CC BY
27
120
Общетехнические задачи и пути их решения
УДК 534.1 Ф. А. Доронин
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЛИНЕАРИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Линеаризация малых колебаний механических систем позволяет существенно упростить решение дифференциальных уравнений, описывающих их движение, и облегчить анализ колебательных процессов. Рассмотрен способ линеаризации, дающий возможность получить результаты, труднодостижимые при применении других способов.
линеаризация, кинематический способ, коэффициенты жесткости, обобщенная сила.
Введение
При описании колебательного движения механических систем часто применяется линеаризация дифференциальных уравнений этого движения. При этом широко используется способ разложения нелинейных функций, входящих в уравнения, в ряды по степеням обобщенных координат, однако в ряде случаев указанный способ оказывается весьма трудоемким. Альтернативой способу разложения в ряды может служить кинематический способ линеаризации дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем. В дальнейшем будем рассматривать механические системы, линейные по кинетической энергии, и остановимся на получении элементов матрицы жесткости системы.
1 Определение коэффициентов жесткости линеаризованной механической системы
Как известно, потенциальная энергия П линейной или линеаризованной механической системы с s степенями свободы в матричной форме записывается в виде:
1 г
П = — qT Cq,
где qT =(q1,..., qs) - вектор-строка обобщенных координат (Т - индекс
Г
транспонирования); C =
С11 С12
V Cs1 Cs 2
1s
' ss J
матрица жесткости, где c.
коэффициенты жесткости системы, определяемые по формуле:
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
121
Г ~2~ л
с.
д 2П
dqi dq
в которой вторая производная от потенциальной энергии
J J о
вычисляется при значениях q ( и q (, соответствующих положению равновесия.
Обобщенная сила, соответствующая J-й обобщенной координате, может быть найдена следующим образом:
^П=Ур dL
dq, U к dqj ’
где Pk - сила, приложенная к k-й точке системы, rk - радиус-вектор k-й точки, n - число точек системы.
Производную
д 2П dqt dq,.
можно представить в виде:
д 2П
dqfiq,
д ( дПЛ
dqt dcj j ,
8<h
дг Л д3, ,
П
-I
к=1
f
дРк дГк
dq, дд1
— д r
P . к
-L 7,
2 - Ч\
дqiдq
J
(1)
Если связи, наложенные на систему, стационарны, то rk = rk (q1,...,qs). В этом случае скорость Ък и ускорение ак k-й точки определяются по формулам:
v
к
X
3= 1
ЕI
dq.
я,-;
(2)
а
к
(3)
Дифференцируя (2) по q,, а (3) - по q. и q,, получаем:
5rt dvk 5ак .
<V ’
д 2 П = 1 д 2 аt ^fiq, 2 д1]1 дС[,
(4)
(5)
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
122
Общетехнические задачи и пути их решения
Подставляя (4) и (5) в (1), запишем ч2— - С
д2 П dqfiqj
=-!
к=1
V
дРк д3к +1 р д 2 3к
dqt dq у 2 k dqt dq
j
С учетом этого результата коэффициенты жесткости cij принимают
вид:
г I
=-!
к=1
(
V
дрк д3к
1 р..д 2 3
дqi дq j 2 дс11 дс[
(6)
j / 0
Для системы с одной степенью свободы это выражение упрощается:
c
п
=-!
к=1
(
V
2 ^ Л
дрк д3 +1 р д 3к
дq дсq 2 дс12
(7)
/о
Рассмотрим некоторые частные случаи.
у
1.1 Случай сил, постоянных по модулю и направлению
В этом случае силы не зависят от обобщенных координат и формулы (6) и (7) упрощаются:
СУ =
С =
(8)
(9)
Пример 1. Точечные грузы А и В массами Ш1 и m2 соединены невесомыми стержнями О1А, АВ и О2В, образующими шарнирный четырех-звенник, который находится в покое в вертикальной плоскости в положении, показанном на рис. 1.
