CC BY
21
УДК 511.3; 519.669
В. Л. Щербань
КАК ИЗ ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ ИЗВЛЕЧЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Представлены ранее неизвестные числовые свойства прямоугольного треугольника Паскаля и впервые даны основные результаты нахождения его вещественного дискриминанта. Обнаружены числовые свойства усеченного треугольника Паскаля для отыскивания всех простых чисел и представлены арифметические формулы для прямого нахождения всех простых чисел.
In the presented arithmetic study, the existence of an infinite set of numerical properties of a right-angled Pascal triangle is confirmed and the main results of finding its numerical discriminant are given. Exactly, the numerical properties of the truncated Pascal triangle for the direct finding of all primes are found.
Ключевые слова: треугольник Паскаля, числа Фибоначчи, простые числа, возвратные (рекуррентные) числовые последовательности.
Keywords: Pascal triangle, Fibonacci numbers, prime numbers, recurrent sequences.
23
Введение
Настоящее арифметическое исследование показало непосредственную связь чисел треугольника Паскаля с симметричными многочленами от (П)-переменных. В точности, найдено числовое решение всего усеченного треугольника Паскаля — это положения (7) и (11). Вслед за этим установлены арифметические формулы для прямого нахождения всех простых чисел — (5) и (14) [1].
1. Числовые таблицы как предмет рассмотрения
До работы с арифметическими таблицами необходимо обстоятельно ознакомиться с простейшими симметричными многочленами степенных сумм [2]. Для этого нужны следующие обозначенные многочлены:
А, (х ) - ,) (1)
А, ( х) = а1 хп-1 + я2 х"-2 + а3 хп -3 +... + ап,
Л'д (х) =(1/1)а1 х"-1 +(7>2 х-2 +(7зК х"-3 +... +(7 „ К, А, ( х ) = гл К х"-1 + (73 К х"-2 + (75 Я х"-3 +...+г /2"-! к,
© Щербань В. Л., 2020
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2020. № 2. С. 23-39.
Ац) — числовой дискриминант многочлена Лч (х),
Re ; Ах) — числовой результант многочленов А (х); Ау_х(х).
Решить арифметическое сравнение (1) — значит найти все значения неизвестного числа (х), ему удовлетворяющие. Два сравнения (или более), которым удовлетворяют одни и те же значения (х), называются равносильными, или эквивалентными.
Числовые последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, называются возвратными, или рекуррентными [3]. Последовательное нахождение таких чисел определяется при помощи возвратного уравнения.
Представим известную числовую таблицу, которую называют треугольником Паскаля, в прямоугольной форме [4]. Суммы чисел, лежащих последовательно на фиксированных восходящих диагоналях, являются рядом Фибоначчи [5]. Ряды чисел, заполняющие последовательно отдельные вертикали треугольника Паскаля, называются многоугольными числами. Для нахождения многоугольных чисел служит таблица, в которой каждое число образуется посредством сложения двух чисел, стоящих перед и над ним (табл. 1).
Таблица 1
Многоугольные числа
1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7
3 6 10 15 21 28
4 10 20 35 56 84
5 15 35 70 126 210
6 21 56 126 252 462
7 28 84 210 462 924
8 36 120 330 792 1716
9 45 165 495 1287
2. Общий метод построения арифметических таблиц
Вертикальные возвратные (рекуррентные) числовые ряды, для которых осуществимо посредством правил вычислений (сложения, вычитания и числового сравнения) нахождение простейших свойств целых чисел, являются арифметическими таблицами. Основное числовое свойство таблиц размещается посредством действий (операций) над числами, лежащими на фиксированных горизонталях. В таких таблицах отсутствует операция деления чисел. Поэтому сравнимость чисел (а) и (Ь) по числовому модулю (у) означает только возможность представить (а) в виде (а = Ь + где число ($ целое.
Рассмотрим простейший пример создания арифметической таблицы.
Воспользуемся формулой Варинга [6] для получения степенной суммы от двух переменных через элементарные многочлены:
— х- + Х2 ; С"- — + X2 , С2 — Х-1%2 •
54 — аС — —4аС ст2 + 2а22 , 55 — с- — — 5с-3с2 + 5с1аС , Б6 — с- — —6ст14ст2 + 9а"-2 сС — 2аС, ...;
Правая часть последних уравнений позволяет образовать таблицу числовых коэффициентов в абсолютных величинах (табл. 2). После расшифровки последует установление ее главного арифметического свойства.
