Кинематический фазовый переход Текст научной статьи по специальности «Физика»

Кинематический фазовый переход

Васильев С. В. ([email protected]) Институт Автоматизации Проектирования РАН,

Из самого заголовка представленной работы следует, что она посвящена исследованию фазовых переходов. Теория фазовых переходов является одним из основных разделов физики веществ (сплошных сред). Фазовые переходы классифицируются по родам. В частности, говорят о фазовых переходах первого и второго рода.

Напомним, что фазовый переход первого рода означает перестройку вещества, сопровождающегося изменением так называемого агрегатного состояния. К агрегатным состояниям среды относятся, в частности:

- твердое состояние (твёрдое тело),

- жидкообразное состояние (жидкость),

- газообразное состояние (газ).

Фазовый переход второго рода означает изменение строения среды без изменения её агрегатного состояния, когда твердое тело остаётся твёрдым, жидкость остаётся жидкостью, газ - газом, и так далее.

Приведём некоторые известные примеры фазовых переходов второго рода.

1. У ферромагнетика в результате фазового перехода второго рода может появиться намагниченность. При помещении ферромагнетика во внешнее магнитное поле, магнитные моменты некоторых частиц, составляющих среду, выстраиваются преимущественно в направлении внешнего поля. Происходит внутреннее (собственное) намагничивание ферромагнетика, которое может сохраниться при выключении внешнего поля (эффект гистерезиса). При понижении температуры ферромагнетика ниже некоторой критической происходит намагничивание ферромагнетика даже при отсутствии внешнего магнитного поля. Температура описываемого фазового перехода второго рода носит название температуры Кюри.

2. У некоторых веществ, при опускании их температуры ниже критической наблюдается появление свойства сверхпроводимости. Электрическое сопротивление среды скачкообразно становиться равным нулю.

3. У некоторых жидкостей при опускании температуры ниже критической наблюдается появление свойства сверхтекучести. Вязкость жидкости скачкообразно становиться равной нулю.

Все фазовые переходы второго рода объединяет то, что в связи с переходом происходит изменение некоторых физических свойств среды. В первом примере - это появление намагниченности, во втором - это исчезновение электрического сопротивления, в третьем - исчезновение свойства вязкости жидкости.

Новое свойство, которое приобретает среда в связи с фазовым переходом второго рода, стандартно описывается изменением так называемых параметров порядка. В первом упомянутом случае параметр порядка - это намагниченность, во втором -электрическое сопротивление, в третьем - вязкость жидкости.

В представленной работе рассматривается кинематический фазовый переход, что означает, что параметром порядка фазового перехода второго рода является кинематическая величина. Эта «фазово-кинематическая» величина есть внутренний

(собственный) угловой момент среды. Другими словами, рассматриваются такие фазовые переходы второго рода, в результате которых происходит изменение плотности внутреннего углового момента среды ] при её движении. В частности, при движении идеальной несжимаемой жидкости.

Во многом результаты представленной работы повторяют результаты, изложенные в нашей предыдущей публикации [1], однако новый ракурс видения проблемы позволяет более отчетливо представить механизм кинематического фазового перехода.

В осесимметричных течениях сплошных сред существует степень свободы поперечного кручения (закрутки) «плоского» осесимметричного потока. Актуализация этой степени свободы (скорость кручения нетождественна нулю) превращает «плоский» осесимметричный поток в «объёмный».

Уравнения Навье-Стокса движения несжимаемой жидкости запишем в цилиндрической системе координат (х, г, р) для стационарных осесимметричных течений [2]:

и..

д их

д х

д их

д х

+ и„

д иг дх

+и

д иг д г

д и, д г и2

и

д ир дх

+и

д ир д г

р г

+

+

+

+

д р д х д р д г

д иг д г

+

и

= 0

( Д2

= V

= V

д^

к д х2 (

2

игир

V

( Я2

д х

+

+

= V

д х2

дЧ

д г2 д2 ч д г2

+

дЧ

д г2

+

+

1 д4. г дг

1 д иг

+

г дг

1 д^р г дг

(1)

Здесь приняты следующие обозначения:

( д д 1 д ^

дх дг гдр

I - время;

V - оператор Гамильтона, в цилиндрических координатах V = А - оператор Лапласа, А = (V • V);

и - скорость жидкости, в цилиндрических координатах и = (их, иг, ир);

р - давление в жидкости, делённое на её постоянную плотность;

V - кинематическая вязкость жидкости (постоянная);

и - кручение осесимметричного потока;

у - циркуляция потока вокруг оси симметрии, у = 2пги

г

и

х

г

Легко видеть, что последнее уравнение системы (1) относительно функции кручения иф носит линейный характер. Представим это уравнение не в терминах

кручения, а в терминах циркуляции:

и.

