CC BY
16
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 75 ИНСТИТУТА имени С М. КИРОВА 1954 г.
кинематическая цепь как средство
для анализа некоторых математических
функций1
Д. Г. СТАНЬКО
В общей теории машин и механизмов кинематическая цепь рассматривается с точки зрения структуры, классификации, проводится кинематический и динамический анализ и отчасти затрагивается синтез цепи.
В основном задача сводится к тому, что дается анализ механизмов с различными порциями математического оформления. Конечно, такая работа нужна, но она не должна исчерпываться только этим.
Кинематической цепи уделяется достаточное внимание, но вопрос о том, что может дать кинематическая цепь, сама, как подвижный геометрический образ, обычно не затрагивается. Подойдем к кинематической цепи с несколько иной точки зрения.
■ 1 Во
с
Фиг. 1
Положим, что имеем некоторую кинематическую цепь ( фиг. 1,2), состоящую из кривошипа радиуса г и шатуна длиною /. В точке А имеем
Фиг. 2
Примечание редакция. Статья печатается в порядке обсуждения.
шарнир, а в точке В—поступательную пару с шарниром. Введем обозначения, которые будем использовать в дальнейшем:
а—угол между начальным положением и радиусом кривошипа. По мере
вращения кривошипа этот угол изменяется по величине; р —переменный радиус-вектор—прямая, соединяющая центр вращения кривошипа с положением ползуна,—величина переменная в долях от радиуса кривошипа; ai—угол, образуемый положением кривошипа и радиусом-вектором,
р —величина переменная; Р — угол, образуемый шатуном / и радиусом-вектором р, —величина переменная;
с —минимальное расстояние центра вращения кривошипа от траектории точки В, иначе, перпендикуляр, опущенный из центра О к траектории точки В (траектория точки В—прямая). Эта величина постоянная; ро—величина с, выраженная в долях от радиуса кривошипа; 9 —переменный угол с вершиной в точке О, образуемый радиусом-вектором р и р0;
р —перпендикуляр, опущенный из точки А на радиус-вектор р—величина переменная.
Выразим уравнение траектории ползуна через радиус-вектор р (см. фиг. 1):
а)
cos <р
С другой стороны, значение р может быть получено как функция г, /, а и р. Тогда
р — г.cos ctj /.cos p. (2)
Приравнивая правые части функций, имеем
—-— — r.cosat -(- /.cos Р cos 9
или
г. cos a¡. cos <р -j- /.cos P .cos cp —с = 0. (3)
Угол P можно выразить через угол аь так как
Р — г. sin ¡X] = /.sin Р = /j/1— cosl>p.
откуда
cos р — ~yj/ ^ ~ ^2sin2ale
После подстановки cosP уравнения (2) и (3) примут вид
р — г. eos «i + УР — г2 sin2 аи (4)
Г. cos Л] .cos <? + cos Cpj/72-Г2 sin2 <*!—С (5)
Для того чтобы исследование носило общий характер, абстрагируем наш механизм. Для этого принимаем радиус кривошипа за единицу, т. е.
1, длину шатуна / берем в долях от радиуса кривошипа, тогда l = r.kt или при r= 1, l—k. Величину р0 = с будем рассматривать также в долях от радиуса кривошипа или иначе в долях от единицы. Теперь функции (2), (3), (4), (5) запишутся так
р = cos alJ\rk cos Р, (1)
cos ai. cos <p + k cos P. cos cp — p0 = 0, (II)
р = cos«! -f- \Zk2—sin2 ab
(iii)
(iv)
(v)
COS . COS 9 4* C0S 9 V&2 — sin2«!-Po = 0,
P sin OCj ~ k sin (3.
В полученную группу функций можно ввести угол поворота а, заменив угол <р, так как
Тогда
ф = a
a,.
cos (¿i. cos (a—olx) k cos ¡3. cos (a — ctj) — p0 = 0, cos «X. cos (a — ax) -f- cos (a—ax). —sin2 at —p0 = 0.
(VI)
(VII)
Таким образом мы получим функциональную зависимость между рядом величин а^Р, <р, « и некоторыми постоянными р0 и k. Причем имеем зависимости как в явной, так и в неявной форме. Перейдем к анализу полученных функций с I по VII. Для этого воспользуемся подвижным геометрическим образом. Здесь возможен ряд вариантов.
Вариант 1. ft<p0<2; é>l.
