CC BY
52
Матем атика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 3 (1), с. 168-173
УДК 517.925.41/42
КАЧЕСТВЕННЫЙ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ФРАНЧЕСКИНИ-ТИБАЛЬДИ
© 2011 г. В.И. Потапов
Норильский индустриальный институт
potapovVI@norvuz. ги
Поступила в редакцию 28.02.2011
Рассматривается 5-мерная динамическая система Франческини и Тибальди, зависящая от одного параметра и имеющая квадратичные нелинейности. В зависимости от параметра найдены состояния равновесия, установлен их тип и бифуркации. Приводятся проекции фазовых портретов, а также зависимости от времени отдельных переменных системы.
Ключевые слова: состояния равновесия, бифуркации, предельные циклы.
Введение
В 1979 году итальянские физики Франческини и Тибальди построили динамическую систему [1] вида:
х1 = -2 х1 + 4 х 2 х3 + 4 х4 х5,
х2 =-9 х2 + 3х1 х3,
X3 = -5х3 - 7х1 х2 + г,
х4 = -5х4 - х1 х5,
х5 = -х5 - 3х1 х4,
(1)
дивергенция векторного поля которой всюду отрицательна: div(X1, х2, х3, х4, х5) = -22 .
Эта модель была получена при пятимодовой аппроксимации по Галеркину уравнений Навье-Стокса, описывающих течение вязкой жидкости. Управляющим параметром служило г - число Рейнольдса, характеризующее степень турбулентности. Для многомерных диссипативных систем объем фазового пространства сжимается по всем направлениям, когда траектории стремятся к состоянию равновесия или к предельному циклу. Одно направление, характеризующее наиболее медленную сходимость, приводит к одномерному квадратичному отображению. Поэтому в системе (1) возможен сценарий Фейгенбаума [2] - удвоение периода цикла.
Заметим, что система Франческини-Тибальди инвариантна относительно замены (-х1;-х2; х3;-х4; х5) ^ (х1; х2; х3; х4; х5) ,т.е. имеется симметрия в R5 по типу системы Лоренца.
Состояния равновесия и их бифуркации
После аналитических преобразований системы (1) получаем семь стационарных решений:
0,(0; 0; 5; 0; 0),
7
42 2
7
О 4 ('
42 2
л/Т5 ; гУГ5 ; 9г 3 ; 80 ; 80
д/3 • (27г2 - 3200) 75 • (27г2 - 3200)
240
80
),
О 5 ("
л/15 гл/1~5 9г
3 80 80
73 • (27г2 - 3200) 75 • (27г2 - 3200)
240 ; 80
л/15 гл/15 9г
О 6(-
3 80 80
73•(27г2 - 3200) 75•(27г2 - 3200),
240 ; 80 '
л/15 гл/15 9г
О 7 (
3 80 80
73 • (27г2 - 3200) 75 • (27г2 - 3200),
240
80
^7б
(2)
О ;^;0;0), (3)
ОЛ-^-,1^И;^;0;0), (4)
(5)
(6)
),
(7)
(8)
Заметим, что при 0 < г < в системе
Франческини-Тибальди существует только одп тг ^7б
но состояние равновесия О]. При г > появляются ещё два состояния равновесия О2 и О3 и возникают стационарные структуры, начинается конвективное движение жидкости.
Выясним топологический характер этих состояний равновесия, для чего построим матрицу Якоби:
А =
1 4 з 4 х2 4 х5 4 Х4
з з - зх1 0 0
- 1 ^2 — 1 х^ - 0 0
- Х5 0 0 - 5 - х1
- з X -Ь- 0 0 - з х1 -1
и вычислим ее элементы в точке О1(0; 0; —; 0; 0):
А, =
- 2 4г т 0 0
зг У - 9 0 0
0 0 - 5 0
0 0 0 -5
0 0 0 0
при
0 < г < все отрицательные:
2
- 11 49 +
^1 = ^2 — -5, ^3 — -1, ^4 — "
48г2 25
- 11 + , 49 +
^5 =■
48г2 25
- 2 2^ 4X - 0 > 0
з4б 2 - 9 з^ 2т. 0 0 (14)
^ 2т Й С'! - - 5 0 0
0 0 0 -5 с1-
0 0 0 - зІ6X ст. -1
Тогда характеристическое уравнение принимает вид:
(9)
- 2 - X
зУб
2
- їхст-
2л/б
- 9 - X
4Х,
з46х 2т-
- 7/бХ 2т-
0
0
0
- 5 - X
- 5 - X
0 0 0
0 0 0
и после раскрытия определителя (15) по пятой строке получаем:
2 .
