К выбору параметра регуляризации при оценке информационного параметра сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Разработанная система проектирования КС обеспечивает необходимую точность и быстроту расчётов, позволяет создавать сети, используя недорогое аппаратное оборудование типа ІВМ РС и операционную систему Windows 95 (N1).

В.Н. Таран, В.Н. Трофименко, Е.Н. Трофименко

К ВЫБОРУ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ОЦЕНКЕ ИНФОРМАЦИОННОГО ПАРАМЕТРА СИГНАЛА

Задача оценивания информационного параметра x(t), описываемого дифференциальным уравнением

x(t) =Ax(t)+ v(t), A e RnxRn, v(t), (1)

по измерениям y(t)e Rm, полученным в одной реализации на фоне шумов

y(t)=(x(t))+ X (t), h e Rm, X (t) e Rm, (2)

где m < n; h(x) e Rm - сигнальная функция; X (t) e Rm - вектор шумов измерений с извест-

ными статистическими характеристиками; v(t)e Rn - возмущающая составляющая, участвующая в формировании информационного параметра, из уравнения оценивания

x(t) = Ax(t) + u(t), x(t0) = x0,u(t)e Rn, (3)

где u(t)e Rn - оценка возмущающей составляющей v(t), по критерию минимума функ-

ционала невязки

ti

J[ X] = J Y(X)dt ® min, Y( X) = y - h( X))v Q(y - h( X))

(4)

где Q - положительно определенная матрица весовых коэффициентов, зависящих от статистических характеристик шумов измерений, является некорректной по Адамару

[1]. ~

Так как решение (3) при известном А и начальном условии х0 определяется выбором и(1) то функционал J[x] определяется выбором и, поэтому в дальнейшем будем учитывать это, записывая 1[и].

о

Общий подход к решению некорректных задач, основанный на регуляризации исходного функционала, предложен А.Н. Тихоновым [1]. В соответствии с этим подходом функционал исходной задачи заменяется равномерно выпуклым добавлением стабилизирующего функционала 0[и], в качестве которого часто выбирают равномерно выпуклый функционал в пространстве и искомых функций, интегрируемых с квадратом [3]

11

0[ц] = |цУ (ОК-1ц(^ . (5)

1(>

С учетом этого, регуляризирующий функционал имеет вид

11 11 ^

J а [и] = |'Р(х^ + а|и ^)К-1и^^, (6)

1(> ^

где а - положительно определенный параметр регуляризации; К-1 - положительно определенная матрица весовых коэффициентов, обычно диагонального вида.

В итоге регуляризации функционала (4) задача оценивания информационного параметра сигнала по результатам измерений (2) преобразуется в задачу синтеза оптимального управления моделью

х = ЦХД) + ф(хД)и^), х^0) = хо, х^)е X с Rn, u(t)е и с Rp , (7)

минимизирующего функционал (6).

Параметр регуляризации а оказывает существенное влияние на решение регу-ляризированной задачи. При решении некорректных задач методом Тихонова параметр регуляризации а выбирается с помощью итерационных процедур [2,3], причем каждая итерация является решением оптимизационной задачи. Поэтому предварительная оценка а ценна с точки зрения уменьшения количества итераций.

В работе [3] указывается, что функционал типа (4) обычно является всюду выпуклым в V, за исключением некоторого подмножества утс V, на элементах которого ^апё1[ х ] » 0. На элементах этого подмножества функционал может иметь несколько локальных экстремумов, величина которых соизмерима с вычислительной погрешностью 5в.

Получить начальное значение параметра регуляризации а, позволяющее уменьшить количество итерационных процедур позволяет следующая теорема.

