Канонический репер однопараметрического семейства двумерных плоскостей в пятимерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

имеет конечное число решений относительно к% на £т. Следовательно справедлива

Теорема 2.2. В случае р=4, д=2 в 4-плоскости ~ в каждой точке Ле&т^Еп (т>4) имеется конечное число плоскостей Ь\ таких, что соответствующее отображение /Ц^-Р12 является отображением /а в смысле определения 2.1 в [1].

Замечание 2.2. Соотношения (2.12) с учетом П4^0, см. (2.13), обеспечивают канонизацию орто-нормального репера Я т-поверхности 8т^Е„, при которой плоскость Х12=(Л,ё1,ё2)±Х22=(Л, ё3, ё4) удовлетворяет утверждению теоремы 2.2. При такой канонизации репера К, как следует из (2.12) и [1, (1.5)] с учетом П4^0, 1-формы ю% становятся главными в каждой точке Ле5тсЕп. Поэтому эта канонизация репера Я существует в силу леммы Н.М. Остиану [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барышева В.К., Ивлев Е.Т. Отображение двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. — 2004. — Т. 307. — № 2. — С. 6 —8.

2. Ивлев Е.Т. Об одной классификации оснащенных многомерных поверхностей проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Выпуск 22. — Меж-вуз. темат. сб. научных трудов, Калининградский университет, Калининград, 1991. — С. 49 —56.

3. Ивлев Е.Т, Тыртый-оол, Бразевич М.В. О некоторых геометрических образах многообразия пар двойственных линейных подпространств в многомерном проективном пространстве // Математический сборник. Выпуск 1. Изд-во Томского университета. Томск. - 1974. - С. 68 -91.

4. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). — 1962. — № 2. — P. 231 —240.

УДК 514.76

КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПЯТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: eam@front.ru

Изучается одномерное семейство двумерных плоскостей в эквиаффинном пространстве. Всем элементам построенного канонического репера даётся полная аналитическая и геометрическая интерпретация. Кроме того, в статье найдено инвариантное оснащение данного семейства. Все рассмотрения носят локальный характер.

Основные обозначения и терминология соответствуют принятым в [1— 6], а все функции, встречающиеся в данной статье, предполагаются аналитическими.

Рассмотрим пятимерное эквиаффинное пространство Л5, отнесенн ое к эоиаффинному подвижному реперу Я={Л, ё), (/=1,5) с деривационными формулами:

<1А = ю'е1, = ю]/ё’], (1)

где о>‘, ю( — формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры аффинного пространства

Бю' = Ю лв)-/, Вюк =аЮ лю1*,/,к = 1,5), (2)

и соотношению ю[+ю2+...+ю5=0, вытекающему из условия эквиаффинности (—1,—',,—, ё4,—5)=1.

В пространстве Л5 рассматривается одномерное семейство двумерных плоскостей /2. Присоеди-

ним к репер Я так, что^^Лёё). Здесь и в дальнейшем символом /5=(Л,х„х,,...,X) обозначается д-плоскость (д-мерная плоскость), проходящая через точку Л, параллельно линейно независимым

векторам х1,х2,...,х1. Тогда дифференциальные уравнения многообразия можно записать в следующем параметрическом виде:

Фа = Л1а01, ю“ = Л“101, (а = 1, 2 ; а = 3, 5). (3)

где величины Л“ и Ла удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

dЛ1a - Л- Лаа1Фа + Л/ю“ = Б“#1,

- КА - Л>Г + Л= Кпв1, (4)

(а,Р - 3,5 ; а,Р -1,2).

Кроме того, параметрическая форма в1 удовлетворяет квадратичному дифференциальному уравнению

Вв1 = в{ лв1. (5)

Каждой точке В(ы‘) в Л5 поставим в соотв етс твие гиперплоскость /4, проходящую через /2=(Л, —1,—2):

14 : х3х3 + х4х4 + х5х5 = 0. (6)

Используя (1, 2) и (4), получаем с1[ёьё] =

=(ю11+ю2)-[ ёьё^+Ц^ёа, ё^+Л^ ёьёа])-в‘. Следова-

тельно, гиперплоскость (6) проходит через /2 параллельно бивектору [ ё,ё]', смежному бивектору [ ё,ё] вдоль 5;, если выполняются условия

А,, + х, А,, — 0,

Х3А21 + Х4 А21 + Х5 А21 — 0

Проведём канонизацию аффинного репера R в

A5, при которой

А,5, — 0, А255 — 0, А" —

ф 0 о ®55 — 0, ®, — 0. (8)

и характеризуется тем, что

l4 — (A, e1, e2,e3, e4) о x5 — 0.

