Качественное исследование уравнений нелинейной волновой динамики в теории упругости, гидро-газодинамике и акустике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (3), с. 64-69

УДК 539.1:533.601:534

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ГИДРО-ГАЗОДИНАМИКЕ И АКУСТИКЕ

© 2013 г. В.И. Ерофеев 1, А.И. Землянухин 2, О.С. Федорова 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

2 Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.

а7ет1уапикЫп@таП. ги

Поступила в редакцию 30.11.2012

С использованием асимптотического метода многих масштабов выведено уравнение, моделирующее распространение нелинейных возмущений в упругости, газовой динамике и акустике. Проведен групповой анализ кубически нелинейного эволюционного уравнения, моделирующего распространение сдвиговых волн в сплошных средах.

Ключевые слова: волновая динамика, нелинейные волны, групповой анализ, асимптотические методы.

Выявление аналогий между различными областями естественно-научных дисциплин всегда было важным стимулом для получения новых знаний о природе. В настоящее время, когда «разделение труда» в научных исследованиях фактически является необходимым, роль аналогий еще более возрастает. Не является исключением механика сплошной среды, разделы которой развиваются, во многом, автономно.

Большое практическое значение имеют аналогии между задачами о кручении в теории упругости и гидродинамическими задачами о движении жидкости в трубах [1]. Кельвин заметил, что функция напряжений, используемая в задачах о кручении, совпадает с функцией тока для некоторого безвихревого движения идеальной жидкости в трубе того же поперечного сечения, что и скручиваемый стержень. Буссинеск показал, что дифференциальное уравнение и граничное условие для определения функции напряжений тождественно совпадают с теми, которые служат для определения скоростей в ламинарном потоке вязкой жидкости по трубе того же сечения, что и скручиваемый стержень. Гринхилл указал на то, что функция напряжений математически тождественна функции тока при движения идеальной жидкости, циркулирующей с постоянной интенсивностью вихря в трубе того же сечения, что и стержень.

Для получения простейшего нелинейного уравнения движения в теории упругости необходимо использовать выражение для упругой

энергии изотропного тела в третьем приближении. Наиболее общий вид скалярного выражения, содержащего члены второй и третьей степеней по компонентам деформации, есть [2]

„ 2 I К ¿и] 2 а

Р ~ цєік +1 2 з у“ + з е1кейеы +

+ЩкЄи + ■у еи,

где ц, К - модули сдвига и сжатия; А, В, С -новые постоянные.

Уравнения движения записываются в виде =д,

дхк

где р 0 - плотность недеформированного тела, а компоненты тензора напряжений ал определяются как частные производные Е по соответствующим компонентам деформаций, причем Е записывается с желаемой точностью. Запишем, используя постоянные Ламе X и ц, выражение для единственной ненулевой компоненты напряжений <гх (одномерный случай):

стх = (Л + 2р)их + (3/2 Л + 3^ + А + ъв + С)и1-

Уравнение движения в этом случае имеет вид:

(2 + 2^ + (зл + вм + 2 Аиихх +

+(6В + 2С )иих = Рои„ или а и^ + р иихх = У и . В безразмерных переменных последнее уравнение при помощи

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.2013 «Математические модели и методы нелинейной динамики в задачах механики и экономики».

масштабных преобразований приводится к виду (1), когда а= р = у = 1.

Итак, рассмотрим безразмерное уравнение одномерной нелинейной динамической теории

упругости

U - и„ - UU = 0.

(1)

Это уравнение эквивалентно уравнению стационарного околозвукового течения газа [3]

V + VxVxx = 0. (2)

В самом деле, если положить V = -(V + x), то (1) точно переходит в (2).

Главным математическим достоинством уравнения стационарного околозвукового течения газа (2) является возможность его линеаризации методом годографа [4]. Метод годографа осуществляет преобразования, при которых зависимые и независимые переменные в рассматриваемом уравнении меняются ролями. Рассмотрим этот метод применительно к уравнению одномерной теории упругости (1).

Введем в рассмотрение деформацию ф = и/. и перепишем (1) в виде

Фи - (ФФх +Фж )* = 0.

