CC BY
60
УДК 621.391.8.029.6
Л.И. Бабак
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ШУ1ЯЩИХ СВЧ ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
1, Введение
При проектировании СВЧ устройств часто требуется выполнить анализ сложной цепи, представляющей собой объединение нескольких многополюсных компонент. Возникает также задача определения параметров СВЧ цепи при изменении системы базисных координат -токов и напряжений на внешних зажимах цепи.
К задачам последнего типа относятся, например, вычисление волновых параметров транзистора в схеме с общим затвором, если известны его параметры в схеме с общим истоком, определение матрицы рассеяния цепи при синфазном и противофазном возбуждениях и т.д.
Формализованные способы решения рассматриваемых задач развиты в терминах иммитанс-ных параметров [1, 2 и др.]. В этом случае многополюсные компоненты характеризуются иммитансньтми матрицами (при анализе шумящих цепей - также матрицами спектральных плотностей шумовых токов либо напряжений [2,
31), а способ соединения компонент или преобразования базисных координат задается топологическими матрицами инциденций (сечений) и контуров [1, 4]. Однако в силу известных причин применение иммитансных матриц на СВЧ ограничено.
При анализе СВЧ цепей в терминах волновых параметров также целесообразно разделить топологические и электрические компоненты описания цепи. В этом случае задача анализа сложной СВЧ цепи может быть сведена к нахождению волновой матрицы соединения двух многополюсников (рис. I), один из которых (В) ■ содержит' несоединенные компоненты, а другой *' (А) является коммутирующим (цепью связи) [5]. Однако в большинстве распространенных методов анализа [5-7 и др.] допускаются лишь простейшие способы коммутации входов цепи В (часто только попарное соединение входов между собой), это накладывает ограничения на структуру цепи А.
Если входы компонент должны соединяться между собой более сложным образом или необходимо образовать новые входы, в состав цепи В приходится вводить дополнительные тройни-ковые соединения, предварительно вычислив их матрицу рассеяния. В результате усложняется анализ схемы и возрастает порядок обращаемых матриц. Кроме того, в известной литературе не рассмотрены удобные формальные способы нахождения матрицы рассеяния произвольных тройниковых соединений.
В [8] предложен метод исследования СВЧ цепей, основанный на введении специальной волновой топологической матрицы - матрицы соединений (junction matrix). Fie применение позволяет формализовать решение указанных выше задач для цепей произвольной топологии в терминах волновых параметров. Рассмотренная в [9] модификация метода обеспечивает также минимальный размер обращаемых матриц. Недостатком применения тонологической матрицы соединений, является то, что она не совпадает ни с одной из известных волновых матриц и не допускает простой физической интерпретации, В результате нельзя воспользоваться известными соотношениями для вычисления волновых матриц соединения многополюсников [5-7, 10], требуется получать специальные расчетные соотношения [8, 9]. Кроме того, в [8, 9] не затронуты вопросы анализа шумовых характеристик цепей.
В настоящей статье рассматривается метод анализа линейных шумящих СВЧ цепей, базирующийся на использовании топологической матрицы рассеяния, более распространенной и удобной на СВЧ. Предлагается формализованный способ нахождения топологической матрицы рассеяния для произвольного соединения многополюсных компонент и при произвольном изменении системы базисных координат. На основе метода в среде математического пакета Maple V разработана программа автоматизированного символьного анализа шумящих СВЧ цепей. Приведены примеры решения задач, имеющих практическое значение.
__ и _
2, Топологическая матрица рассеяния
На рис. 1 показаны различные способы представления сложной СВЧ цепи 13 виде соединения двух многополюсников. Рис. 1, а соответствует общему случаю соединения многополюсников,
рис. 1, б - случаю «нагруженного» многополюсника, когда цепь В не имеет свободных зажимов. Последнее представление приводит к увеличению порядка обращаемых матриц при расчете характеристик результирующей цепи, однако расчетные формулы имеют более простой вид.
а,,,
с
А
*2(1
■ 2а
2а ■*—
г и.
в
>т
л О Iе
Но:: \п
)
Рис. 1
Предположим, что входы цепи В соединяются между собой непосредственно, то есть без помощи линий передачи (при наличии последних их можно отнести ■ к многополюснику В). Тогда электрическая и топологическая части описания результирующей цепи полностью отделены -- цепь В определяет’ параметры исходных компонент, цепь А описывает способ их соединения. Очевидно, в этом случае матрица рассеяния 5а, характеризующая цепь А, может рассматриваться как топологическая матрица. Установим ее связь с другими известными топологическими матрицами цепи - матрицей инци-денций и матрицей контуров [4].
