 X / Pe У
г 1 —
X {— + —
Предложена формула для инженерной оценки этой средней температуры вдоль канала, погрешность которой составляет не более 9,5%.
T (X )=(§ + §0 f1 - 4т'exp(- п2 X/Pe)
(5)
Оказывается, что такая погрешность в такого типа задачах достаточно удовлетворительная.
Численный анализ полученного решения в виде основных характеристик температурного поля приведен на рис. 2 [3].
а)
б)
Рис. 2. Основные характеристики температурного поля: а - профили температур при Ре = 10, £д = 1, £ у = 2 и различных X: 1 - 0,5; 2 - 1; 3 - 1,5; 4 - 2,0; 5 - 6; б - профили температур при Ре = 10, £д = 0, £у = 1 и различных X: 1 - 0,5; 2 - 1; 3 - 1,5; 4 - 4; в - профили температур при Ре = 10, £ д = -1, £ у = 1 и различных X: 1 - 0,1; 2 - 0,5; 3 - 2;
г - изменение средней по сечению канала температуры по его длине для Ре = 10: 1 - £ д = 1, £у = 2; 2 - £ д = 0, £ у =
1
Из рисунков а, б и в видно, что профили температур качественно различаются при различных соотношениях температур холодной и горячей стенки и температуры теплоносителя. Таким образом можно посмотреть и кинетику и динамику изменения температурных полей по поперечному сечению канала. На рисунке г приведены изменения средней температуры по сечению канала по его длине в зависимости от разных соотношений температур стенок и входного потока.
Основное уравнение в пространстве размеров с распределенными параметрами в частных производных записано в виде (6):
(6)
f (x, 1,т)/Эт = -If (x, 1,г)/Э£ --Jf (х,£,т)/Эх-(—h)k(i)f (x, it);
f(x, 1,0)= 0; f(o,i,t) = 0 ; f(x,is,t)=i/l. (7)
К данному дифференциальному уравнению добавлено начальное условие (7), означающее,
что в начальный момент времени частицы в ядре, где происходит зародышеобразование, рост и осаждение капель, отсутствуют; краевое условие, когда считаем, что на входе поток не содержит аэрозольных частиц; краевое условие в пространстве размеров, при котором считаем, что функция распределения в любой точке конденсатора в любой момент времени определяется отношением скорости зародышеобразования частиц к их скорости роста.
Применяя интегральное преобразование Лапласа по времени и по координате, приходим в итоге к аналитическому виду безразмерной функции плотности
распределения частиц по размеру в любой точке ядра:
•»(X, L, 0) = 1[э- A-Я1(L - Ls )]х
Ь
х1[х - А—хБк (Ь - Ь8 )]хехр - А--1 | Ь2К*(ь)йь
(8)
Полученная математическая модель образует сопряженную систему уравнений, учитывающую одновременно возникновение центров конденсации, роста капель и их осаждение в потоке бинарной смеси в конденсаторе. Она позволяет определить количественно потоки конденсата на стенки конденсатора и на выходе из него.
Сравнение экспериментальных
результатов при проведении опытов на проточной разнотемпературной
конденсационной камере и теоретических данных, полученных использованием предложенной математической модели, показало удовлетворительную сходимость.
Получив полную картину температурных полей при различных режимных параметрах обогрева разнотемпературного
конденсационного фильтра, далее был осуществлен синтез математической модели зародышеобразования, роста и осаждения аэрозоля в рабочей камере.
Основное уравнение в пространстве размеров с распределенными параметрами в частных производных записывается в виде:
Э/ (х, I, т)/Эт = - —Э/ (х, I, т)/Э1 -- дЭ/ (х, £,т)/Эх - (2/ к)к(1) / (х, £,т)
(9)
где / - локальная функция плотности распределения частиц аэрозоля (в конкретной точке, частицы определенного размера, в динамике);
— - коэффициент скорости роста аэрозольных частиц; V - скорость среды.
Первое слагаемое в уравнении (9) отвечает за рост капель. Второе слагаемое соответствует конвективному переносу среды. Третье слагаемое физически означает осаждение образовавшихся частиц на стенки конденсационной камеры. Параметры —, V и к (I) являются параметрами задачи; они
известны заранее. Данные по коэффициенту скорости роста частиц можно найти в любых справочных материалах.