Это классическое уравнение смешанного типа. Принадлежность к области эллиптичности или гиперболичности определяется знаком выражения (ф +1). Большинство прикладных задач теории упругости решено в предположении о малости деформаций Ux (малость ф, ф< 1). В этом случае ф +1 всегда положительно, и уравнение (8) является строго гиперболическим.

При решении задач физически нелинейной теории упругости часто постулируется степенная зависимость между напряжениями и деформациями [5]. Например, в случае кубической зависимости (a = s + ks3, k = const), получается следующее одномерное уравнение движения в перемещениях

U - U„ - UtU = 0.

(9)

(3)

Для дальнейших преобразований удобно заменить уравнение (3) равносильной системой уравнений первого порядка

ф = К ,ф + 1ф = V. (4)

Считая х, і функциями ф и V, получим следующие дифференциальные операторы:

дф = Хфдх + іфд,, дг = Худх + Д. (5)

Якобиан Б преобразования координат равен

В = х, + х .

ф V V ф

В соответствии с правилом Крамера из (5) сразу определяются операторы дх и д,:

дх = в в \ 8,=е^2вг,, (6)

где В = 1ф - 1,,2 = xфдv - ф.

Действуя операторами (6) на систему (4), получаем новую систему уравнений

= ф хф= (ф + 1)К. (7)

Из последней системы с использованием преобразования Лежандра р = х, Е =,, получается линейное уравнение второго порядка для функции Е:

(ф + 1)Е„ - Рфф= 0 . (8)

Заметим, что такому же уравнению удовлетворяет функция Т.

Уравнение (8), называемое уравнением Три-коми, досконально изучено в газовой динамике.

Уравнение (9) также линеаризуется методом годографа. Вместо уравнения (8) здесь получается уравнение

(ф2+ 1)Е - ^ = 0. (10)

Рассмотрим теперь линейную неоднородную теорию упругости. Будем считать упругие свойства среды переменными по пространственной координате: G(х) = G0/(х), /(х) - некоторая функция, О0 отождествляется с Л + 2ц или с ц для моделирования распространения соответственно продольных или сдвиговых волн. Тогда безразмерное уравнение движения будет иметь вид

[/ (х)их ]х = иа. (11)

Заменим (11) равносильной системой уравнений первого порядка

/(х)их =т, и, = Жх (12)

Второе уравнение системы (12) тождественно удовлетворяется, если положить

и = 4, ^ = ц.

Тогда первое уравнение (12) принимает вид линейного уравнения второго порядка для функции Ь:

/(х)Цхх = ц или 8(х)Ц = цхх , (13)

где 8(х) = /(х)-1.

Уравнение (13) называют уравнением Чаплыгина. Оно часто встречается в задачах газовой динамики. Заметим, если 8(х) = 1 + х (неоднородность имеет вид / (х) = (1 + х)-1), то (13) совпадает с уравнением (8), полученным из квадратичного варианта теории упругости. Выбор 8(х) в виде 8 (х) = 1 + х2 (неоднородность

вида /(х) = (1 + х2) 1) приводит (13) к форме,

совпадающей с (10), полученной для кубического варианта зависимости напряжений от деформаций. Неоднородности указанных выше видов часто встречаются в задачах теории упругости неоднородных тел [6]. Заметим, что уравнение (13) получено на физической плоскости, в то время как (8) и (10) соответствуют плоскости годографа.

Уравнение специальной нелинейной одномерной теории упругости имеет вид [7]:

[/(и)их \ = и, (14)

где /(и) - произвольная функция.

Уравнение (14) эквивалентно системе уравнений первого порядка

/ (и и = V, и, = Vx.

Стандартное преобразование Лежандра и=Ьх, У=Ь1 позволяет получить уравнение для функции Ь:

/Ц Ц = Ц . (16)

Аналогия уравнения (16) с уравнениями (1) и (9) очевидна. Принимая / в виде

/(Ц) = 1 + аЦ +рЬ2х,(а,Р<Е К), получаем (1), (9) или их комбинацию.