Таблица 2
Фрагмент коэффициентов степенной суммы от двух переменных
25
ц У
4 4 + 2
5 5 + 5
6 6 + 9 + 2
7 7 + 14 + 7
8 8 + 20 + 16 + 2
9 9 + 27 + 30 + 9
10 10 + 35 + 50 + 25 + 2
11 11 + 44 + 77 + 55 + 11
12 12 + 54 + 112 + 105 + 36 + 2
13 13 + 65 + 156 + 182 + 91 + 13
14 14 + 77 + 210 + 294 + 196 + 49 + 2
15 15 + 90 + 275 + 450 + 378 + 140 + 15
16
Примечание: метод дешифровки таблицы универсален для всех последующих таких таблиц.
Горизонтальные числа, исключая порядковые номера (ц), надлежит кодировать следующим способом (табл. 2):
У (х) = 0(шо<12ц—1 — 1),
Уц (х) — У1 х"—1 + у2х"—2 + у3ХП—3 + ... + уп ,
п—2
(2)
число (ц) — обозначенный порядковый номер многочлена; число (п) — обозначенное количество чисел (у), стоящих на фиксированных горизонталях. Примеры:
У7(х) — 7 х2 + 14х + 7 = 0(шоа 7); У13 (х) — 13х5 + 65х4 + 156х3 + 182х2 + 91х +13;
У15 (х) — 15х6 + 90х5 + 275х4 + 450х3 + 378х2 + 140х +15.
Для всех нечетных чисел (ц) многочлен (2) имеет только одно нетривиальное решение:
Ие ; х + 4) = 0(шо<12ц 1 -1). (3)
Примеры:
Ие в(У13; х + 4) = 0(шоа212 -1), Ие в(У15; х + 4) = 0(шоа 214 -1), Ие б(У103 ; х + 4) = 0(шоа 2102 -1), Ие б(У105 ; х + 4) = 0(шоа 2104 -1).
__Осталось показать, как степенную сумму от двух переменных найти
26 и извлечь из треугольника Паскаля при установленном условии
(ст? + хст2) = 0(шоа2ц-1 -1),
но с помощью формулы (4).
Расположим числа прямоугольного треугольника Паскаля иным образом. Все числа, лежащие на фиксированных восходящих диагоналях, разместим по отдельным горизонталям. В этом случае суммы чисел, лежащих последовательно на фиксированных горизонталях, окажутся числами Фибоначчи (табл. 3, С). Каждую отдельную горизонталь обозначим порядковым номером (ц). Определим теоретико-числовые свойства этой таблицы и производной от нее, числовой таблицы (В).
Таблица 3
Основная таблица числовых сравнений
я В С
1 0 0
2 1 1
3 2 1
4 3 + 1 1 + 1
5 4 + 3 1 + 2
6 5 + 6 + 1 1 + 3 + 1
7 6 + 10 + 4 1 + 4 + 3
8 7 + 15 + 10 + 1 1 + 5 + 6 + 1
9 8 + 21 + 20 + 5 1 + 6 + 10 + 4
10 9 + 28 + 35 + 15 + 1 1 + 7 + 15 + 10 + 1
11 10 + 36 + 56 + 35 + 6 1 + 8 + 21 + 20 + 5
12 11 + 45 + 84 + 70 + 21 + 1 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1
13 12 + 55 + 120 + 126 + 56 + 7 1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6
14 13 + 66 + 165 + 210 + 126 + 28 + 1 1 + 11 + 45 + 84 + 70 + 21 + 1
15 14 + 78 + 220 + 330 + 252 + 84 + 8 1 + 12 + 55 + 120 + 126 + 56 + 7
16
Горизонтальные числа, исключая порядковые номера (ц), станем кодировать уже известным способом (табл. 3). В точности, таблица (В):
Вц (х) = 0(шоа ц),
Вц(х) — Ь1 х«—1 + Ь2х«—2 + Ь3х«—3 +... + Ьп ,
число (ц) — обозначенный порядковый номер многочлена; число (п) — обозначенное количество чисел (Ь), стоящих на фиксированных горизонталях.
Соответственно, таблица (С):
Сц (х) = 0(шод ц),
Сц (х) — с1 хп—1 + с2 хп—2 + с3 хп—3 +... + сп; (с1 — 1),
к — с- + С2 + с3 + ... + сп .
Число (к) является числом Фибоначчи.