ду д x

+ и

ду д r

( ^2

= V

ду

д x2

+

д 2у д r2

1 дх

r д r

л

Из последнего представления очевидно, что

Y = const

оказывается решением исходной системы дифференциальных уравнений (1). Согласно этому решению кручение

const

uv =

(2)

устремляется в бесконечность при приближении к оси кручения (оси симметрии).

Таким образом, уравнения движения реальной (неидеальной) жидкости допускают парадоксальные решения, а именно сингулярность скорости кручения на оси симметрии потока.

В работе [3] было продемонстрировано, что и уравнения движения вязкого теплопроводного газа так же допускают сингулярные решения вида (2).

Очевидно, что подобные решения допускаются и уравнениями Эйлера движения идеальной (невязкой) жидкости, так как уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера при обнулении кинематической вязкости (у = 0).

Итак, уравнения течений сплошных сред допускают сингулярные решения вида (2), причём, свойство сингулярности решения оказывается инвариантным по отношению к свойствам вязкости и сжимаемости сред.

Таким образом, разрешение парадокса бесконечного кручения на оси симметрии потока (оси кручения) для идеальной несжимаемой жидкости автоматически будет означать его разрешение как для вязких, так и для сжимаемых сред.

Ключом к разрешению парадокса сингулярности кручения оказывается явление, подобное тому, что описывается в следующем эксперименте.

На жестко фиксированной оси закрепим колесо большого радиуса так, что колесо имеет вращательную (вокруг оси) степень свободы. По периметру колеса закрепим гироскопы малого радиуса. Оси гироскопов жёстко крепятся к колесу и параллельны оси колеса. На колесе же жёстко закрепим некоторые устройства, которые могут включаться по таймеру (часам), расположенному так же на колесе. Функция этих устройств состоит в торможении вращения гироскопов. Во взведённом состоянии эти устройства ни как не действуют на гироскопы, при включении от таймера - приходят в соприкосновение с гироскопами и оказывают тормозящее воздействие трением.

Вначале эксперимента зафиксируем колесо так, чтобы оно не могло вращаться. Взведём тормозящие устройства. Поставим таймер на включение тормозящих устройств. Раскрутим все гироскопы на колесе по часовой стрелке. Закончив процесс раскрутки гироскопов, освободим колесо (обеспечим ему вращательную степень свободы). Имеем: покоящееся колесо с вращающимися на нём гироскопами.

Заключительная часть эксперимента состоит во включении тормозящих вращение гироскопов устройств. Заметим, что эти устройства крепятся только к колесу, так же, как и гироскопы, и часы. При торможении гироскопов колесо со всем, что на нём закреплено,

r

приобретает вращательное движение по часовой стрелке - так же, как у тормозящихся гироскопов.

Если скрыть содержимое колеса (вращающиеся гироскопы, тормозящие устройства, таймер) от глаз наблюдателя, то в момент срабатывания торможения гироскопов он увидит следующую необычную картину. Колесо, без каких бы то ни было внешних воздействий, начнёт ускоренно вращаться вокруг своей оси.

Для колеса действие, приводящее его во вращение, оказывается собственным (или внутренним) действием. Внутреннее (невидимое) вращение на колесе (вращение его частей) переходит во внешнее (видимое) вращение колеса как целого.

Подобные явления могут происходить (и происходят) в жидкости. Действительно, если уподобить частицу жидкости колесу из описанного эксперимента, то скрытым гироскопам колеса следует уподобить невидимые мельчайшие частицы жидкости, вплоть до молекул и атомов. Эти мельчайшие частицы жидкости могут обладать (и обладают) собственными угловыми моментами. Векторная сумма таких угловых моментов есть внутренний угловой момент частицы жидкости. Если в результате некоторой перестройки внутри частицы жидкости измениться её внутренний угловой момент, то это непременно приведёт к изменению её внешнего углового момента, её видимого движения.