Рассмотрим теперь простейший нелинейный вариант плоской динамической теории упругости. Исследуем случай, когда вектор перемещения лежит в плоскости хОу. Проанализируем эволюцию пучка продольных волн, распространяющегося вдоль оси х . Уравнения движения в перемещениях в данном случае имеют вид:

и = и0 +еЦ +..., V = е(V +¿V +...). (20)

Выбранная асимптотика (19), (20) сответ-ствует случаю, когда возмущение распространяется в постоянной скоростью С вдоль оси X , медленно изменяясь в направлении оси Т и во времени.

Введение тем или иным способом новых переменных (19), (20) является основой метода многих масштабов [8], используемого для вывода модельных уравнений. На этом этапе отделяются главные эффекты от второстепенных при волновом движении. Подставляя (19), (20) в (17), (18), получим в низшем по е порядке

рС2ио« - (Л + 2М)иоа = 0

(21)

(15)

(рС2 -луш-ийй= 0. (22)

Из (21) определяется скорость С, а из (22) -связь между сдвиговыми деформациями в пучке:

(23)

(24)

С2 = (Л + 2ц) / р, и = Л + лу

и с л "0

(17)

(18)

риа - (Л + л)(иXX + Ухт ) --л(ихх + итт ) - аихиXX = 0,

рУ„- (Л + м)(Утт + и^) -

-л(VXX + ^ ) = 0

где р - плотность среды, а - коэффициент нелинейности, а = 3Л + 6ц + 2 А + 6В + 2С

(Л, л - постоянные Ламе; А, В, С - константы Ландау). Для простоты в (17) удержано лишь нелинейное слагаемое, определяющее эффекты вдоль распространения пучка.

Введем в рассмотрение новые независимые переменные и разложения зависимых переменных по степеням малого параметра е, характеризующего отношение максимальной амплитуды А перемещения и к длине волны I:

% = X - С,, г/ = еТ, т = е,, (19)

Из соотношения (23) видно, что возмущение распространяется со скоростью, равной скорости продольных волн в неограниченной упругой среде.

В первом нелинейном по е приближении уравнение (17) имеет вид:

(рС2 - Л-2Л)и1?? -(Л+ ц)¥0^ -

-ци0т - аи0^и0Ц - 2рСи0^т = 0.

С использованием (23), (24) последнее уравнение запишется в виде:

и0^+ри0и^+уи0т= 0, (25)

гдер = а/ (2рС), у = ц/(рС).

Таким образом, на первом этапе применения метода многих масштабов определяются скорость возмущения и соотношения между деформациями в волновом пучке. На втором этапе полученная информация позволяет получить эволюционное уравнение для главного члена разложения искомой зависимой переменной. В этом специфика данного метода применительно к задачам волновой динамики.

Уравнение (25) совпадает с уравнением Линя - Рейснера - Тзяна [9], описывающим нестационарное околозвуковое течение газа.

С другой стороны, уравнение (25) эквивалентно уравнению Заболотской - Хохлова [10], описывающему распространение «узких пучков» в акустике:

иихх + их - иХт + и22 = 0 .

Пусть и = фх. Тогда

(фхфхх - фхт^ = °.

Интегрируя последнее уравнение по х , получаем уравнение, совпадающее с (25).

Итак, в рассматриваемом приближении одно и то же уравнение (25) моделирует эволюцию слаборасходящегося пучка продольных волн в упругой среде, нестационарное околозвуковое течение газа и распространение «узких пучков» в акустике. Эта аналогия отражает внутреннее единство задач нелинейной механики.

Рассмотрим теперь кубически-нелинейное эволюционное уравнение

Voч+аVo2тVo^+рVovv= 0, (26)

которое было получено для квазиплоской сдвиговой волны в среде с наследственностью [11], а также для сдвиговой волны в физически нелинейной цилиндрической оболочке Кирхгофа-Лява [12]. Обычно при его анализе исходят из того, что в системах с кубической нелинейностью эффект самовоздействия часто преобладает над эффектом генерации высших гармоник. Это позволяет искать решение уравнения в виде одной гармоники с медленно меняющейся комплексной амплитудой (В):

V = В(%,ц)ехр(-1б)т) + к.с. (27)

Подстановка (27) в (26) позволяет получить для амплитуды В нелинейное уравнение Шре-дингера (НУШ):

-ШВх + рВт -ао/ |В|2 = 0. (28)

