CC BY
10УДК 531.36
К ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО МАНЕВРА БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПРИ АЭРОФОТОСЪЕМКЕ МЕСТНОСТИ
Степанов А. В., доктор технических наук, профессор;
Академия биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «КФУ имени В. И. Вернадского»
В часто встречающейся при аэрофотосъемках задаче управления беспилотными летательными аппаратами рассматривается проблема получения коэффициентных (алгебраических) критериев устойчивости движений в режиме пространственного маневра при убывающих: угловой скорости тангажа и угла скольжения; и возрастающих: угловой скорости крена и рыскания и угла атаки. Задача актуальна в аэрофотосъемках участков поверхности земли, например при осуществлении геодезических работ, для получения снимков с минимальными искажениями.
Ключевые слова: режим пространственного маневра, устойчивость, конус пространства переменных, коэффициентные критерии.
TO THE PROBLEM OF STABILITY OF SPATIAL MANEUVER OF UNMANNED AERIAL VEHICLE IN AERIAL TERRAIN AERIAL PHOTOGRAPHY
Stepanov A. V., Doctor of Technical Sciences, Professor;
Academy of Life and Environmental Sciences FSAEI HE «V. I. Vernadsky Crimean Federal University»
In common in the aerial photography control problem of unmanned aerial vehicles, the problem of obtaining the coefficient (algebraic) criteria of stability of motion in the spatial mode maneuver when departing: angular velocity of pitch and angle of sideslip; and increasing: the angular velocity of roll and yaw and angle of attack. The challenge in the aerial parts of the surface of the earth, for example in the implementation of geodetic works to capture images with minimal distortion.
Key words: spatial mode of maneuver, stability, cone space variables, the coefficient criteria.
Введение. В настоящее время БПЛА широко внедряются в область сельского хозяйства. Одним из передовых направлений, в которых применяются дроны является создание интерактивных карт. В них может содержаться не только графическая информация, но и побочные данные, полученные с сопряженных спутниковых систем, содержащие точные координаты необходимые при повторных полетах. На основании полученных с подобных карт данных владелец фермерского хозяйства или доверенное лицо может оценить состояние полей в целом и отдельных их участков, проверяя такие показатели, как: увлажненность почв, ущерб, нанесенный вредите-
26
лями, необходимость внесения удобрений. БПЛА применяются также для опрыскивания полей химикатами. Преимущество - отсутствие человека - повышает требования к динамическим характеристикам: при съемках поверхности земли возникают смазывание, дефокусирование, зашумление снимков при совершении маневров.
Способность летательного аппарата (ЛА) изменять скорость по величине и направлению определяет его маневренность, показателем которой является время при заданном изменении параметров движения [1]. В общем случае маневры ЛА являются пространственными. При этом важно заметить, что в литературе, например в [2], анализ показателей таких движений рассматривается в двух упрощенных вариантах: криволинейный полет в горизонтальной плоскости и вираж; маневр в вертикальной плоскости и пикирование.
Наличие симметрии ЛА дает возможность рассматривать его пространственное возмущенное движение как совокупность двух независимых движений: продольного и бокового при малом угле атаки, без крена и скольжения, при этом возмущающие воздействия незначительны (малы) [3].
Материал и методы исследований. Изучение продольного и бокового возмущенных движений связано с двумя важными понятиями: устойчивости и управляемости. Для исследования этих характеристик ЛА записываются уравнения движения центра масс в траекторной форме и уравнения движения относительно центра масс - в связанной системе координат. В итоге модель, описывающая движения, представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить невозможно. Однако для получения коэффициентных критериев устойчивости можно применить метод функций Ляпунова А. М. и его модификации, не прибегая к непосредственному получению решения.
Результаты и обсуждение. 1. Модель пространственного маневра ЛА. Для исследования устойчивости и управляемости ЛА кинематические, геометрические и динамические уравнения движения центра масс и кинематические и динамические уравнения движения относительно центра масс рассматриваются в системе, которая, как отмечено выше, является системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Далее обычно применяются численные методы для получения приближенных решений, основанные на предварительной линеаризации системы [4].
В [5] приводятся уравнения пространственного маневра ЛА в установившемся режиме, которые имеют вид:
(1)
<Ьу = М ур + М уУо)у + В1Х0)хЫу + М уГ8г й).Л = М "а + — Ацш-^шу +
27
Здесь а - угол атаки; в - угол скольжения; юх - угловая скорость крена; юу -угловая скорость рыскания; - угловая скорость тангажа. При этом
где Jz - моменты инерции летательного аппарата; ц - относительная плотность; коэффициенты аэродинамических сил; М* - коэффициенты аэродинамических моментов; ёг, ё1 и 6а — отклонения руля высоты, направления и крена соответственно.