Процесс перестройки в объёме среды, при котором происходит выстраивание угловых моментов частиц преимущественно в одном направлении, означает фазовый переход второго рода, когда жидкость или газ не меняют своего агрегатного состояния. Таким образом, внутренний угловой момент среды можно рассматривать как параметр порядка фазового перехода второго рода, происходящего в сплошной среде при её движении.

Оказывается, что и уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса не учитывают возможности фазового перехода второго рода. Но именно в этой возможности и кроется разгадка парадокса сингулярности, о котором было написано выше. При приближении жидкости к оси симметрии вся циркуляция сбрасывается во внутренний угловой момент жидкости. Таким образом, фазово-кинематическая степень свободы внутреннего углового момента позволяет разрешить парадокс бесконечного кручения на оси.

Известно [4], что интегральное уравнение, выражающее закон изменения углового момента материального объёма V(t) идеальной жидкости, мысленно ограниченного поверхностью F (t), записанное в виде

— | [х хu]dV = | p [nхx]dF,

dt V(t) F (t)

оказывается следствием пары уравнений:

- закона сохранения массы

- закона изменения импульса

Здесь n - внешняя нормаль к

Не вошедшее в систему исходных интегральных уравнений (3), (4) уравнение, выражающее закон изменения углового момента, выписывается стандартно без учёта удельного внутреннего углового момента среды j . С учётом внутреннего вращения в

-jw = (3)

al V(t)

— J и dV = - J pdF. (4)

dt V(t) F (t)

поверхности F (t).

идеальной жидкости закон изменения полного углового момента материального объёма может быть записан так:

й | ([ххи] + ])йУ

йг

У (г)

| р[

^ (г)

п х х

]йГ.

(5)

Эта запись выражает следующую формулировку: «Скорость изменения суммы угловых моментов внешнего и внутреннего вращений частицы идеальной жидкости равна моменту сил давления, действующих на частицу по нормали к её поверхности».

Если суммарный момент сил давления, действующих на частицу, равен нулю, то это ещё не означает, что внешний угловой момент частицы будет оставаться неизменным, т.к. полный угловой момент частицы может перераспределиться между внутренним и внешним вращательными движениями в результате фазового перехода второго рода.

Отказ от рассмотрения возможности фазового перехода второго рода лишает механику сплошных сред возможности представления одного из механизмов вихреобразования и, как следствие, возможности представления процессов, происходящих в закрученных (завихренных) течениях сплошных сред. Ярким примером этому является широко известный среди аэродинамиков вихревой эффект Рэнка, обнаруженный на воздухе [5, 6]. Устройство получило название «вихревой трубки» (рисунок 1).

Парадоксальность эффекта заключается в том, что если воздух рассматривать как невязкий нетеплопроводный газ, то согласно интегралу Бернулли для непрерывного стационарного течения газа, в вихревой трубке все порции воздуха должны иметь одинаковое удельное теплосодержание - удельную энтальпию торможения. На практике же это далеко не так.

Рисунок 1. Вихревая трубка Рэнка.

Как известно из курса динамики невязких нетеплопроводных сплошных сред [4], существует явное разграничение между вихревыми и безвихревыми (потенциальными) течениями. Это разграничение можно считать прямым следствием теоремы Лагранжа, которая гласит: «Если движение невязкой среды непрерывно и баротропно и если в

некоторый момент времени в какой-либо частице (в какой- либо массе среды) вихрь равен нулю, то он будет равен нулю в этой частице во все моменты времени». При этом под непрерывностью течения понимается непрерывная дифференцируемость всех функций, представляющих поведение среды, а именно, скорости, давления, плотности, удельной внутренней энергии, удельной энтропии и т.д.

Баротропное движение среды характеризуется тем, что в нём поверхности уровня плотности и давления совпадают. В несжимаемой жидкости условие баротропности выполнено всилу постоянства её плотности.

Условие баротропности для непрерывного течения нормального газа оказывается выполненным для изоэнтропического движения. Условие изоэнтропичности оказывается естественным следствием того факта, что при непрерывном движении невязкого нетеплопроводного газа энтропия в частице сохраняется [4]. Поэтому, если в некоторой массе газа в какой-то момент времени распределение энтропии по частицам газа было постоянным, то оно будет постоянным в этой массе газа и в последующее время.

Итак, условие баротропности можно считать выполненным не только для движения жидкости, но и для непрерывного движения невязкого нетеплопроводного газа (далее, просто, газа).