Зафиксируем непосредственную связь между числовыми многочленами:
Вц (х) — Вц—-(х) — Сц (х),
2В,(х) — Вч—-(х) — Уч(х). (4)
Отметим только простейшие числовые свойства таблиц (В) и (С). Система сравнений многочленов Вц (х) = 0(шод ц); Сц (х) = 0(шод ц)
равносильна для всех простых чисел (ц). Доказательством этого утверждения является условие формул (3) и (4). Соответствующие примеры:
В7(х) — 6х2 + 10х + 4 = 0(шоа7),х +1 = 0(шоа7); С7(х) — х2 + 4х + 3 = 0(шоа 7), х +1 = 0(шоа 7). Система сравнений
Сц (х) = 0(шод ц); С2ц—1(х) = 0(шод ц); В2ц—1(х) = 0(шод ц)
равносильна для всех простых чисел Пример:
С13 (х) — 1х5 + 10х4 + 36х3 + 56х2 + 35х + 6 = 0(шоа 91);
х +1 = 0(шоа7), х +1 = 0(шоа13).
После этого необходимо обратить внимание на следующий многочлен:
С\(х) — /-)с-хп—1 + (-/2)с2хп—2 + (-/3)с3хп—3 +... + (-/п)с« . (5)
Этот многочлен имеет все целые числовые коэффициенты только тогда, когда (ц) — число простое, (табл. 3, С) или (табл. 6).
Статус данного арифметического положения — формула, служащая для нахождения всех простых чисел (то есть не способ для тестирования).
27
28
Также несложное числовое свойство алгоритма представленной формулы допускает ее компьютерную реализацию: + с2 + с3 +... + сп = к — конкретное число Фибоначчи.
Примеры:
С п (х) = 1х4 + 8х3 + 21х2 + 20х + 5, Сц(х) = (1/1)х4 + (8 /2 )х3 + (21/э)х2 + (20 /4 )х + (5/5), =
= С'11(х) = 1х4 + 4х3 + 7 х2 + 5х +1.
С13 (х) = 1х5 + 10х4 + 36х3 + 56х2 + 35х + 6,
Сэ(х) = (1/1)х5 + (10/2)х4 + (36/3)х3 + (56/4)х2 + (35/5)х + (6/6) =
= С;3 (х) = 1х5 + 5х4 + 12х3 + 14х2 + 7 х +1.
Для краткого доказательства этого утверждения достаточно закрепить простые или составные числа в две очевидные формулы:
цСЦ (х) = Уц (х); у (х) = ±(2ц-1 -1).
Затем подвергнуть анализу степенную сумму в качестве системы. Полное доказательство не приводится ввиду его громоздкости и фактической схожести с доказательством для следующего многочлена такого же типа: Р^'(х) — (14).
3. Усеченный треугольник Паскаля и его дешифровка
Для нечетных чисел (ц) разложим по формуле Варинга степенную сумму от трех переменных такого вида:
Бц = х1ч + х2 ц + х 3ц = 0(mod <г1), (6)
СТТ1 — хг + х2 + х3 , СТ2 — хг$2 + х:х3 + х2х3 , аз — хгх2х3 , Б9 = ... - 9о"2'ст'3 + 3о"3, 5П =... + - 11ст2ст3,
513 =... - 13а-25ст3 + 13а'2!ст-|, 515 = ... + - 50а'2!ст-| + 3ст|.
Правая часть последних уравнений позволяет создать таблицу числовых коэффициентов в абсолютных величинах (табл. 4, О) и производную от нее таблицу (Ц). После расшифровки установим основные их арифметические свойства.
Таблица 4
Фрагмент коэффициентов степенной суммы от трех переменных
ц и С
9 24 + 3 9 + 3
11 35 + 14 11 + 11
13 48 + 40 13 + 26
15 63 + 90 + 3 15 + 50 + 3
17 80 + 175 + 20 17 + 85 + 17
19 99 + 308 + 77 19 + 133 + 57
21 120 + 504 + 224 + 3 21 + 196 + 147 + 3
23 143 + 780 + 546 + 26 23 + 276 + 322 + 23
25 168 + 1155 + 1176 + 126 25 + 375 + 630 + 100
27 195 + 1650 + 2310 + 450 + 3 27 + 495 + 1134 + 324 + 3
29 224 + 2288 + 4224 + 1320 + 32 29 + 638 + 1914 + 870 + 29
31 255 + 3094 + 7293 + 3366 + 187 31 + 806 + 3069 + 2046 + 155
33
29
Горизонтальные числа, исключая порядковые номера (ц), надлежит кодировать следующим способом (табл. 4):
и (х) = 0(шоа ц), С (х) = 0(шоа 2ц—1 — 1).