Соединение входов можно представить ориентированным графом, где каждому из входов соответствует ветвь графа, а направление ветви показывает полярность напряжения, принятую за исходную для данного входа [8]. Для случая цепей на рис. I обозначим: д = п + 1 - число ветвей графа; к - число узлов графа; 5 - число отдельных частей графа (если граф несвязный);
иа = [м1а , и2а ^ , }а = [/1а., 12а ^ _векторЫ напряжений и токов на входах цепи А. Законы Кирхгофа для цепи А представим в матричной форме:
Лх/а=0; В х и и = 0 , (1)
где А и В - матрицы инциденций и контуров графа, имеющие размеры соответственно (к-з)^д и (<7+.?-&)х<31. Векторы напряжений и токов на входах цепи А связаны с векторами падающих (а„) и отраженных (Ьа) волн соотношениями [6]
иа = К111 [ав + Ъа ]; /; = /Г1''2 [аа - Ъа ], (2)
где К = сИсщ ; К,- К.?}; К-ь К2 - диагональные
матрицы порядка соответственно I и п, определяющие импедансы, относительно которых нормируются амплитуды падающих и отраженных волн на входах.
Используя (1) и (2), найдем:
АК
ВК
,/2
V /> — А1Гиг
А О — ^ВК1Г1
х а
Из (3) получим выражение для матрицы рассеяния цепи А:
(4)
Если величина нормировочного импеданса для всех входов одинакова, матрица равна
АЛ"1/2" "■1 ~АВГ'п "
л: =
а ж,/2 1 I Со
~А~ ■л ~А ~
В -В
(5)
Соотношения (4), (5) определяют способ вычисления топологической матрицы рассеяния Б,.,, исходя из топологических матриц инциденций и контуров. Последние составляются на основании законов Кирхгофа для цепи А или непосредственно по виду графа соединения входов [4], это существенно упрощает процедуру расчета топологической матрицы Б,,.
3, Расчет характеристик результирующей цепи
После нахождения топологической матрицы рассеяния могут быть вычислены сигнальные и
шумовые параметры результирующей цепи. При анализе многополюсник А описывается матрицей рассеяния 8а, многополюсник В - матрицей рассеяния 8/; и матрицей нормированных спектральных плотностей шумовых волн [11] т,д
п ’Sup / ; S = L_ S °\2 a
m 22 /? <x n S J 2\a s 22 a _
- и
\\р
21/?
122В
Разделение матриц на блоки соответствует группам свободных и связанных зажимов многополюсников (рис. Г). Для цепи на рис. 1, б (случай «нагруженного» многополюсника) т = О
И 8цд= Тц/? = Тд.
Матрица рассеяния результирующей цени вычисляется в соответствии с известными соотношениями [6, 10]: для цепи на рис. 1, а
S
S S
S',
S’,
5, la -f М, ,521а
^12^12 /?
; (6)
для цепи на рис. 1, б
^ ~ 1а + *^12а 0 ~ ^ 1^2\а ' О)
Здесь
^=^(1-5,^)-';
^21 = $21Р 0 - &22(х^и/з ) ;
Ми=м 8 ; М =М„5 .
11 12 \\р 22 21 22а
Матрицу спектральных плотностей шумовых волн результирующей цепи можно найти из общих соотношений, приведенных в работе [10]. Следует учесть, что при принятом способе разбиения цепи многополюсник А является нешумящим. В этом случае получим: для цепи на рис. 1, а
ги тх
X Л Т-у
і ^\2^\ 1 12
'(8)
Туч - Г2,
^*22 ^*22р ^2\8^ 22 ^22^120 ^22^\\р^2 для цепи на рис. 1, б
г = и12грмп. (9)
Знак (+) обозначает эрмитово-сопряженную матрицу.
Таким, образом, процедура анализа сложной СВЧ цени включает следующие шаги:
а) составление топологических матриц А и В;
б) расчет по формулам (4), (5) топологической матрицы 8,,;
в) вычисление матрицы рассеяния и матрицы спектральных плотностей шумовых волн результирующей цепи в соответствии с соотношениями (6)-(9).