Т е о р е м а. Для задачи оценивания (4), в которой функционал (4) является всюду выпуклым в V, за исключением некоторого подмножества ^с V, на элементах которого ^апё1[х ] » 0 и функционал может иметь несколько локальных экстремумов, величина которых соизмерима с вычислительной погрешностью 5в, параметр регуляризации а для стабилизирующего функционала (5), обеспечивающего равномерную выпуклость регуляризированного функционала (6), выбирается исходя из неравенства

ЦлЦТт

N ш_ е11 11 т

а > —^------------------------------------------, (8)

K-1

где N- максимальное значение нормы вектора частных производных целевой функции; ин - элемент Vm с наименьшей нормой; Т = 1 - 1о

ц

н

Доказательство. Функционал (4) непрерывно зависит от х^) и, в силу связи (3), от и(1)

Из непрерывной зависимости функционала (4) отх^) следует, что вариация функционала 5J[ х] связана с вариацией оценки 5Х^)

*1

ЭД X] = |

Эу

Эх

V У

5xdt.

(9)

Из непрерывной зависимости функции у( х) от х є X и ограниченности облас

Эу

ти X с Яп следует ограниченность вектора частных производных этому справедлива следующая цепочка неравенств

5J[ х] = | 5Xdt < | 5х dt <

"Эу

Эх

= Nу ~ < ¥ . По-

тх

t1 г ГЭу^ V 5Xdt tl < Г ГЭу^ V 5х

t0 эх J t0 эх

V / V /

Эх

V У

(10)

1

|§х|^ < Nух |||5х|^ = N ух ||5х||Т. t0

В свою очередь, вариация 5 х зависит от 5и и определяется как [4]

- Г0А(^о)

(11)

Для последнего выражения запишем цепочку неравенств:

t t

5х = |еА(я to)5u(s)ds eA(s ^5и^^

Ч t0

(12)

<1

,А(^о)

Подставляя (12) в (10), получим

| 5J|< N¥хе1АТТ2||5и||.

Анализ выражения (13) показывает, что множество значений 5и, обеспечивающее приращение функционала |51 | < 5в, образует шар, радиус которого не превосходит

= 5в

(13)

5и

"тах АТ 2

N ухе" 11 т2

(14)

Вариация стабилизирующего функционала 5 в регуляризирующем функционале (6) определяется как

^ V,

50 а [и] = а|и ¥ (t)K-15u(t)dt

(15)

и для нее справедлива оценка

с

с

t

t

t

t

с

t

|§Оа [и] = а

|и¥ (ОК -15и(^

(16)

1

<аЛ

К

-1

Йи dt = аТ и

К

-1

Йи.

Следовательно, для того, чтобы функционал (6) стал равномерно выпуклым необходимо увеличить норму стабилизирующего функционала на шаре с радиусом, определенным по выражению (14) так, чтобы выполнялось следующее неравенство:

--1

аТ иг

К

> N

У

,е||А||ТТ2 .

(17)

Последнее неравенство имеет четкий геометрический смысл: левая часть неравенства определяет норму "коэффициента наклона" гиперплоскости стабилизирующего функционала, а правая - норму "коэффициента наклона" гиперплоскости регуляризи-руемого функционала.

Из неравенства (17) получаем оценку для параметра регуляризации

„е11АИТт2

а>

К

-1

(18)

В выражении (18) норма экстремума ||и0|| является минимальной для всех локальных экстремумов из подмножества Ут. А так как их расположение в подмножестве Ут неизвестно, то в качестве и0 возьмем элемент ине Ут с наименьшей нормой ||ин||^0, что усилит неравенство (18).

Увеличение нормы элементов и еУт приводит к линейному увеличению нормы вариации стабилизирующего функционала при неувеличении максимального значения нормы вариации исходного функционала, что говорит о квадратичной зависимости I от и. Следовательно, функционал (6) является равномерно выпуклым. Теорема доказана.

Полученное соотношение может быть применено при использовании различных методов регуляризации обратных задач. Например, при решении задачи оценивания состояния динамической системы по алгоритму с прогнозирующей моделью [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Трофименко В.Н., Таран В.Н., Трофименко И.В. Функционал обобщенной работы в регуляризации задачи оценивания состояния динамической системы // Автоматика и вычислительная техника. 1999. №4. С. 35-45.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

3. Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых процессов. М.: Энергия. 1975.

4. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Минск.: Университецкае, 1996. 287 с.

t

t

и

о

и

о