CC BY
11Капиллярно-гравитационная устойчивость в слое жидкости, подогреваемом снизу, при наличии плоского течения Куэтта
Лапшин В.Б. (1), Будников А.А. (2), Сидоренко А.В. (arturik@altavista.com) (3)
(1) Государственный Океанографический Институт, (2) Московский Государственный Университет, (3) Московский Физико-Технический Институт
Процессы, происходящие в приповерхостом слое океана, являются одим из определяющих параметров глобальной климатической системы. Физическо-химические свойства поверхностного микрослоя океана и процессы, протекающие в непосредственной близости от границы раздела оказывают большое влияние на потоки тепла, соли и газа между океаном и атмосферой.
Работа посвящена исследованию капиллярно-гравитационной устойчивости в слое жидкости, подогреваемом снизу при наличии плоского течения Куэтта. Данная задача является попыткой моделирования приповерхностного сантиметрового слоя океана при умеренном ветре.
Плоское течение Куэтта с линейным профилем скорости было одной из первых моделей теоретических исследований гидродинамической устойчивости [1]. Рэлей писал о необычайной сложности проблемы устойчивости плоского течения Куэтта. Ламб [2] отмечал, что подавляющее количество авторов склоняются к мнению об устойчивости плоского течения Куэтта, но этот вывод «настолько же возможен, насколько трудно его продемонстрировать».
К настоящему времени, основные теоретические результаты, связанные с устойчивостью течения Куэтта, изложены в целом ряде публикаций [см. напр. 3].
Дополнительные сложности возникают при исследовании устойчивости горизонтального сдвигового течения в слое жидкости подогреваемого (охлаждаемого) снизу (сверху). В монографии Д. Джозефа рассматривается гравитационная устойчивость плоского течения Куэтта в слое жидкости, подогреваемом снизу [3]. Критическое число Рэлея, полученное автором, составляет Re = 1708. При числах Релея, меньших критического числа, возмущения плоского течения Куэтта, не зависящие в начальный момент времени от горизонтальной координаты х, всегда затухают. Более того, этот критерий является необходимым и достаточным условием
устойчивости.
В работах [4, 5] рассматривается устойчивость слоя жидкости со свободной поверхностью, нагреваемого снизу, относительно периодического возмущения. Вместе с этим нам не известны публикации, в которых был бы изложен энергетический анализ капиллярно-гравитационной устойчивости в слое жидкости, подогреваемом снизу, при наличии плоского течения Куэтта. Анализу этого комбинированного течения и посвящена данная статья.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнения движения горизонтального слоя вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости (рис.1) толщиной d, с плотностью р и вязкостью д, ускорение свободного падения коэффициент термического расширения у, коэффициент термодиффузии к. Пространство над жидкостью заполнено нейтральным газом с пренебрежимо малыми вязкостью и плотностью. Нижняя граница слоя находится на твердой поверхности, температура которой задана.
Газ
11
2 = 1+ лМ
о
X, и
Рис.1 Разрез возмущенного слоя жидкости.
Используется декартова система координат, начало которой находиться на нижней границе слоя жидкости. Нижняя граница жидкости является твердой. Верхняя граница является свободной и задается уравнением Б^): z =1+п(хД). Начальный
АТ
профиль температуры имеет вид Тн = Т0 - ъ. Начальный профиль скорости ^ъ)^ = 0
ъ
U0 • ^ . Скорость на верхней границе ^ё) =
Безразмерный масштаб для скорости основного течения ^ = 1 м/с. В данной постановке задачи используется приближение Буссинеска.
Масштабы обезразмеривания возмущения скорости V, температуры 9, времени ^
да
давления р и поверхностного натяжения а = а0 - ^Т •Т - соответственно к/ё, АТ, ё2/к,
дк/ё2, а0, где АТ (>0) - разность температур между нижней и верхней границей, а0 -значение поверхностного натяжения на свободной поверхности.
Возмущения основного состояния такой системы в безразмерном виде удовлетворяют следующим уравнениям:
+ VjVi,j I = + Re0ki - Рг -1и - Рг -1w ^ ,
где ki = (0,1), mi = (1,0) (1.1)
д0
+ Vi0,i = V2© + w (1.2)
V* = 0, (1.3)
Ту = - рбу + ц(ui,j +Щ,0.
где И - безразмерная скорость основного течения, V - безразмерное скорость возмущения, 0 - безразмерное возмущение температуры, w - безразмерная вертикальная составляющая возмущения скорости, р - возмущенная составляющая давления, 5у - символ Кронекера.