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
123
Найти частоту малых свободных колебаний грузов, считая, что О1А = l1 = 1 м, О2В = l2 = 1 м, О2В = l3 = 2 м, l1= l2= 1 м.
Решение. Из уравнений равновесия можно найти такое соотношение между массами грузов, при котором обеспечивается положение покоя системы:
m 2
= m1
tg15 °
V3 ■
(10)
Примем за обобщенную координату угол ф1 поворота кривошипа О1А и выразим ускорения точек А и В через угловую скорость ф1 и угловое ускорение ф 1 (рис. 2).
Используя мгновенный центр скоростей Р звена АВ, определяем угловые скорости звеньев 2 и 3:
Ф 2
Ф1 у tg6°°; ф з = ф 1
l, .
l3 sin30°
Проекции ускорения точки А на оси x1 Ay1:
aAx1 = Ф 1l1; aAy1 = Ф111 •
(11)
Учитывая то, что точка В одновременно принадлежит двум звеньям, можно записать проекции ее ускорения на оси Bx и By:
-ф 1l1 + ср2l3 cos30° + ср3l3 cos60° - ср2l2 = 0;
-ср2l2 - ф2 sin30° + ср3l3 sin60°+cp12l1 = 0.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
124
Общетехнические задачи и пути их решения
Из этих уравнений находим ф2, ф3 и после преобразований получаем:
aBx = 3(Й2//2 ; aBy = (/1 + W3^/12 -8,ф/13 ) 2 Wli 1 . (12)
Подставляя (11) и (12) в (9), определяем коэффициент жесткости системы:
c
= -1 (-m1g2/1cos15° -6m2gsin15°/12^l2 -m2g2(l1 + 3>/3/2/12 -8/2/13)cos15°) = = m1g/1cos15° +3m2gsin15°/12^l2 + m2g(l1 + W312/12 -8/j2/13)cos15°,
2
где g = 9,81 м/с - ускорение свободного падения.
С учетом выражения (10) находим:
c = Щ g/1
cos15° + V3tg15° sin15° — + sn15-
/2 V3
A / /
1+W3 -L - 8 -1-
V
3 У
Коэффициент инерции a системы получим из выражения ее кинетической энергии:
Т = щ
2 2 VA VB
— + m2 —
(щ+3т2^)1{
2<Pl
д 2т
Отсюда a = -—^ = (Щ + 3m2) /12 = m1/12 (1 + V3tg15°). Тогда циклическая частота свободных колебаний системы
к = J- =
a
/1 (1 W3tg15°)
Подставляя исходные данные, получаем к = 3,08 рад/с.
1.2 Случай сил, переменных по модулю, но постоянных по направлению
Если направление сил остается постоянным, а изменяется только их модуль, то выражения (6) и (7) формально сохраняют свой вид. При этом
вектор
направлен вдоль линии действия силы
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
125
Пример 2. Шарнирный четырехзвенник O1ABO2 состоит из невесомых стержней O1A, AB и BO2 и находится в равновесии в положении, показанном на рис. 3.
Рис. 3. Схема шарнирного четырехзвенника, находящегося под действием позиционных сил постоянного направления
К шарнирам А и В прикреплены предварительно растянутые невесомые пружины АЕ и AD с коэффициентами жесткости с1 и с2. Концы пружин прикреплены к безмассовым ползунам E и D, которые могут, не встречая сопротивления, перемещаться по горизонтальным направляющим. Найти коэффициент жесткости системы, если известна статическая деформация /ст1 первой пружины.
Решение. В положении покоя модули сил Р1 и Р2 упругости пружин связаны соотношением, вытекающим из уравнений равновесия:
Р cos75° = P2V3cos15°.
