CC BY
13
Таким чином, залежнiсть (11) разом iз спiввiдношенням
^^(^0 + щ) = (12)
а\в(к + х)
визначають новi початковi фази (р0 i у/0 як функци параметру у i коефщдентш а, а, рх,р2-
Л1тература
1. Найфе А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
2. Мартинщв М.П., Сокш М.Б. Одне узагальнення методу Д'аламбера для систем, якi характеризуются поздовжшм рухом// Наук. вюник УкрДЛТУ: Зб. наук.-техн. праць. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2003, вип. 13.4. - С. 64-67._
УДК 621.01 Доц. В.Р. Паака, канд. техн. наук - Укратська
академш друкарства
К1НЕМАТИКА КРИВОШИПНО-ПОВЗУННИХ МЕХАН1ЗМ1В З1 ЗМ1ННОЮ ДОВЖИНОЮ КРИВОШИПА В 1НВАР1АНТАХ
Розглядаеться питання кiнематичного аналiзу кривошипно-повзунних мехашз-MiB 3i змiнною довжиною кривошипа. Наведено аналiтичнi залежностi для аналопв, ÎHBapiaHTÏB i абсолютних значень кшематичних характеристик таких механiзмiв. На-водяться тексти пiдпрограм у середовищi MATLAB для обчислення кiнематичних характеристик.
Assist. prof. V.R. Pasika - Ukrainian Academy of Printing Kinematics of slider-crank mechanisms is with variable length in invariants
The question of kinematics analysis of mechanisms slider-crank with variable length of crank is examined. Analytical dependences for analogues, invariants and of absolute values of kinematics descriptions of such mechanisms are described. Unsealing of the programs is pointed in the environment of MATLAB for the calculation of characteristics of kinematics.
При дослщженш будь-яких мехашчних систем, загалом i кривошипно-повзунних мехашзм1в (КПМ) з1 змшною геометр1ею, доцшьно використо-вувати найбшьш узагальнююч1 методи, як б давали можливють за результатами дослщжень абстрактно].', стало1 структури мехашчно1 системи, робити висновки i обчислювати кшематичш характеристики под1бно1 мехашчно1 системи з конкретними геометричними i кшематичними характеристиками. Такою методикою е крш^альна [1], що базуеться на вщносних, безрозмiр-них механiчних величинах. Для застосування ще1 методики необхiднi аналь тичнi вирази для iнварiантiв перемщень, швидкостей i пришвидшень. Кше-матику КПМ в iнварiантах зi сталою геометрiею описано багатьма авторами, наприклад, [1, 2]. Однак, для КПМ зi змiнною довжиною кривошипа аналь тичних залежностей для обчислення iнварiантiв в лiтературi не наведено.
Дана робота заповнюе цю прогалину. В нш наводяться анал^ичш вирази як для iнварiантiв, так i для аналопв i абсолютних кшематичних характеристик ланок КПМ зi змшною довжиною кривошипа. Наводиться програма чисельного диференщювання функци задано1 дискретно. Остання необхщна, коли змiна довжини кривошипа задана таблично.
Уведемо таю позначення.
Нехай, (рис. 1), радiус обертання кривошипа r = ¡OA = h + Sl1, де ¡1 = ¡OAl - початкова довжина кривошипа, Sl1 - змiнна довжина кривошипа. Залежить вiд кута повороту кривошипа (, ¡2 = ¡AB - довжина шатуна, e - ек-сцентриситет. Для одиничного, "еталонного", механiзму ¡1 = 1 м. Тодi Лг = r / ¡1 = 1 + XSl1 - безрозмiрна довжина кривошипа, Х2 = ¡2/ ¡1 = ¡2 i Х3 = e / ¡1 = e - безрозмiрнi довжини шатуна i ексцентриситету.
Згiдно з визначенням [1], iнварiантом перемiщення називаеться вщно-шення поточного перемiщення s до його максимального S
ок = s/S. (1)
Швидюсть ланки становить v = ds / dt. Помножимо праву частину рiв-няння на
ds d( dk ds dk d( dak с s
V = • = • • = • S ,
dt d( dk dk d( dt dk ф
де: ( - кут повороту кривошипа (узагальнююча координата) на перемщен-нях ланки вщ одного крайнього положення до шшого. Подамо цей кут у виг-лядi ( = kф, 0 < k < 1 - безрозмiрна узагальнююча координата, ф - кут повороту кривошипа на однозначних перемщеннях ланки; dak / dk = bk - шварь ант швидкость Це якiсна характеристика одиничного мехашзму. Множник ccS / ф - коефщент кшьюсно! характеристики швидкостi ланки для конкретного мехашзму.
