К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ ( n-1)"МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

4.3. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.2. В каждой точке В(иа)вМр многообразия ^ в Е« («>4) перспективные аффинные связности в смысле [3]: С12:Г4^Г„2_4 и С21:Г„2_4^Г4 являются локально плоскими.

Доказательство. В соответствии с [3] связность С12 |С21| отображает Г4(Г„_4|, соседнюю Г4'{Г«_4} (бесконечно близкую первого порядка) в направлении Г„_4{Г4|. Каждая из этих связностей имеет 1-формы связности:

С,2: а"1,®*1,а"1,а*1 = -ю"~1;

21 ' ' а2 ' а2 а2 '

которые в силу (1.1) и (3.24) удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

«а - Do)al -о/1 лю^1 л®?1 = 0, Л /¡1

«а1 - Dюa^1 -ющ л®"1 -т^1 л®0!1 = 0,

а1 Р1 '

«в - Dоa -аа лав?1 -а^ ла^ = 0,

«а1 - Dо;:l1 - а* л а;;1 - а* л а^ = 0, «а2 -Dma■2-тр2 люав2-ав лаО1 = 0,

У2 У1

-Dвf ^2-а"2 л®"2 -а''2 лаа2 = 0, «2 [>2

«в - а-аа л®в а лав = 0,

«а - Dоa - а* л а;: - а* л = 0.

Это означает, что 2-формы кручения и кривизны связностей С12 и С21 равны нулю на базе Мр многообразия что и доказывает настоящую теорему.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

4. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. О центрировании семейства линейных подпространств в многомерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2005. - Т. 308. - № 3. - С. 6-10.

5. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Томский государственный университет, 2002. -510 с.

УДК 519.644

К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ (п+1)-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Э.А. Шамсиев

Ташкентский государственный технический университет E-mail: shamciev_tstu@mail.ru

Предлагается способ получения кубатурной формулы (2т-1)-й степени точности для многомерной сферы, когда известна формула аналогичной степени точности для сферы, чья размерность на единицу меньше.

Рассмотрим в «-мерном евклидовом пространстве Я" единичную сферу 5„_1={хеЛ"|х12+х22+...+х„2=1}. степени точности Для произвольного одночлена х^хр.-Х'"

Пусть известна кубатурная формула (2т-1)-й

J *i

xe22...xe'dS--

2 II 2 I I 2 I есливсе pt четны

Г

в1 +Р2 +... + Р„ + n

i = 1,2,3,..., n

0, в противномслучае,

да

где Г(к) = Jtk-le~'dt - гамма-функция Эйлера.

J f(x)dS = (a(i)).

(1)

Исследуем вопрос существования кубатурной формулы аналогичной степени точности для вида

т N .-

| / (х )йБ = XТ ХС/ Ц1 -1] а(г),Л), (2)

где Т и ^ определяются как параметры некоторой весовой квадратурной формулы типа Гаусса для отрезка [-1; 1]:

S

n-1

S

n-1

Известия Томского политехнического университета. 2005. Т. 308. № 6

J p(t Ж? )dt = £т^).

(3)

j=i

Очевидно, что для одночлена х^дв2...*^1 формула (2) точна, если хотя бы одно из чисел в1,в2,вз,...,в»+1 нечетно (за счет кубатурной формулы (1), если нечетно одно из чисел рьр2,...,рп и за счет квадратурной формулы (3), если нечетно Дт). Для определения значений Т1 и ^ положим Д=2аь ¡51=2аь...фп+1=2а.п+1(а.1,аг,...,а.п+1<т— 1), и приравняв значение одночлена х^х^.-Х+Г1, вычисленное по формуле (2) с \Х1щх2а2...х1па{+1й8, получаем

2г( У X У ]

■Г

2а+1

2а + 2а2 +... + 2ап + п

Z(1 - tj2)'

2\а1+0+.+ап ian+

2гГ ^ U }-тГ 01+1

2а1 + 2а2 +... + 2ап+1 + п +1

После цепочки несложных упрощений, пользуясь формулой 855.41 из [1. С. 183], приходим к равенству

(1 - г2 )а1+-+ап1ап=

2а1 + 2а2 +... + 2ап + п2ап+1 +1

j=1-

Г

2а1 + 2а2 +... + 2ап+1 + п +1

= 2 •

Г( 2а1 + 2а2 + ... + 2ап + п - 2 + 1уГ 2ап+1 +1

2Г| а1 +а2 +..