Т.о. согласно теореме Лагранжа вихрь а> в частице идеальной среды может возникнуть только при протекании этой частицы через поверхность разрыва в течении среды. Разрыв, через который среда течёт, называется неконтактным разрывом. Если до поверхности такого разрыва частицы среды обладают нулевой завихренностью, то после поверхности разрыва вихрь может быть отличным от нуля.

Заметим, что для газа известно всего два типа неконтактных разрывов: ударная волна и слабый разрыв на звуковой характеристике. На ударной волне функции, представляющие поведение газа терпят разрыв первого рода. На слабом разрыве только некоторые первые производные имеют разрыв первого рода, в то время как сами функции непрерывны.

Что касается движений несжимаемой жидкости, то неконтактных разрывов обнаружено вообще не было. Точнее, автору не известно о публикациях, в которых бы описывались неконтактные разрывы в несжимаемой жидкости.

Динамику идеальной несжимаемой жидкости можно считать частным случаем динамики невязкого газа. Действительно, достаточно положить плотность постоянной, т. е. рассматривать изохорические движения газа, как уравнения движения газа переходят в уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости.

Во-первых, из уравнений сильного неконтактного разрыва (ударной волны) для газа следует невозможность подобного разрыва для жидкости.

Во-вторых, из теории слабого разрыва в газе известно, что если поверхность является поверхностью слабого разрыва, то она с необходимостью должна быть характеристикой. Но характеристические поверхности в несжимаемой жидкости - это исключительно контактные характеристики, поэтому можно сделать заключение о том, что неконтактных разрывов в жидкости быть не может.

Отметим, что при выводе соотношений на сильном разрыве в газе не принимается во внимание уравнение, выражающее закон изменения углового момента, потому как считается, что это уравнение не является независимым и есть следствие двух уравнений, выражающих законы сохранения массы и изменения импульса [4]. Это действительно так, если не принимать во внимание фазово-кинематическую характеристику - удельный внутренний угловой момент среды.

В газе хорошо известен механизм потери непрерывности движения, называемый градиентной катастрофой [4]. Напомним, что градиентной катастрофой называется явление неограниченного роста градиентов основных величин (скорости, давления и т.д.). Непрерывное движение становиться невозможным и продолжается, но как движение с сильными разрывами. Это одна из важнейших особенностей движения газа. Эта особенность есть следствие нелинейности исходных гиперболических уравнений непрерывных движений газа, а точнее, следствие того, что транспортные уравнения вдоль характеристик оказываются уравнениями типа Риккати. Из теории уравнений Риккати известно, что их решения могут обращаться в бесконечность на конечном интервале изменения независимого переменного [7].

Интересно, что в несжимаемой невязкой жидкости на основании уравнений непрерывных движений так же были обнаружены течения, характеризующиеся неограниченностью не только производных, но и самих функций (скорости) [8]. Однако не было выдвинуто предложение о разрешении градиентной и функциональной катастрофы в жидкости подобно разрешению градиентной катастрофы в газе. Точнее, автору представленной работы не известно о предложении разрешения парадокса разрыва второго рода в жидкости за счёт образования разрыва первого рода. Очевидно, что отсутствие такого предложения продиктовано тем обстоятельством, что в несжимаемой жидкости не известны неконтактные сильные разрывы (разрывы первого рода).

Включение во внимание фазово-кинематической степени свободы, связанной с изменением внутреннего углового момента среды, позволяет построить представление о разрывах первого рода в жидкости и разрешить парадокс бесконечности как градиентов, так и самих функций, моделирующих течение жидкости.

Обратимся к интегральному уравнению (5)

— J ([хи] + j)dV = J p[[xx]dF

dt V(t) F(t)

применительно к стационарным осесимметричным течениям жидкости.

Наличие оси симметрии позволяет вывести скалярное следствие этого векторного интегрального уравнения и получить уравнение, выражающее закон сохранения углового момента относительно оси симметрии.

Специфицируем материальный объём, по которому ведётся интегрирование в (5) осесимметричным тором, ось симметрии которого совпадает с осью симметрии потока жидкости, и рассмотрим проекцию полученного уравнения на эту ось. Очевидно, что поверхностный интеграл в правой части полученного скалярного уравнения обратиться в нуль всилу того, что и нормаль к поверхности тора n и радиус-вектор x лежат в меридиональной плоскости и их векторное произведение имеет только окружную составляющую, проекция которой на ось симметрии равна нулю. Из всех составляющих поля скорости только кручение даёт вклад в объёмный интеграл в левой части

уравнения (по той же причине).