Поступаючи аналопчним чином, як i для швидкост отримуемо шварь ант пришвидшення ланки а = ско] / Ф2 • £, де dbk|dk = ек - iнварiант приш-
видшення ланки. Множник а] / ф2 • £ - коефщент кшьюсно! характеристики пришвидшення ланки для конкретного мехашзму. Зауважимо, що вщношен-ня кута ф до кутово! швидкостi обертання кривошипа - це перюд однозначних перемщень ланки, тобто Т = ф / со\.
Розмiрнi кiнематичнi параметри механiзму виражаються через шварь анти таким чином
• перемщення ^ = ак£, (2)
, o)\S j S
• швидк1сть V = bk-ф- = Ьк^' (3)
U^ILJ LJ
• пришвидшення a = c^——^ = Ck —-. (4)
(!)\S = S
ф 2 = CkT
Автори переважно! бшьшосп л^ературних джерел з теори механ1зм1в i машин оперують такими поняттями, як аналоги швидкостей i пришвид-шень. I хоча, аналоги яюсно подiбнi з iнварiантами, однак коефщенив переходу вiд одних величин до шших у лiтературi не наведено.
Шд аналогом кшематично! характеристики мехашзму розумiють за-лежнiсть ще! характеристики вiд узагальнюючо! координати. [3] Для перемь щення повзуна кривошипно-повзунного механiзму 3i змiнною довжиною кривошипа аналог дорiвнюе
Sa = Sa -Лг COS(() - Л- COS(() , (5)
де: Sa = у1(Лго + Л2)2 - Л32 - аналог максимального ходу повзуна; (р2 = arcsin ((Л3 - Л sin(())/ Л2) - кут повороту шатуна у правш системi координат; Ло - довжина кривошипа у початковому положенш.
Коефiцiентом переходу служить обернена величина до аналогу максимального ходу повзуна
ak = SaS-. (6)
Sa
Аналог швидкостi це перша похiдна вiд аналога перемiщення за кутом повороту кривошипа:
= dsa = dak dk = S b 1
Va = , = Sa ,, , = Sabk ,
d( dk d( Ф Ф
або bk = Va —. (7)
Sa
Коефiцiентом переходу служить вщношення Ф /Sa. Аналог пришвидшення це перша похщна вiд аналога швидкост за ку-том повороту кривошипа:
a = ==S±c _L
a d(L Ф dk d(L Ф Ф'
Ф2
або Ck = aa —. (8)
Sa
Тут коефiцiентом переходу служить вщношення Ф2/Sa . Отже, маючи значення аналопв перемiщення, швидкостi i пришвидшення за виразами (6), (7) i (8), обчислюемо вiдповiднi кiнематичнi iнварiан-ти. Як бачимо, для визначення кшематичних iнварiантiв необхiднi аналiтичнi вирази для вщповщних аналогiв.
Взявши похщну вiд виразу (5) за кутом повороту кривошипа (, отри-муемо аналiтичний вираз для аналога швидкост повзуна
va = Л sin(T) - Л cos(t) + Л2 sin(T) ^т2, (9)
де Л = , = co2a - аналог кутово! швидкостi шатуна. Його обчислюемо,
dT dT
взявши похщну вiд виразу для sin(T)
dT2 -Л cos(Ti) - Л sin(T) , т m
-= c2a =-. (10)
dft Л2 cos(t)
Взявши похiдну за кутом повороту кривошипа вiд аналога швидкост (9), отримуемо аналiтичний вираз для аналога пришвидшення повзуна
aa = Xr cos (Ti)+ 2Xsin (t )-Л cos (т )+ Л2 (C cos (T2 ) + ^2a sin (t )) , (11) де Л = dXyjdT .