п - 2 + 2ап+1 + 3

= 2| ^(1 - г2)1 2 п 2 йг = | (1 - г2)2 1 г^йг.

0 -1

Таким образом, в искомой квадратурной формуле (3) весовая функция р(/)=(1-/2)—г. Число узлов кубатурной формулы (2) равно тЫ. Можно получить кубатурную формулу с меньшим числом узлов, если вместо квадратурной формулы (3) воспользоваться квадратурной формулой типа Гаусса-Маркова с той же весовой функцией и двумя фиксированными узлами г0=-1, гт=1:

1 п-2 т-1

| (1 - г2)2 мй = 7>(-1)+2>(1)+ £т>().

-1 н

Число узлов кубатурной формулы в этом случае равно (т-1)Л+2. Отметим, что если кубатурная формула (1) инвариантна относительно некоторой конечной ортогональной группы О [2. С. 129], то формула (2) инвариантна относительно группы, которая получается из О в Яп+1 добавлением преобразования симметрии относительно гиперплоскости хп+1=0.

Примеры.

1) Квадратурная формула типа прямоугольников с 2m узлами дает следующую кубатурную формулу (2т-1)-й степени точности для S2

m 2m ___._

J f(x)ds=пет-Ef^л/1-?!cosПк^л/1-7?sinnk'tj). (4)

S2 j'=l k=

Здесь Tj и tj параметры квадратурной формулы

Гаусса с постоянным весом:

1 m

Jg>(t )dt = ETjV(tj).

-1 j=1

2) Двенадцатиточечная кубатурная формула 5-й степени точности [2. С. 313] позволяет получить кубатурную формулу аналогичной степени точности для S3:

|f (x )dS^ E [f (°Д ±1) +1E f ^)

где a(i) - вершины икосаэдра, вписанного в S2.

3) Использование кубатурной формулы (4р-1)-й степени точности для S3 дает следующую куба-турную формулу

2 2р 1 p 2p

J f (x )ds s 4P2 E TJ ее ed е

j=1 п=0 k=1 ¡1 i2=1

f (V (1 -12 )(1 -Tt) cosi2^,

JjT) sin^2^,

V(1 - 'X

cos

(2i2 - п)п 2 P

^(1 -'X

. (2i2 - п)п

sin

2 P

' j

где Dk и тк параметры квадратурной формулы [3]

г р

Jф(t)dt = EDkv(rk), а Tj и tj параметры квадратур-

ной формулы

2 P

{(1 - г2)ф(г)йг = £?>(?,).

-1 м

4) Воспользуемся формулой (2) п-1 раз. На первом шаге в качестве кубатурной формулы (1) возьмем формулу прямоугольников с 2т узлами, на каждом последующем шаге - вновь полученную формулу. Тогда получаем известную кубатурную формулу И.П. Мысовских для £п-1 [2. С. 119-123], ранее полученную методом повторного применения квадратурных формул. Формула (4) является частным случаем этой кубатурной формулы. Примечание. Указанным способом можно получить кубатурную формулу и для многомерного шара, если известна кубатурная формула для шара, чья размерность на единицу меньше.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1977. - 228 с.

2. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. -М.: Наука, 1981. - 336 с.

3. Шамсиев Э.А. О некоторых кубатурных формулах для трехмерной сферы // Известия Томского политехнического университета. - 2004. - Т. 307. - № 7. - С. 6-7.

-1

Г

Г