V уАТдё3
Рг = к - число Прандтля, Re = ^ - число Релея.
Баланс напряжений на поверхности:
ОуП = С [К(п)(а(0) + МСп) - 0(Л + ^ 5п2)]ш - М(0,к - пжИкЪ ,
при ъ = 1 + п (14)
Кинематическое условие на поверхности: П = Nvini , при ъ = 1 + п, (1.5)
Уравнение для потока тепла на верхней границе: 1 - N
0дщ = N , при ъ = 1 + п, (1.6)
На нижней границе:
V = 0 = 0, при z = 0, (1.7)
где К(п) = N , N = л/1 + Пх2 , П = (-Пх , 1) NN, * = (1, Пх) NN , а(0) - безразмерный коэффициент поверхностного натяжения,
- Ш ^ ^
М = - число Марангони, С = ^ d - капиллярное число,
О = - число Бонда, а0 - значение коэффициента поверхностного натяжения на
свободной поверхности.
Мы будем предполагать, что каждый из параметров параметры у^ 0, р и п периодичен по оси х с периодом Х0. Кроме требования периодичности и достаточной гладкости у^ 0, р и п произвольны, в частности, они имеют произвольную амплитуду. Блок-схема решения данной задачи представлена на рис.2. Энергетический функционал типа Ляпунова для задачи (1) имеет вид
1 1 л б2 Г1Г 2 уАТп3^ 1
е = <2 рг -1и№> + я,1<2> + ^ |2л2 + JN ,
где использованы обозначения
Х01 + п(хД) S(t) Х0
<...> = J ... dzdx, J ... = ^ ... dS = J ... •Ndx [7,8].
0 0 S(t) 0 0
Первый член в уравнении для энергетического функционала представляет собой механическую энергию, второй член может быть назван балансом энтропии. Оба этих члена тесно связаны с перемещением поверхности п. Третий член учитывает кинематическое условие на верхней границе и является уравнением эволюции поверхности.
> 0, > 0 - параметры связи. Параметры связи являются свободными и выбираются так, чтобы оптимизировать предел устойчивости [6]. В нашем случае для удобства выбирается = О/С.[4,5] Достаточное условие устойчивости (1) дает вариационная задача
Рис.2 Блок-схема энергетического анализа начально-краевой задачи.
dE
+ <2pvi,i> + Р^ п) = 0, где 2р(x,z,t) и в - множители Лагранжа, которые вводятся х
для учета уравнения непрерывности уц = 0 и условия периодичности возмущения ^ п
х
dx = 0.
Поскольку для природных условий С ~ 10 , можно использовать этот параметр для разложения полученного уравнения. Производя разложение членов при вариациях скорости возмущения дщ, температуры 50 и множителей Лагранжа др, дв, в нулевом приближении имеем:
др д2у д2у 52w 1 Зи^)
- дх + 2дХ2 + д"2 + дХяТ - РГ - 1 w -д^- = 0
дх дх га охга га
др 3^ 3\ ^ „ 1 Зи^)
- + + ХТ + + Иф - РГ - 1 У = 0 га Зz Зх охо^ Зz
У2ф + ^ = 0
ду + 5w = 0
Зх Зz
у = w = ф = 0, при z = 0 w = 0, при z = 1
дф 11 Зу
Зz = 2 дх , при z = 1
ду дw 1 1 дф & + & = - 2 М Ж дх, при z = 1
(2.1)
(2.2) (2.3)
(2.4)
(2.5) (2.6)
(2.7)
(2.8)
И = 1 ^ (7 + 7),
(2.9)
2 7
Где введено обозначение ф = л/яё 70.
Решение уравнений (2) находиться методом разделения переменных в виде fi(z)exp(iax), где индекс i = 1, 2, 3, 4 относиться соответственно к p, у, w, и 0.
