Применение метода регуляризации Тихонова для выделения контуров изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6, 681.3.082.5

В.Н. Цибанов, А.С. Крылов

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ1

(кафедра математической физики факультета ВМиК, e-mail: kryl@cs.msu.su)

В статье рассматривается применение метода регуляризации Тихонова для сглаживания одномерных сигналов, подавления шума и выделения контуров объектов на изображениях. Выписывается аналитическое решение уравнения Эйлера в одномерном случае для некоторых видов стабилизаторов. Исследуется применение рассмотренных методов для выделения контуров объектов на зашумленных изображениях.

1. Введение. Контуры (границы) объектов являются наиболее информативными и не содержащими избыточных данных описаниями исходного изображения. Поэтому нахождение контуров объектов на фотографиях является важной начальной операцией для дальнейшей обработки изображений, таких, как сегментация, отслеживание и распознавание объектов и т. п.

Разница средних уровней яркости фона и объекта приводит к возникновению резких перепадов (скачков) функции уровня яркости изображения, соответствующих контурам объектов. Следовательно, процедура определения контуров должна основываться на обнаружении различий между соседними точками, т. е. требует некоторой фильтрующей операции, которая подчеркивает резкие изменения в значениях сигнала и подавляет области с постоянными значениями. Для этой цели хорошо подходят дифференциальные операторы (производные функции яркости изображения).

Контрастные перепады на изображении находятся в точках локального максимума модуля градиента функции яркости. Поэтому довольно часто для определения контуров объектов используют некоторое пороговое значение, с которым сравнивают модуль вектора градиента.

Применение детекторов, выделяющих точки контура при превышении значения модуля градиента порогового значения, довольно широко распространено при решении задач обработки изображений. Однако, как правило, модуль вектора градиента достигает больших значений вдоль широких полос на изображении, в то время как границы объектов являются тонкими кривыми. Избавиться от этого недостатка позволяет применение детекторов, использующих дифференциальные операторы второго порядка.

Одним из таких детекторов является детектор Марра и Хилдрета [1], который основывается на определении нулевых значений оператора Лапласа А/ = 0, примененного к сглаженной функции яркости изображения /.

Другим наиболее распространенным в обработке изображений детектором контуров является фильтр Канни [2], использующий в качестве критерия контура в двумерном пространстве равенство нулю второй производной от сглаженной функции яркости изображения / по направлению п:

где п — вектор, ориентированный в направлении, ортогональном контуру. Поскольку это направление неизвестно a priori, оно аппроксимируется направлением градиента п =

Как уже отмечалось, определение нулевых значений дифференциальных операторов второго порядка приводит к выделению значительного числа ложных контуров. Для подавления указанных контуров в обоих методах выбираются только граничные точки, в которых значение модуля градиента | V/| больше некоторого заданного порога.

Применение дифференциальных операторов в дискретном случае, как правило, приводит к задаче численного дифференцирования. Из-за некорректности данной задачи [3] детекторы контуров сильно чувствительны к шуму. Поэтому перед выделением контуров обычно проводится фильтрация изображения.

Отметим, что задача подавления шума на изображениях хотя и является необходимым этапом при выделении контуров объектов на изображениях, но в то же время является независимой операцией, т.е.

1 Работа выполнена при поддержке гранта CEDF N RUPl-1515-МО-Об.

большинство методов выделения контуров позволяет использовать произвольный метод фильтрации изображений.

В данной статье для задачи фильтрации изображений предлагается использование регуляризиру-ющего метода Тихонова.

Методы регуляризации, разработанные для решения неустойчивых задач [4], в настоящее время стали одним из основных подходов при решении широкого класса задач восстановления и фильтрации изображений. В задачах подавления шума на изображении наиболее широкое распространение приобрели методы вариационной регуляризации, предложенные А.Н. Тихоновым [5]. Данные методы заключаются в построении гладкого аналога иа зашумленной функции яркости изображения щ как минимума регуляризирующего функционала:

Еа(иа) = 1(и^щГ + аф(\Уиа|2) п

где П — прямоугольная область, соответствующая изображению, ф — положительная возрастающая выпуклая функция, задающая параметры сглаживания.