Будем двигать нашу кинематическую цепь, вращая кривошип или перемещая ползун (см. фиг. 2, 3). Минимальное значение р будет равно ро. Положение механизма, соответствующее р0, выделено отдельно на фиг. 2.
к<5„<г
К>1
В"
в
В"
в:
Имеем
или
Фиг. 3
Pmin — рО Pmin = COS a0 -h k COS
pmin = COS a0 -f- yh2 — sin2a0.
Значение углов a0 и не трудно найти, так как стороны треугольника OAqBq известным равны ltk0 и р0. При p = pmm имеем минимальное значение угла ср, который равен нулю, то есть
írnin = 0.
Максимальное значение р будет при ргаш, что дает
/?шах " sin = к sin ¡30.
Мертвые положения механизма (см. фиг. 3) в точках В' и В\ дают значения максимума для р, причем
Ртах —1 1 k.
При ртах имеем максимальное значение угла ср. Из треугольников ОВ'В0 или OB\BQ (см. фиг. 3) найдем ^Ргаах через cos ершах» так как
Ро
cos Cpmax = -— .
1+yfe
Если считать за нулевое положение ОВ0) то максимальное значение угла поворота кривошипа а будет соответствовать положению шатуна, которое параллельно ОВ0. Выражая, посредством тригонометрической зависимости, получим
cos агаах — р0 — k.
Значение атах не совпадает с положением механизма для <рШах.
Путь, прохолимый ползуном, определяется мертвыми положениями механизма, равен В'Вгп. Величина половины этого пути равна
ВйВ' = ВйВ у'= { 1+ k) Sin ершах,
при этом
а — Cpmax.
О том, как меняется угол а при движении ползуна от верхнего мертвого положения до нижнего и наоборот, дает возможность судить изображение на фиг. 3 дуги со стрелками. Отметим следующую особенность, что при изменении р от Вг до В\ и от В'i до В' изменение а может происходить двояко, a именно, движение вниз—по дуге I, и если же у дуги II началом сделать конец и вращать кривошип, то получим также движение вниз. Аналогичная картина получается при движении снизу вверх, что происходит при вращении кривошипа по дуге II или же по дуге 1 при перемене начала конца дуги. Если угол <р, радиус-вектор р при изменении от Вг до В\ занимают соответственно различные положения, то угол а при сртях будет соответствовать двум переменным радиусам-векторам ртах и некоторому р'. Последний можно выразить через известные величины, решая задачу чисто геометрически.
Некоторый интерес представляет характер изменения положения точки В, если вращать кривошип из положения А в положение А". При этом характер изменения ср и р в зависимости от угла поворота кривошипа представлен на фиг. 3 (справа) в виде прямых со стрелками. При вращении кривошипа по часовой стрелке точка В будет занимать положения В—— и при вращении против—В"—+В\—*В. Оставляя неизменным направление вращения кривошипа, перемещение точки В может совершаться иным путем, а именно—по часовой стрелке В—*В\—против—В"—
Обратим внимание на то, что дуги, показывающие направление вращения точки А при перемещении точки В из своих крайних положений вверх и вниз как бы отображают характер движения точки В при вращении кривошипа из положения А в положение А" и, наоборот, из положения А7 в А. Исходя из движения механизма, можно было бы получить ряд зависимостей между а, аи р, ср, р, р, построить эти зависимости в координатах щхуи и получить ряд кривых, выраженных как в обычной, так и в параметрической форме. Численное значение можно получить чисто графи* чески из чертежа. Если потребуется большая точность, то значение величин можно вычислить аналитически. Весь анализ проводится под контролем механизма,
\
Перейдем к последующему анализу наших функций. Вариант 2. р0 = £ = 1 (фиг. 4). Отметим особенности функций в этом случае. Имеем
«о = Ро-
Подставляя значения углов в функции I и II, после преобразования получим
р — cos «1 (l-j-й),
COS CCj сos <р( 1 -J- k) — р0 =0.
Остальные функции (III, IV, V, VI, VII) будут иметь прежний вид.
Значение ершах — 60°, aimax = 45°, amax — 90°.
Все остальное, сказанное в первом варианте, может быть распространено на второй вариант.
В дальнейшем при исследовании будем отмечать только характерное присущее данному варианту, подразумевая, что все остальное уже разбиралось ранее.
Вариант 3. р = А > 1 (фиг. 5). В этом варианте вид функции сохраняется. Значение максимального угла поворота
атах — 90 ,
то есть такой же, как и в варианте 2. Вариант 4. р = fe < 1 (фиг. 6). Находим минимальное значение р.