Задача определения параметров СВЧ цепи при изменении системы базисных координат решается аналогичным образом. Заметим, что в этом случае матрице S« обычно можно поставить в соответствие физический эквивалент в виде цепи связи, состоящей из включенных определенным образом идеальных трансформаторов,
4. Автоматизированный символьный анализ СВЧ цепей
Предложенный метод может быть использован при численном и символьном анализе сложных СВЧ устройств. Остановимся более подробно на последней задаче. В настоящее время имеется возможность автоматизировать процесс вывода формул, используя программные системы аналитических вычислений [12, 13]. Такие известные системы для персональных компьютеров, как Ма~ pleV, Mathematica, Derive и другие, представляют собой специализированную программную среду для решения задач аналитических преобразований, включающую специальный язык, программы обработки символьной информации, математические подпрограммы, вывод графической информации и т.д. Эти системы позволяют выполнить разнообразные операции над математическими выражениями, представленными в символьной форме, в том числе элементарные алгебраические операции, преобразования и упрощения выражений, операции с матрицами, решение уравнений и др. [12, 13].
Соотношения (5), (7) и (9) были положены в основу алгоритмов программы символьною анализа СВЧ цепей MICROSYMA (MFCROwave SYMbolic Analysis), реализованной в среде пакета MapleV [13] и предназначенной для IBM-совместимых компьютеров.
Рассмотрим примеры решения задач символьного анализа СВЧ цепей на основе предложенного метода. Решение приведенных задач выполнено с помощью программы M1CROSYMA.
Пример 1. Определение матрицы рассеяния последовательного соединения четырехполюсников.
Известны матрицы рассеяния sa = К*II и st = |Ы ('> j = !’2> Д8УХ четырехполюсников, требуется найти матрицу рассеяния 5" НИ/11 (/,_/ — 1,2) их последовательного соединения (рис. 2, а). В рассматриваемом случае цепь связи А состоит из двух идентичных частей А/ и А?, каждая из которых представляет собой последовательный тройник. Ориентированный граф соединения входов показан на рис. 2, б. Системы уравнений, связывающих токи и напряжения на входах цепи А, в соответствии с законами Кирхгофа имеют вид:
/4
’Ч
Рис.
і, - і4 = О
/-> + и
-и
и, - и,
:10 - и5 - иь = О
(10)
Матрицы инциденций и контуров, составленные на основании уравнений (10) или графа (рис. 2, б), равны:
”1 0 1 0 0 0 ’
0 0 1 -1 О О
0 10 0 1 С)
О 0 0 0 1 -1
А-
В=
1 0 -1 -1 о о
О 1 О О -1 -1
Матрица рассеяния цени А (топологическая матрица рассеяния), вычисленная с помощью формулы (5), имеет вид:
~\ 0 0 1 2 2 0 0 0 0 2 2
Л’ я ‘-’И о- 12а 1 2 0 1 -2 0 0
С V 21 а 22 а _ 2 0 і К) О о
0 2 0 0 1 -2
0 2 0 0 -2 1
^ =
Матрица рассеяния цепи В равна: Л',,„ 0 5,-,.. О
і ш 5'
54
И <7 0
0 5] 1А 0
21 о 0 $22 а
0 0
5124
О
• 22Л
Используя соотношение (7). получим элементы матрицы рассеяния результирующей цепи:
%-,ЬА20(1 + ЛШ,)-1) _-Д2А(! + 5'22о) - 2/V + Д2а А2Л
1 , ч
% = (‘У12о'^1А +',12/)^1й)’
= ...і +~
О
(ЛкЛ/> +і'2іЛЛ1о)
5,, =-!•
£)
4 О ' !>22о ^22Ь ) ~ ^2а ( ^ ~г ^11Ь ) ' — Д2/, О + Л’пя) _ т" ^2а ^2Ь
где /) = 4 — (1 + 5, !я ) (1 + 5,1Л) —
]
'~(і ^'12в ) О ™г ^22Ь ) ^ г Т &2а
4
^!о(Ь) ” А2а(Ь) -
N =
ДА)
а(Ь)
-Л
2а(Ь)) °12а(й) 521й(Л) >
622,г( А)) ^
"%«(/)) ‘Ьіаі>,
і 2 Л 2!*?
Пример 2. Определение волновых параметров активного элемента в шести полюсной схеме включения.
Пусть известны матрица рассеяния 8Т = || 8,,г|| и матрица нормированных спектральных плотностей шумовых волн тт ~ ]| т.,/т || (/,./= 1,2)активного элемента (транзистора) как четырехполюсника. Требуется определить его волновые матрицы в шестиполюсной схеме включения (рис. 3. б). Физический эквивалент цепи связи и представление результирующей цени в виде соединения двух многополюсников показаны на рис. 3, в (здесь I = 3, п = 2), іраф соединения входов изображен на рис. 3, г. Системы уравнений, составленные на основании законов Кирхгофа, имеют вид:
г, + = 0 ^
г, + /, = О
и, - м.