В данной статье приводится построение аналитического решения уравнения Эйлера, записанное для одномерной задачи, позволяющее находить в явном виде частные производные сглаженной функции яркости изображения. Это позволяет не решать задачу численного дифференцирования при нахождении контуров объектов на изображениях.

Статья организована следующим образом. В первом и втором разделах приводится построение аналитического решения одномерных уравнений Эйлера. Третий раздел содержит описание результатов применения рассматриваемых методов фильтрации для сглаживания одномерных сигналов и подавления шума на изображениях. В четвертом разделе предлагаются новые методы выделения контуров объектов на зашумленных изображениях.

2. Применение метода регуляризации Тихонова со стабилизатором, содержащим производную первого порядка. Рассмотрим задачу сглаживания функции € /-•_•[- 1.1] (далее обозначаем пространство как Ь2). В качестве решения этой задачи будем брать функцию иа € И''.] [- I.1], минимизирующую функционал Тихонова:

^а{Ца) — II «а ^¿Иь,

а

йх

Функция иа, минимизирующая функционал Тихонова, удовлетворяет уравнению Эйлера

— 1 ^ X ^ 1,

и'а(-1) = и'а(1) = 0.

(1)

Решение этой краевой задачи может быть выписано при помощи функции Грина С?а(ж, «). Таким образом, решение задачи минимизации сводится к сглаживанию функции щ при помощи интегрального оператора с ядром С?а(ж, «):

1

иа{х) = J Оа(х, 8)щ(в) (¿5, -1

(2)

где

{ 1 2 сЬ^-ДсЬ^, 5 < ж,

л/а8Г1-^= у« Уа 1 1 _1_ 1 1 2 сЬ^ сЬ^И, 5 ^ X.

л/аъЬ-^ у" у"

Ядро С?а(ж, «) для любого а > 0, х € [—1,1], удовлетворяет следующему интегральному тождеству:

1

/ С?а(ж, «) = 1.

-1

Данное тождество позволяет получить два важных свойства регуляризированного решения иа.

1. Инвариантность среднего значения функции. Для любого а > 0 среднее значение рь = 1

= | / иа(х) йх функции иа остается постоянным и равняется среднему значению наблюдаемой функ-

-1 ции щ:

1 1 1 г 1 [

/х = - / щ(х) <1х = - иа(х) йх для любого а > 0.

-1 -1

Применительно к задачам обработки изображений данное свойство означает, что средний уровень яркости изображения при использовании данного метода сглаживания не изменяется.

2. Принцип максимального значения. Если на отрезке [—1,1] функция щ(х) удовлетворяет неравенствам а ^ щ(х) ^ Ь, то для любого а > 0 функция иа(х) также удовлетворяет неравенствам а ^ иа(х) ^ Ь на отрезке [—1,1].

3. Применение метода регуляризации Тихонова со стабилизатором, содержащим производную второго порядка. В данном разделе рассмотрим задачу сглаживания зашумленной функции щ € Ь2 с помощью минимизации функционала Тихонова:

Ер{ир) = 11^3 - «¿IlL + /3

d2

ь2

Уравнение Эйлера, записанное для данного функционала, принимает вид

/Зи^ + Уф = щ, —1 ^ х ^ 1,

«^(-1) = 4(1) = 0, (3)

= и'Д1) = 0.

Отметим, что использование производных третьего порядка в граничных условиях необходимо для получения самосопряженной задачи.

Решение данного уравнения с обозначенными выше граничными условиями может быть записано в виде

1

»„(*) =/С, (*,.М.)Л, (4)

-1

где ядро Ор{х, я) (функция Грина задачи (3)) может быть найдено аналитически на основе схемы, описанной М.А. Наймарком [6].