После подстановки в уравнения закона стабилизации
3, = К?а + К>г; 8Г = + 5а=К.^р + ~К.хаб>х,
где К; - кинетические моменты, и введения обозначений:
получим систему дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями и постоянными коэффициентами:
(2)
2. Исследование устойчивости. Применение второго метода Ляпунова дает возможности получения параметрических критериев устойчивости, связывающих параметры системы с конструктивными параметрами, без предварительного получения решения системы, описывающей процесс.
В [5] был рассмотрен случай асимптотической устойчивости по х4 и х5 и устойчивости по остальным переменным х1, х2 и х3. Здесь рассматривается случай, когда летательный аппарат осуществляет маневр при возрастающих: угловой скорости крена и угла атаки, и убывающих: угловой скорости тангажа и угла скольжения. Следуя [6], область, совпадающую с некоторым координатным углом пространства переменных, будем называть конусом и обозначать: К{а10,а20,...,ап0}, где аю - элементы некоторого базиса {аю}, принимающие значения ±1, и при этом:
Траектории системы будут находиться в юнусе К {1,1,-1,1,-1} при условиях, что
^34-^4 ^312^1^2 — ^ , (3)
аг44х4 + а415х1х5 > О йг55х5 +д514х1х4 < О
и не будут покидать пределов общей части пространства, определяемой конусом и соотношениями (3), с течением времени. Это возможно, например, при условии, что а15, а34, а43, а52- отрицательны. Применяя для изучения свойств устойчивости траекторий системы (1) в области (3) конуса К{1,1,-1,1,-1} квадратичную форму
с коэффициентами в-, обеспечивающими ее положительную определенность в конусе К{1,1,-1,1 , - 1 }, можно получить коэффициентный критерий устойчивости маневра при условиях:
а) отрицательной определенности квадратичной формы:
где Рх =аи,р2 = а22-а52,р3 = -аъз+ам,р4 = а44-а4Ъ,р5 =-а55 +а15 +я25; и
б)
где ср(х) = а123х2х3 +х1(а415х5 - а514х4 + а213х3 - а321х2)> 0. Это возможно, например, при
Кроме того, если:
2Х«/0х;>0, (4)
то при сделанных предположениях относительно коэффициентов системы асимптотическая устойчивость в целом для рассматриваемой области возможна только при:
так как в этом случае
5 5 5
Щх) = У;/:,Х;У< +Р(х)^Суа}■йх] <0,
где
3. Критерий. Критерии устойчивости получаются при обратной подстановке исходных величин в соотношения, полученные выше (п. а и б). Из условий будем иметь:
или
ц-! - туо>7 цсох
о/ у
¡З + а
■ ~ Л--Л
7 У >
- + —-СО,,
ч]' «/ у
Л,
>0.
После сокращения на - ^ и приведения подобных:
\ 3X
Аналогично получим:
+ \«>/о7 - ^ 0)х0)г + (а + рУох < 0.
^ их ) У
(5)
(5)
В частном случае (4):
и
1®д- + -су/,)1 + с44а - с55Р < 0.
(6)
(7)
Наиболее распространенной областью применения БПЛА является получение отофотопланов для целей картографирования, постановки на кадастр и т. п.
30
В настоящее время активно производятся разработки по автоматизации таких работ, например совместная разработка Autodesk, 3D Robotics, Kimley-Hom в США - платформа Solo и продукт Site Scan. Система с использованием дрона и специального ПО может автономно обследовать местность и формировать 2D и 3D карты и модели местности, а также поддерживать on-line карты, для чего осуществляется сбор данных в режиме реального времени.
Для целей картографирования БПЛА осуществляет движение над местностью вдоль траекторий, показанных на рис. 1 (а, б, в).
а) б) в)
Рисунок 1. Съемка участков местности с БПЛА
Вдоль траекторий имеются участки разворотов, где осуществляется маневр с рассмотренными выше параметрами. За счет конструктивных, кинематических и аэродинамических параметров БПЛА можно релаксировать снижение качества изображений и неминуемые их искажения (соответственно, ускорить работу алгоритмов обработки изображений) вследствие малых движений камеры на разворотах.