О
- її- - И,
Матрица инциденций и матрица контуров графа равны:
‘1 0 0 1 0"
1 0 -1-1 0
0 10 0 1 ; В=
0 1 -1 0 1
1 1 1 0 0.
Топологическая матрица рассеяния имеет вид:
I
3 -1
1 1
о—>-
2 12
{«2
«3
1 \
\
Рис. 3
Матрицы %р в рассматриваемом случае ния: Б/,- = 8Т, хв - тт. Из (7) и (9) находим волно совпадают с соответствующими матрицами Вые матрицы 8 = || 5,,.||, х = ||т,71| (/,у =р)
транзистора в четырехполюсной схеме віслюче- транзистора как шестилолюсника:
=(25пг + Я1-Д,)/£>; і12 = (2*,2Т+Д,)/і>; % =2Л,/0;
5,, = (2і’21т + А,) / О; эп = (25„т + Я, - А,)/£>; = -2Аг / £>; (П)
^31 = ~2А^ /і); .?32 — 2у14 / £>; 5^^ = С^пт ^ ^'пт ^ ‘®2?т)^
%
+г
гпт І4 + 2|- - 2 КеТШАХ (А2 + 2) + г22т Ц1 \/\В{ ;
~["тт^2 (^2 + ~ Т12Т (А + ^)(^2 + 2) - ТША1А2 +
4, + 2^/|£)|”;
% ” ^[(ГПТ + Г12т)(^2 +2)-(г|2т +72?т)4]^|-^>| ’
— Гц-р " 2 И-С тХ7~[Ау ^Ах + 2^ -н ^Ах + 2| \
Г23 = ГГ Г12т) ^ (^12Т ^ХП )(4 + ^/| ^| >
— 4 (г, |Т + Г|2'і- + £}2Т + т22Т | ,
"33
'121 ' Т12’
Г31 ~ Г13’ Т32 ~ Т23-
(12)
Здесь
1У = 2 + Н^, — 2 — 5^ и — Л]2Т “ ^21Т ~~ ‘•''2.2Т ’
,А| ~ і у ; ~ ^22Т ^'^11ТЧ.2Т ™ ^Г2Т’‘^2П’5 А ~ 1 “5ИТ ‘5’і2 Г ’
А'2 — 1 — Чіт ~ Ч2Т’
А = 1. — 5]]Т “52гг,
Непосредственной проверкой (например, с помощью системы Мар1еУ) можно убедиться, что для матрицы 8 шестиполюсшка сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице, а для матрицы т - нулю. Заметим, что соотношения для ^-параметров (11) ранее были получены другим способом в [14]. Задача определения т-параметров шестиполюсника рассматривалась в [15], однако соответствующие выражения приведены в неявной форме и требуют выполнения трудоемких матричных
операций. Здесь благодаря осуществлению аналитических преобразований с помощью системы Мар1еУ удалось получить соотношения для т-параметро» в явном виде.
Пример 3. Связь волновых параметров транзистора в различных схемах включения.
Известны матрица рассеяния 5,, =-; |.8г/<г|| и матрица нормированных спектральных плот-
(г, у - 1,2) тран-
ностеи шумовых волн те
зистора в схеме включения с общим эмиттером (общим истоком) - рис. 3, а. Необходимо найти соответствующие волновые матрицы транзистора при включений с общей базой (общим затвором) .5/, ||8//Ъ|), г* = ||т,,/,|) и общим коллекто-
ром (общим стоком) 8С || Бус ||, г/, ~ Ц г„;,.|| — см. рис. 4, а, б.
Представление схемы включения с общей базой как соединения двух многополюсников приведено на рис. 4, в, граф соединения входов показан на рис. 4, г. Топологические матрицы для этого случая равны:
Ні
"Ч
ь
)ы\ " /)
х
и 2
I 1
\
А
гаг
и3=щ
ш
14 ~4и2
\ 1
!2
В
4 3
\
Рис. 4
5 =
1 і -1 о' '1 0 0 '
і - ; 5 =
0 1 0 1 0 1 -1_
С учетом того, что 5/,- - Бе, хр - те, из (7) и (9) получим:
5п/)(1.) = +(5 + 4л'1|е )/Д
-1 2 _4 _2 512Л(с) ~ + 1с ) !