(9)

dB55 -В,1«5 + В», + B4®34 + 2A»« + A5i»4 - 2»1 — C,1®,

dB33-В®5 -B«3 + B3«3 + А,51ю53 + 2A455®4 - 2«3 = C>5, (11)

dB2 - b4® + b2 (»3 - ®3) - (B1 - b44 )«+а451«3 - 2« — C2»,

dB53 - В,3« + B53 (»44 - «3) + (В, - B2 )»12 + A51®J4 - 2a» = C55®

и характеризуется тем, что

х ^ l3(Х) — (A, e, e2, х5ё"3 + х2e4),

7 ^ ¿з(7) — (I, е1, ёг, у% + y2е3 + e5).

(12)

Канонизация (8) приводит с учётом (2-5) к дифференциальным уравнениям

»5 — А31в5, ®45 — А45101,

dA355 - А351011 - А3>33 - А51а34 + А® — В^в1,

O^i - А45Д1 - Аз51»43 - А® + А,«5 — Вз^в

При этом из рассмотрения исключается случай A*=0, когда гиперплоскость /4 либо вовсе не существует (система (7) несовместна), либо таких гиперплоскостей имеется бесчисленное множество, пересекающихся по некоторой 3-плоскости, проходящей через /2.

В плоскости /2 рассмотрим точку Y с радиус-вектором Y=A +/-+/- и вектор х=х1-1+х2ё2. Будем иметь с учётом (1), (4) и (8)

dх — (••■)“ ~ёа + (х1 А131 + х2А^1)б1ё3 + (х1 А141 + х2А^1)в1ё3,

d7 — (•••)“ ёа + (A3 + у1 А3 + у А31 )в% +

+(А,4 + у1А?1 + х2А421)61ё4 + 45в%.

Следовательно, каждому вектору х ||/2 отвечает 3-плоскость

l3(х) — (A,e,,e2, (х1А131 + х2А231)ё3 + (х1А141 + x2A241)e3),

которая проходит через /2 параллельно вектору х', смежному вектору х вдоль S1, а каждой точке Ye/2 соответствует 3-плоскость

L3(7) — (А, в,, e2, A1e5 + (А13 + УД3 + у ^А21 )e3 +

+ (А14 + у1 А4 + у2 А^), проходящая через /2 и (/2)', смежную /2 вдоль S1.

Проведём следующую канонизацию репера R:

А — 1, а41 — 1, А5 = 1, А = 0, А31 — 0, А3 — 0, А = 0 о

« = 0, а4 = 0, а5 = в1,« = в1 а33 = 0, а54 = 0, ®34 — в1, А* = 1. ( )

Для удобства вычислений будем считать теперь в'=а5. Тогда с учётом (8) и (10) имеем Da5=a5Aa55.

Канонизация (10) приводит к следующим дифференциальным уравнениям

»1 - ®33 + ®55 — В,1®5, ®53 - ®33 — B5V, а1 - ®53 — В1®5,

а33 -®4 + ®5 — В33®5,®5 -®3 — В,®5,®3 -®53 — В2®5,

dBl - в1®,5 + В»1 + В2а» - В,»3 - В,®,3 - 2®, — Cj1®5,

dB3 -в2®55 + в1®,4 + в2®44 -в53®53 -в44®53 - 2®54 — c53®5,

Если точка X с радиус-вектором Х=Л+х1—;+ +х2—2+х3ё3+х4ё4е/4 описывает характеристический эл—ме—т гиперплоскости (9), то из условия (аХ,—!,——3,—4)=0 в силу (1), (4), (8) и (11) получаем уравнения характеристики еЬ(/4): 1+х!Л31+д4Л451=0, х*=0.

Проведём следующую канонизацию аффинного репера Я:

А351 = 0, А41 = 1 ^ ю35 = 0, ю45 = ю5. (13)

Эта канонизация (13) приводит к дифференциальным уравнениям

ю4 = А341ю5, ю12 = А121ю5, ю4 = 4,4ю5,

dA31 — А3\ (ю55 + ю33) — ю32 = 53411ю5,

dA121 — А121(ю55 —ю22 +ю1) + ю32 = -В2пю5,

dA41 — А41Ю5 — А341Ю43 —ю42 +ю54 = -б4411ю5

и —ара—т—ризуется тем, что 3-плоскость /3*= =(Л-^4,ё1,—2,—3) является характеристическим элементом гиперплоскости (9) вдоль 5;. При этом из рассмотрения исключается случай Л|1=0, Л^=0, когда /4 и (/4)', смежная к /4 вдоль 5;, параллельны или, —ко—гд—а —/3 несобственная. Кроме того, плоскость /3123=(Л,^,—2,—3) геометрически характеризуется тем, что она пр—ходит через /, параллельно /*. Заметим, что вектор —ё1 геометрически характеризуется тем, что ему отвечает, согласно (12), 3-плоскость /,123=/3(—).