На рис. 2 показана съемка местности, где имеет место искажение за счет меняющегося угла атаки БПЛА, и результат после обработки.
Рисунок 2. Съемка и обработка снимков, полученных с искажением за счет меняющегося угла атаки (взято из сети Интернет в открытом доступе)
Выводы. Приведенные выше результаты могут быть применены для разработки методов внешнего проектирования беспилотных ЛА, которые основыва-
31
лись бы на использовании комплексных критериев, связанных с оптимизацией конструктивных параметров ЛА математических моделей, имитирующих его функционирование в различных ситуациях, при совершении различных маневров [7]. Поэтому получение алгебраических критериев устойчивости для различных известных наборов маневров ЛА (базы типовых маневров), связывающих кинематические, аэродинамические и конструктивные параметры, является в определенной степени актуальной задачей при разработке методов проектирования устройств, осуществляющих движения в автоматическом режиме в отсутствии активного управления. Это важно на этапе внешнего проектирования БПЛА.
Список использованных источников:
1. Баланкин В. Л., Лазарев Ю. Н. Динамика полета самолета. Расчет траекторий и летных характеристик / В. Л. Баланкин, Ю. Н. Лазарев. - Самара: Изд. Самарск. гос. аэрокосм. ун-та им. С. П. Королева, 2011. - 56 с.
2. Аэродинамика и динамика полета магистральных самолетов / под ред. Бюшгенса Г. С. - М. - Пекин: Изд. отдел ЦАГИ, 1995. - 772 с.
3. Чепурных И. В. Динамика полета самолетов. - Комсомольск-на-Амуре: ФГБОУ ВПО КнАГТУ, 2014. - 112 с.
4. Гулай Т. А., Литвин Д. Б. Методика линеаризации уравнений пространственного движения самолета // Инновации в науке: сб. ст. по матер. VI междунар. науч.-практич. конф. -Новосибирск: СибАК, 2012.
5. Аминов А. В., Сиразетдинов Т. К. Метод функций Ляпунова в задачах полиустойчивости движения // Прикладная математика и механика. -
1987. - Т. 51, вып. 5. - С. 709-716.
6. Персидский С. К., Степанов А. В. О применении форм произвольного высокого порядка в качестве функций Ляпунова // Динамические системы. -
1988. - Вып. 7. - С. 89-95.
References:
1. Balankin V. L., Lazarev Yu. N. flight dynamics of the aircraft. Calculation of trajectories and flight characteristics / V. L. Balankin, Yu. N. Lazarev -Samara: Ed. Samara. state aerospace. UN-t nam. S.P. Korolev, 2011. - 56 p.
2. Aerodynamics and flight dynamics of the main aircraft / edited by Byushgens G. S. - Moscow-Beijing: Publishing house. Department of TSAGI, 1995. - 772 p.
3. Chepurnykh I. V. flight Dynamics of the aircraft. - Komsomolsk-on-Amur: KnAGTU VPO, 2014. - 112 p.
4. Gulai T. A., Litvin D. B., the method of linear equations of spatial motion of aircraft // Innovations in science. VI international. scientific.-practical. Conf. - Novosibirsk: SiBak, 2012.
5. Aminov A. V., Sirazetdinov T. K. the Method of Lyapunov functions in
problems of politicised movement // journal of Applied mathematics and mechanics. - 1987. - Vol. 51, vol. 5. -P. 709-716.
6. Persian S. K., Stepanov A. V. on the application of high-order forms as Lyapunov functions // Dynamical systems. - 1988. - Vol. 7. - P. 89-95.
32
7. Киселев М. А. Алгоритм автоматизации разворота самолета, выполняемого с максимальной угловой скоростью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2007. - № 5. -С.150-160.
Сведения об авторе:
Степанов Андрей Валерьевич -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой системного анализа и информатизации Академии биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «КФУ имени В. И. Вернадского», e-mail: abc17101@yandex.ru, 295492, п. Аграрное, Академии биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «КФУ имени В. И. Вернадского».
7. Kiselev M. A. an Algorithm for the automation of the reversal of the aircraft, to be performed with a maximum angular velocity // Izv. Theory and control systems. - 2007. - № 5. - P. 150-160.
Information about the author:
Stepanov Andrey Valerievich -Doctor of Technical Sciences, Professor, the head of system analysis and informatization department of Academy of Life and Environmental Sciences FSAEI HE «V.I. Vernadsky Crimean Federal University», e-mail: abc17101@yandex.ru, 295492, Republic Crimea, Agrarnoe, Simferopol.
33
