CC BY
12
УДК 519.711.3
АЛ. Флоренсов, A.N. Florensov, e-mail: [email protected] Омский государственный технический университет; г. Омск, Россия Omsk State Technical University, Omsk, Russia
КИБЕРНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОГГУЛЯПИОHHОЙ ДИНАМИКИ CYBERNETIC MODEL OF POPULATTN DYNAMICS
Предложена кибернетическая модель описания динамики сложных, систем: которые состоят hi множества активных н размножающихся элементов и имеют четырех уровня относительно однонаправленных материальных потоков взаимодействия. Модель описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений: Показано, что модель может иметь не более одной стационарной точки фазовьи траекторий в области положительных значений переменных. Определены условия существования такой стационарной точки в ¡авнснмостн от параметров модели. Проведено численное моделирование решений системы для широкого набора случайно выбираемых параметров.
It is proposed a cybernetic model describing the dynamics of complex systems which consist of many active and proliferating cells and have four levels relative unidirectional material flow interaction. The model is described Ъу a system of ordinary differential equations. It is shown that the model can пот have more than one stationary point of the phase trajectories in the positive values of the variables The conditions of existence of such a fixed point are defined depending on the model parameters. The numerical simulation of system solutions had performed for a wide range of randomly selected parameters.
Ключевые слова: кибернетика, распределенная система, динамика, стационарные тачки, фазовая траектория, устойчивость, сомеостазис
Keywords: cybernetics, distributed system, the dynamics, the stationary points, the phase trajectory, stability, homeostasis
Кибернетика, определенная как наука об общих закономерностях процессов управления и передачи информации в машинах, живых организмах и обществе, развивалась до сих пор преимущественно применительно к технике и сложным техническим системам. Приме-
16
нение ее базовых идей в более сложных системах, какими оказываются биологические и социальные системы, тормозилась в связи с методологическими проблемами. Ими оказываются проблемы выделения в этих системах четко и постоянно работающих естественно сформировавшихся линий, каналов и аналогичных конструкций для передата управляющей информации. При наличии наблюдаемых 'эффектов внутреннего управления в этих системах, связанные с ними биологические и социальные средства сложно описывать и моделировать привычными формальными, детерминированными и стохастическими методами.
Можно предположить, что такая ситуация для исследований оказывается следствием распределенного характера указанных естественных систем. В отличие от искусственных технических систем, для указанных выше естественных систем существенным свойством является пространственная и частично временная протяженность с наличием множества составных частей, обладающих подвижностью, относительной автономностью и воспроизведением структур и функции с помошью размножения. Указанные определяющие по существу свойства этих систем неи збежно влекут необходимость рассмотрения, причем не только описательно, но и с помощью точных, желательно магтемагических моделей, многоэлеменгного характера таких систем, с учетом размножения н встроенных механизмов поддержки существования Определенный научный аппарат для этого накопился, его представляют дисциплина популяционной динамики, используемая в биологии, экологии и современных попытках моделирования численной динамики демографических процессов К сожалению, основная математическая модель, на которой строятся такие построения, называемая моделью Лотки-Вольтерра [1, 2], оказывается недостаточной, описывая только частные взаимодействия двух динамических компонентов таких систем. Несмотря на некоторые модификации и усложнения дополнительными интерполяционными параметрами, использовать ее для более сложных и существенных для изучения систем не позволяет ограниченность этой модели взаимодействиями только двух компонентов.
Будем исходить не из двух, а из четырех компонентов сложной распределенной системы. Эти компоненты в области экологии естественно соотносятся с уровнями трофической пирамиды. В области изучения социумов им естественно соотнести компоненты «естественная среда обитания», народ, элита и государство. Содержательная сторона такой модели состоит в том, что между двумя последовательными уровнями системы постоянно и устойчиво действуют однонаправленные взаимодействия, а от последнего уровня можно также констатировать специальный поток взаимодействий с нижним уровнем, обеспечивающим, в конечном счете, устойчивое воспроизводство того, что потребляет первый уровень.
В частном, но наиболее очевидном варианте экологической системы, результаты деятельность элементов последнего уровня (организмов этого уровня) обеспечивают пополнение необходимых элементов и материалов для устойчивого функционирование первого уровня. и как следствия всей системы. По существу речь идет об осмыслении и модельном замыкании пирамидальной структуры всей распределенной системы с помощью обратной связи, ассоциируемой с идеями гомеостазиса и контуров управления в системах, являющихся кибернетическими [3].