Диференщюемо вираз (10) i отримуемо аналог кутового пришвидшення шатуна:
^2a = --г Л (sin(Ti) cos(t) - sin(T) cosTC) -
Л2 cos2(t)
-Л (2cos(T1)cos(T2) + c2a sin(T1)cos(T2)) - Л sin(T)cos(<r) ] . (-2)
Отже, аналоги кiнематичних характеристик повзуна i шатуна обчислюемо за виразами (5), (9...12), юнематичш iнварiанти за виразами (6...8), а дiйснi величини за виразами (2.4).
До-реч^ якщо у вирази для аналогiв шдставити Л = 1, то отримуемо аналоги для КПМ зi сталою довжиною кривошипа. Отриманi залежностi -аналопчш залежностям (6.10), (6.15), (6.17), (6.21) i (6.22) з роботи [4].
Для перевiрки правильност отриманих аналiтичних залежностей i дос-товiрностi розроблено! програми проведемо обчислення юнематичних характеристик повзуна за результатами роботи [5]. У цш робот було синтезовано змiнний радiус кривошипа, який забезпечував сталу швидюсть повзуна в межах певного кута повороту кривошипа. Зпдно з даними роботи [5] кут повороту кривошипа змшювався вщ <p1s = 76,72° до щЕ = 126,72°. Змшний радiус кривошипа отримано у чисельному виглядi та апроксимований полшомом
r = 0,1277 - 0,0255t - 0,0238^2 + 0,0383T - 0,0186^4 + 0,0045^5 - 0,0004T .(13)
Початкова довжина кривошипа l1 = 0,1 м; довжина шатуна l2 = 0,4 м; ексцентриситет e = 0; частота обертання кривошипа n1 = 60 хв-1.
Зпдно з умовою задачi [5], перемщення повзуна повинно змшювати-ся за лшшним законом, швидкiсть повинна бути сталою i дорiвнювати V = 0,6477 м/с2, а вщповщне пришвидшення повинно дорiвнювати нулевi.
Однак, проведет обчислення юнематичних характеристик повзуна з апроксимованим змшним радiусом кривошипа (13) не дають потрiбних чис-лових характеристик. Швидкiсть отримуемо квазюталою, а пришвидшення квазiнульовим.
Якщо ж, отриманий у виглядi масиву значень змшний радiус кривошипа Л записати у окремий файл, по^м прочитати його i увести у розробле-ну пiдпрограму какрш_2ё, то результати чудово узгоджуються.
Таку ситуащю можна пояснити тим, що апроксимуючи масив значень синтезованого змшного радiусу кривошипа полiномом, останнiй не проходить через вузловi точки, а мае лише мтмальш середньоквадратичш вiд них вiдхилення. 1ншими словами, дшсна траекторiя кiнця змiнного радiусу кривошипа i траекторiя побудована за апроксимуючим полiномом не зб^аються. Цi вiдмiнностi i приводять до неправдивих результат.
На рис. 2 наведено результати роботи розроблено! програми. Як бачи-мо, отримаш результати повшстю узгоджуються з даними роботи [5].
0.7
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
-0.1
V та =0.647723 X м/с
----- Перемщ. ----Швидмсть - Пришвидшен.
_______________ ________________ и ■ - 1 " "" " ' " "
Рис. 2. Кшематичш характеристики повзуна комбшованого кривошипно-повзунного мехатзму
70 80 90 100 110 120 130
Нижче наводимо тексти шдпрограм, як обчислюють кшематичш характеристики КПМ зi змшною довжиною кривошипа i похщну вщ функци задано! дискретно. Чисельне обчислення похщно! проводилось за вщомими формулами для п'ятьох точок.