Пуст— точка X с радиус-вектором Х=Л+х1—1+ +х2—2+х3——4 описывает характеристику 3-плоскости /3* вдоль 5;. Тогда х1, х2, х3 удовлетворяют уравнениям

х2 + А341 х3 — А41 = 0, х4 = 1, х5 = 0.

Проведём канонизацию репера Я:

А4 = 0, А441 = 0 « ю34 = 0, ю44 = 0, (14)

которая приводит к дифференциальным уравнениям

ю32 = А32ю5, ю42 —ю2 = Б2ю\ dA321 + А321 (ю22 — ю33 — ю55) — А121 ю31 = Б3211 ю5,

dБ2 — Б42ю55 + Б42ю^ — А2 (ю1 — ю,1) + А321ю43 = Б421ю5.

—Замечаем, что при канонизации (14) /2= =(Л-^4,ё1,—2) является характеристикой 3-плоскости /3* вдоль 5;.

Обычным образом получаем уравнения характеристики еЬ(/*) плоскости /"2 вдоль 5;:

-В42 + х1 А2 + х3 А325 — 0, х2 — 0, х4 — 1, х5 — 0.

Проведём такую канонизацию репера R, при которой

А35 = 0, В43 = 0, А,3, = 1 о ®33 = 0, ®53 = ffl5, ®43-а2 = 0. (15)

Тогда

ю3 = А^ю5, ю4 —ю1 = Б\ю5, ю1 — ю^ + ю^ = Б ю5 dA311 + А311(ю11 —ю33 —ю55) = Б3111ю5, dБ41 + Б4- (ю- — ю55) — А>43 = Б41ю5,

dБ — ю5 + 2ю2 + ю3 — ю4 — ю5 — Б ю .

Получаем, что при канонизации (15) характеристикой плоскости /2* вдоль является прямая

I- = (А— ё4, е3). (16)

При этом из рассмотрения исключается случай Л3;=0, В42=0, Л2;=0, когда плоскости /2* и смежная к ней (/2*)' вдоль параллельны. Заметим, что вектор ё3 параллелен прямой (16).

Пусть точка Е4* с радиус-вектором Е4*=Л-ё4+х3ё3 является характеристической точкой прямой (16) вдоль £;, тогда х3Л131 —В4=0, х1=х2=х5=0, х4=1.

Проведём следующую канонизацию репера Я: Б4 = 0, А-1 ф 0 « ю4 — ю1 = 0. (17)

Канонизация (17) приводит к дифференциальным уравнениям

ю- = А^ю5, ю43 = А41ю5, СА41 + А41(ю33 —ю55) = Б411ю5,

dA21 + А- (ю- — ю2 — ю55) + ю4- = Б;111ю5 и характеризуется тем, что

Д* = А —е4.

При этом из рассмотрения исключается случай В4;=0, Л'31=0, когда прямая /; параллельна своей смежной —ЦУ вдоль £;. Заметим также, что 3-плоскость /4=(Л,ё;, ё2, ё4) проходит через точку Е4* и плоскость /2. Легко видеть, что вектор ё2 является направляющим вектором прямой ^ 1=еИ( /34)=(Л —Л^1 ё; —ё4, ё2). Вектор ё параллелен прямой /11=/34П/2=(Л,ё1).

Рассмотрим 2-плоскость /224, проходящую через точку Е4* параллельно вектору ё2 и касательной к индикатрисе ( ё2)._Имеем с[ё2=(Л21 ё1+ё4)ю5+ю22ё2, следовательно, /224=(Л—ё4, ё2,Л21 ё+ё4).