Примеры:
и15 (х) — 63х2 + 90х + 3 = 0(шоа15), С15 (х) — 15х2 + 50х + 3 = 0(шоа 214 — 1).
Перечислим только бесспорные (стало быть, которые невозможно опровергнуть) числовые свойства указанных таблиц:
ИеэС ; 4х — 27) = 0(шо<1 2ц—1 — 1).
(7)
Примеры:
Ие э(С15 ;4х — 27) = 0(шоа 214 — 1), Ие э(С105; 4х — 27) = 0(шоа 2104 — 1). Система сравнений
иц (х) = 0(шод ц);и2ц—Х(х) = 0(шод ц)
равносильна для всех простых чисел (ц). Система сравнений
иц (х) = 0(шод ц); и2(х) = 0(шод ц); 01э(иц; иц—2) = 0(шод ц)
равносильна для всех простых чисел (ц).
Например [7]:
U17(x) = 80x2 + 175x + 20 = 0(mod17 х 19), Dis(U17) = 0(mod 17 х 19), x = 9(mod17 х 19).
Далее, покажем, как степенную сумму (6) обнаружить и извлечь из треугольника Паскаля при установленном условии
(ст23 + xa\) = 0(mod 2q-1 -1),
но с помощью формул (8).
Рассмотрим ряды чисел, заполняющие отдельные вертикали прямоугольного треугольника Паскаля (табл. 3, С). Только теперь повторно выстраивается подобный числовой треугольник, но в котором отсутствуют все вертикальные числовые ряды под четными номерами, а каждая последующая числовая вертикаль поднимается вверх на одну позицию предыдущей порядковой горизонтали. В полученном усеченном треугольнике (F) и производном от него треугольнике (E) каждая фиксированная горизонталь обозначена порядковыми нечетными номерами (q) (табл. 5). Из многих числовых свойств указанных таблиц выберем только несколько основных.
Предварительно зафиксируем два очевидных уравнения:
3Eq (x) - Eq-2 (x) = Gq (x); Eq (x) - Eq-2 (x) = Fq (x) . (8)
Таблица 5
Усеченный треугольник Паскаля (F)
q E F
9 4 + 1 1 + 1
и 5 + 4 1 + 3
13 6 + 10 1 + 6
15 7 + 20 + 1 1 + 10 + 1
17 8 + 35 + 6 1 + 15 + 5
19 9 + 56 + 21 1 + 21 + 15
21 10 + 84 + 56 + 1 1 + 28 + 35 + 1
23 11 + 120 + 126 + 8 1 + 36 + 70 + 7
25 12 + 165 + 252 + 36 1 + 45 + 126 + 28
27 13 + 220 + 462 + 120 + 1 1 + 55 + 210 + 84 + 1
29 14 + 286 + 792 + 330 + 10 1 + 66 + 330 + 210 + 9
31 15 + 364 + 1287 + 792 + 55 1 + 78 + 495 + 462 + 45
33 16 + 455 + 2002 + 1716 + 220 + 1 1 + 91 + 715 + 924 + 165 + 1
35 17 + 560 + 3003 + 3432 + 715 + 12 1 + 105 + 1001 + 1716 + 495 + 11
37 18 + 680 + 4368 + 6435 + 2002 + 78 1 + 120 + 1365 + 3003 + 1287 + 66
39
Горизонтальные числа, исключая порядковые номера (ф, следует кодировать в том числе и способом обратных арифметических прогрессий (1).
Как из треугольника Паскаля извлечь формулы для нахождения всех простых чисел Примеры:
Е19(х) — 9х2 + 56х + 21 - 0(шоа19); е;,(х) — (9 /- )х2 + (56 /2 )х+(21/3) - 0(шоа19); Р21 (х) — 1х3 + 28х2 + 35х +1 - 0(шоа 21);
Г-{х) — С/Ох3 + (28Л)х2 + (35/5)х + (1 /7) - 0(шоа21).
Отметим только необходимые свойства таблиц (Е) и (¥) для чисел (ц> 13) (табл. 5).
Система сравнений
Ец (х) - 0(шод ц); (х) - 0(шод ц)
равносильна для всех простых чисел (ц). Примеры:
Е19(х) - 0(шоа19); Р19(х) - 0(шоа19); х - 8,9(шоа19).