Будем обозначать количество «обобщенной массы» 1-го, 2-го, 3-го и 4-го компонента системы переменными X, у, г и и. При взаимодействии к-го и (к+1)-го уровня компонентов
х^ и первый из них (потребляемый) теряет обобщенной массы,
где т - удельная скорость потребления массы в этом взаимодействии, а второй (потребляющий) - столько же приобретает. Любой компонент теряет массу в результате энергетических и материальных потерь на существование. Это выливается в отрицательное составляющее приращения, которое пропорционально массе этого компонента за единицу времени. Соответствующие коэффициенты обозначим с^ с2, с^
Формализацию изложенного описания дает система дифференциальных уравнений, расширяющая более раннюю [4] авторскую модель: х = (-а + {Ьу +Щ 1 -(г / Я)/- с^х з
у = (а (е (1)
¿=(е уЬ -нсъ)15 и = (]?1 -Ьх — с4)и.
Коэффициент а задает удельную скорость передачи материального потока от первого компонента ко второму компоненту системы при их локальных взаимодействиях. Коэффициенты в и /? 'задают удельные скорости перераспределения материальных потоков от второго и третьего компонентов к третьему и четвертому компонентам при взаимодействии их элементов. А коэффициент Ъ задает удельную скорость потери материального потока последним компонентом, приводящим к увеличению массы первого компонента с удельной скоростью ЪМ, с учетом мультипликатора М Все коэффициенты следует считать строго большими нуля.
Упрощенная схема материальных потоков, действующих в совокупности как управляющие в результате учета и функционирования 'замыкающего потока от последнего компонента к первому; показана на рис. 1.
Рис. 1. Сжил управляющих потоков в 4-х компонентной системе
Коэффициент (I представляет скорость возрастания численного 'значения первого компонента ка основании внешнего источника его снабжения необходимыми элементами (энергией и неорганическим веществом вне биотического происхождения). Фактический вклад этого внешнего фактора (! совмесшо с членом поступления обратного потока с вершины верхнего уровня системы ЬМи модифицируется дополнительным членом выражения, соответствующего определяющей логистической зависимости (1 — х / Я), что обеспечивает учет ограниченности внешних ресурсов для всей системы и количественное значение этой ограниченности, задаваемое величиной Л .
Практический интерес представляют .тишь те решения системы уравнений, которые не меньше нудя, что следует из целевой задачи описания реально существующих объектов и масс. Система оказывается нелинейной за счет только первого уравнения, но она распадается на две системы уравнений меньшего порядка, одна из которых сразу же оказывается линейной.
Проведенные математические построения привели к определению условий существования стадионарных точек у фазовых траекторий системы. Получено, что такая стационарная точка в области положительных значений возможна только одна и ее существование определяется следующими условиями на параметры системы (1):
(ак - Ъе) > 0, (аЬ - ЪеМ(1 - д(11с2 + вс4) / Я)) > 0,
¡1 (с/ - с, /(1 - д(Ис2 - есА) / К)) > ЬМсъ, (2)
е(<Ц1-д(Ь 2+в:4)/£)-с1)>а з
или, как другой вариант при условии S <:- О
(ak-b}>0,(a -bh {\в-д(Щ+«:л)1 R) _
h(d - с, / 1 -iqih 2 - есА) i R) <§ Зз (3)
e(cl(l-q(h 2 +œ4)/R)-cl)<a
Практическое изучение рассмотренной системы было проведено с помошью моделирования частных моделей для случайно программно генерируемых значений параметров. Для этого использовалась система моделирования SciLab. Эксперименты показали сложные колебания в модели, характерные для практически изучаемых сложных систем, но не порождаемыми в таких формах более простыми математическими моделями н наличие сходимости к стационарным точкам в области положительных значений для большинства случайно выбранных параметров. Полученная модель дает возможность исследовать текущую устойчивость конкретных сложных систем, позволяющих измерить удельные плотности потоков между компонентами, давая тем самым средство для изучения условий гомеоста-зиса таких систем
Библиографический список
1. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. - Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. - +60 p.
2. Voltena V. Variations and fluctuations of the number if individuals in animal species living together / Animal Ecology. - New York: MacGraw-Hill, 1926, - P. 409-448.
3. Флоренсов, A. H. Динамические аспекты информационной компоненты сложных систем. 2007. - Омск : ОмГТУ - 344 с.
4. Флоренсов А.Н. Математическая модель компонентной динамики для биогеоценозов и социумов !! Сборник научных трудов S World. - Выпуск 1. Том 30. - Одесса : КУПРИЕНКО СВ, 2014. - С.71 -80.