Итак, проекция уравнения (5) на ось симметрии применительно к материальному тору даёт уравнение:

— J(nvR sin 0 + j )d(TORE) = 0,

dt TORE(t)

где j - проекция удельного внутреннего углового момента жидкости на ось симметрии потока.

Первое слагаемое в подынтегральном выражении есть ничто иное, как циркуляция жидкости вокруг оси симметрии у = 2п u^R sin в .

Это уравнение выполнено для любого осесимметричного материального тора жидкости, ось симметрии которого совпадает с осью симметрии потока. Устремляя толщину выбираемого тора к нулю (тор стремится к окружности), легко видеть, что в любом осесимметричном течении сумма циркуляции и проекции внутреннего углового момента на ось симметрии есть интеграл движения. Т.е. для любой материальной частицы жидкости, движущейся в осесимметричном течении, сумма у + 2п j является величиной постоянной.

Для стационарного осесимметричного течения жидкости величина у + 2п j будет функцией только линии тока, т.е.

Y

+ 2п j = const (L) (6)

Если «заморозить» фазово-кинематическую степень свободы, т.е. положить j = const, то интеграл движения (6) преобразуется в хорошо известный интеграл циркуляции

Y = const(L),

являющийся следствием уравнений Эйлера.

Очевидное противоречие интеграла (6) и интеграла циркуляции оказывается порождением того обстоятельства, что исходное уравнение импульсов (4) и его следствие - уравнение Эйлера - не учитывает возможности фазового перехода второго рода, происходящего с изменением как внутреннего, так и внешнего углового момента, т. е. не учитывает возможности возникновения т.н. объёмных сил фазового перехода.

Для того чтобы как-то спасти положение и не отказываться от уравнений Эйлера вообще, будем полагать, что если фазовый переход второго рода происходит, то он происходит скачкообразно (мгновенно). Т.е. плотность внутреннего углового момента в частице среды меняется только через разрыв первого рода. Тогда вне поверхности разрыва - поверхности фазового перехода второго рода - j = const и применимы стандартные уравнения Эйлера непрерывного движения жидкости.

Предположим, что в стационарном осесимметричном течении идеальной несжимаемой жидкости происходит фазовый переход второго рода с изменением j . Это означает, что в течении существует некоторая неподвижная осесимметричная поверхность, через которую жидкость течёт, и на которой j имеет разрыв первого рода. Согласно интегралу (6) циркуляция у так же терпит разрыв первого рода на поверхности рассматриваемого фазового перехода. Разрыв циркуляции означает разрыв кручения .

Оказывается, что для разрешения парадокса сингулярности достаточно возможности разрывов первого рода только кручения, при этом остальные составляющие скорости и давление остаются непрерывными. Непрерывность меридиональных составляющих скорости ещё не означает непрерывности их производных. Более того, оказывается, что на поверхности фазового перехода вихрь, так же как кручение, терпит разрыв первого рода [1].

Литература.

1. Быркин А.П., Васильев С.В., Щенников В.В., Кинематика фазовых переходов в механике сплошных сред. - М.: Компания Спутник+, 2004. - 44с.

2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика. - М.: Физматгиз. -1963.

3. Ершков С.В., Щенников В.В., Об автомодельных решениях системы полных уравнений Навье-Стокса для случая осесимметричных закрученных течений вязкого сжимаемого газа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001, №7.

4. Овсянников Л.В., Лекции по основам газовой динамики, - М.: Наука, 1981.

5. G.J. Ranque, Method and apparatus for obtaining from a fluid under pressure two currents of fluids at different temperatures, - United States Patent Office (1,952,281), Mar. 27, 1934.

6. W. George, Jr. Scheper, The vortex tube - internal flow data and a heat transfer theory. Refrigerating Engineering, October, 1951.

7. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (пер. с нем). - М.: Наука. - 1971.

8. R. Fernandez - Feria, J. Fernandez de la Mora, M. Perez - Saborid and A. Barrero, Conically similar swirling flows at high Reynolds numbers, Q. J I Mech. appl. Math. (1999) 52 (1), 1 - 53.