Получаемые методом обратной задачи рассеяния солитонные решения уравнения (28) хорошо известны. Однако переход от (26) к (28) через представление (27) не является единственно возможным. В действительности волновой процесс сложнее, и для его качественного анализа здесь уместно использовать теоретикогрупповые методы. Ниже будет найдена группа классических симметрий уравнения (26) и обсуждены его некоторые редукции. Масштабными преобразованиями (26) приводится к виду (29), когда а= р = 1. В дальнейшем будем работать с уравнением (26) в форме

Vх + VXVхх + Vтт = 0 . (29)

Искомый инфинитезимальный оператор группы симметрий имеет следующий вид:

X = т(\,, х, уу)д, + %(,, х, у, у)д х +

+ф, х, у, у)дг + ф(,, х, у, у)д¥,

где т,4,Л,ф - коэффициенты векторного поля X, являющиеся функциями независимых и зависимой переменных. Для их отыскания можно воспользоваться инфинитезимальным критерием инвариантности [12]. Нужно подействовать на уравнение (29) дважды продолженным оператором X и, сгруппировав члены при одинаковых степенях V, потребовать их одновременного обращения в нуль. Эти сгруппированные члены обычно имеют вид линейных уравнений в частных производных не выше второго порядка и образуют так называемую «определяющую» систему. Описанная процедура характеризуется механическими, но чрезвычайно громоздкими вычислениями, поэтому здесь целесообразно воспользоваться одной из систем аналитических вычислений для генерирования определяющей системы и проинтегрировать ее.

Итак, определяющая система уравнений имеет вид:

Тх =тг =Тк =та = 0, (30)

4=4 =4XX = 4х, = 0, (31)

Лх = Лк = Л» = 0, (32)

фх =фхт =фтт = 0 , (33)

Л + 24 = 0 , (34)

2Лт-4х-т, = 0 , (35)

2фк -34х + т, = 0 . (36)

Из (30) сразу следует линейность т по , и независимость от остальных переменных. В соответствии с соотношениями (31), (32), (34), (35) 4 - линейна по x и у и не зависит от v и t, Л - линейна по у и t и не зависит от x и v. Отсюда коэффициенты векторного поля X должны иметь следующий вид:

т = а+Ь,

4 = сх + ёу + е ,

Л = 0.5(а + с) - 2ё + /, ф = 1.5(с - а) + g(t)у + Щ),

где a, Ь, c, d, є, f - вещественные постоянные, g(t), ^і) - произвольные функции t. Таким образом, алгебра Ли операторов симметрии уравнения (29) восьмимерна и порождается операторами

х =д,, х2 =дх, хз =дг, х4 = И(,)8к ,

х5 = g(t)У8К , х6 = У8Х - 2,8Г ,

х = ,д( + 0.5уду - 0^ду,

X = хдх + 0.5удг +1 ^ду.

Теперь, имея явный вид операторов симмет-

рии, можно обсудить некоторые редукции уравнения (29).

Инвариантное решение на подгруппе

х2 + хз ищем в виде V = V(,, г), г = у + х. В

этом случае (29) принимает вид

V + V2V + V = 0

К ,2 + г Іг II + г II 0 ■

Вводя обозначение Уг = ф12, получаем для ф уравнение

ф +ф2 +фф2 = 0 . (37)

При переходе к координатам т =, ,4 =, - г уравнение (37) принимает вид уравнения волны Римана

фт-фф4= 0 .

Единственным физическим эффектом волны Римана является ее опрокидывание. Для нас это означает, что при распространении сдвиговых волн в тонкостенных конструкциях возможно образование ударных волн деформации.

Инвариантное решение на подгруппе х1 + хз будем искать в виде V = V(х, г), г = у +,. Уравнение (29) принимает вид:

V;E + Vх2Vхх + VII = 0 . (38)

Введем новую переменную ф = V- и перепишем (38):

(ф2 +ф фх )х + фгг = 0 .