Из этого уравнения можно определить статическую деформацию второй пружины:
= cJi cos75°
ст2 с2л/э cos15°
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
126
Общетехнические задачи и пути их решения
Примем за обобщенную координату угол поворота ф1 кривошипа O1A, отсчитываемый от положения покоя стержня O1A. Определим модули сил
Р1 и Р2 упругости пружин в положении механизма, отклоненном от равновесного, с точностью до величин первого порядка малости:
Р =C (/1 -1Ф cos75°); Р2 ^ (f 2 +1^ф cos15 °)•
Ускорения шарниров А и В механизма найдены в примере 1 (см. формулы (11) и (12)), поэтому, вычислив производные, входящие в выражение (7), после преобразований получаем формулу для определения коэффициента жесткости рассматриваемого четырехзвенника:
c = l2 (3c21cos215° - q cos2 75°) + c1 / l cos15° +
+C2f2
3l12
f
cos75° +
1l +
W3i12 8i;
\
V
cos15°
*2 7
1.3 Случай сил, постоянных по модулю, но переменных по направлению
Рассмотрим силы, постоянные по модулю, но изменяющие направление в пространстве. Найдем производную:
= Y EEq. •
dt J=1 dq. J
J
Отсюда
дР d
rdPЛ
dqj dq.
dt
ч '"1j V 7
Учитывая, что в рассматриваемом случае
P
const и вектор силы
изменяется только за счет его вращения, получаем
dP
dt
k = щx Pk, где щ -
угловая скорость вращения вектора силы Pk. В результате можно записать:
дР д
=Р(й k x р)
dq. dqj
Тогда формулы (6) и (7) принимают вид:
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
127
и
I
(
к=1
д (й х Рк )-^ + i Р
2 - Л
d2 а
dq
V JJ n Г
dqj 2
dq,dq,
J /0
-I
к=1
д
dq (“k X Р ) dq
д^ +1Р
r\2 - Л д ak
d q2
/0
(13)
(14)
Пример 3. Шарнирный четырехзвенник О1АВО2 (рис. 4) находится под действием сил Р и Р2, приложенных в точках А и В соответственно и
образующих постоянные углы а = 90° и в = 120° с кривошипами О1А = l1 и О2В = I2. Считая, что механизм расположен в горизонтальной плоскости и в указанном на рис. 4 положении находится в покое, найти коэффициент жесткости с системы. Принять АВ = I3.
Рис. 4. Схема шарнирного четырехзвенника, находящегося под действием сил, образующих постоянные углы с кривошипами
Решение. В положении покоя системы между силами Р1 и Р2 должно выполняться соотношение, вытекающее из уравнений равновесия: л/б
Р =—j— Р2. Используя понятие «мгновенный центр скоростей», можно выразить угловые скорости звеньев О2В и АВ через фх:
ф 2
V2cp1i1 . л/2ф 1i1
---—; ф 3 =---
2l2 2l3
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
128
Общетехнические задачи и пути их решения
Воспользовавшись теоремой об ускорениях точек плоской фигуры, найдем проекции ускорений точек А и В на оси x1 Ay1 и x2By2 соответственно:
aAx1 Ф1l1 ; aAy1 Ф1l1 ;
(
aBx 2 Ф1
l1 +
■Л ...Л .2 /,2
2 Ф,l, 2 ; aBx2 - ф 1 2, •
V "3 У
Определим слагаемые, входящие в формулу (14):
д да п - д2а,
— (с51 X P1 )-—t - 0; P1 2
дф 1 ' ' дф 1 дф
0;
д
д ф 1
l2 P2. P d % = -P2 Г i2 4 Л,1 + —1
412 2 djf 2 2,2 4
Л+i
V
I
3 У
Подставляя эти выражения в (14), находим коэффициент жесткости системы:
с - р211
^ ^ +■ О
4
V
I
3 У
Отметим, что при противоположном направлении сил P1 и P2 положение равновесия четырехзвенника будет неустойчивым.
1.4 Случай сил, переменных по модулю и направлению
Рассмотрим пружину АВ (рис. 5), сила упругости которой подчиняется закону Гука и линейно зависит от ее деформации (ск - коэффициент жесткости пружины).
