К задаче о диверсификации рубля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2018. Том 51

УДК 517.863

© Н. Н. Петров, Н. В. Петрова К ЗАДАЧЕ О ДИВЕРСИФИКАЦИИ РУБЛЯ

Рассматривается задача распределения некоторой суммы в рублях на рублевый и заданное число валютных депозитов с целью получения максимального дохода в рублях в конце срока хранения. Предполагается, что лицо, принимающее решение, не знает курсов валют в конце срока хранения и ориентируется только на некоторые границы их возможных изменений. Решение данной задачи зависит от выбора принципа оптимальности. В работе найдены гарантированное по исходам решение, игровое решение по Нэшу. Показано, что задача о нахождении гарантированного по рискам решения является задачей линейного программирования. Для некоторых частных случаев аналитически найдено гарантированное по рискам решение.

Ключевые слова: неопределенность, риск, исход, максимин, равновесие по Нэшу, диверсификация вкладов.

Б01: 10.20537/2226-3594-2018-51-05 Введение

Принятие решений — вид человеческой деятельности, направленный на выбор способа достижения поставленной цели. При этом довольно часто решение необходимо принимать в условиях неопределенности, то есть при недостатке информации. Для решения данного класса задач предложено достаточно большое число подходов: критерий Вальда, критерий Гурвица, критерий Сэвиджа и многие другие.

В работе (см. [1, с. 117]) рассмотрена задача о распределении единичного вклада в рублях по двум депозитам (рублевому и валютному) с целью получения в конце срока хранения максимальной суммы в рублях. Особенностью данной задачи является наличие неопределенности — отсутствие информации о курсе валюты в конце срока хранения. В качестве принципов оптимальности рассматривались принцип гарантированного по исходам решения и критерий Сэвиджа. В работах [2-4] рассматривались другие подходы к решению задачи о диверсификации рубля по двум вкладам. Работы [5,6] посвящены решению задачи о диверсификации рубля по трем вкладам.

В данной работе рассматривается задача о диверсификации рубля по рублевому и заданному числу валютных вкладов. В качестве принципов оптимальности используются принцип гарантированного по исходам решения, принцип Сэвиджа и игровое решение по Нэшу.

§ 1. Постановка задачи

Лицо, принимающее решение (ЛПР), имея свободные денежные средства в рублях (принимаем весь объем денежных средств за единицу), хочет распределить их по п + 1 депозиту (рублевому и п валютных) так, чтобы в конце одного срока хранения общая сумма денежных средств в рублях была «наибольшей».

Пусть I = {1,... ,п} — номера валют, йг — процентная ставка по г-й валюте, Кг — курс г-й валюты в рублях в начале срока хранения, уг — курс г-й валюты в рублях в конце срока хранения, г — процентная ставка по рублевому вкладу, Хг — доля денежных средств в рублях,

г

Тогда в конце срока хранения ЛПР будет иметь сумму, равную

тг/ л ,Л . л/-, л . Х1(1+ Й1)У1 Хп(1+ й,п)Уи

Н(х, у) = (1 + Г)(1 -XI- ...~хп) +---+ • • • +---,

К1 Кп

где х = (Х1,...,ХП), у = (у1,...,уп).

Для вкладчика требуется определить доли Х1,..., Хп, при которых итоговая сумма Н(х, у)

у1 , . . . , уп

срока хранения ЛПР неизвестны. Будем предполагать, что ЛПР может принимать решение

на основании знания пределов изменения величин у г, то есть считаем, что заданы числа Лг, Бг такие, что уг € [Лг ,Бг].

Представим функцию Н в виде

и/ \ /л , лГп \ . Х1(1 + <1{)ул Х„(1 + йп)Уп!

Н(х,у) = (1 + г)[(1-х1-...-хп) + {1 + г)К1 +■■■+ {1 + г)Кп].

Обозначим

_ (1 + <1г)Уг _ (1 + йг)А1 _ (1 + сЦЩ

— , _ х ^ , — , _ х ^ , 04 —

(1 + r)Ki' i (1 + r)Ki' i (1 + т)Щ' О = {x = (xi, ...,Xn) I Xi ^ 0, xi + ...Xn = 1}, U = {u = (ui, ...,Un) I Ui € [ai,bi]}.

Рассмотрим функцию

f (x, u) = (1 - Xi - ... - Xn) + XiUi + ... + XnUn.

Получили, что целью ЛПР является выбор такого набора x € О, для которого величина f (x, u) принимает «наибольшее» значение, при это м о величинах ui,...,un известно только, что ui € [üi, bi].

§ 2. Гарантированное по исходам решение

Определение 2.1. Вектор x* = (x|,..., xn) € О называется гарантированным по исходам решением, если

min f (x*,u) = maxmin f (x,u).

