К вопросу учета анизотропности деформирования структурно-неустойчивой среды в контактной задаче влагоупругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Т.Р. Тедеев, Л.Ю. Плисва, 2013

УДК 624.139

Т.Р. Тедеев, Л.Ю. Плиева

К ВОПРОСУ УЧЕТА АНИЗОТРОПНОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВОЙ СРЕДЫ В КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ ВЛАГОУПРУГОСТИ

Получено решение неоднородной задачи влагоупругости с учетом анизотропности деформирования среды. Разработана методика, позволяющая решать контактную задачу для бинарной системы «сооружение - основание» с учетом геомеханических процессов набухания и просадки. Приводится общий алгоритм расчета конструкций на структурно-неустойчивом основании.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, структурно-неустойчивая среда, контактные напряжения.

Следуя трудам отечественных исследователей [1, 2], существующие в настоящее время методы прогноза напряженно-деформирован-ного состояния структурно-неустой-чивых грунтов используют такое положение, при котором для определения дополнительных деформаций следует исходить из начального напряженного состояния, сформировавшегося в массиве грунта до увлажнения. При этом в процессе возникновения и развития дополнительных деформаций исходное напряженно-дефор-мированное состояние такого массива претерпевает существенные изменения. Существенные изменения исходного напряженно-деформированного состояния обусловлены следующим: во-первых, воздействием влажностного поля, вследствие чего грунтовое пространство становится неоднородным по деформационным свойствам, а во-вторых, возникновением влажностных напряжений набухания или просадки. Важно отметить следующее: процесс влажностного деформирования массива носит сложный пространственно-временной характер и сопровождается значительными изменениями полей влажности и напряженно-деформированного состояния.

Известно [1, 2], что между напряженно-деформированным состоянием и физическими параметрами структурно - неустойчивой грунтовой среды (плотность скелета среды рл, влажность Ш, температура © и ускорение частиц а) существует функциональные зависимости:

Для разновидностей грунтовых сред один из этих параметров является определяющим. К примеру, для просадочных и набухающих грунтов определяющими являются их плотность (или влажность). Для определения приращений деформаций в грунтовой среде рассмотрим всестороннее расширение (сокращение) грунта объемом V под воздействием приращения суммы главных сжимающих напряжений dаv и влажности Ш:

е(а,р„©,а) = 0, у (а,рл©,а) = 0.

(1)

Разделив равенство (2) на объем V и выразив через величину прира-

щение объемной деформации можно получить:

. „„ (3)

ds., =

ids. >

да.,

dc., -

dW

dW.

Величина (дау / деу) Ш определяет интенсивность изменения среднего напряжения иу в зависимости от изменения объема при постоянной влажности, или изовлажностный модуль К линейно-деформируемой грунтовой среды, а величина (деу / дШ) - увеличение объема при единичном изменении влажности и имеет смысл коэффициента объемного расширения (сокращения). Коэффициент объемного расширения (сокращения) можно обозначить через в , тогда зависимость (3) можно привести к виду:

ds= ^T-PdW. К

(4)

По аналогии с зависимостью (3) для угловых деформаций можно предположить справедливость следующего уравнения

ду

/ I дт

dr

dW

dW,

(5)

или

dr

dy = ^ + adW, (6)

где у- угловая деформация, т- касательные напряжения, а - коэффициент сдвиговой деформаций, G -- модуль сдвига при W= const.

Для случая плоской деформации полученные автором физические уравнения влагоупругости c учетом анизотропности деформирования среды имеют следующий вид

а = Е*(W)[D](1 + ~eo) , (7)

где а = {ах ,ау ,rxy} - вектор напряжений,

E*(W) = Ey (W) / (1 + Mx )(1 ~Mx - 2цхцу) - приведенный модуль деформаций, | D] - матрица приведенных коэффициентов Лямэ, s = {sx ,sy ,Yxy} - вектор

деформаций, so - вектор влажностных деформаций, определяемый из следующей зависимости

ex(W) + М в (W)

x ХУ '

8o = Щ (W)

в y (W (W)

x x

= Щ (W) в (W),

(8)

где /их- коэффициенты Пуассона по осям, в (W) - вектор коэффициентов набухания или просадки, Т- знак транспонирования.

Экстремальная постановка задачи отыскания поля перемещений U в плос-кодеформированном основании следующая: для данного распределения поля влажности Ш(х,у,$ в момент времени t [3] найти соответствующий этому моменту вектор перемещений и (х,у), определенный и непрерывный в замкнутой области F вместе со своими производными, удовлетворяющий на границе 5 области кинематическим граничным условиям и сообщающий минимальное значение полной потенциальной энергии деформации

Д(и) = Ц Е* (Ж) Г [А] и) т[ В]Г0.5[ А] и-£оV~иР }йГ—Рд , • I У 0 1 1 1

Здесь р - вектор массовых сил; Р,- - сосредоточенные силы; д! - перемещение точек приложения этих сил; I - число сил; [ А] - матрица дифференциальных операций уравнений равновесия теории упругости [4].