- з^х!;т-
-^Х--1-X
(15)
= 0,
(X2 + 6Х + 5 -18X2ст' ) х
(10)
- 2 - X
зУб
~Г
- їх г
^л/б 4 X 2ст'
- 9 - X Зл/бХ 2ст'
- ї4вХ2ст' - 5 - X
= 0
или
Характеристические корни этой матрицы 5л/б
(X2 + 6X + 5 -18X2ст' XX3 + ^2 +
2 2 + (55 +154X2ст' Я +1008X2ст' ) = 0.
(1б)
(11)
(12)
- 2 1 2 Заметим, что характеристическое уравнение (16) инвариантно в точках О2 и О3.
Исследуем корни кубического уравнения:
X3 + 16Х2 + гХ + 24(л/бг -15) = 0. (17)
Так как состояния равновесия (3) и (4) суще-
ствуют в системе (1) только при г >
5л/б
2
■, т.е.
Это означает, что состояние равновесия О] будет устойчивым топологическим узлом в R5 в области значений числа Рейнольдса (11).
При г > из (12) следует, что Х5 > 0 и
состояние равновесия О] становится пятимер-
_ 5л/б
ным седло-узлом (4;1). В случае г = происходит слияние седла и узла:
Х1 = Х2 = -5, Х3 = -1, Х4 = -11, Х5 = 0. (13) Далее выясним топологическую структуру
состояния равновесия О 2 (Х1ст'; X ”'; ; 0; 0),
используя матрицу Якоби:
когда л/бг -15 > 0, то коэффициенты уравнения (11) все положительны. Следовательно, по теореме Декарта уравнение (11) положительных корней не имеет. Далее вычисляем главные миноры матрицы Гурвица для многочлена
aoX + а^ + а2X + аз:
Д1 = а1 = 1б > 0,
Д2 =
а1 а0
аз сТ
1б
24(л/бг -15)
1
11л/б
--------1
з
104л/б
г + зб0 > 0,
Д3 = а3Д2 = 24(л/бг - 15)Д2 > 0, и убеждаемся, что они все положительны. Тогда по критерию Рауса-Гурвица [3] кубическое уравнение (17) имеет корни с отрицательными действительными частями. Запишем условие существования трех вещественных корней [4] (в нашем случае отрицательных):
(а^ - 3а1а3)(4а12 - 12а2) - (а1а2 - 9а3)2 > 0, (18) где
0
х
2
з
Рис. 1. Проекция фазового портрета на х1гхз,х5 - два изолированных предельных цикла при г= 25
Рис. 2. Выход на устойчивые автоколебания динамической переменной хь Х(2), Y(2), Z(2), Н(2) -
динамической переменной
состояния
747
Т22 - за1аз = — г2 - 1152л/6г +11280,
4а12 - 12т2 = 1024 - 44л/бг,
п 8(1215 - 59\/бг)
ТТ - 9т =---------------------.
1 2 з з
Эти выражения обращаются в нуль при 12(12л/б + л/259) _128л/б
Заметим, что на интервале ( 12(12л/б ^ л/259)
121
-) неравенство (18) выполняет-
г=
г=
121 зз
Видим, что корни квадратного уравнения
X2 + 6X + 5 -18X,,ст. = 0
действительные:
^ = -з - •/ і
4 +18 X с
(19)
(20)
ся, поэтому корни кубического уравнения (11) вещественные. При этом характеристические корни матрицы Якоби (14) все отрицательные, т.е. состояния равновесия О2 и Оз являются устойчивыми топологическими узлами в R5, и динамика системы (1) простая.