Замечание 1. Гарантированное по исходам решение x* имеет следующий смысл. Пусть ЛПР выбрал вариант x € О. Тогда в самой неблагоприятной для него ситуации в конце срока хранения его сумма будет равна g(x) = min f (x, u). Поэтому ЛПР может выбрать такой вектор x*, при кото-

uEU

ром функция g достигает максимума на множестве О. Следовательно, min f (x*, u) — та максимальная

uEU

сумма, которую может получить ЛПР независимо от сложившейся ситуации.

В силу постановки задачи считаем, что все üi ^ 0. Пусть щ = max üi.

i

Теорема 2.1. Пусть щ ^ 1. Тогда, гарантированное по исходам, решение x* имеет вид X* = 0 для всex i € I.

Доказательство. Так как xi ^ 0 для всех i € I, то

n

g(x) = min f (x, u) = (1 — x1 — ... — xn) + x1ü1 + ... + xnün = 1 + / (%• — 1)xj.

j=1

n

Из условия щ ^ 1 следует, что üi — 1 ^ 0 для всех i € I. Поэтому ^ (üj — 1)xj ^ 0 для всех

j=i

X € О. Отсюда g(x) ^ 1 = g(0) для всех x € О. Теорема доказана. □

Замечание 2. Из теоремы 2.1 следует, что если üi ^ 1 для вс ex i € I, то ЛПР рекомендуется все средства положить на рублевый депозит.

Теорема 2.2. Пусть üi > 1, I* = {j ( üj = щ}. Тогда, гарантированное по исходам,

решение x* имеет в ид x* = 0, если j / I*, и ^ x* = 1. В частности, если I * = {I}, то x* = 1

j €I *

и x* = 0 для вс ex j = I.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для всех x € О имеет место

n n n

g(x) = min f (x, u) = 1 + ^(üj — 1)xj ^ 1 + ^(üi — 1)xj = 1 + (üi — 1) ^ Xj = 1 + üi — 1 = üi.

j=i j=i j=i

Обозначим

Q* = {x € Q I xj = 0, j / I*, ^ xj = 1}.

je/*

Пусть x* € Q*. Тогда

g(x*) = 1 + ^ (aj — 1)x* = 1 + ^ (a — 1)x* = a^ ^ g(x) je/* j e/*

для всех x € Q. Следовательно, x* — гарантированное то исходам решение. Теорема доказана. □ Замечание 3. Из результатов предыдущей теоремы следует, что если a; > 1, то ЛПР рекомендуется все средства (в произвольной пропорции) вложить на те валютные депозиты номера которых входят в I*.

§ 3. Гарантированное по рискам решение

Введем функцию F: Q х U ^ R1 вида

F (x,u) = max f (z,u) — f (x,u).

zen

Определение 3.1. Вектор x* € Q называется гарантированным, no рискам, решением (решением, по Сэвиджу), если

min max F(x,u) = max F(x*,u). xen «eu «eu

ЛеммаЗ.1. Пусть щ ^ 0 для вс ex i € I. Тогда,

max f (z,u) = max{1,u1,... , un}.

zen

Доказательство. Если щ ^ 1 для всех i € I, то

ZiUi + ... ZnU« ^ Z1 + ... + Zn.

Поэтому f (z,u) ^ 1 для всех z € Q, причем f (0, u) = 1.

Пусть щ = max щ > 1. Тогда i

ZiUi + ... Znu« ^ Uz(zi + ... + Zn),

и поэтому для любого z € Q

f(z, u) ^ 1 — Zi — ... — Zn + Uz(zi + ... + Zn) = 1 + (щ — 1)(zi + ... + Zn) ^ 1 + щ — 1 = щ.

Кроме того, f (z*, u) = щ, где z* € Q такой, что z* = 0 для всех j = ¿и z* = 1. Лемма доказана.

□

Из доказанной леммы следует, что

F(x,u) = max{1,ui,... ,un} — f (x,u). (3.1)

Теорема 3.1. Пусть b ^ 1 для ее еж i € I. Тогда, гарантированное по рискам, решение x* имеет вид x* = 0 для ее еж i € I.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что max{1, ui,..., un} = 1 для всех u € U. Поэтому из (3.1) получаем, что функция F(x,u) представима в виде

F (x, u) = xi + ... + xn — xiui — ... — xn un.

Тогда

n

g(x) = maxF(x,u) = xi + ... + xn — xiai — ... — xnan = > xi(1 — ai). «eu '

i=i

Так как ai ^ bi ^ 1 для всех i € I, то g(x) ^ 0 = g(0) для всех x € Q. Следовательно, гарантированное по рискам решение x* имеет вид x* = 0 для всех i € I. Теорема доказана. □ Замечание 4. Из результатов теоремы 3.1 следует, что ЛПР рекомендуется все денежные средства вложить на рублевый счет.