Имеем pmin = Ро
ИЛИ Prain = COS сс„ — k COS (180°— (3°),
pmin~ COS a0 -f- k cos p. 165
Фиг. 5
;<£=К< 1
\
Фиг. 6
Таким образом, хотя треугольник превратился в тупоугольный с тупым углом Ро> ВИД функции не меняется.
Из особенностей данного варианта можно отметить то, что в некотором положении Вн и Br н шатун расположится на прямой траектории точки В. Найдем значение радиуса вектора р = ОВН1 соответствующего этому характерному положению. Согласно принятым обозначениям имеем
(5ВН' = г — 1; В7В~1~ k; ОВ0 = с=?0. Задачу решаем геометрически. Из треугольника ОВнВ0 значение р равно
P = Vp г0+адл (а)
В свою очередь, имеем равенства,
BQBH = B0B'H—kf
В0В!н — sin а = У1 —cos2 а , cos а = р0.
После подстановки и преобразования в уравнении (а) получим
Р = 1 -2 №.
При этом значении р кривошип в точке В'н пересекает траекторию точки В* Вариант 5. к > р0 > 1; р0 < k; р0 > 1 (фиг. 7).
Если в разобранных вариантах кинематическая цепь могла двигаться в пределах угла о. от нулевого положения не более 90°, то в варианте 5 значение сстах больше 90°. Так же, как и в варианте 4, имеем тупоугольные треугольники, образованные радиусом кривошипа, шатуном и радиусом-вектором р, но теперь тупой угол я.
Найдем выражение для минимального значения р; имеем, что
pmin — ро,
Pmin = k COS %-COS (1&0 ao)>
Pmin = COS a0 -f- k cos Po,
то есть величина pmin имеет такое же выражение, как и в прежних вариантах. Значение cosamax будет отрицательным, так как
cos otmax = р0—kt
где Ро меньше k.
Вариант 6. р0 = £<О/2 (фиг. 8).
Характерною особенностью данного варианта является то, что угол а на дуге Аг А\ и радиус-вектор р на участке прямой Вн В*н имеют прерыв,
/
im«*)"1*1
&;
Фиг.
иначе наши функции при данных коэффициентах получились бы прерывистыми.
Из треугольника ОВНВ0 найдем значение рг.г
pmin
1-Й.
pmin определяется мертвым положением механизма. В отличие от разнообразных вариантов pmin не равен Pq. Значение отрезка BHBi н равно
ВЯВ'Н = 2V р
min"" ро'
2 у 1—2 k—k1-
Значение ®mi« можцо выразить через тригонометрические зависимости
cos cpmiti
Po
Минимальное значение ^pmin не совпадает с углом кривошипа amin. Величина последнего определяется из следующего соотношения:
cos a rain = 2р0.
Как показывают дуговые стрелки, характер изменения угла а при переходе радиуса-вектора с точки В' до Вн несколько отличается от разнообразных вариантов. Аналогичную картину будем наблюдать при перемещении точки В, если вращать кривошип из положения А до положения А2 поскольку дуговые стрелки как бы отображают движение точки В.
Вариант 7. ро>&<1;ро> — ; ¿<0,5 (фиг. 9).
2
В отличие от варианта 6 имеем атах не 90°, а меньше.
Фиг. У
Значение amin и атах в варианте 7 можно выразить так:
cos amjn = k ~f- Po,
COS a max — po-k.
Все остальные моменты такие же, как и в варианте 6. Вариант 8. р = к — 0,5 (фиг. 10).
Этот вариант является пограничным. Если р — А <0,5, то функция будет лрерывной (см. фиг. 8), если же р = к 0,5, функции будут непрерывными. Особенностью является то, что в нулевом положении (Л0 и BQ) углы а0 и ßo равны нулю, механизм занимает мертвое положение.
Таким образом, используя кинематическую цепь, мы смогли проанализировать функции при различных значениях некоторых постоянных k и р0.
Если считать расположение квадрантов согласно с фигурой 11, то механизм охватил при анализе только квадранты 1 и IV и только частично в варианте 3—все четыре квадранта. Вге приведенные исследования будут справедливы, если считать за независимое переменное радиус-вектор р.