2 1 -2 4 * , (1
-4 -2 -1 2 ‘‘'22/>(с') — (1<* — ^^22е ) ‘
-2 4 2 1
V~2 Tl2eCl lC21 + Т22е r'i 11 J
/lit;
Т\2Ь{с) =Т2\( Ь)
ТПеС21С22 Т\2еС\2С21 '
\ ГШСТ \С2.
где
-2 Re тпесисп
Ч+Г22е |СЦ|
(14)
D - 1^-22 >
5 = £> - 4;
±1; с,
Ї 2е'
-2;
2ie
2, —• 1^22^.
Для схемы с общей базой в (13), (14) используется верхний знак.
Выполнив аналогичные вычисления для схемы с общим коллектором (рис. 4, б), найдем, что ее параметры также определяются формулами (13) и (14), однако теперь следует выбрать нижний знак. Соотношения для параметров рассеяния (13) ранее были получены в [16].
Машинное время для решения приведенных задач, составило несколько минут. Полученные аналитические соотношения имеют самостоя-
тельное практическое значение и могут быть использованы в программах анализа и проектирования СВЧ устройств.
Заключение
Предложенный метод, использующий топологическую матрицу рассеяния, позволяет на единой основе решать задачи анализа сложных СВЧ цепей, состоящих из произвольно включенных между собой компонент, и задачи определения параметров цепей при изменении системы базисных координат. Применение программы символьного анализа МЮКОЗУМА дает возможность автоматизировать процесс получения аналитических моделей сложных СВЧ устройств, существенно сократить затрать; времени и избежать ошибок при выводе формул. К преимуществам создания подобных программ на основе систем аналитических вычислений по сравнению со специализированными алгоритмами символьного анализа [17] можно отнести простоту написания и модификации программ, возможность выполнения различных математических операций над полученными аналитическими выражениями, автоматическое упрощение выражений, представление результатов в удобной для пользователя форме, применение интерфейса системы, встроенных математических подпрограмм и др.
Литература
1. Машинный расчет интегральных схем / Пер, с англ. под редакцией К.А. Валиева, Г.Г. Казеннова и А.П. Голубева. М., 1971.
2. Rizzoli V„ Lapparini A. Computer- Aided Noise Analysis of Linear Multiport Networks of Arbitrary Topology II IEEE Trans. 1985. V. MTT-33.
№12.
3. Хаус Г., Адлер P. Теория линейных шумящих цепей. М., 1963.
4. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез. М„ 1973.
5. Силаев М.А., Брянцев С.Ф. Приложение матриц и графов к анализу СВЧ устройств, М., 1970.
6. Гулта К., Гардж Р., Чадха Р, Машинное проектирование СВЧ устройств. М., 1987.
7. Dobrowoiski J.A. A CAD-Oriented Method for Noise Figure Computation of Two-Ports with any internal Topology II IEEE Trans, 1989. V. MTT-37. № 1.
8. Shekel J. The Junction Matrix in the Analysis of Scattering Networks II IEEE Trans, 1974. V. CAS-21, № 1,
9. БзбакЛ.И. Определение матрицы рассеяния соединения СВЧ многополюсников II Радиотехника. 1979. Т. 34. №11.
10. Бабак Л.И, Определение шумовых характеристик СВЧ цепей II Радиотехника и электроника. 1980. Т, 25. №11,
11. Петров Г.В., Толстой А.И. Линейные балансные СВЧ усилители. М., 1983.
12. Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования (сер. Алгоритмы и алгоритмические языки), М., 1988,
13. Дьяконов В.П. Математическая система MapleV, М., 1998,
14. Бабак Л.И., Прокопьев В.М, Расчет параметров рассеяния и круговых диаграмм каскадных усилительных цепей с корректирующим двухполюсником II Широкополосные усилители. Томск: Изд-во ТГУ, 1975. Вып. 4.
15. Martius S. Die Dreitor-Raushwelfen-Korrelafions-Matrix des Transistors II Nachrichtentechn. Elektron, 1988. V. 38, № 3.
16. Судей ко Г.И, Графоаналитический расчет транзисторных усилителей с обратной связью на основе S-параметров II Широкополосные усилители. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. Вып, 3.
17. М. Vas, В. Hong, S. Prasad. Modeling Microwave Devices: A Symbolic Approach II :EEE Microwave Guided Wave Lett. 1992. V. 2, № 9.
_ и _
