CC BY
56
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №4(22)
УДК 530.12:531.51; 537.8; 533.9
КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
© Д.Ю.Игнатьев
На основе релятивистской кинетической теории в статье конструируется и исследуется однородная анизотропная космологическая модель; исследован процесс изотропизации и релаксации к равновесному распределению первоначально анизотропного распределения частиц.
Ключевые слова: космология, анизотропия, неравновесная кинетическая модель.
Введение
В ряде предыдущих работ [1; 2; 3] в предположении восстановления скейлинга взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий исследовалась
неравновесная кинетическая модель однородной изотропной вселенной, впервые предложенная в работах [4; 5]. В частности, в цитированных работах показано, что:
• При наличии скейлинга взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий (точнее говоря, за унитарным пределом), т.е. при асимптотическом поведении эффективного сечения взаимодействия вида:
1
(1)
где 5 - кинематический инвариант . термодинамическое равновесие отсутствует
на ранних стадиях и восстанавливается
локальное (ЛТР) эволюции на более
вселенной поздних.
• Параметры начального распределения частиц могут быть в большой степени произвольны, в частности, первоначальное распределение частиц может резко отличаться от равновесного.
• Эволюция неравновесной модели вселенной в основном определяется двумя безразмерными
параметрами модели,
0
и и.
0
первый из
которых определяет отношение средней энергии частиц в начальном распределении к
соответствующей тепловой в равновесной модели, а второй - начальное отношение плотности энергии, заключенной в равновесном компоненте космологической плазмы, к полной плотности энергии.
• При равных параметрах Р0 и <х0 эволюция
космологической плазмы весьма нечувствительна к деталям первоначального распределения частиц.
Поскольку первоначальное распределение частиц в неравновесной модели может быть произвольным, то естественно возникает задача и об исследовании эволюции неравновесной модели вселенной с первоначально анизотропным распределением частиц. Такая первоначальная анизотропия распределения при одновременном требовании его однородности приводит к задаче о космологической эволюции анизотропной однородной модели вселенной, заполненной неравновесной анизотропной однородной плазмой. Заметим, что задача об эволюции однородной анизотропной вселенной, заполненной бесстолкновительным
анизотропным газом в случае
квазимаксвелловского распределения, в 80-х годах частично исследовалась в работе Г.Г.Иванова [6]. Данная работа посвящена построению более полной модели эволюции анизотропной вселенной, заполненной неравновесной плазмой взаимодействующих частиц, и выяснению вопроса о релаксации такой модели к равновесной. Одной из целей работы является также выяснение в рамках данной модели возможности сохранения остаточной анизотропии вселенной при больших временах эволюции.
1. Анизотропные пространственно-плоские
космологические модели 1-го типа Бианки
Рассмотрим однородные космологические модели 1-го типа Бианки3, которые описываются метрикой 4 :
1 Я - энергия сталкивающихся частиц в центре масс (СЦМ).
2 Под ранними стадиями мы как раз и понимаем стадии, соответствующие энергиям частиц выше унитарного предела.
3 Иными словами, пространства, допускающие коммутативную трехпараметрическую группу движений (см., например, [7]).
4 Здесь и в дальнейшем греческие символы пробегают значения 1, 2, 3, латинские - 1, 2, 3, 4. Четвертая координата соответствует времени.
ds2 = gap (t )dxadxP + dt2 = = -о- (t)(dx' )2 - a22 (t)(dx2)2 --a32(t )(dx3)2 + dt2.
(2)
В дальнейшем будем также полагать там, где это удобно:
а1 = а(ї); а2 = Ь(ї); а3 = с(ї). (3)
Как известно, метрика (2) допускает 3
линейно-независимые, взаимно ортогональные векторы Киллинга:
9-і _ ОІ . ^і _ С*і . ^і _ с*/
5 = 3; # = 5г; # = ^3, (6)
так что
(#,#) = gik^#k = -aas
а в
ав
(7)
а в
Наличие трех взаимно-ортогональных
векторов Киллинга вследствие уравнений Эйнштейна приводит к диагональной алгебраической структуре тензора энергии-импульса:
п =
-П1 0 0 0N
0 П 2 0 0
0 0 -П3 0
0 0 0 є,
(S)
так что след тензора энергии-импульса равен:
Т = Т = є-п1 -п2 -п3. (9)
Уравнения Эйнштейна для наших целей удобнее всего записать в виде:
Rl = Ti -1 S',T.
k k ^2 k
(10)
В наиболее компактном виде нетривиальные уравнения Эйнштейна относительно метрики (2) можно записать в виде:
1 (аьс) = п
abc dt 1 d_ abc dt 1 _d_
abc dt
(abc ) (abc) =
■\T;
■2T ■
1
(ll)
—I-+ — = -s +— T,
abc 2
где f означает производную функции f (t) по времени t. Складывая по частям первые три уравнения (11) и вычитая из полученного результата последнее уравнение, можно получить с учетом (9) удобное следствие:
ab bc ac —+— ab bc ac
■ = є.