Теорема 3.2. Пусть существует l € I такой, что bj ^ ai для всex j _ l и bi > 1. Тогда гарантированное по рискам, решение x* имеет вид

* = (0, если j _ l, * _ Го, если j _ l,

X j — \ X j — \

I 1, если j _ l и ai ^ 1, I x*, если j _ l и ai < 1,

где x* =

1 bi-ai

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для всех u € U

max{1, u1,..., un} _ max{1, ul}.

Если ai ^ 1, то

F(x,u) _ ui — f (x,u) _ -(1 — X1 — ... — Xn) — ^ Xjuj + ui(1 — xi).

j=i

Поэтому

maxF(x,u) _ —(1 — x\ — ... — Xn) — ^Xjaj + bi(1 — xi) _ — 1 + ^Xj(1 — aj) + bi + xi(1 — bi).

u€U j=i j=i

Так как 1 — aj ^ 0 для всех j _ l и 1 — bi < 0, то max F(x,u) ^ —1 + bi + 1 — bi _ 0 для всех x € Q.

Если x* € Q такой, ч то x* _ 0 для всех j _ lux* _ 1, то max F (x* ,u) _ 0. Следовательно,

x* — гарантированное по рискам решение.

Пусть ai < 1. Обозначим а = (ai,..., ап), х* = Тогда

Í1 — f(x,u), если ui €[ai, 1], F (x, u) _ max{1, ui} — f (x, u) _ <

I ui — f (x,u), если ui € [1,bi].

Поэтому

g(x) _ max F(x, u) _ max{1 — f (x, a), —f (x, a) + xiai + bi(1 — xi)} _

u£U

Í—f (x, a) + xiai + bi(1 — xi), если x € Q, xi € [0, x*], 1 — f (x,a), если x € Q,xi €[x*, 1].

Далее имеем

1 — f (x, a) _ xi(1 — ai) + ... + Xn(1 — an) > (1 — ai)x* для всех x € Q,Xi ^ x*. Аналогично: для всех x € Q,Xi ^ x*

—f (x, a) + xiai + bi(1 — xi) _ —1 + ^ Xj(1 — aj) + xi(1 — ai) + xia + bi(1 — xi) ^

j=i

> —1 + xi + bi(1 — xi) _ (1 — xi)(bi — 1) ^ (1 — x*)(bi — 1) _ x*(1 — ai).

Следовательно, g(x) ^ x*(1 — ai) для всех x € Q. Пусть z* € Q такой, что z* _ 0 для всех j _ l и z* _ x*. Тогда g(z*) _ x*(1 — ai). Значит, z* — гарантированное по рискам решение. Теорема доказана. □

Замечание 5. Из результатов теоремы 3.2 следует, что если a¡ < 1, то ЛПР целесообразно распределить все денежные средства между рублевым и валютным с номером l депозитами в пропорции (1 — х* ,x¡).

Следствие 3.1. Пусть a1 < b1 ^ a2 < b2 ^ ... ^ an-1 < bn-1 ^ an < bn, an-1 < 1, bn > 1. Тогда, гарантированное по рискам, решение x* имеет вид

* \0, если j _ n, * \0, если j _ n,

xj _ xj _

I 1, если j _ n и an ^ 1, I x*n, если j _ n и an < 1,

xn _

* _ bn—i

n bn-an

Справедливость следствия следует из теоремы 3.1.

Теорема 3.3 (см. [7, с. 40]). ж0 — крайняя точка множества

A = jieR" | (pi, ж) ^ а, i = 1,..., m}

тогда и только тогда, когда множество I(ж0 ) = {j | (pj , ж0 ) = aj} содержит подмножество I0 мощноети n и векторы {pj , j € I0} линейно независимы.

Введем следующие обозначения. exA — множество крайних точек множества A,

* Ьп—i Ъп ^ Ъп Ъп—\ __Ъп—\ о,п __Ъп &п—1

/у> - - /у> - - /у> Л - - /у> -

П—1 7 1 П 7 1 '-^П— 1 7 .7 1 ^п

7 7 П ^ ? ^П—1 7 . 7 ? ^П 7 . 7

Ьп—1 ап—1 Ьп ап Ьп—1 ап—1 + Ьп ап Ьп—1 ап—1 + Ьп ап

Л е м м а 3.2. Пусть ап—1 < ап < Ьп—1 < Ьп,

А = {х € Еп | Хп(Ьп - ап) - Хп—1(Ьп—1 - ап—1) ^ Ьп - Ьп—1} П П.