В данном случае ядро Ор{х, я) записывается в виде линейной комбинации функций щ, г = 1,..., 4, образующих фундаментальную систему решений исходного дифференциального уравнения

4

Gp(x,s)=>i=1 ^

¿ Щр-щ(х), S <

4 & (g)

J2 S^ X,

. г= 1

где

Ul(x) = еА(ж+1) sin А(ж + 1), и2(х) = еА(ж+1) cosA(a; + 1), щ(х) = sin А(ж - 1), и4(ж) = cos А(ж - 1).

Здесь и далее А = (4/3)

Коэффициенты щ, bi, i = 1,... ,4, связаны уравнениями bi(s) — a,i(s) = Cj(s), где

e-A(s+l)

8А3

э—A(s+1)

ci(s) = ——[— sinA(s + 1) + cos A(s + 1)],

e

C2(s) = --[— sinA(s + 1) — cos A(s + 1)],

gA(s —1)

сг(з) = 3 [sin A(s - 1) + cosA(s - 1)], gA(s —1)

С4(5) = [- sin A(s - 1) + cos A(s - 1)].

Коэффициенты ft¿(s), i = 1,..., 4, задаются следующими формулами:

e4A[j?cos4A + gsin4A] — р e4A[j?sin4A — gcos4A] + q

1 — 2e4A cos 4A + е8Л ' °2(S) ~ 1 - 2e4A cos4A + e8A ' 63(5) = e2A[—61(5) cos2A + 62(5) sin2A], 64(5) = e2A[&i(s) sin2A + 62(5) cos2A],

V — ci (s) + e2A [c3 (5) cos 2A + C4 (5) sin 2A], Q — c2 (5) + e2A [сз (5) sin 2A — C4 (5) cos 2A].

4. Сглаживание сигналов. Исследуем применение предложенных методов для сглаживания одномерных зашумленных функций. Будем рассматривать модельную задачу сглаживания исходной функции й, возмущенной равномерно распределенным на отрезке [—шумом:

1 _ (15ж-3)2

где

и = ,__е 8 +

л/2^2/15 Л/8^2/15

При проведении расчетов для определения параметра регуляризации, соответствующего заданному уровню погрешности 5: Цзд — й\\ ^ где и§ — зашумленная функция, нами применялся метод невязки.

В данном случае регуляризирующий параметр 7 (7 = а, /3) определяется из следующего уравнения:

1

<р(7) = J (и7(х) — us(x))2 dx = S2

-1

Рис. 1. Функции, сглаженные при помощи функционала Тихонова: со стабилизатором первого порядка (штрих-пунктир), со стабилизатором второго порядка (штрихи); исходная функция (сплошная линия) и зашумленная функция (точки)

На рис. 1 показан результат сглаживания зашумленной функции двумя предложенными методами при выборе регуляризирующего параметра согласно принципу невязки.

Из рисунка видно, что метод второго порядка позволяет получить более гладкие результаты, чем метод первого порядка.

5. Фильтрация изображений. Для сглаживания функций двух переменных щ{х, у), определенных на прямоугольнике 0 ^ ж ^ т, 0 ^ у ^ нами применялся следующий интегральный оператор:

I то

%(ж,у) = ! ^ 1 2г] 1 / ТО'0 < х < т, 0 < у < I, (5)

о о

где С?7, 7 = а, /3, — ядра рассмотренных выше сглаживающих операторов (2), (4).

Применительно к фильтрации изображений данная операция последовательно сглаживает столбцы и строки зашумленного изображения. В данном случае т — соответственно высота и ширина изображения в пикселях.

Фильтрация рассмотренными методами зашумленных фотографий позволяет достаточно хорошо подавить шум, но вместе с тем приводит к сглаживанию контуров объектов на изображении. Результаты применения предложенных методов фильтрации изображений визуально не сильно отличаются от изображений, полученных с помощью наиболее распространенного метода сглаживания — гаус-совского размытия.

6. Выделение контуров объектов на зашумленных изображениях. Полученная аналитическая запись сглаженных функций (5) позволяет выписать частные производные данных функции в явном виде.