Система сравнений
Ец (х) - 0(шоа ц); ¥'(х) - 0(шоа ц); В1э(Е'ч; ф - 0(шоа ц)
равносильна только тогда, когда (ц) — число простое. Примеры:
Е;9(х) — (9Д)х2 + (56/2)х + (21/3) -0(шоа 19);х1 — х2 - 9(шоа 19); Р1'9(х) — ()х2 + (21/2)х + (15/3) - 0(шоа19); х1 — х2 - 9(шоа19); В1э(Е[9) - 0(шоа19);Огэ(Р1'9) - 0(шоа19). Система сравнений
Ец (х) - 0(шод ц); Е2ц—1(х) - 0(шод ц)
равносильна для всех простых чисел (ц). Примеры:
Е17(х) - 0(шоа17), Е33( х) - 0(шоа17), х - 94(шоа172).
Дальше будут рассмотрены только арифметические свойства треугольника (¥).
Если число (ц) — составное, то при условии (7) и (11)
Ие э^"; 4х — 27) - 0(шо<12ц—1 — 1). (9)
Если число (ц) — простое, то лишь только (а — 3п+1 ц):
Ие э{а¥"; 4х — 27) - 0(шо<1 2ц—1 — 1). (10)
31
32
Примеры:
РЗЗ(х) = (7>5 + (91/з)х4 + (715/5)х3 + (924 / 7)х 2 + (165/9)х + (7и); 4х - 27 - 0(шоа232 -1); (459)Р17 (х) = (1/1)х2 + (15/з)х + (5/5) = 1х2 + 5х +1; 4х - 27 - 0(шоа216 -1).
Для чисел (,> 13) арифметическая система (6) и (8) эквивалентна при установленном условии:
(^23 + хст-2) - 0(шоа ,); ,РДх) = а, (х). (11)
Первый пример:
5зз(х) = ...Л ЗЗх5 + 1001х4 + 4719х3 + 4356х2 + 615х + 3 - 0(шоа33) —
- (7>5 + (91/з)х4 + (715 / 5 )хЗ + (924 / 7 )х2 + (165 / 9 )х + (7и) = КЗЗ(х);
^ЗЗ = ...Л ЗЗ(^зз) .
Второй пример: 5З7(х) = ...л +З7(х5 + 40х4 + 27Зх3 + 429х2 + 14Зх + 6) - 0(шоа З7); — — (1 /З7 )5З7 (х) = ...л +(х5 + 40х4 + 27Зх3 + 429х2 + 14Зх + 6); —
— (7>5 + (120/з)х4 + ( 1365 / 5 )хЗ + ( 3003 / 7 )х2 + ( I287 / 9 )х + (66/ц) = Рз7(х);
(!/ - Л Р"
V / З7/^З7 _ ••• 37 '
Продолжение анализа числовых свойств треугольника (Р). Если число (,) — простое, то сравнение Р, (х) - 0(шод ,) имеет столько решений, какова его степень. Пример:
Р2З (х) - 0(шоа 2З); х - 2,14,17(шоа 2З). Система сравнений
р(х) - 0(ш^ ,); рц-1(х) - 0(шоа ,)
равносильна для всех простых чисел (,). Примеры:
Р17 (х) = х2 + 15х + 5 - 0(шоа17); х + 59 - 0(шоа172), Рзз (х) = х5 + 91х4 + 715хз + 924х2 + 165х +1 - 0(шоа17). Система сравнений
Р, (х) - 0(шоа,); Р,'(х) - 0(шоа,); Шэ^) - 0(шоа,) (12)
равносильна только тогда, когда число (,) — простое.
Примеры:
¥23 (х) — х3 + 36х2 + 70х + 7 - 0(шоа 23); х - 2(шоа 23); ВД — (7-)х3 + (36 /2 )х2 + (70/3)х + (7/4) - 0(шоа23), Огэ(¥2'3) - 0(шоа23).
Далее, система сравнений
¥ц (х) - 0(шоа Н); ¥Дх) - 0(шоаН); Ои(¥ц") - 0(шоаН) (13)
равносильна только тогда, когда числа (ц) и (Н) — взаимно простые.
Примеры:
¥19 (х) - 0(шоа 37); ¥-9 (х) - 0(шоа 37), ) — 37; х - 15(шоа37).
Примечание. Числа Фибоначчи, первые изъяты в явной форме из треугольника Паскаля и поэтому считаются первой по счету числовой возвратной последовательностью. Воспроизведенные формулы Виета [8], по аналогии, предлагают второй по счету числовой ряд после чисел Фибоначчи, который имеет возвратное уравнение (иц — Щ—х + Щ—3).