Тогда

ехА = {(0,..., 0,1), (0,... ) 0, Х'п— I , ),(0,... , 0,Хп)}.

Доказательство. Из теоремы 3.3 следует, что любая крайняя точка множества А имеет не более двух положительных координат. Отметим, что 0 / А, координаты Хп— 1,Хп не могут одновременно обращаться в нуль. Отсюда получаем требуемое. Лемма доказана. □

Л е м м а 3.3. Пусть ап—1 < ап < Ьп—1 < Ьп,

А = {х € Еп 1 Хп(Ьп - ап) - Хп—1(Ьп—1 - ап—1) ^ Ьп - Ьп—1} П П.

Тогда

ежА = {(0,..., 0), (1,0,..., 0),..., (0,..., 0,1,0), (0,..., 0, жга_ь хп), (0,..., 0, ж*)}. Доказательство данной леммы проводится аналогично доказательству леммы 3.2. Л е м м а 3.4. Пусть ап—1 < ап < Ьп < Ьп—1,

А = {х € Еп 1 Хп(Ьп - ап) - Хп—1(Ьп—1 - ап—1) ^ Ьп - Ьп—1} П П.

Тогда

ехА = {(0,..., 0), (1,0,..., 0),..., (0,..., 0,1,0,0), (0,... , 0,1), (0,... ,0,жга_ьжга), (0,... , 0, х*п_ъ 0)}.

Доказательство данной леммы проводится аналогично доказательству леммы 3.2.

Л е м м а 3.5. Пусть ап—1 < ап < Ьп < Ьп—1,

А = {х € Еп 1 Хп(Ьп - ап) - Хп—1(Ьп—1 - ап—1) ^ Ьп - Ьп—1} П П.

Тогда

ежА = {(0,..., 0,1,0), (0,... , 0, жга_ь хп), (0,..., 0, х*п_ъ 0)}. Доказательство данной леммы проводится аналогично доказательству леммы 3.2. Предположение 3.1. Справедливы неравенства Ь^ ^ ап— 1 для вс ех ] ^ п - 2 и

ап—1 < ап < Ьп Ьп— 1 > ап.

При выполнении данного предположения

^(х,и) = тах{1, ип—1, ип} - /(х,и).

Теорема 3.4. Пусть выполнено предположение 3.1, ап-1 > 1, Ьп > Ьп-1. Тогда гарантированное по рискам, решение х* имеет вид

{0, если ^ ^ п — 2, хп-1, если ] = п — 1, хп, если ] = п.

Доказательства № условия тееоремы следует, ч то Е (х, и) = тах{ип-1,ип} — f (х, и). Обозначим и1 = {и € и | ип-1 ^ ип}, и2 = {и € и | ип-1 ^ ип}. Тогда

. \ип-1 — f (х, и), если (х, и) € П х и1,

Е (х,и) = <

I ип — f (х,и), если (х,и) € П х и2.

Поэтому

g(x) = maxF(x,u) = max{-1 + x1 + ... + xn — V^ Xjaj + bn—1(1 — xn—1),

u€U —'

j =n-1

— 1 + xi + ... + x,n — xj aj + bn(1 — xn)}.

j =n

Неравенство

—1 + xi + ... + xn — xj aj + bn—1 (1 — xn-i) ^ —1 + xi + ... + xn — xj aj + bn(1 — xn)

j=n—1 j=n

верно тогда и только тогда, когда справедливо неравенство

xn(bn — an) — xn—i(bn—i — an—i) ^ bn — bn—i. (3.2)

Так как bn > bn—i, то x*n € (0,1), xn—i < 0. Пусть Qi = {x € ü для которых верно (3.2)}, Q2 = ü \ üi. Получаем, что

{ —1 + xi + ... + x,n — Y1 xj aj + bn—1(1 — xn—i), если x € üi

j=n— 1

— 1 + xi + ... + xn — xj aj + bn(1 — xn )^ЛИ x € Ü2.

j=n

Так как функция g является линейной на ü i, то ее минимальное значение достигается в крайней точке. Поэтому, учитывая лемму 3.2, получаем

min g{x) = min{6ra_i - an, -anxn + bn-i(l - xn-i), bn-i - 1 + ж* (1 - an)}.

Так как

CL'nXn bn—lXn—1 — Ct>n Хп—\(Ьп—\

TO

dnXn bn— l(l Xn— l) — bn— 1 Ct>n Xn— 1 (Ьп— 1 ^ bn— 1

Кроме того,

(bn—i — 1 + xn(1 — an)) — ( bn—i — an) = (xn — 1)(1 — an) > 0.