(12)
Складывая четвертое уравнение (11) и (12), можно получить еще одно полезное
соотношение:
а Ь с аЬ Ь с ас 1
— + — + — + — + — + — = — Т. (13)
а Ь с аЬ Ьс ас 2
Единственное нетривиальное следствие
закона сохранения энергии для тензора энергии-
импульса вида (8) можно записать в форме:
1 С т аа п
и,еь+§ т.*-=0 (14)
где введен масштабный фактор Ь :
Ь = 7-8 = О3. (15)
2. Кинетические уравнения для однородной плазмы в анизотропной вселенной
Релятивистские кинетические уравнения
относительно макроскопической функции
распределения /а (Х, рк ) частиц сорта а [9; 13; 14] имеют вид:
Р‘V,/а (x, Р) = X^ос (x, Р), (16)
Ь ,с ,С
где V - оператор ковариантного дифференцирования Картана в фазовом пространстве X х Р :
V = Vi -п/
_д_
dp]
(17)
С помощью функции распределения /а (х, р) определены макроскопические моменты:
ПС ( Х) = | /а ( Х Р) РІdP, (18)
Р (х)
- вектор плотности потока числа частиц сорта а
К" (x) = f pipkfa (X, p)dP,
P(x
(19)
- тензор энергии-импульса частиц сорта а , где
I— 25 +1 С3 Р = ^“ 8 (20)
(2п) Р 4
— инвариантный элемент объема импульсного пространства. Сворачивая формулу (19) с помощью метрического тензора 8{к вследствие соотношения нормировки 4-импульса:
(Р, Р) = m2CI, (21)
получим:
Т5 ( Х) = | /с ( Х Р ) СР,
P(x
(22)
где Т5С (х) - след тензора энергии-импульса
частиц сорта а .
Вследствие наличия трех ортогональных пространственноподобных векторов Киллинга
(6) бесстолкновительное кинетическое
и
уравнение, соответствующее кинетическому уравнению (16):
Р'7г/(^ Р) = 0 (23)
имеет 3 независимых линейных интеграла движения:
Р- = -[£ Р1 = - Р- = ~т Р- =СоШ
V- у а- (24)
( = 13),
с точностью до знака совпадающих с ковариантными компонентами трехмерного импульса.
Поэтому при переходе к этим новым импульсным переменным для однородных распределений:
/с = /с (,, Р1, Р2, Рэ) (25)
в метрике (2) кинетические уравнения принимают вид:
(26)
= е(2 5 +1)
Е _3 2 г
{{<, —■, —2, —)
а '*■ 0 0 0
(29)
(а,P,Y+),
где
р2 р2 р2 р4=, т2 + + — + -Гу а1 а2 а3
(30)
Для следа тензора энергии-импульса (22) получим:
Т5 є П1 п2 п3
=Е
т
(25+^І^М2-,-2(31)
0 0 0 —4
а -Г7-3 7-
п Ь
-й—ъ.
. І І І
п.4 =
-{&— \ё—ъ/а (,—2, —22, —32). (32)
следующий
сохранения:
дифференциальный закон
ЬЕеаПІ=0. (33)
3. Самосогласованная ультрарелятивистская модель
В ультрарелятивистском приближении:
< Р- >« «- (34)
Т ^ 0, (35)
и уравнения Эйнштейна, а также их следствия (11),(12), (13) принимают вид:
1 — (аЬс ) = —,; ——— (аЬс )
■ V / 11 )
аЬс & 1
аЬс &
а
/ Ч а Ь с (аЬс ) = п;- + - + - = -є, аЬс & аЬс
(36)
= 0.