Далее, следует третий по счету ряд чисел:
V; — 0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,...; (V — V—2 + V—3).
Он распадается на два числовых ряда — по четным и нечетным порядковым номерам, имеющих равные возвратные уравнения (табл. 5):
(Ек) — 0,1,2,3,5,..., (Ек — Ек—! + Ек—2 + Е—4), (¥к) — 0,1,1,1,2,...,(¥к — ¥к—- + ¥к—2 + ¥к—4), (¥к — Ек — Е^г).
Проверочное числовое сравнение для простых чисел: 3(Ек) — Ек—1 - 0(шодц). Числа (Ек) и (¥л) — сумма чисел, лежащих на фиксированных горизонталях обозначенными номерами (ц). Пример:
¥19 — 1 + 21 +15 — 37.
После исследования многочлена (5) приступаем к изучению следующего многочлена:
¥Дх) — (1/1)/1 хп—1 + (1 /3)х«—2 + (-/5)/3х«—3 +... + (-/2«—-)/« . (14)
Этот многочлен имеет все целые числовые коэффициенты только тогда, когда (ц) — число простое (табл. 5, ¥ или табл. 7).
Примеры:
¥23 (х) — 1х3 + 36х2 + 70х + 7;
¥23(х) — (-/!)х3 + (36/3)х2 + (70/5)х + (7/7) — 1х3 + 12х2 + 14х +1;
¥29 (х) — 1х4 + 66х3 + 330х2 + 210х + 9;
33
Р29( х) = (7>4 + (66/з)х3 + ( 330 / 5 )х2 + ( 210 / 7 )х + ( 9 /9 ) = = Р2'9 (х) = 1х4 + 22х3 + 66х2 + З0х +1.
Решающим доказательством данного утверждения является положение (11), при котором система сравнений (9) и (10) неэквивалентна без установочного условия (а = З"+1,). Или, в точности, многочлен Р"(х) £ £ 0(шод,), если число (,) — простое (16). Подтвердим это следующим положением. Системы сравнений (12) и (1З) неэквивалентны. Доказательство этого размещено в пятом разделе.
34 4. Нахождение всех простых чисел с помощью формул (5) и (14)
Таблицы Паскаля служат в том числе и для создания заранее определенного алгоритма арифметически-логического устройства (АЛУ), выполняющего арифметические и логические операции. Смотрим таблицу числовых сравнений (табл. З, С). Эта таблица в полном формате на этом месте — таблица 6.
Выбирается первый необязательный порядковый многочлен:
С(х) = с1 хп-1 + с2 хп-2 + сз х"-3 +... + сп,
число (,) является порядковым номером многочлена; число (п) равно количеству чисел (с: + с2 + сз +... + сп), стоящих на фиксированных горизонталях. Например:
С17 (х) = 1х7 + 14х6 + 78х5 + 220х4 + ЗЗ0хЗ + 252х2 + 84х + 8.
Таблица 6
Треугольник Паскаля (С)
Как из треугольника Паскаля извлечь формулы для нахождения всех простых чисел Создается второй многочлен (5) — дискриминантный (табл. 6):
С\(х) = С/схп-1 + (7, )с2хп-2 + (7з)сзхп-3 +... + (7п )сп .
Этот многочлен имеет все целые числовые коэффициенты только тогда, когда (у) — число простое. Например:
СМ х) = (7:)х7 + (14/,)х6 + (78/з)х5 +
+ ( 220 / 4 )х4 + ( 330 / 5 )х3 + (252/б)х2 + ( 84 /7 )х + (8/8) =
= 1х7 + 7 х6 + 26х5 + 55х4 + 66 х3 + 42 х2 + 12х +1.
Далее, смотрим усеченный треугольник Паскаля (табл. 5, Р). Эта таблица в полном формате на этом месте — таблица 7.
Выбирается первый необязательный порядковый многочлен:
Ру (х) = / хп-1 + /2 хп - 2 + fз хп-3 +... + /,
число (у) является порядковым номером многочлена; число (п) равно количеству чисел (/ + /2 + /з +... + /п), стоящих на фиксированных горизонталях. Например:
РЗ7 (х) = 1х5 + 120х4 + 1З65хЗ + З00Зх2 +1287х + 66 .