Поэтому bn—1 — 1 + xn(1 — an) > bn—1 — an. Следовательно,

min g{x) = bn-1 - an -xn-i{bn-i ~ an).

Аналогично: используя лемму 3.3, получаем

min g(x) = min{6ra - 1 ,bn - aj(j = 1,... ,n - 1), -anxn + bn-i(l -xn-i),

bn-1 - 1 +<(1 - (in)} = min{6ra - 1 ,bn- an-1, -anXn + bn-i(l -xn-i)}.

Так как an_i ^ 1, то — an-i ^ — 1 и

(lnXn ^n—l(l l) - bn—l ttn 0>n) ^ Ь'П—1 ^ГО ^ b'n ^n—

то min g(x) = —агажга + 6ra_i(l — Следовательно, пппд(ж) = —anxn + bn-\{1 —xn-\).

Теорема доказана. □

Замечание 6. Из результатов теоремы 3.2 следует, что ЛПР целесообразно распределить все денежные средства между валютными счетами с номерами п — 1, п в пропорции (ж„_1,жп).

Теорема 3.5. Пусть выполнено предположение 3.1, an-1 > 1, < bn-1. Тогда гарантированное по рискам, решение x* имеет следующий вид: а,) если, Ъп - a„_i < -ап + &„_1 +xn-i(bn-i - ап), то

* если j = n — 1,

xj 1

I 1, если j = n — 1;

б) если — a„_i ^

an + bn_ 1 + ж

{0, если j ^ n — 2, жга_1, если j = n — 1, жп, если j = п.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что x^ < 0, € (0,1). Кроме того,

{—1 + xi + ... + xra — J2 Xjaj + bn_i(1 — x„_i), если x € Qi, j=n_i

—1 + xi + ... + x„ — Y, Xjaj + (1 — хга)^ли x € Q2. j

Поэтому, используя лемму 3.4, получаем

тш#(ж) = min{6ra_i —1, bn-\—aj (j = 1,... ,n), — 1! 1(1 —x), -xnan+bn-i{l-xn-i)}.

Справедливы следующие неравенства:

b„_i — 1 ^ b„_i — an, b„_i — aj ^ b„_i — a„ для всех j = 1,..., n — 1,

— 1 + xn_i + bn_i(1 — xn_i) = b„_i — 1 + xn_i(1 — bn_i) ^ b„_i — 1 ^ b„_i — an,

XnCLn bn— l(l Xn-i) — bn— 1 C^ro Xri—\(y(ln bn— l) ^ b'n—l ^ro-

Следовательно, min g(x) = bn_i — an. Используя лемму 3.5, получаем

min g(x) = min{6„ - a„_ 1, -1 + ж*_! + 6„_i(l - ж*^), -ж„а„ + 6ra_i(l - Жп-i)}.

хеП2

Справедливы неравенства

ii* iL * \ * i\ (bn — ara_i)(bra_i — 1) , т.

-1 + Хп_1 + 6n-i(l - a?n_i) = (1 - ®n_i)(0n-i - 1) =-7---> bn ~ an-1,

bra_ i an_ i

XnCLn Ьп— l(l l) — ö'n Ьп— 1 \(Ьп— 1 C^ro) ^ Ьп— \ Cf-n*

Поэтому

тшд(ж) = min{6„ - a„_ 1, -a„ + 6„_i + a;„_i(6„_i - a„)}.

Из последнего равенства следует справедливость утверждений теоремы. Теорема доказана. □

§ 4. Задача о диверсификации рубля — задача линейного программирования

Е

Е(х,и) = тах{1, и1,... ,ип} — f (х,и).

Пусть

и0 = {и € и | ик ^ 1 для всех к}, иг = {и € и | иг ^ 1, иг ^ ик для всех к},

/с = {3€1 и{0} | из = 0}.

Тогда

и — f (х,и), (х,и) € П х Uj,] € /с \ {0},

Поэтому

F (x,u) =

I 1 — f (x,u), (x,u) € О x U0.

maxF(x,u) = max{maxF(x,u),j € I0}.

u£U u£Uj

Рассмотрим вспомогательную задачу:

/

z ^ min,

z ^ gj(x) = max F(x,u), j € I0,

(4.1)

Xi + ... + Xn ^ 1,

Xj, ^ 0,i € I.

Теорема 4.1. Пусть (x*, z*) — решение задачи. Тогда, x* — решение задачи о диверсификации рубля.

Доказательство. Пусть

О* = {(x, z) | (x, z) удовлетворяют ограничениям задачи (4.1)}.