_ ,12(1276 -л/259)
Однако на интервале (- •
40л/б\
121
X, = -з +
4 +18 X с
9
) неравенство (18) не выполняется, и сре-
Для устойчивости состояний равновесия О2 и О3 требуется, чтобы Х5 < 0. Это выполняется при
5л/6 „ 40л/б „1Ч
< Г <----:---. (21)
2
9
ди корней уравнения (17) есть комплексные с отрицательными действительными частями. Поэтому состояния равновесия О2 и О3 становятся устойчивыми узлами-фокусами в пятимерном фазовом пространстве [5]. При этом топология траекторий остается прежней, и ди-
2
2
2
Рис. 3. Аттрактор Франческини-Тибальди при г= 29
Рис. 4. Хаотические осцилляции динамической переменной при г=29
намика системы Франческини-Тибальди остается простой, без колебаний.
На следующем множестве г е (
40л/б
9
;+<»)
Хст. _
4 = -
^3(27г2 - 3200)
240
, х5ст. = —ц/Т5х 4с\
Заметим, что состояния равновесия О^
40л/б
(/=4,5,6,7) существуют при г >
9
3Г2 9Г2
Х5 + 22Х4 + (------+ 192)Х3 + (----------+ 600)Х2 +
200 4
+ (-
189г2
1о~~
(22)
- 560)Х + 27г2 - 3200 = 0,
характеристический корень Х5 становится положительным, и аттракторы О2 и О3 переходят в седло-фокусы типа (4;1) (декартово произведение двумерного седла и трехмерного устойчивого фокуса) [5].
Далее рассмотрим локальную устойчивость аттрактора (5):
л/15 гл/15 9г
Хст. _ тлст. _ ' V-1--' ТЛСТ. _
I — , г* — , о — ,
1 3 2 80 3 80
В состоянии равновесия О4 характеристическое уравнения матрицы Якоби (9) принимает вид:
оно инвариантно и в точках О5, О6 и О7.
Прежде всего заметим, что свободный коэффициент многочлена в (22) может обращаться в
40л/б
нуль при г = —-— , т.е. один корень Х5 = 0, а
остальные корни ReX12 < 0, Х3 < 0Д4 < 0 . При этом происходит слияние состояний равновесия
О2 с О4 и О5, а также О3 с Об и О7, и получаем пару сложных состояний равновесия.
В последовательности коэффициентов а0, а\, а2, а3, а4, а5 характеристического многочлена
А0л/в
(22) на интервале г е (—-—;+<») нет перемены
знаков, т.е. по теореме Декарта не существует положительных корней уравнения (22). В окрестностях этих состояний равновесия фазовые траектории узловые и динамика системы (1) простая, без колебаний.
Рис. 5. Проекция фазового портрета на .г1гг3,.г5 - рождение перекрученного цикла при г= 34
а)
Рис. 6. Классические автоколебания переменной хі
Вычислим коэффициенты многочлена Гурви-ца в (22) при различных значениях параметра г:
зг2 9г2
а0 = 1; а1 = 22; а2 =-+192; аз =------+ 600;
200
4
189г2 10
- 560;а5 = 21 г2 - з200 ,
а также главные диагональные миноры матрицы Гурвица этого многочлена для нахождения г= гкр, при котором минор А 4 обращается в нуль [3].
Таким критическим значением является г = 22.853701631831652, при этом происходит переход комплексных корней через мнимую ось ^еХ12 = 0):
Х1 = 8.602/, Х2 =-8.602/, Х3 =-13.469,
Х4 =-1.572,Х5 =-6.959.
В этом случае имеет место классическая бифуркация Андронова-Хопфа [2,3] рождения цикла из седло-фокуса в окрестностях точек О/ (/=4,5,6,7), представленная на рис. 1.
Например, при г=25 характеристические корни принимают следующие значения:
Х1 = 0.376 + 9.242/, Х2 = 0.376 - 9.242/,
X3 = -14.162, X4 = -1.619, X, = -6.911.
