Кинематическая задача дельта-механизма с тремя степенями подвижности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Механика специальных систем

УДК 621.81

А. Н. Гюнтер, А. Н. Смирнов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЕЛЬТА-МЕХАНИЗМА С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ ПОДВИЖНОСТИ

Рассматривается устройство дельта-механизма, решение его обратной кинематической задачи, при которой определяются углы поворота входных звеньев исходя из заданного положения выходного звена.

Дельта-механизм состоит из трех кинематических цепей, замкнутых между собой. Соответственно его можно отнести к механизмам с параллельной структурой. Существует несколько комбинаций конструкции дельта-механизма, различающиеся между собой лишь применением различных кинематических пар, от которых в свою очередь зависит степень подвижности выходного звена механизма и виды его движений. Рассматриваемый нами механизм (рис. 1) состоит из основания 1; трех двигателей 2, создающих вращательное движение; трех одноподвижных звеньев 3, соединенных с двигателями вращательными шарнирами; шести промежуточных штанг 4 и выходного звена 5. Штанги 4 устанавливаются на один привод попарно и соединяются со звеньями 3 и 5 двух-подвижными шарнирами, вследствие чего выходное звено 5 всегда остается параллельным основанию 1.

Для определения подвижности пространственного механизма воспользуемся хорошо известной формулой Сомова-Малышева:

Ж = 6п - 5р>1 - 4р2 - 3рз - 2р4 - р5,

где п - число подвижных звеньев; р, - число и подвижность кинематических пар, входящих в механизм.

Состав механизма следующий: число подвижных звеньев п = 7, число одноподвижных кинематических пар р: = 3, число двухподвижных кинематических пар р2 = 6, число трехподвижных кинематических пар р3 = 0, число четырехподвижных кинематических пар р4 = 0, число пятиподвижных кинематических пар р5 = 0:

Ж = 6 ■ 7 - 5 ■ 3 - 4 ■ 6 - 3 ■ 0 - 2 ■ 0 - 0 = 3.

Для решения кинематической задачи составим упрощенную схему механизма (рис. 2). Определим зави-

симость положения платформы в пространстве от углов поворота звеньев, связанных с основанием механизма. Для этого рассмотрим одну лапу механизма при его произвольном положении (см. рис. 2). Звено АВ перемещается лишь в плоскости 20У, в свою очередь, у звена ВС в плоскости 20У постоянно находиться только точка В, в остальном оно может наклоняться куда потребуется. Спроецируем звенья механизма на плоскость 20У (рис. 3).

\ \ш /

Рис. 2. Упрощенная схема механизма

в

№ ,■

Рис. 3. Проекция на плоскость 70У

Из получившейся системы проекций выделим несколько треугольников, при помощи которых в дальнейшем мы сможем определить углы а, в и затем искомый угол подъема фь Начнем с треугольника ВССь определив его сторону ВС1 исходя из теоремы Пифагора: СС1 = х1 - отрезок от точки С до ее проекции на плоскость 20У; ВС2 = ВС2 - х2 - проекция звена ВС на плоскость 20У.

Используя эту же теорему, рассмотрим треугольник АМС1 и найдем длину отрезка АС1:

АМ = у + 0С - 0А; МС = 7!; АС2 = АМ2 + МС2 = (у1 + 0С - 0А)2 + ¿2.

Решетневскце чтения

Таким образом, определили все стороны треугольника ABCi. Далее по теореме синусов найдем угол а:

BCi = AB2 + AC2 - 2 • AB • AC1 • cos a .

Подставим в формулу ранее найденные величины сторон треугольника ABC1:

BC2 - x2 = AB2 + (y1 + OC - OA)2 + z2 -

- 2 • AB • cos a-у/(y1 + OC - OA)2 + z?.

Выразим искомый угол а:

a = arccos

AB2 + (y + OC - OA)2 + zj2 - BC2 + x2 2 • AB •J(yj + OC - OA)2 + zj

Далее найдем угол в, выразив его через котангенс, дабы не попадать в неопределенное положение при в = 90°:

„ y+OC-OA D ctg p = —-; b = arcctg

r yj + OC - OA Л

= arccos

( AB2 + (y + OC - OA)2 + Zj2 - BC2 + x2 Л

2 • AB ^(y + OC - OA)2 + z22 - arcctg

( y + OC - OA ^

Для определения оставшихся углов ф2 и ф3, в порядке против часовой стрелки, если смотреть сверху, выбираем новую систему координат: (x2; y2; z2) и (x3; y3; z3) соответственно. Для перевода координат точки О' из второй и третьей систем координат будем использовать матрицу поворота вокруг оси Z1, так как

z1 = z2 = z3:

^ cos 120°

M =

sin 120° 0

- sin 120° cos 120° 0

0 ^ 0 1

Искомый угол ф1 не что иное, как разность углов а и в (рис. 3):

Ф1 =а- р =

Математически поворот можно выразить умножением матрицы поворота на вектор, описывающий вращаемую точку:

P = M • P ; 'cos 120° - sin 120° 0^ P= sin 120° cos 120° 0 • (x;у;zj) =

v 0 0 lj

' X • cos 120° + y • sin 120° + z1 • 0 = - -x • sin 120° + y • cos 120° + z1 • 0 X • 0 + y • 0 + z1 •i.

Отсюда получим, что для второй системы координат

x2 = x-cos 120° + ysin 120°; y2 = yi-cos 120° - x-sin 120°. Для третьей системы координат

x3 = x-cos 120° - y1-sin 120°; y3 = x1-sin 120° + ycos 120°.

A. N. Gjunter, A. N. Smirnov Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetneva, Russia, Krasnoyarsk

KINEMATIC PROBLEM „DELTA" OF THE GEAR WITH THREE DEGREES OF MOBILITY

The article considers a device „delta", gives the decision of its return kinematic problem with angles of rotation of entrance links proceeding from the set position of a target link.

© Гюнтер А. Н., Смирнов А. Н., 2011

Z

УДК 621.81

А. Н. Гюнтер, А. Н. Смирнов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МЕХАНИЗМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КИНЕМАТИКИ

В МАШИНОСТРОЕНИИ

Представлен обзор основных пространственных механизмов параллельной структуры, их классификация, области применения и дальнейшие перспективы внедрения в различные сферы деятельности человека.

Перед современным машиностроением стоят задачи создания эффективных многофункциональных машин и механизмов, обеспечивающих высокую производительность, надежность и точность. Существен-

но повысить эти характеристики позволяют механизмы параллельной структуры, у которых выходное звено связано с основанием кинематическими цепями. Каждая из цепей имеет несколько приводов или нала-