Возьмем X € О, z = max gj (x). Тогда (x, z) € О*. Так как (x*,z*) — решение задачи,

j

то z ^ z*. Отсюда для всякого x € О выполнено неравенство z* ^ max gj (x), и поэтому

j

z* ^ min(max gj (x)). С другой стороны, z* ^ max gj (x*) ^ min(max gj (x)). Следовательно,

x£ü j j x£ü j

z* = min(max gj (ж^= minmax F (x,u) = max F (x*,u).

x£ü j x£ü u£U u£U

□

Замечание 7. Каждая из функций gj является линейной. Поэтому задача (4.1) является

задачей линейного программирования.

gj

gi(x) = maxF(x,u) = — 1 + У"^xk(1 — ük)+ bi(1 — Xi), i€I, (4.2)

uEUi i—'

k=i

n

go(x) = max F(x,u) = V^ Xk(1 — ük). (4.3)

uEUo *—'

k=1

Поэтому задача (4.1) имеет вид (если все множества Uj не пусты)

z ^ min,

y^Xk(1 — ük) — Xibi — z < 1 — bi, i € I,

k=i

n

У^/Xk (1 — ük) — z < 0,

k=1

Xi + ... + Xn < 1,

x-i ^ 0, i € I.

Замечание 9. Отметим, что некоторые множества и^ могут быть пустыми. Например, если 61 < а для всех г ^ 2 и 61 < 1, то и = 0.

Замечание 10. Пусть а1 < а2 < ... < ап-1 < ап < 1 < Ь1 <Ь2 < ... < Ьп-1 < Ьп. Тогда и^ = 0 для всех г € 10.

Действительно, (а1,..., Ь^, а^+1,..., ап) € и для веет г € I и (а1,..., ап) € и0. Для каждого г € I определим множества II = ^ ] € 1,Ь^ > Ь{\. Кроме того, определим 0 Ьл — 1 . т

Если Ii = 0, то полагаем

Если Ii = 0, то полагаем

= I Брф если j е h, г 1 0, если j / Ii.

•j-1

-— если j = г,

хг = < j-aj г 1 0, если j = i

Пусть Xi = (х\,хг2,..., хгп),i € I0.

Теорема 4.2. Пусть üi < l,bi > 1 для всех i £ I, ък-ак ^ ^ u ^ЛЯ Кажд°г0 i € /

fc=i

такого, что Ii = 0; справедливы неравенства,

spbi-bj 1 - аг > Ьг - 1

' hk~ai^ h~

Тогда, гарантированным, по рискам, решением, задачи о диверсификации рубля будет Xs =

= (x1,... ,х'П), s € Io, такой, что gs(Xs) = mingl(Xl).

I&Iq

Доказательство. Из условия теоремы следует, что Ui = 0 для всех i € I U {0}. Поэтому Io = IU {0}. Функции gi(x) = maxF(x, u) представимы в виде (4.2), (4.3). Определим

-u&Ui

множества Qi(i € Io) вида

П = {x € П | g-i(x) ^ gj(x) для всех j € I0 \ {i}}.

Из (4.2), (4.3) следует, что x € Hi, i € I тогда и только тогда, когда выполнены неравенства

(a - bi)xi + (bj - aj)xj ^ bj - bi, j € I \ {i}, (ai - bi)xi ^ 1 - bi.

Кроме того, x € По тогда и только тогда, когда для всех i € I выполнены неравенства

(bi - a{)xi ^ bi - 1.

Таким образом, получили, что

g(x) = max F (x,u) = <

go(x), если x € По, gi(x), если x € П1,

gn (x), если x € Пп.

Пусть i € I. Рассмотрим задачу линейного программирования

gi(x) = (1 - + - afc^ min,

(ai - + (bj - aj)xj ^ bj - b, j € I \ {i}, (ai - bi)xi ^ 1 - bi, -Xi - X2 - ■ ■ ■ - ^ -1, xi ^ 0,..., ^ 0.

Задачей, двойственной к данной задаче, будет задача

Gi(y) = ^(bfc - bi)yfc + yi(1 - bi) - y„+i ^ max,

(bj - aj)yj - yn+i < 1 - aj, j € 1 \ {i},

(ai - bi)(yi + y2 +-----+ yn) - yn+i ^ 1 - bi,

yi ^ 0,..., yn+i ^ 0.

Предположим, что Ii = 0. Определим уП+i = 0,

yi= f^, если j £ h, j [ 0, если j / Ii.

Тогда Xi удовлетворяет ограничениям прямой задачи, а Yi = (yi,..., уП, уП+i) — ограничениям двойственной задачи, причем

f~i bk - ak fce/i

Следовательно, в силу теоремы двойственности Xi является решением прямой задачи линейного программирования.

Ii = 0. yni +1 = 0,

yj =

если j = i, 0, если j = i.