Проведём такую канонизацию аффинного репера Я, при которой

А121 = 0 «ю1 = 0. (18)

Канонизация (18) приводит к дифференциальным уравнениям

ю4 = ю1 = А_-1ю5, ю53 = А531ю5,

сА41 + А4\ (ю11 — ю55) + ю5 = Б411ю 5 ,

dA531 + А531 (ю33 — 2ю55) — А41 ю54 — ю5- = Б5311 ю5

и характеризуется тем, что /224=(Л, ё2, ё4). Кроме того, каждой точке —.с радиус-вектором У2=Л+у2ё2 прямой /;2=/24П/2=(Л, ё2) отвечает в соответствии с (12) 3-плоскость Х3(У2)=(Л,ё1,ё2,у2ё4+ё5). Заметим, что все плоскост— Ь3 (У2) принадлежат одной гиперплоскости /41=(Л,ё1, ё2, ё4, ё5).

Рассмотрим теперь прямую /2 и близкую к ней (/;2)' вдоль £;. Они будут принадлежать некоторой гиперплоскости х1х1+х3х3+х4х4+х5х5=0 тогда и только

тогда, когда выполняются условия х4=0, х1Л11+х5=0. Следовательно, все такие гиперплоскости пересекаются по 3-плоскости /3245=(Л,ё2, ё'4,Л\ё1+ ё5).

О бы ч ным пу-тём находим, что плоскость Н3=(Л,ё2,ё4—Л\1ё1, ё— —Л3яё;) является характеристикой гиперплоскости /4; вдоль £;.

Проведём следующую канонизацию репера Я:

А41 = 0, А531 = 0, А431 ф 0 « ю\ = ю1 = 0, ю53 = 0. (19)

Канонизация (19) приводит к дифференциальным уравнениям

ю- = А5-1ю5, ю^ = А541ю5, ю2 = ю42 = Д2ю5, dA511 + А511 (ю- — 2ю55) = Б5111ю5, dA12 + А12 (ю22 — ю55) + ю52 = Б121ю5, dA541 — 2А541ю55 — ю52 = Б5411ю5.

Теперь имеем /3245=(Л,ё2, ё4, ё5), Н3=(Л,ё2,ё4 —Л41ё1,ё5). При этом из рассмотрения исключается сл-учай Л341=0, когда /245=Н3. Заметим, что /,245ПН3=(Л,ё2, ё5)=/225. Следовательно, 3-плоскость /3125=(Л,ё1, ё2, ё5) проходит через плоскость /,25 параллельно вектору ё;. Точка Л характеризуется тем, что ей отвечает в силу (14) 3-плос-костъ /3125=Х3(0). Из dЛ=(A¡ё2+ё5)ю5 следует, что прямая /15=(ЛД2ё2+ё5) является касательной к линии Л, описываемой точкой Л вдоль £;.

Проведём заключительную канонизацию репера Я

А12 = 0 « ю2 = 0, ю42 = 0.

Из этой канонизации следуют дифференциальные уравнения ю^=Л521ю5, dЛ21—2Л51ю55=В 51;ю5. Теперь геометрически определена прямая /;5=(Л,ё5). Заметим, что 3-плоскость /3134=(Л,ё1,ё3,ё4) проходит через_точку Л и 2-плоскость /2=(Л—ё4,ё;,ё2) и /4=/24П/3134=/3125=(Л,ё4).

Таким образом, все прямые /3‘=(Л,ё), (/=1,5), проходящие через точку Л параллельно соответствующим векторам ё, геометрически определены.

Репер Я 1-семейства плоскостей /2 в Л5 полностью канонизирован и его деривационные формулы, по аналогии с [6. С. 23], запишутся в виде:

СА .] -2

СА =^ ~С! = Апе +е2+е, С=^ ^

Се5

Ся

се3 .. ,3_ ,3_ _

—— = А е + А е —— = А е + е А3-е1 + Aзleз, сз А41е + ^

= А^1е1 + А21е2 + А41е4 — (Аи + А21 + Д-11 )е5 ,

(20)

где ю5=ds является дифференциальным инвариантом. Независимыми являются следующие 8 инвариантов: Л111, Л221, Л'31, Л331, Л«^0, Л5;, Л^, Л5;, поэтому 1-семейство плоскостей /2 в Л5 определяется с произволом 8 функций одного аргумента.