Далее, для того чтобы согласно определению (22) тензор энергии-импульса плазмы имел алгебраическую структуру (8), необходимо и достаточно, чтобы функции распределения частиц (25) были четными функциями по всем компонентам импульса:
/с = /сс (,Р2,Р22,Р32). (27)
Тогда ненулевые компоненты тензора энергии - импульса согласно (22) равны:
/'ЛО,1\да да да
е = ]—Р\—Р2\р</(Р2,Р22,Р32), (28)
а — Ь 0 0 0
а Ь с аЬ Ь с ас — + — + — + — + — + — а Ь с аЬ Ьс ас При этом в определение компонент давления и плотности энергии (28), (29) в выражении (30) необходимо положить та =0 .
4. Решение кинетических уравнений в случае слабого нарушения ЛТР
Для четырехчастичных взаимодействий частиц
а + Ь ^ с + — (37)
релятивистский интеграл столкновений в инвариантной записи есть [13]:
ЗаЬ^с— = —ьС-— ——3{4) (а + Рь - Рс - Ра ) х
х[(1 ±/а)(1 ± /ъ)1/№—^ь - (38)
-(1 ± Л )(1 ± /с )/сЛКь^— ] , где Ж1Р, ЖП вероятности для прямого и обратного переходов, связанные с инвариантными амплитудами рассеяния, М1Р, МР1', в случае четырехчастичных реакций соотношениями2:
(39) функция
распределения частиц сорта а, —-а -
инвариантный элемент объема пространства импульсов:
Далее, /а (x, р)
(39) -
Единственная ненулевая компонента вектора плотности потока числа частиц (21), п4, равна:
_( 25 +1)'
31
(2п)3
у.2д((р, р)-т2),
0 0 0
Следовательно, если с некоторым обобщенным зарядом еа связан закон
сохранения тока, то должен выполняться
1 Мнимыми частями матрицы рассеяния.
См., например, [10].
а
п
а
X
8а - спин частицы, знак "+" в соотношении (51) соответствует бозонам, "-" - фермионам. Для четырехчастичных реакций (37) усредненные по спиновым состояниям квадраты инвариантных амплитуд рассеяния полностью определяются двумя кинематическими инвариантами, 5 и ^,
которые имеют следующий смысл: л/5 - энергия сталкивающихся частиц в центре масс (СЦМ):
5 = (а + Рь )= (с + Рл ) (41)
а t -релятивистский квадрат переданного импульса1:
( = (с - Ра )2= (ь - Рл )\ (42)
где квадраты импульсов понимаются как скалярные четырехмерные квадраты:
Р1 = (а , Ра ) = (Р4 )2 - (Р1 )2 - (Р2 )2 - (Р3 )2 = т1
и т.д. Удобно выразить результат усреднения квадратов инвариантных амплитуд рассеяния
\М1Р |2, |ЫР112 по спиновым состояниям частиц, с и Л , через инвариантные амплитуды рассеяния Р (5, t) , которые оказываются зависящими лишь от указанных двух инвариантов (см., например, [12]):
Р (, t )Р
II | =-
(43)
(2^ +1)2 ^ +1) где - спины. С помощью инвариантной амплитуды Р (5, t) определяется полное сечение реакции (50) (см. [12]):
1 0 , \|2
(44)
.2 .„2\
5 та , ЩП .
' шт
I Л\е(5,Ґ)2
функция треугольника: Ь2 + с2 - 2аЬ - 2ас - 2Ьс;
1 Автор надеется, что читателя не смутит совпадение обозначений: t - время в метрике Фридмана, 5 - ее интервал, одновременно t, 5 - кинематические инварианты.
слабонеравновесной плазмы. Пусть Еи -некоторая унитарная энергия, ниже которой частицы могут сильно взаимодействовать, а выше которой сечение взаимодействия имеет скейлинговый характер, т.е. достаточно хорошо аппроксимируется выражением с0 (5) (45).
Будем полагать, что при энергиях, ниже унитарной, локальное термодинамическое равновесие установлено. При энергии, выше унитарной, взаимодействия частиц
унифицируются, поэтому такие частицы можно рассматривать как тождественные, учитывая лишь число их степенней свободы, т.е. спин £. Согласно [1] в этом случае плазму можно рассматривать как двухкомпонентную систему, первая из подсистем которой 80 является равновесной с неопределенной температурой Т (t), а вторая подсистема £1 является
неравновесной с произвольным распределением частиц по импульсам. Функции распределения частиц в равновесной подсистеме описываются распределениями Ферми или Бозе:
г 0 =_________1_________
а ^-" +Р4 (Р ^
ехр
Т
± 1
(46)
При этом число частиц в неравновесной подсистеме п (t) считается малым по сравнению с числом частиц в равновесной подсистеме
т (*)« то (*),
(47)
ш 16пЛ2( где Л Л (а, Ь, с) = а2
=Л
тт '
5
Заметим, что последние исследования
привели к необходимости уточнения величины асимптотического сечения рассеяния:
, ч 8п
с0)=5Л(5) • (45)
где Л (5) - логарифмический фактор:
Л(5) = 1п2 ^ > 0.