Тогда Xг удовлетворяет ограничениям прямой задачи, а Yг = (y|,..., уП, уП+i) — ограничениям двойственной задачи, причем g(Хг) = ). Поэтому Хг — решение прямой задачи линейного

программирования.

Рассмотрим далее задачу линейного программирования вида

n

go(x) = ^(1 - öfc)xfc ^ min, fc=i

(bj - )xj ^ - 1,j G Л

-Xi - X2 - ... - Xn ^ -1,

x1 ^ 0,..., xn ^ 0. Двойственной для данной задачи будет задача

n

Go(Y) = - 1)yfc - yn+i,

fc=i

(bj - а)У? - yn+i < 1 - aj>j G /,

У1 ^ 0, ...,yn+i ^ 0.

Определим = ¿.J^1., j € /, = О, Y0 = (у®,..., Тогда Xo удовлетворяет ограничени-

ям прямой задачи, a Y0 — ограничениям двойственной задачи и, кроме того, go(X0) = Go (Y0). Поэтому X0 — решение прямой задачи. Далее имеем

mingfe = min min gife = min$г(Хг) = (Xs). xen ie/o xen¿ ie/o

Следовательно, Xs — гарантированное по рискам решение. Теорема доказана. □

§ 5. Игровое решение по Нэшу

Определение 5.1. Вектор ж* € Q называется игровым решением по Нэшу, если существует u* € U такой, что для всех ж € Q, u € U справедливы неравенства

f (ж,u*) < f (ж*,u*) < f (ж*,u). (5.1)

Замечание 11. Если рассмотреть антагонистическую игру (Q, U, /), в которой одним из игроков является ЛПР, а другим — «природа» и f — функция выигрыша ЛПР, то ж* € Q является игровым решением по Нэшу, если существует u* € U такой, что пара (ж*, u*) образует ситуацию равновесия по Нэшу в игре (Q, U, f).

n

Л е м м а 5.1. Пусть Ai(i € I) — вещественные числа, Л,(ж) = ^ A&, A = max Ai. Тогда,

fc=i ie/

I 0, если Ai ^ 0, max я(ж) = <

xen I^aí, если Ai > 0.

Доказательство. Если Ai ^ 0, то Л,(ж) ^ 0 для всех ж € Q и h(0) = 0. Пусть Ai > 0 и Ii = {j j Aj > 0}. Тогда для всех ж € Q

hfe ^ ^ Ajж, ^ ^ A^- ^ Ai. je/i je/i

Если ж* € Q такой, что ж* = 0 для всех i = l, ж* = 1, то Л,(ж*) = Ai. Лемма доказана. □

Теорема 5.1. Пусть ai ^ 1 для ее еж i € I. Тогда, игровое равновесие по Нэшу ж* имеет вид ж* = 0 для ее еж i € I.

Доказательство. Так как множества Q, U компакты, функция f непрерывна, то в силу замечания и теоремы (см. [8, с. 216]) игровое равновесие существует тогда и только тогда, когда

max min f feu) = min max f feu).

xen «eu «eu xen

Из теоремы 2.1 имеем max min f feu) = 1, причем внешний максимум достигается на нулевом

xen «eu

векторе. Вычислим min max f (ж,u). Функция f представима в виде f feu) = 1 + ^ жД^ — 1).

«eu xen i

Пусть u* = max(u¿ — 1). Тогда в силу леммы 5.1 имеем i

. I 1, если u* ^ 0,

g(u) = max f (ж,u) = <! * *

xen + u*, если u* > 0.

Так как ai ^ 1 для всех i, то a* = max(ai — 1) ^ 0 и поэтому g(a) = 1, где a = (ai,..., an).

i

Поэтому min max f feu) = 1. Теорема доказана. □

«eu xen

Теорема 5.2. Пусть ai = max ai > 1, I * = {j I aj = ai}. Тогда, игровое no Нэшу реше-

i

ние ж* имеет вид ж* = 0, если j / I*, и ^ ж* = 1. В частности, если I* = {l}, mo ж* = 1

j e/*

и ж* = 0 для ее еж j = l.

Доказательство. Из теоремы 2.2 получаем, что max min f (x, u) = a¡, причем внешний максимум достигается на x*. Вычислим min max f (x, u). Имеем f (x,u) = 1 + ^(u¿ — 1)x¿. В силу леммы 5.1 получаем

. I 1, если u* ^ 0,

g(u) = max f (x,u) = ¿ *

x&n l^u* + 1, если u* > 0,

где u* = max(u¿ — 1). Так как max ai > 1, то для любого u € U выполнено u* > 0. Поэтому i i

g(u) = max(ui — 1) + 1 ^ max(ai — 1) + 1 = al — 1 + 1= al

ii

и g(a) = ai, где a = (ai,... ,an). Следовательно, min max f (x,u) = ai. Теорема доказана. □

u£U x£Q Список литературы

1. Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Уравновешивание конфликтов и приложения. М.: Ленанд, 2012. 304 с.