Последнее уравнение представимо в виде равносильной системы уравнений первого порядка

Фх =¥z ,

I-Х, + Ф2 Z,= ХФ> { ~Х,= ^

Из (40) получается линейное уравнение

Ф2Zunu + Zи,Ф + ZФФ= 0 •

околозвуковой газовой динамики, где подобные явления хорошо изучены, уравнения теории упругости, эллиптические в статических задачах и гиперболические в динамике, до сих пор практически не исследовались. По-видимому, только численный эксперимент позволит судить о том, что происходит с решением, когда сдвиговая деформация близка к 1 / 2. Попутно заметим, что линеаризуемость уравнения (38) методом годографа равносильна его инвариантности относительно бесконечной группы Ли - Бэк-лунда, порожденной операторами X = 2 V V )ду +..., где Z - произвольное решение уравнения (41).

Рассмотрим теперь автомодельное решение, т.е инвариантное решение, построенное на группе X7 + х8. Соответствующий инфините-зимальный оператор имеет вид

X7 + Xg = ,д( + хдх + удт + уду.

Решение в данном случае можно искать в виде

V = хф(%,л), % = х 1 у, л = х^г.

Уравнение (29) в новых переменных записы-

вается в виде

гфj

-пфт- ф2фф(Ф -Ф - лФл) -

(39)

I ф = -Ух.

Меняя в системе (39) местами зависимые и независимые переменные (X = X (ф,у),

2 = 2(ф, у) - преобразование годографа), получаем систему

-Л2фщ(ф -%ф% -ф -

-2%лФ(л(Ф-%Ф( -ф = °-

Введя в рассмотрение формальный малый параметр е, представим ф в виде разложения по степеням е:

ф = &ф§ + е ф +...

В низшем по е порядке возникает уравнение смешанного типа

ф0%% %ф0%л -Лф0пп = 0.

(40)

(41)

Уравнение (41) является гиперболическим, параболическим или эллиптическим в зависимости от знака дискриминанта Д, который в данном случае равен

Д = 1/4-ф= 1/4 - V2.

Таким образом, при достижении безразмерной сдвиговой деформацией значения 1/ 2 , происходит смена типа уравнения. В отличие от

Дискриминант Д в данном случае равен

л Ф 1

Д = — + л = —— + x t.

4 4

Поверхность параболичности, соответствующая Д = 0, описывается уравнением y2 + 4xt = 0. Заметим, что таким же уравнением описывается единственный инвариант оператора симметрии Х6. В самом деле, Х6 = ydx - 2tdr, и из интегрирования характеристической системы dx / y = -dy / (2t) имеем y2 + 2xt = const.

Проведенный анализ показал, что уравнение (29) допускает существование таких режимов,

при которых возможно образование солитонов НУШ и ударных волн деформаций. Оценка влияния смены типа уравнений на волновой процесс является самостоятельной задачей для дальнейших исследований.

Список литературы

1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

3. Фалькович С.В. К теории сопла Лаваля // ПММ. 1964. № 10. С. 503-512.

4. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. 208 с.

5. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961. 768 с.

6. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: МГУ, 1976. 368 с.

7. Ames W.F., Adams E., Lohner R.J. Group pro-

perties of solids Utt = [ f (U)Ux ]x // Int. J. Non-linear Mech. 1981. V. 16, № 5/6. P 439-447.

8. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М: Мир, 1972.

9. Тзян Х.Ш., Лин Ц.Ц., Рейснер Е. О двумерном неустановившемся движении тонкого тела в сжимаемой жидкости // Газовая динамика. М., 1950. С. 181196.

10. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акуст. журнал. 1960. Т. 15. Вып. 1. С. 40-46.

11. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиоптиче-ское приближение для пучка сдвиговых волн в наследственной среде // Прикл. мех. и техн. физика. 1986. №1. С. 144-147.

12. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов. 1999. 157 с.

13. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

QUALITATIVELY INVESTIGATING EQUATIONS OF NONLINEAR WAVE DYNAMICS IN THE THEORY OF ELASTICITY, HYDRO-GAS DYNAMICS AND ACOUSTICS

V.I. Yerofeyev, AI Zemlyanuhin, O.S. Fedorova

Using the multi-scale asymptotic method, an equation modeling the propagation of nonlinear excitations in elasticity, gas dynamics and acoustics is derived. Square nonlinear evolution equation modeling the propagation of shear waves in continua is investigated using group analysis.

Key words: wave dynamics, nonlinear waves, group analysis, asymptotic methods.