Итсйоп [1Г|2, бэ, ота, уа, ерва, aa]=kakpm_zd(L1, п1, 1г, 12, 13, к1); % Обчислюе кiнематичнi характеристики % КПМ зi змiнною довжиною кривошипа % L1 - дiйсна початкова довжина кривошипа (м) % п1 - частота обертання кривошипа (1/хв.) % 1г=1^е^1^1 - безрозмiрна змiнна довжина кривошипа % 12^2^1, l3=e/L1 - безрозмiрнi довжини шатуна i ексцентриситету % И1 - кут повороту кривошипа (град)
% к1 - ключ. При к1=1 - обчислюються дшш значення, при к1=0 - аналоги % ВИКЛИКАС ПП poxdf %--------Результати
% А2, ота, ерБа - кут повороту, аналоги кутовоТ швидкостi i пришвидшення шатуна % бэ, уа, аа - аналоги перемщення, швидкостi i пришвидшення повзуна
гг=р1/180; от1=р1*п1/30; fi2г=asin((l3-lг.*sin(fi1*гг))/l2); fi2=fi2г/гг;
xBpr=lr(1)*cos(fi1(1)*rr)+l2*cos(fi2r(1)); sa=xBpr-lr.*cos(fi1*rr)-l2*cos(fi2r); d1lr=poxdf(lr, fi1(1)*rr, fi1(length(fi1))*rr); oma=(-lr.*cos(fi1*rr)-d1lr.*sin(fi1*rr))/l2./cos(fi2r); va=lr.*sin(fi1*rr)-d1lr.*cos(fi 1*rr)+l2*sin(fi2r).*oma; d2lr=poxdf(d1lr, fi1(1)*rr, fi1(length(fi1))*rr); epsa=(lr.*(sin(fi1*rr).*cos(fi2r)-oma.*cos(fi1*rr).*sin(fi2r))-_ d1lr.*(2*cos(fi1*rr).*cos(fi2r)+oma.*sin(fi1*rr).*sin(fi2r))-^ d2lr.*sin(fi1*rr).*cos(fi2r))/l2./(cos(fi2r)).A2; aa=l2*(cos(fi2r).*oma.A2+sin(fi2r).*epsa)+^r.*cos(fi1*rr)+_
2*d1lr.*sin(fi1*rr)-d2lr.*cos(fi1*rr); if kl==1
sa=sa*L1; va=va*L1*om1; aa=aa*L1*om1A2; wa=wa*w1; epsa=epsa*om1A2;
end
%К1НЕЦЬ kakpm_zd
function ypox=poxdf(y, x0, xe)
% ОБЧИСЛЮе ПОХ1ДНУ В1Д ФУНКЦ11 "y" ЗАДАНО! ДИСКРЕТНО
% x0, xe - нижня i верхня границ диференцмвання
% ypox - масив значень похщно'Т
x=linspace(x0, xe, length(y));
h=x(2)-x(1); % h - крок аргумента
ypox(1)=(-25*y(1)+48*y(2)-36*y(3)+16*y(4)-3*y(5))/12/h;
ypox(2)=(-3*y(1)-10*y(2)+18*y(3)-6*y(4)+y(5))/12/h;
for ii=3: length(x)-2
ypox(ii)=(y(ii-2)-8*y(ii-1)+8*y(ii+1)-y(ii+2))/12/h;
end
ypox(length(x)-1)=(-y(length(x)-4)+6*y(length(x)-3)-...
18*y(length(x)-2)+10*y(length(x)-1)+3*y(length(x)))/12/h; ypox(length(x))=(3*y(length(x)-4)-16*y(length(x)-3)+..
36*y(length(x)-2)-48*y(length(x)-1)+25*y(length(x)))/12/h; % К1НЕЦЬ poxdf
Висновки, якi можна зробити за результатами роботи:
• отримат аналгтичт залежноси для проведення кшематичного анал1зу кри-вошипно-повзунних мехатзм1в з1 змшною довжиною кривошипа;
• залежноси отримат для 1нвар1ант1в, аналопв i дшсних величин;
• розроблена тдпрограма чисельного диференщювання мае самостшне зна-чення i може використовуватись у iнших задачах.
Л1тература
1. Тир К.В. Механика полиграфических автоматов. - М.: Книга, 1966. - 496 с.
2. Полюдов О.М., Кузнецов В.О. Автоматизоване проектування кулачкових мехашз-м1в. - Льв1в: Фенкс. - 1999. - 100 с.
3. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 640 с.
4. Полюдов О.М. Механка пол1граф1чних автомат1в. - К.: УМК ВО, 1991. - 168 с.
5. Пас1ка В.Р., Маца Р.С. До питання визначення змшно'1 довжини кривошипа для за-безпечення перемщень повзуна з постшною швидкiстю// Науков1 записки УАД. - 2003, вип. 6. - С. 32-35.