Рис. 5. Схема к определению производной по времени от сил, переменных по модулю и направлению
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
129
Покажем силы упругости Рк = — Pk+1, приложенные к концам пружины. Пусть при этом ось пружины изменяет свое положение в пространстве, поворачиваясь по отношению к первоначальному положению с угловой
скоростью Ш В этом случае
дР д
дС, dqj
(* к * рк )+др
др -
где---— — вектор относительной производной вектора Рк по обобщенной
dqt
координате, направленный вдоль оси пружины; йк — угловая скорость вращения оси пружины.
С учетом этого выражения формулы (6) и (7) принимают вид:
п ( д
2 - 3
, =— у _д_(йк Рк у^к- + дЛ. .^к. +1 рк .JjEl
д” v 7 дС i дqi дq / 2 дс дС
к=1 ^д<?,-
п (
J / о
c = -уР(&t Рк)•'^ +ддр да +1Р . 2
к=1 ^дс' 7 дС дс дС 2 дС2
~)2 - ^ д ак
(15)
(16)
/о
В формулах (15) и (16) следует учитывать обе силы Рк и Рк+1 для каждой из пружин (при этом, разумеется, угловая скорость йк одинакова
для каждой пары Рк и Рк+1 сил упругости одной и той же пружины).
Силы упругости пружин определяются по формуле:
(17)
где /стк — вектор статической деформации пружины; дк— скорость деформации пружины; ак — ускорение деформации пружины.
Пример 4. Кривошип О1А = I1 вращается вокруг точки О1, а шатун АВ = I2 скользит без зазора в трубке, жестко связанной с телом 3, вращающимся вокруг точки О2. В положении, показанном на рис. 6, система находится в покое. Стержни АВ и О1А невесомы, а шарнир А имеет вес G. Центр тяжести тела 3 совпадает с точкой О2. Найти коэффициент жесткости системы, если механизм расположен в вертикальной плоскости. Весом
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
130
Общетехнические задачи и пути их решения
пружины с коэффициентом жесткости c пренебречь. Принять, что в положении покоя длина пружины равна L.
Решение. За обобщенную координату примем угол ф поворота звена 1. Сообщив этому звену угловую скорость ф и угловое ускорение ф, найдем
ускорение точки В. Для этого, считая, с одной стороны, что точка В принадлежит телу 2, совершающему плоское движение, а с другой, что она совершает сложное движение (переносное вместе с телом 3 и относительное по отношению к этому телу), запишем известные кинематические соотношения:
где v, ve, vr - абсолютная, переносная и относительная скорости точки В
-►ц -*в
соответственно; aA, aA - центростремительное и вращательное ускорения точки А во вращении вокруг точки О1; aAB, a^AB - центростремительное и вращательное ускорения точки В во вращении вокруг полюса А; ац, аъе -составляющие переносного ускорения точки В; ar, aC - относительное и кориолисово ускорения точки В.
Проецируя эти векторные уравнения на оси координат, после преобразований находим:
ав — а^ + аъе + ar + aC,
Р
У
Рис. 6. Схема механизма, находящегося под действием позиционных сил переменного направления
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
131
V,,
■ к
ф —
2
(
d
\
I
• /
; ш = р 1
а„
Id.. .2
—ср + ср2 2L
2 У 7
2/,
• ац =
’ Ue
/12 d . 2 ттт •2;
4/22
л
V
/dV3 /d2 _ /d3
2/2 + 4/2 2/22 у
/1 •
а, = т р
( л) У3 _ d / ( + р2 7Т
V /2 У 2 V
ас =(р
2/
2 Л 2/,
/1 dV3 /1 d2 /, dV3
— _1--------Цт- +-^
2/3
/2
12 у
2 Г d\
У3 _ d
/2 у
Запишем составляющие ускорения точки D:
а
/ Ь
ц _ l1U /У „в
D
4/2
■ср ; а
D
/Ь .. . 2 lb
1 ср + ср2 1
2/.