35
Таблица 7
Арифметический треугольник (7)
№
Ч
15 1 + 10 + 1
17 1 + 15 + 5
19 1 + 21 + 15
21 1 + 28 + 35 + 1
23 1 + 36 + 70 + 7
25 1 + 45 + 126 + 28
27 1 + 55 + 210 + 84 + 1
29 1 + 66 + ЗЗ0 + 210 + 9
З1 1 + 78 + 495 + 462 + 45
зз 1 + 91 + 715 + 924 + 165 + 1
35 1 + 105 + 1001 + 1716 + 495 + 11
37 1 + 120 + 1З65 + З00З + 1287 + 66
39 1 + 1З6 + 1820 + 5005 + З00З + 286 + 1
41 1 + 15З + 2З80 + 8008 + 64З5 + 1001 + 13
43 1 + 171 + З060 + 12З76 + 12870 + З00З + 91
45 1 + 190 + З876 + 18564 + 24З10 + 8008 + 455 + 1
47 1 + 210 + 4845 + 271З2 + 4З758 +19448 + 1820 + 15
49 1 + 2З1 + 5985 + З8760 + 75582 + 4З758 + 6188 + 120
51 1 + 25З + 7З15 + 54264 + 125970 + 92З78 + 18564 + 680 + 1
53 1 + 276 + 8855 + 7461З + 20З490 + 184756 + 50З88 + З060 + 17
55
Создается второй многочлен (14) — дискриминантный (табл. 7):
¥Дх) — СЛ)/хп—1 + (1 /3)/хп—2 + (75)/3хп—3 +...+(1/2п—1)/п .
Этот многочлен имеет все целые числовые коэффициенты только тогда, когда (ц) - число простое. Например:
¥37(х) — (1/1)х5 + (12%)х4 + (1365/5)х3 + (3003 / 7 )х2 + (1287/,)х + («/--) = = 1х5 + 40х4 + 273х3 + 429х2 + 143х + 6 .
Этот результат является следствием доказанного утверждения: ¥Дх) £ 0(шод ц), если (ц) — простое число (13), (16). Это положение по-другому подтверждается и так. Арифметический треугольник (¥) допускает только два нетривиальных решения — (9), (10).
5. Как доказываются числовые свойства арифметических треугольников
Предлагается степенная сумма (6), которая разлагается по формуле Варинга на элементарные многочлены и образует систему с возвратным уравнением (в общем виде — числовым сравнением):
(ст23 + ха32) - 0(шоа ц). (15)
С помощью биномиальных коэффициентов Ньютона и многоугольных чисел треугольника Паскаля (табл. 1) устанавливаются очевидные уравнения и сравнения (табл. 5):
Е (х) — Е_2(х) — ^ (х),
3ЕЧ(х) — Ец—2(х) — Сц(х) ^ ...Л Бц,
(4ст23 + 27ст32) - 0(шоа 2ц—1 — 1).
Вслед за этим раскрываем сущность специально предназначенного метода от противного, при котором «доказывание» некоторого свойства треугольника Паскаля — суждения (тезиса доказательства) — осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Например, подробно исследуем следующее положение. Предположим, что для какого-то многочлена (9) или (14) имеется конкретное числовое сравнение: ¥Дх) - 0(шодц), где число (ц) — простое. Вследствие этого системы сравнений (12) и (13) станут эквивалентными. Или, в точности (1):
¥ц(х) - 0(ш^ q),
¥'ц (х) - 0(шоа ц); В1з(¥'ц) - 0(шоа ц), ¥Дх) - 0(шоа ц); Ог^") - 0(шоа ц).
В этом случае после несложных вычислений извлекается утверждение ) - 0(шод ц), которое, однако, невозможно.
В самом деле, тогда будут иметь место последующие арифметические действия:
Е(х) - Е-2(х) = р(х), — ПЧр) - 0(ш°й ц);
ЗЕЦ (х) - Ец-, (х) = ...Л Бц (х), (15) — ) - 0(шоа ц);
В1б{Еч ) - 0(шоа ц).
Вследствие чего станут втройне равносильны все последующие системы сравнений:
Ец (х) - 0(шоа ц), Ец (х) - 0(шоа ц), В1б(Е'ч ; Ц) - 0(шоа ц);
Е'(х) - 0(шоа ц), Ец (х) - 0(шоа ц), е>И(е;; Е) - 0(шоа ц).
Чего быть не может, так как это противоречит всем заявленным условиям, в том числе и установкам (15) и (17). Следовательно, если число (ц) — простое, тогда многочлен
РДх) £ 0(шоа ц). (16)
Таким образом, главное арифметическое свойство треугольника (Р) для нахождения всех простых чисел доказано (табл. 7).