Для того, чтобы математическое исследование функций было полным,, необходимо проанализировать, как поведут себя функции при независимом переменном а и ср. Эта задача решается также с помощью механизма простым зеркальным отображением чертежа. Тогда квадранты I и IV соответственно будут отражать изменение функций в квадрантах III и II. На фигуре 11 заштрихованная часть квадрантов показывает, что при независимом переменном о имеем периодическую прерывистую функцию. В пределах прерыв функции в двух местах.
В варианте же 6 и 7 при независимом переменном <р (см. фиг. 12) прерыв функции в четырех местах. Если считать за независимое переменное а, то тогда для вариантов, имеющих р0 — функция непрерывна. Функция также непрерывна для варианта 5, когда В варианте
1 функция прерывна. Область прерыва—незаштрихованная часть окружности (см. фиг. 13) в двух местах. В вариантах 6 и 7 при независимом переменном а область прерыва в четырех местах (см. фиг. 14). Области прерыва при независимых переменных а и «р не одинаковы по величине.
Перейдем к разбору следующих вариантов:
Варианты 9, 10, 11, изображенные на фиг. 15,16,17, имеют соответственно р= 1, к~2; ¿>Ро> 1> Ро= ^—1; 1 > Ро> Ро —^— 1- Характерною особенностью данных вариантов, в отличие от разобранных, является то, что при независимом переменном р, при изменении последнего в пределах от В' до В\ и от В\ до В' изменение угла а будет происходить на полной кривошипной окружности, причем весь процесс будет протекать больше 2тг (см. дуги со стрелками). В исходном положении, когда р === ро~^—1> значение углов и р равны нулю.
При независимых переменных а и полное изменение функций даст зеркальное отображение чертежа, что разбиралось ранее.
Фиг. 10
Для сравнительной оценки приведем сводку результатов анализа разобранных вариантов при независимом переменном р. (см. табл. № 1). Подобным же образом можно было бы получить сводку основных параметров функций при независимых переменных ср и а, исходя из простого
описания движения кинематической цепи. Можно также получить и численное значение всех промежуточных величин.
Перейдем к дальнейшему анализу вариантов. Вариант 12. р0 = 0; ¿>2 (фиг. 18).
При значении р0~0 радиус-вектор р превращается в некоторый скользящий вектор, при этом значение угла о равно нулю, а угол аг — а. Если оставить принятое обозначение углов, то значение функций запишется так:
р = cos a.-\-k cos ру р = cos а + Vsin2 а — k,
р — sin а — k sin p.
171
Таблица № 1
№ варианта Характеристика варианта сое 9 шах 9 тт° Ятзх я гшп Р шах р тт
1 к<Ро<2;к>1 Ро 1 + * 0 сое а — р — А ат — 0 1 + к Ро
2 ) Ро = Л= = 1 45е 1 0 атт= О | 2 рп —
3 р0 - к > 1 Ро 1 + к 0 90° 0 14Л ро
4 Ро = А > 1 Ро \+к 0 90° 0 1 + А Ро
5 £ > Ро > 1; ро < к Р 1+А 0 сое а ~ р—А 0 1 + £ Ро
6 I Ро 1 + Л Ро С08 Ср — ' * 1 —к 90е 2 ро 1 + Л 1 - к
7 1 1 р>Л<1;р>— Ро 1 + Л Ро сов ф — у 1 — к СОБ а— ^ — ро сое ъ ~ к-1- р0 1 + £ 1 -л
8 1 р=* = т 1 - И 1 + Л 0 90° 0 1 + А Ро'
9 р = 1 ¿ = 2 1 -А 1 + А 0 180° 0 1 + к Ро
10 ¿>Ро>1; 1 - А 1 + А 0 180° 0 1 + к Ро
11 ^>1>ро; Ро^^—1 1 - к 1 + к 0 180° 0 1 + £ ро
-Некоторые изменения произошли вследствие того, что угол <р равен нулю и угол а = а1. Мертвые положения механизма дадут значения:
Ртах —- 1 Ртт & 1 •
Ничего нового не вносит вариант 13 при р~0, 2 (фиг. 19). Значения максимального и минимального радиуса вектора при этом будут иными и равны
Ртах —— Ршт =-= 1«
Вариант И. р0 = 0; А < 1 (фиг. 20).
В варианте 14 имеем также скользящий вектор р. При перемещении точки В с верхнего положения Вг в нижнее В\ происходит при изменении
ременному р. Функция носит такой же характер, как и в варианте 12. Максимальное значение а и соответственно при этом радиус-вектор равны
sin ашах — k,
p'^V \-k\
где точка B'q является точкой пересечения прямых траектории точки В. Углы «i и р остаются прежними, значение же углов ¿ср', <ршах а'шах будут другими, поскольку их связывает с радиусом-вектором р'0.