Рассмотрим на прямой /;2=(Л,ё2) точку Т с радиус-вектором Т=Л+ё"2. Вектор ё45=ё4+ё5) параллелен прямой пересечения плоскости /245—(Л,ё4, ё5)=/14и/15 с линейным подпространством (Л, ё;, ё2, ё3,Т(Т))= =/11и/12и/_3_и Т( —). Здесь Т( — означает касательную к лин ии ( —), описываемой точкой Твдоль . Векто-

ру ё24=Яё2+ё4 соответствует вектор ё4'5=Яё4+ё5, являющийся направляющим вектором прямой пересе-

чения плоскости /245 с линейным подпространством (Л,ё1,ё2, ё3,Т( ё24))=/11и/12и/13иТ(ё24). Здесь Т( ё24) означает касательную к индикатрисе ( ё24) вектора ё24. Векторы ё4'5 и ё45 параллельны тогда и только тогда, когда А=/. Таким образом, точке Т отвечают вектор ё45 и вектор ё2=1ё2+ ё4. Заметим, что точка Е4 с радиус-вектором Е4=Л+ё4 симметрична точке Е4* относительно точки Л на прямой /¡=(Л,ё4). Поэтому точка К24 с радиус-вектором K-=Л+ё2+ё4 есть проекция точки Е4 на прямую g=(A,ё2+ё4) в направлении —в ектора ё2. Рассмотрим теперь плоскость /223=(Л,ё2, ё3)=/12и/13. Вектор ё23=ё2+ё3 параллелен пересечен ию п-л оско сти /223 с линейным подпространством (Л,ё1, ё4, ё5 ,Т(ё1) )= =/11и/14и/15иТ( ё;). Замечаем, что прямая к=(Л,ё2+ё3) проходит через точку Л параллельно вектору ё23. Поэтому точка К23 с радиус-вектором К23=Л+/( ё2+ё3) есть прое кция точки Т на прямую к в направлении вектора ё3. Точка К3 с радиус-вектором _К3=Л+/ё3 есть проекция точки К23 на прямую /3=(Л,ё3) в направлении вектора ё2. Точка К45 с радиус-вектором —45=Л + 1 (ё4+ё5) плоскости /245 есть проекция точки Е4 на прямую ]=(Л,1ё4+ё5) в направлении вектора ё5. Поэтому точка К5 с радиус-вектором —5=Л + ; ( ё5) есть проекция точки К45

на прямую /;5 в направлении вектора ё4. На прямой /ИЛ, ё;) рассмотрим точку К1 с радиус-вектором К1=Л+^ё1 и выберем её так, чтобы

(Жйг,Л:Кдщ,ЛК)=1,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кругляков Л.З. Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1980. — 111 с.

2. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г// Известия вузов. Сер. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9—19.

3. Остиану Н.М. Об инвариантном оснащении семейств многомерных плоскостей в проективном пространстве. Труды гео-

т.е. при \л=1/1. Тогда вектор ё35=1ё3+ё5 является

направляющим_ ве ктором прямой пересечения плоскости !?=(Л,ё3,ё5) с линейным подпространством (Л,ё1,ё2, ё4,Т(К 1))=/11и/12и/14иТ(—;). Замечаем,

что точка К с радиус-вектором ё=ё+/2(1 ё3+ё5) есть

проекция точки К3 на прямую д=(Л,ё35) в направле-—ии вектора ё5. Поэтому точка К* с радиус-вектором К5*=Л+/ 2ё5 есть про екция точки К на прямую /;5 в направлении вектора ё3. Точки К5 и К* совпадают тогда и только тогда, когда (/)3=1^/=1. Поэтому при = получается геометрическая характеристика единичных точек Е=Л+ё, (/=1,5), на прямых /;. Кроме того, дифференциальный инвариант ds геометрически характеризуется так (по аналогии с [6. С. 28 —30]):

Сз = 120К0,

где ¥0 — главная часть объёма Г=(ЛЕ1,ЛЕ2,ЛЕ3,ЛЕ4,ЛЕ5).

Таким о б разом, все элементы канонического репера Я={Л,ё} многоо бразия в Л5, в том числе

нормировка векторов ё и дифференциальный инвариант ds, геометрически определены. Геометрическая характеристика инвариантов в деривационных формулах (20) Л111, Л221, Л;31, Л331, Л^0, Л51, Л52;, Л\х будет предметом особого рассмотрения.

Замечание. Из геометрической интерпретации элементов каноничес кого репера многообразия плоскостей /2=(Л,ё1,ё2) следует, что 3-плоскость /3=(Л,ё3, ё4, ё5)=/13и/14и/15. является оснащающей плоскостью к в точке Л в смысле [3].

метрического семинара. — М. ВИНИТИ АН СССР, 1969. — Т. 2. — С. 247-262.

4. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М.: Иностранная литература, 1954. — Т 1. — 461 с.

5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). — 1962. — № 2. — P. 231 —240.

6. Щербаков РН. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1960. — 194 с.