Этой бифуркации соответствует автоколебательный режим в системе Франческини-Тибальди. Все динамические переменные длительное время испытывают незатухающие осцилляции (рис. 2 а,б).
Однако при г=22.85, когда Д4 > 0, аттракторы О4 и О5 являются слабоустойчивыми фокусами [5], поскольку соответствующие им характеристические корни
X1 =-6.161-10-4 + 8.601/, X2 =-6.161 • 10 4 - 8.601/,
X3 = -1з.468, X4 =-1.512, X, =-6.959. Непрерывно увеличивая параметр г с 25 до 29, замечаем, что неустойчивые фокусы начинают взаимодействие друг с другом, в результате чего в пространстве образуется аттрактор типа Лоренца [5] в окрестности стационарных точек О4 и О5 (рис. 3), и корни уравнения (22) следующие:
X1 = 1.011 +10.365/, X2 = 1.011 -10.365/,
X3 =-15.361, X4 =-1.616, X, =-6.985.
Т4 _
"
Рис. 7. Проекция фазового портрета на хьх3,х5 -перекрученный цикл при г=179
Этому аттрактору соответствуют нерегулярные осцилляции, как на рис. 4.
При дальнейшем возрастании параметра г до 34 фазовый портрет упрощается, получается единственный перекрученный цикл (рис. 5).
При этом динамика системы Франческини-Тибальди становится регулярной, переменная Х\ осциллирует с постоянной амплитудой и постоянным периодом (рис. 6).
Такая фазовая картина сохраняется до г = 54. При дальнейшем изменении параметра г вплоть до 1000 топология фазовых траекторий не изменяется. Например, при г = 179 приходим к рис. 7.
При увеличении параметра г до 5000 динамика системы Франческини-Тибальди на начальном участке времени испытывает хаотические осцилляции, но затем выходит на автоколебательный режим.
Заключение
Результаты качественного и численного анализа системы Франческини-Тибальди при изменении параметра г от 0 до 1000 показали, что динамика системы (1) проходит через апериодические и затухающие осцилляции, через автоколебания и хаотические осцилляции. Наблюдается хаотическая динамика и сценарий Фейгенбаума удвоения периода цикла.
Система (1), полученная при обрезании системы дифференциальных уравнений в частных производных методом Галёркина, адекватно моделирует ламинарные и турбулентные процессы в течении несжимаемой жидкости. Такая простая модель воспроизводит множественность состояний равновесия, колебательные и хаотические режимы при непрерывном изменении параметра г.
Прежде всего выражаю благодарность профессору А.Д. Морозову за обсуждение рукописи статьи и полезные замечания, а также студенту НИИ Н. Горелову за активное участие в компьютерном исследовании системы Франче-скини-Т ибальди.
Список литературы
1. Franceschini V., Tibaldi C. Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five-Mode Truncation of the Navier-Stokes Equations // Journal of Statistical Physics. 1979. Vol. 21. №. 6.
2. Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Field // Springer, 1983 (русский перевод: Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: ИКИ, 2002).
3. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984.
4. Потапов В. И. Математические модели нелинейных динамических явлений. Их численный и качественный анализ. Норильск: Норильский индустриальный институт, 2005.
5. Shilnikov L.P., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 1 and 2. World Sci., Singapore. 1998 and 2001. V. 5 (русский перевод: Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1, 2. М.-Ижевск: НИЦ РХД, ИКИ, 2004, 2009).
6. Ilyashenko Yu., Li W. Nonlocal Bifurcations. American Mathematical Society, 1999 (русский перевод: Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999).
QUALITATIVE AND NUMERICAL ANALYSIS OF THE FRANCESCHINI-TIBALDI DYNAMICAL SYSTEM
V.I. Potapov
We consider a 5-dimensional Franceschini-Tibaldi dynamical system that depends on one parameter and has a quadratic nonlinearity. Depending on the parameter, equilibrium states are found, their type and bifurcations are identified. Projections of phase portraits are presented along with time dependences of the system’s individual variables.
Keywords: equilibrium, bifurcations, limit cycles.