Проследим, каким образом запишется функциональная зависимость, отнесенная к ро'.
Уравнение (I) останется без изменения, т. е.
р — COS ttj k. cos ¡3. (Г)
J8 уравнении (И) значение угла <p заменим через <р'. 174
Согласно фигурам 24 и 25 соответственно имеем
ср — -[- ф,
? = —'Ь
где угол ф выражает угол наклона траектории точки В и является величиной постоянной. Иначе выражая,
ф — const,
выражая ро через р/, получим
ро — Ро' • cos ф = const. Подставив значения <р и Ро в уравнение второе, получим
cos'Ctj cos('/ + ф) + k cos £ cos(V + ф) — ро' cos ф = 0. (1Г)
Вид уравнения (III) остается без изменения, т. е. р — cos с^ -f- l^sin2 —fe. (ИГ)
В уравнение IV введем значение угла ср и р. Тогда получим,
eos «i. cos(<p' + ф) -f-cos(<f' + sin2 ax — k2 — p0'cos<I> =0. (IV') Уравнение IV остается без изменения, т. е.
р = sin аг = k sin ¡3. (V')
В полученные функции введем угол поворота кривошипа а'. Имеем
а — а'^- ti», = а' ф — а.
При независимом переменном <х функция будет иметь прерыв в двух местах (заштрихованные дуги). Для использования механизма для анализа функций необходимо механизм повернуть на 180°. Вариант 15. р0 — 0, k = 1 (фиг. 20').
Особенность этого варианта состоит в следующем: углы а = Р, pmin = 0, ■ртах — 2. При независимом переменном а на дуге я имеем прерыв радиуса вектора р = 0. Перемещение точки В из своих крайних положений совершается при угле поворота кривошипа на 180°. Вариант 16. po = cv>, k = ос (фиг. 21).
В данном варианте механизм имегт шатун, равный бесконечности. Очевидно, что и радиус-вектор будет равен тоже бесконечности.
Поскольку радиус-вектор связан с кривошипом и шатуном, то конец радиуса-вектора будет совершать какое-то реальное перемещение по прямой, удаленной в бесконечность от центра вращения кривошипа. Механизм, который будет удовлетворять данной функциональной зависимости, изображен на фиг. 22. Он представляет собой так называемую кулису Вольфа или иначе шатунно кривошипный механизм с бесконечно длинным шатуном.
Проследим теперь, какой характер примут исследуемые функции. Имеем:
р — (1 — cos a) ^ ,
р— 1 -feo, Ртах = 2 + 00 , Ртт =14-^ — 0.
Фиг. 22
Как видим, в функциональной зависимости участвуют бесконечности. Можно было бы сказать, что мы при исследовании функции взяли и приблизили конец радиуса-вектора и удалили центр вращения кривошипа в бесконечность, иначе перевернули наш механизм. Вариант 17. р0=О, 0(фиг. 23).
Механизм в этом случае шатуна не имеет, остается только один кривошип. Траектория точки В должна бы проходить через центр вращения кривошипа.
Значение радиуса будет в двух точках при а= —и тг, т. е. р ~ 1.
2
Таким образом, с помощью кинематической цепи проведен анализ функциональной зависимости.
Сделаем некоторые обобщения:
1. Мертвые положения механизма дают минимум или максимум для р и
2. Положение шатуна, параллельное р«, дает максимум а.
3. При наименьшем радиусе-векторе имеем р максимум.
4. Каким образом меняется функция при различных независимых переменных р,<р,а—дает характер движения механизма.
5. Весь анализ функций происходил при различном значении k и ро- Но можно рассматривать анализ функции как следствие параллельного переноса траектории точки В.
Расширим несколько область анализа функций с помощью кинематической цепи. Представим себе, что траектория точки В совершается по некоторой ломаной прямой. Исходя из прежних рассуждений, имеем траекторию точки В по двум пересекающимся прямым, имеющим минимальный радиус-вектор ро- По отношению р0 оставляем все прежние обозначения.