Чай + 2^а)^3 +£3" + iaf4' - РГ f4 = 0
-fl' + 2Й4'' + (ia)2f4 + iafз' + И£г - РГ^^ЦЗ^^^ *3 = 0
(ia)2f2 + Г + Й4И = 0
iafз + Й4' = 0
f3 = - icf4' = ¿«-Л' + f2"')
1 2 f4 = - ^((ia)2f2 + f2'')
f1 = ^ ^.....+ 2f2''' - a2f2' + iV1 ^ (f2'' - a2f2) }
Далее, приводя полученные уравнения к одной из функций £(ъ), а именно к ^(ъ), получим:
Г2(6) - 3а^(4) + 3а4^2(2) - а2^2 + - 2iaА(a2f2(1) - Г2(3)) = 0,
л т, 1дИ(ъ) где А = Рг - - сдвиговое число. дъ
Общее решение этого уравнения имеет вид £г(ъ) = Е С exp(qiz), i = 1, 2, ... 6, где qi - корни характеристического уравнения
- а2)3 + ^2а2 + 2iaАq(q2 - а2) = 0. Соотношение между критическими числами находиться из граничных условий: ЕС = 0
1 Еф2С = 0
1
ia^
E(qi3 - a2qi )Ci = 0
Ш Z(qi2 - a2)exp(qi)Ci = 0
1 2 2 2 1 M 2
Ш (^(qi - a )qi Ciexp(qi)) - 2 a ^Ciexp(qi) = 0
1 M 1 2 2
2 ^Re ш (zqi(qi - a )exp(qi)Ci) - 2qiCiexp(qD = 0.
Полученная связь имеет вид:
ME (R, A) = min max M(X,a, VRe, A), a X
Где a волновое число в направлении х. На рис.3 представлен пример седловой точки на плоскости М( X,a ).
На рис.4 изображены полученные нейтральные кривые при фиксированных числах А в координатах Re, M и a. При числе А = 0, т.е. при отсутствии плоского течения Куэтта полученная нейтральная кривая в плоскости (Re, M) совпадает с нейтральной кривой, приведенной в работах [4, 5].
Рис.3. Зависимость критического числа Марангони от волнового числа а и параметра связи X, при Яе = 700 и А = 10.
Рис.4. Зависимость критических чисел Марангони от критического числа Релея при различных волновых числах а. В плоскости (Re, M) приведены проекции 1', 2', 3', 4', 5' нейтральных кривых 1, 2, 3, 4, 5 при сдвиговых числах 60, 50, 30, 10 и 0 соответственно. Область устойчивости с ростом А уменьшается.
При отсутствии капиллярной конвекции, т. е. при числе Марангони равном нулю, и линейном вертикальном профиле скорости плоского течения Куэтта, критическое число Рэлея = 1708, приведенное в монографии Джозефа [3], получается при волновом числе a = 0.75.
Основные выводы:
1. Впервые проведен анализ капиллярно-гравитационной устойчивости слоя жидкости, подогреваемой снизу, при наличии плоского течения Куэтта. Рассчитывались зависимости критического числа Марангони от числа Релея при заданных значениях сдвигового числа А. Диапазоны значений безразмерных параметров начально-краевой задачи выбирались характерными для приповерхностного слоя океана.
2. В результате решения минимаксной задачи
проведен детальный анализ зависимости критического чисела Марангони от параметра связи 7 и волнового числа a. Поверхность М^Д) имеет вид седла (рис.3). Однако, при волновом числе a ~ 3 на этой поверхности возникает дополнительный максимум, не исчезающий при изменении масштаба сетки. Причем положение этого максимума
3. Построено семейство нейтральных кривых М = M(Re) при различных числах А
4. Показано, что с ростом сдвигового числа область устойчивости уменьшается (рис.4). Так число Марангони при фиксированном числе Рэлея уменьшается в три раза при изменении числа А от 0 до 60.
Литература:
1. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. -Новосибирск: Наука. 1977. -366с.
2. Ламб Г. Гидродинамика. -М.-Л., ОГИЗ - Гостехиздат. 1947. -928с.
3. Джозеф Д.Д. Устойчивость движений жидкости: пер. С англ. -М.: Мир, 1981. -638с.
ME (R, A) = min max M(X ,a, VRe, A), a X
E
зависит от числа A=Pr 1
_ 1dU(z)
Pr ' в диапазоне от 0 до 100 (рис.4).
4. Сastillo J.L., Velarde M.G. Buoyancy - thermocapillary instability: the role of interfracial deformation in one- and two-component fluid layers heated from below or above. J. Fluid. Mech., 1982. V.125, P.463 - 474.
5. Davis S.H., Homsy G.M. Energy stability theory for free-surface problems: buoyancy -thermocapillary layers. J. Fluid. Mech., 1980, v.98, P.553 - 572.
6. Joseph D.D. On the stability of the Boussinesq equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 1965, V.20, No.59, P.564 - 576.