Полагая, что движение частиц относительно среды осуществляется без проскальзывания, т.е. отсутствует релаксация, считаем, что скорость частиц равна скорости среды. Коэффициент скорости осаждения частиц является определяемым параметром. К данному дифференциальному уравнению (9) добавлено начальное условие (10), означающее, что в начальный момент времени частицы в ядре, где происходит зародышеобразование, рост и осаждение капель, отсутствуют; краевое условие (11), когда считаем, что на входе поток не содержит аэрозольных частиц; краевое условие в пространстве размеров (12), при котором мы считаем, что функция распределения в любой точке конденсатора в любой момент времени определяется отношением скорости зародышеобразования частиц к их скорости роста. Она является постоянной величиной. Начальное условие
/ (х, 1,0) = 0. (10)
Краевое условие при х = 0 / (0,1,т) = 0. (11)
Краевое условие при I = I,
/ (х, I, ,т) = I/ — . (12)
Полученная математическая модель (9) -(12) в совокупности с решением уравнения температурного поля в рабочем канале образует сопряженную систему уравнений, учитывающую одновременно возникновение центров конденсации, роста капель и их осаждение в потоке бинарной смеси в конденсаторе. Она позволяет определить количественно потоки конденсата на стенки конденсатора и на выходе из него.
Уравнение математической модели (9), несмотря на то, что оно представляется в виде уравнения с распределенными параметрами в частных производных, но оно носит линейный характер, и поэтому применяя интегральное
Ь
преобразование Лапласа по времени и по координате, мы пришли в итоге к аналитическому виду безразмерной функции плотности распределения частиц по размеру в любой точке ядра:
Ф( X, Ь, 0) = 10- А—(Ь - Ь5 )]х
l[x - А?Бк (L - Ls )]х exp
L
-A~1 J L2 K*(L)dL
(13)
Результаты расчетов по (13), приведенных на рис. 3, показывают, что чем больше скорость роста капель, т.е. А—, тем они крупнее. Так же более крупные капли наблюдаются при меньшей линейной скорости взвеси, т.е. при меньших Бк.
0,5
1 \
2
, *
Рис. 3. Безразмерные функции распределения
аэрозольных частиц в конденсаторе при Х = 20 (Ь8 =
0,01): а - Л^= 0,5; б - Лд= 1,5 (верхний и нижний
рисунки при Бк = 0,5 и Бк = 10); 1 - 0 = 1,0; 2 - 2,0; 3 -4,0
Масса осевших аэрозольных частиц:
н
М0 = 0,5Й3крКI*4пт 1Л~1 Н\д*(х,вфунк)х (14)
0
и масса вынесенных частиц за безразмерное время 0функ функционирования конденсатора
И„
wфунк
= 0,5kvpK I*4IÀ~lUhk4 (l* ) J c* (H, 0)d0. (15)
Литература
1. Амелин А.Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара, Изд. 3-е, доп. и перераб., М. «Химия», 1972 - 304 с.
2. Математический анализ процессов тепломассообмена в разнотемпературном канале / В.И. Ряжских, П.А. Солженикин, В.Г. Стогней, В.В. Черниченко // Тр. 7-й междунар. науч. - техн. конф. и шк. молодых ученых, аспирантов и студентов Авиакосмические технологии «АКТ - 2006» - Воронеж: ВГТУ, 2006 - С. 434 - 440.
3. Солженикин П.А. Моделирование
тепломассообмена и совершенствование конструкции аппарата для очистки промышленных газов от аэрозольных включений // Дис. канд. техн. наук / ВГТУ. - Воронеж, 2008. С. 179 с.
Ls
L
0
Воронежский государственный технический университет
KINETIC MODEL OF APPEARANCE AND PRECIPITATION LIQUID DROPLETS IN DIFFERENT TEMPERATURES CHANNEL IN MOVING STREAM
V.I. Ryazhskih, A.I. Pavelko, PA. Solzhenikin, V.G. Stogney
The conjugate mathematical model of heat and mass exchange processes for cleaning gas flows from liquid aerosol particles between the surfaces of different temperature is create, which allow to define the condensate flow, as in the condenser, and the outlet of it
Key words: mathematical model, temperature field, condensation