Отнесем все разбираемые функции к некоторому радиусу-вектору ро', который представляет собой прямую от пересечения центра вращения кривошипа О с точкой Вго (см. фиг. 24, 25). Подставив значение 9 и р0 в уравнения VI и VII, имеем
cos at cos (а' — ccj) -f- k cos ¡3 cos (а' + ф — — po'cos Ф , (VI)
cosaicos(a'+ ф — aj + cos (a' + t!>— ax)Vsin^—k2 —po'cos^ . (VII')
Аналогичным образом данные функции с помощью кинематической цепи могут быть проанализированы, так как нетрудно построить механизм, задаваясь тем или иным параметром. Отметим некоторые характерные моменты, которые дает цепь (см. фиг. 24 и 25). Максимальное значение р по-прежнему определяется мертвыми положениями механизма, т. е.
1 + k-
12. Изв. ТПИ, т. 75 . 177
При p'max имеем максимум угла ф'.
В отличие от прежних разбираемых вариантов вместо р0 будет поставлено значение его. Тогда имеем
Ро'соэф
COS
Т шах
1 4-/г
/
N
Фиг. 24
Считая за нулевое положение для угла поворота кривошипа значение р0» найдем максимальное значение а?шах. Это значение будет при положении шатуна перпендикулярно траектории точки В. Нетрудно найти, что
COS CCmax = Ро COS ф — k.
О том, как будет меняться значение а при независимом переменном р, при движении точки В вверх и вниз, показывают дуги со стрелками. Если
независимым переменным является угол поворота а', то тогда характер движения точки В как конца вектора р и соответственно изменение угла V при этом будут протекать согласно прямым стрелкам, изображенным справа на фиг. 24 и 25.
Функциональная зависимость, выраженная уравнениями (Г)—(vii')» может быть проанализирована при различных значениях. Характерной особенностью является то, что при ф = 90° мы будем иметь шатуяно-кривошип-ный механизм, как и из фиг. 18—20, повернутый на 90°. Но при этом р0' не будет равно нулю.
Анализ функции может быть проведен, не только меняя угол ф, но и меняя значение р0 и к в самых широких пределах. При ломаной траектории точки В изменение угла а',^' непрерывно, хотя и конец вектора р будет претерпевать изменение на месте переноса. Иначе, траектория точки В протекает не по одной прямой, а по двум прямым.
Очевидно, что анализ функции можно провести при различных значениях ф.
На фигуре 26 изображена кинематическая цепь для анализа функций
при к > 1, Ро'> к, ф(1), фш = = 0. Соответственно на фигуре 27 к ]> 1; р'0 ^ ф^ ф^; на фигуре 28 к < 1г р'0>&> 1 фц; фш = ф™ =0; на фигуре 29 к = 1; р'0> 1 Ф1; фш; на фигуре 30 и 31 ^ ~ со; р'0 = ф1У; ф1 = фц = 0; на фигуре 32 и 33 £ = со; р'0 — фц; фш.
Фиг. '2ü
Фиг. 29
Нетрудно, исходя из подвижного геометрического образа, описать характерные свойства исследуемых функций, принимая за независимые различные из величин, входящих в функцию. Переходим к заключению.
Данная работа преследовала цель показать, что кинематическая цепь сама по себе может быть использована для анализа некоторых математик ческих функций—в форме подвижного геометрического образа.
Такие операции, как нахождение максимума и минимума функции, решаются чисто автоматически. Характер функционального изменения многих переменных во взаимной связи также легко отображается механизмом» чего, пожалуй, трудно достигнуть иным путем.
Фиг. 33
При использовании кинематической цепи задача может решаться чисто графически, но одновременно эта же задача, используя механизм, может решаться и чисто аналитически. Аналитическое решение проводится под контролем механизма, тем самым избегается возможность ошибок.
Как указывалось, кинематическая цепь является средством для анализа некоторых математических функций. Если же подойти к вопросу принципиально, с точки зрения постановки проблемы, то слово „некоторых" можно было бы заменить „огромного большинства". На самом деле, существует бесчисленное количество кинематических цепей с одной и п-ой степенью свободы. Все эти цепи как-то отображают анализ функции. Но даже и разобранный случай кинематической цепи типа „шатунно-кривошипного механизма* значительно можно расширить, заставляя двигаться ползун по различного рода кривым. По мере изучения кинематических цепей будут выявляться свойства, которые могут быть использованы для решения различного рода математических задач.
Абстрагирование кинематических цепей применимо не только при решении математических задач, но в известной мере и при решении проблемы синтеза механизмов.
Можно ожидать, что предлагаемый метод найдет подобающее место как при решении математических, так и технических задач.