Произведем упрощение интеграла
столкновений для ультрарелятивистской
хотя энергия неравновесной подсистемы может быть значительно выше энергии равновесной. При таком подходе равновесная подсистема плазмы фактически играет роль термостата, который может поглощать сверхтепловые частицы и нагреваться за счет их энергии. Число частиц в термостате, их состав и распределение по импульсам жестко регулируются законами термодинамического равновесия, а температура термостата должна определяться из закона сохранения суммарной энергии (14).
В случае симметричной вселенной химические потенциалы частиц в равновесном компоненте равны нулю. Поскольку равновесная плазма необходимо является изотропной, для нее в ультрарелятивистском случае справедливы соотношения:
па =
= 1е° = N
тг-2гр4
П Т
15
(48)
где
N = -2
Х(М +1)+ 8 К +1) (49)
_ в 8 ^ _
- эффективное число типов частиц; суммирование идет по сортам бозонов (В) и фермионов (Б) соответственно.
Поскольку число неравновесных частиц мало, то маловероятными становятся реакции, при которых в неравновесную
высокоэнергетическую область могут попадать частицы за счет реакций в равновесной области (число таких частиц экспоненциально мало), мала также вероятность попадания в высокоэнергетическую область частиц за счет взаимодействия неравновесных частиц с равновесными частицами. Поэтому для неравновесных частиц можно ограничиться учетом лишь уничтожения этих частиц в сверхтепловой области, чему соответствует учет лишь второго члена в интеграле столкновений (38). Далее, в кинетических уравнениях для сверхтепловых частиц можно отбросить и статистические факторы в этом интеграле, поскольку в сверхтепловой области влияние квантовой статистики не существенно. Таким образом, мы получим следующие кинетические уравнения для неравновесных частиц (см. [2])
• (Р^ р>= ~А^ (Р)х
'P> Po
<1
(2S + l)vab г q2/ь0 (q)
(5o)
4mi
Л(-)’
где
- - 4
- =2pq,
vab - число каналов реакций, в
Ja (P)| p
З 1 + ln2Tp/2
A/a (P),
(51)
где
N = -
K2S+-)+- К+-)
B 2 F
= N
N
Ыв - число сортов равновесных бозонов, ^ -фермионов.
Таким образом, кинетическое уравнение (22) для неравновесных частиц в случае слабонеравновесной ультрарелятивистской
плазмы принимает вид:
д / \ 4п ЙТ2 (t) , .
¥Ла (,Ра~ _3р Л(Тр/2)Ла(,i“), (52)
формально совпадающий с соответствующим уравнением для изотропной модели [2]1.
Интегрируя уравнение (42) с учетом интегралов движения (20), найдем:
Afa (t, P, P2, P3) = АС (2, P22, P32 )х ( 4ПУj T2 (t')dt' Л
х exp
(53)
3 0 Р (р, Г ')А(Т ( ')Р (р, Г ')/2 ) где Р (р, t) - модуль физического импульса, определяемый выражением (39) при та =0:
P2 P2 P2
P4 = P (p.t)=. p- + + -J-
(54)
которых может участвовать частица сорта а . В случае если равновесный компонент является ультрарелятивистским, т.е. тъ ^ Т, причем их химический потенциал мал, - цъ ^ Т, интеграл (64) относительно равновесного распределения (60) равен [2]:
= _я ЙТ2(t)
|р>Ро ■ '
у ^1 ч2 ^3
Таким образом, согласно (67) и (68) функция распределения неравновесных частиц сохраняет во все времена свойства четности по ковариантным координатам импульса.
Для вычисления моментов (21), (22)
относительно функции распределения (53). Для этого в интегралах (24), (25) удобно перейти к эллиптической в некоторый начальный момент времени t0 системе координат в пространстве ковариантных импульсов (20):
P = P0a (t0) cos в sin р;
P2 = P0b (t0) cos в cos р; (55)
P3 = Poc (to )sine где p - модуль физического импульса в момент времени t0 , так что:
P ( A t0 ) = P0.