2L
/3 + /1d _ /1 у[ь 2/ /
V ^12 12 у
(18)
(19)
Выразим модули сил упругости пружины через обобщенную координату с точностью до величин второго порядка малости:
P = P = С
11 ст 1 2 и
у /1 f +ф“ 2
(
У3 _ d
12
(20)
где fCT _ статическая деформация пружины.
Подставляя (18)—(20) в (16), после преобразований находим коэффициент жесткости системы:
к2 ( л) У3 _d cos a+ f /2 /1( Ч- +1
I4 /У L 2 v
/_ _ d3
2/
и
\1d d
"2/
/ dV3
cos a
кй. О.
2
Пример 5. Два кривошипа О1А — / и О2В — а/, имеющие массы Ш1 и m2, соединены в точках А и В пружиной с коэффициентом жесткости С (рис. 7). В положении покоя, показанном на рис. 7, пружина растянута на
величину fcT и имеет длину АВ = в/ (а и в _ постоянные коэффициенты). Исследовать устойчивость этого положения равновесия, считая, что
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
132
Общетехнические задачи и пути их решения
механизм расположен в горизонтальной плоскости. Найти частоты малых свободных колебаний системы.
Решение. Система имеет две степени свободы. Приняв за обобщенные координаты углы поворота ф1 и ф2 кривошипов, найдем ускорения точек А и В и угловую скорость ю3 вращения оси АВ пружины:
ал = 1ф\; ал = 1ф 1; ав = а/ф2; ав = а/ф2; ю3
ср 1 - аср 2
в
Учитывая, что в соответствии с (17) Р1 — Р2 = с/ст, подсчитаем слагаемые, входящие в (13), и получим матрицу С жесткости системы:
1 - в -а
в -а а(а + в)
С =
Согласно критерию Сильвестра, положение равновесия системы устойчиво, если главные диагональные миноры матрицы жесткости положительны:
1-р>0, а(а + р)(1 -р)-а2 >0.
Решение этой системы неравенств позволяет получить соотношения
между коэффициентами а и в, обеспечивающими устойчивость указанного положения равновесия при растянутой пружине:
0 <в<1, 0 <а + в<1. (21)
Геометрически это означает, что точка О1 находится левее точки О2. В случае, если в положении покоя пружина сжата, неравенства (21) изменяются на противоположные.
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
133
Для построения матрицы инерции А запишем выражение для кинетической энергии системы:
T _ m1l2 ф2 + т2 а2/2 ф2
_ 1 2 + 3 2'
Отсюда может быть записана матрица инерции системы:
a _ И
2
тл
0
0а 2 mп
Квадраты собственных частот колебаний системы, как известно, совпадают с собственными числами матрицы
A-1C _
в1
1-
а
m1
тл
1а+Р
ат2 ат2
Если известно, что c = 4000 Н/м, /ст = 0,1 м, т1 = 4 кг, т2 = 2 кг,
l = 2 м, а = 0,6, в = 0,2, то собственные частоты колебаний принимают значения k1 = 5,829 с-1, k2 = 42,024 с-1.
Заключение
Задача получения линеаризованных дифференциальных уравнений колебаний механических систем не теряет своей актуальности и в настоящее время. Рассмотренная методика линеаризации уравнений основана на применении хорошо известных правил кинематики, обладает высокой степенью общности и позволяет решать задачи, которые весьма трудно решить другими способами.
Библиографический список
1. О составлении линеаризованных уравнений колебаний механических систем / Г. Б. Муравский // Сб. научно-метод. статей по теоретической механике. - Вып. 10. -М. : Высшая школа, 1980. - С. 48-54.
2. Применение кинематических методов к задачам устойчивости и малых колебаний голономных консервативных систем / Л. Л. Турко // Сб. научно-метод. статей по теоретической механике. - Вып. 19. - М. : Высшая школа, 1988. - С. 86-95.
Статья поступила в редакцию 12.04.2010;
представлена к публикации членом редколлегии А. В. Индейкиным.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