Частные производные первого порядка функции иа(х,у), 0 ^ ж ^ т, 0 ^ у ^ могут быть записаны в виде

1 ч т йп (2х-та 2£-таЛ

^-Цо. / (Т^-«*)««-

0 о

1 (2У-1 2Ч~Л та

диа(х,у) 2 [<><**{ 1 г /2ж-т 2 ^ т\

—я— = т /-о-/ -,-

ду I, ,} ду ,} \ т т )

о о

Отметим, что при выводе и численной реализации данной формулы необходимо учитывать разрывность функции -адух ' ' при Ж = 5.

Применяя уравнение Эйлера (1) для частных производных второго порядка функции иа(х,у), запишем следующее выражение:

I

д2иа(х,у) 4 [ (2у-1 2т7-Г

дх2 ат2

о

/ Оа I —-—, —-— I Оа I ———, ——— I щ{£,г1) (¿С - Щ{х,г1)

та I,

д2иа(х,у) _ _4_ Г (2х^ш Г Г (2у^± 1

%2 " а12,1 \ т ' т ) ] I ' I )щ^Г]>йГ]

о о

Функция Ор{х, я) — дважды непрерывно дифференцируемая функция на прямоугольнике —1 ^ Поэтому частные производные первого и второго порядка сглаженной функции ир(х,у), О^ж^т, 0 ^ у ^ можно записать следующим образом:

I ч ™ Йп (2х-та 2£-таЛ

дир{х,у) _ 2 Г {2у-1 2Г1~1\ [

дх т,) \ I I ) у дх

о о

ар —;—,—;— / -д-«¿(£,77)^77,

1 ЯП (2У~1 2Ч~Л т

дир(х,у) 2 I 1— [ 2х^т 2£ - т\

= 1 ]-дЦ-У ^

о о

I ч ГП (2.x-т 2¿-га\

—м~ = ^ у ^ ' —у у-^-& ^

0 о

1 <л2п (2у-1 271-/ А т

д2ир(х,у) 4 —; /' (2х — т, - т\

О о

Полученные выше аналитические формулы частных производных сглаженных функций использовались нами для выделения контуров объектов на зашумленных изображениях. Нами применялся детектор, предложенный Марром и Хилдретом [1], выделяющий точки перехода через ноль оператора Лапласа Ас последующим подавлением ложных выделенных точек, в которых значение модуля градиента сглаженной функции яркости изображения |Угл7(ж,у)| меньше заданного порогового значения.

Рис. 2. Результаты выделения контуров объектов с помощью функционала Тихонова: со стабилизатором первого порядка (а); со стабилизатором второго порядка (б);

зашумленное изображение (в)

На рис. 2 представлены результаты выделения контуров ультразвукового изображения сердца. Из представленных иллюстраций видно, что применение метода второго порядка позволяет получить лучшие результаты, чем применение метода первого порядка. Отметим также, что применение аналитических формул позволяет существенно улучшить результаты выделения контуров объектов на изображениях по сравнению с подходами, использующими разностные производные.

7. Заключение. В данной статье были предложены методы фильтрации изображений, основанные на методе регуляризации Тихонова. Построено аналитическое решение уравнения Эйлера в одномерном случае. Предложены новые методы выделения контуров объектов на зашумленном изображении. Проведено сравнение предложенных методов фильтрации изображений и методов выделения контуров объектов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Marr D., Hildret h Е. Theory of edge detection // Proc. of the Royal Soc. of London. Series B. 1980. 207. P. 187-217.

2. Canny J. A computational approach to edge detection // IEEE Trans, on PAMI. 1986. 8. N 6. P. 679-698.

3. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. M.: Изд-во МГУ, 1994.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

5. Scherzer О., Weickert J. Relations between regularization and diffusion filtering // J. of Math. Imaging and Vision. 2000. N 12. P. 43-63.

6. Наймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы. M.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 07.11.07