Якобиан этого преобразования равен:
J = L (t0) P02cose. (56)
Для величины P (p, t) получим в этих координатах выражение:
P (p, t) = Pox(e,p; to, t); (57)
где
Х(в,ф; to, t ) = ,
cos
cos2p
:(to )
:(t)
+ • P (to)
+sin p-------------
ь2 (t)
sin
20-
:(to )
(5S)
J
:(t )■
В этих координатах с логарифмической точностью
1 Здесь учтена поправка в определении асимптотического сечения рассеяния, сделанная в работе [15].
Ь
х exp
де, (t. P. P-. P3) = д/0 (P-. p-2. P32 )x
Г . I T2 (i')dt' ^
4nN
(59)
эр, л(т (t) p0/2)) z ( p; t, t ')
На рис.1-3 Показаны результаты моделирования эволюции анизотропного распределения.
Рис.1. Релаксация анизотропного распределения. Вдоль вертикальной оси отложены значения 1§ Р(Р1,Р2Д=0.5).
Рис.2. Релаксация анизотропного распределения в плоскости P1=1; t=0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10.
Рис.3. Релаксация анизотропного распреде-ления в плоскости P2=1; t=0; 0.2; 1; 2; 3.5; 4; 5; 10.
1. Ignatyev Yu.G. Kinetics of the nonequilibrium Universe. I. Local thermodynamic equilibrium condition. // Gravitation & Cosmology. - 2007. -Vol.13. - No 1(49). - Р.31-38.
2. Ignatyev Yu.G. and Ignatyev D.Yu. Kinetics of the nonequilibrium Universe. II. Kinetics of Local thermodynamic equilibrium recovery // Gravitation & Cosmology. - 2007. - Vol.13. - No 2(50). - Р.101-105.
3. Ignatyev Yu.G. and Ignatyev D.Yu. Kinetics of the nonequilibrium. III. Stability of non-equilibrium scenario // Gravitation & Cosmology. - 2008. -Vol.14. - No 4. - Р.309-313.
4. Игнатьев Ю.Г. Возможность термодинамического равновесия Вселенной // Изв. ВУЗов: Физика. - 1986. - Т.29.
- №2. - С.19-23.
5. Игнатьев Ю.Г. Космологические скейлинга // Проблемы теории релятивистской кинетики и эволюции Вселенной.
- Казань: КГПИ, 1988. - С.59-75.
6. Иванов Г. Г. Анизотропная космологическая модель Бианки I-го рода с бесстолкновитель-ным газом. // Изв. ВУЗов: Физика. - 1981. - Т.24. -№5. - С.3-7.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1973. - 523 с.
8. Misner C.W., Torn K.S., Wheeler J.A. // Gravitation, W.H.Freeman and Company. - San Francisco, 1973.
- 824 p.
9. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и
термодинамическое равновесие в
общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц // Изв. ВУЗов: Физика. - 1983. - Т.26. - №12. - С.9-15.
10. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1969. - 624 с.
11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. - М.: Наука, 1966. - 512 с.
12. Pilkuhn H.M. Relativistic Particle Physics. -Springer-Verlag, N.-Y., 1979. - 554 p.
нарушения в ранней
последствия
гравитации,
13. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодейст-вующих частиц в гравитационном поле // Изв. ВУЗов: Физика. - 1983. - Т.25. - №3. - С.92-96.
14. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования // Изв. ВУЗов: Физика. - 1982. - Т.24. - №3. - С.92-95.
15. Игнатьев Д.Ю., Игнатьев Ю.Г. Кинетическая модель неравновесной анизотропной вселенной. // Тр. II Российской школы-семинара "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии". - Казань: Фолиантъ, 2009. - С.68-75.
KINETIC MODEL OF ANISOTROPIC UNIVERSE
D.Yu.Ignatyev
The homogenious anisotropic cosmological model is constructed and examined on the basis of relativistic kinetic theory. The process of initial anisotropic particles distribution’s isotropization and relaxation to equilibrium distribution is investigated.
Key words: cosmology, anisotropic, non-equilibrium kinetic model.
Игнатьев Дмитрий Юрьевич - аспирант кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.
E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию -3.10.-010