2. Вельских Ю.А., Жуковский В.И., Смирнова Л.В. Способ гарантированного распределения денежных средств по двум депозитам // Таврический вестник информатики и математики. 2016. № 4 (33). С. 59-67.

3. Высокое М.И., Жуковский В.И., Кириченко М.М., Самсонов С.П. Новый подход к многокритериальным задачам при неопределенности / / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 1. С. 3-16. DOI: 10.20537/vml70101

4. Жуковский В.И., Высокое M.II. Гарантированное по исходам и рискам решение в однокритери-альной задаче // Ученые записки Таврического нац. ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. Т. 27. № 1. С. 198-210.

5. Жуковский В.И., Ахрамеев П.К. Гарантированное по риску решение в задаче о диверсификации вклада по трем депозитам (рублевому, в долларах и евро) // Ученые записки Таврического нац. ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. Т. 27. № 1. С. 177-197.

6. Жуковский В.И., Солдатова Н.Г. К задаче диверсификации вклада по трем депозитам // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 55-61. DOI: 10.20537/vml30406

7. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. 320 с.

8. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 496 с.

Поступила в редакцию 05.05.2018

Петров Николай Никандрович, д. ф.-м. п., профессор, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: kma3@list.ru

Петрова Надежда Вениаминовна, магистрант, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: nadezhda-ok@mail.ru

N. N. Petrov, N. V. Petrova

On the problem of diversifying the ruble

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2018, vol. 51, pp. 123-135 (in Russian). Keywords: uncertainty, risk, outcome, maximin, Nash equilibrium, deposit diversification. MSC2010: 93A30, 91A40 DOI: 10.20537/2226-3594-2018-51-05

The problem of allocating a certain amount in rubles to a ruble deposit and to a given number of foreign currency deposits is considered in order to obtain the maximum income in rubles at the end of the storage period. It is assumed that the person making the decision does not know the exchange rates at the end of the storage period and is guided only by certain limits of their possible changes.The solution of this problem depends on the choice of the principle of

optimality. A solution guaranteed by the outcomes and the Nash game solution are found. It is shown that the problem of finding a risk-guaranteed solution is a linear programming task. For some special cases, a risk-based solution is analytically found.

REFERENCES

1. Zhukovskii V.I., Kudryavtsev K.N. Uravnoveshivanie konfliktov % prilozheniya (Equilibrating conflicts and applications), Moscow: Lenand, 2012, 304 p.

2. Belskikh J.A., Zhukovskiy V.I., Smirnova L.V. Method of guaranteed distribution of available funds in two deposits, Taurida Journal of Computer Science Theory of Mathematics, 2016, no. 4, pp. 59-67 (in Russian).

3. Vysokos M.I., Zhukovskii V.I., Kirichenko M.M., Samsonov S.P. A new approach to multicriteria problems under uncertainty, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2017, vol. 27, issue 1, pp. 3-16 (in Russian). DOI: 10.20537/vml70101

4. Zhukovskiy V.I., Vysokos M.I. Guaranteed in outcomes and risks solution for single-criterion problem, Scientific Notes of Taurida National V. I. Vernadsky University. Series: Physics and Mathematics Sciences, 2014, vol. 27, no. 1, pp. 198-210 (in Russian).

5. Zhukovskiy V. I., Akhrameev P.K. Guaranteed on risk solution in problem of sum distribution in to thee deposits (in ruble, dollars and euros), Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. Series: Physics and Mathematics Science, 2014, vol. 27, no. 1, pp. 177-197 (in Russian).

6. Zhukovskii V.I., Soldatova N.G. On the problem of diversification of contribution on the three deposits, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2013, issue 4, pp. 55-61 (in Russian).

DOI: 10.20537/vml30406

7. Pshenichny B.N. Vypuklyi analiz i ekstremal'nye zadachi (Convex analysis and extremal problems), Moscow: Nauka, 1959, 550 p.

8. Vorob'ev N.N. Osnovy teorii igr. Beskoalitsionnye igry (Fundamentals of game theory. Uncooperative games), Moscow: Nauka, 1984, 496 p.

Received 05.05.2018

Petrov Nikolai Nikandrovich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Differential Equations, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: kma3@list.ru

Petrova Nadezhda Veniaminovna, Master student, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk,

426034, Russia.

E-mail: nadezhda-ok@mail.ru