Разъяснение:
Е"(х) = (1/1)а1хп-1 + (74Кхп-2 + ГАЯх--3 +...+(7зп-2к, Ец (х) — каждый многочлен выше обозначенного типа:
Ец(х) =(1 /1 )а1хп-1 + (7,Кхп-2 +(1Д+№-!))азхп-3 +... +(1 /(к^-№-)ап ...;
(к) — второй числовой элемент обратной арифметической прогрессии, в которой каждый следующий элемент равен предыдущему, увеличенному на фиксированное для прогрессии число (к - 1) [9; 10].
Вновь предположим, что для какого-то многочлена (12) имеется конкретное числовое сравнение
рц (х) - 0(шоа ц),
число (ц) является составным. Тогда системы сравнений (12) и (1З) снова станут равносильными, что опровергнуто доказательством выше. Стало быть, системы сравнений (12) и (1З) неэквивалентные.
Осталось отметить, что возвратное арифметическое сравнение степенной суммы от двух переменных
(ст* + ха2) - 0(шоа2ц-1 -1)
37
38
и степенной суммы от трех переменных
(ст23 + хст32) - 0(шоа 2ц—1 — 1) (17)
имеет особый статус. Они взяты в зашифрованном виде из таблиц 2, 4, поэтому бесспорны по определению.
Примечание. Заметим, что положение (6) легко конвертируется в другое доказанное утверждение:
хп + уп — 2п - 0(шоа 2'—1 — 1) - 0(шоа I2).
При этом показатели (п — I) должны удовлетворять неким условиям [11].
Заключение
Краткое арифметическое определение дискриминанта кубического трехчлена известно - два вещественных корня такого многочлена равны (сравнимы). Отмечаем, что в математике понятие отображается как определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними. Тогда понятие дискриминанта степенной суммы от трех переменных до сих пор неизвестно [12; 13]. Отчего впервые были предоставлены только числовые выкладки их конкретного измерения. Следом за этим укажем, что раз полученные арифметические треугольники оказались усеченными, то и порядковые числа, например (ц > 13), рассматривались для нахождения соответствующих числовых дискриминантов [14].
Таблицы степенных сумм от четырех переменных составляются следующим образом: все вертикальные числовые ряды последовательно делятся на три части и группируются (табл. 3). В первую группу входят первый, четвертый, седьмой и далее по счету вертикальные ряды чисел. Во вторую группу входят второй, пятый, восьмой и далее по счету вертикальные ряды чисел. В третью группу входят третий, шестой, девятый и далее по счету вертикальные ряды чисел. Для составления одной сводной таблицы каждая последующая числовая вертикаль поднимается вверх на две позиции предыдущей порядковой горизонтали [15].
Список литературы
1. Воронин С. М. Простые числа. М., 1978.
2. Прасолов В. В. Многочлены. М., 2001. С. 20 — 22.
3. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М., 1983.
4. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М., 1979.
5. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М., 1992.
6. Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. М., 2002. С. 53 — 55.
7. Батхин А. Б. Вычисление обобщенного дискриминанта вещественного многочлена // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. М., 2017. №88.
8. Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. М., 1980.
9. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М., 1986.
10. Арифметическая, геометрическая прогрессии // Конспект лекций по высшей математике Керченского государственного технологического университета. URL: https://studfile.net/ preview/5125442/page:11/ (дата обращения: 10.10.2019).
11. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. М., 1982. С. 20-21.
12. Александрова П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. Энциклопедия элементарной математики. М. ; Л., 1951.
13. Математическая энциклопедия. М., 1977—1985. URL: https://rus-math. slovaronline.com/ (дата обращения: 10.10.2019).
14. Дискриминант многочлена // Онлайн-калькулятор Math. URL: https:// math.semestr.ru/math/discriminant.php (дата обращения: 10.10.2019).
15. Комбинаторика: основные правила // Сила знаний : [сайт]. URL: http:// ya-znau.ru/znaniya/zn/80 (дата обращения: 10.10.2019).
Об авторе
Виктор Леонидович Щербань — специалист, зав. учебной частью АНО «Центр дополнительного математического образования», Россия.
E-mail: sherba-q@ya.ru
The author
39
Viktor L. Scherban, Expert, Autonomous Non-Profit Organization «Center for Additional Mathematical Education», Russia. E-mail: sherba-q@ya.ru