Пусть заданная область F представлена совокупностью М конечных элементов. Примем, что в пределах одного элемента э справедливы соотношения:

й (х, у) = N] дэ, (10)

где [-М]- матрица функций формы элемента, дэ - вектор перемещений узлов

элемента. Подставляя (10) в выражение (9) и минимизируя для одного элемента, получаем:

[К]Д + Ярэ + Веоэ - Рэ = 0, (11)

где [К]э = ЦЕу(Ж)([А][Ж]) т[В]([А][Ж])ёхёу, (12)

Гэ

Ъоэ = -ЦЕу(Ж)([А] [Ж])т [В]р(Ж)¥(Ж)с1хёу, (13)

Гэ

Ярэ = -Ц[ Щ т р йхйу. (14)

Гэ

Для всей области после суммирования вкладов отдельных элементов, имеем [К]д + ЯР + Я£о - Р = 0. (15)

После удовлетворения граничным условиям из этой системы линейных алгебраических уравнений определяется итоговый вектор узловых перемещений б. Для полного решения задачи определения характеристик напряженно-деформированного состояния среды необходимо найти векторы напряжений и деформаций. Это делается отдельно для каждого элемента с помощью известных геометрических соотношений Коши для плоской задачи и обобщенного закона Гука [4]. По векторам напряжений и деформаций с помощью стандартных зависимостей классической теории упругости могут быть определены главные напряжения и деформации, углы наклона главных площадок, коэффициенты запаса и т.д.

Известно [5], что для решения контактной задачи бинарной системы «сооружение - основание» методом конечных элементов (МКЭ) наиболее удобным является классический метод Б.Н. Жемочкина - А.П.Синицына

Он полностью совместим с дискретными методами расчета оснований и позволяет сравнительно простым путем получать решения многих задач промышленного, гражданского и гидротехнического строительства.

Основные положения этого метода применительно к расчетной схеме взаимодействия конструкции конечной длины с основанием (рис. 1, а) изложены в работе[5]. При этом функция распределения контактных напряжений основания Р(х) в случае воздействия силовых и влажностных нагрузок будет иметь, в общем случае, криволинейный вид (рис. 1б). Так как основание представлено совокупностью конечных элементов, то можно предположить взаимодействие конструкции с основанием в конечном числе контактных точек с интерполяционным представлением функции распределения контактных напряжений Р(х) в межузловых интервалах.

В классической постановке принимается кусочно-постоянная аппроксимация функции распределения контактных усилий Р(х), упрощающая построение эпюр силовых факторов. В данной работе было использовано как кусочно-постоянное, так и разработанное автором полиномиальное представление функции распределения контактных напряжений.

В соответствии с общими положениями МЖС для расчета статически неопределимой системы, приведенной на рис. 1б, можно выбрать смешанный метод. Основная система будет иметь вид на рис. 1в. Используя принцип суперпозиции нагрузок, решение задачи можно разбить на два этапа. На первом

этапе определяются составляющие вектора контактных усилий - X р, соответствующих квазистатической задаче

Xр - вектор контактных напряжений; Ар - вектор грузовых членов от внешней силовой нагрузки.

грузовых членов А р приведена в работе [5].

Наиболее сложным вопросом в этой методике расчета является определение перемещений контактной поверхности основания. Если для обычных линейно-деформируемых сред эти перемещения могут быть найдены на основе решения Фламана [5], то для структурно-неустойчивых основании они должны определяться из решения задачи МКЭ [6, 7]. При этом легко учитываются произвольная конфигурация основания, его неодносвязность и геологическое сложение в отличие от классической трактовки МЖС.

На втором этапе расчета - из решения дополнительной системы уравнений

(МЖС).

смешанного метода;

(16)

Методика вычисления элементов симметричной матрицы и вектора

8

Х„, + А^ =0, (17)

Ш

где Аш вектор перемещений контактных узлов основания от геомеханических процессов набухания или просадки, определяются составляющие вектора контактных напряжений основания Хш .

Элементы вектора перемещений контактных узлов АШ определяются из полученного решения МКЭ общей задачи неоднородной влагоупругости структурно-неустойчивых оснований с учетом анизотропности деформирования грунтовой среды (система (15)).

Окончательный вектор реактивных усилий определяется как сумма составляющих в расчетные моменты времени:

х = х р + ХIV (18)

На основе известного вектора Х могут быть вычислены коэффициенты полиномов, аппроксимирующих контактное давление Р(х), и построены эпюры основных силовых факторов.

Общий алгоритм расчета конструкций на структурно-неустойчивом основании в соответствии с изложенной методикой расчета будет включать в себя следующие основные этапы:

На основе решения нелинейной задачи влагопроводности при неполном водонасыщении определяется влажностный режим основания в расчетные моменты времени.

Производится статический расчет заданной конструкции и ее основания

и определяется вектор Х р .

Производится расчет основания на приложенные к нему статические нагрузки и вектор Х р. Устанавливается активная зона геомеханических процессов набухания или просадки [2].

Производится расчет структурно-неустойчивого основания с учетом статических нагрузок и расчетного поля влажности и определяются перемещения контактных узлов поверхности основания.

Производится расчет заданной конструкции с учетом известных перемещений основания. Из решения системы уравнении (17) определяется дополнительный вектор реакций основания Х V. После суммирования по зависимости (18) получается окончательный вектор Х, с помощью которого вычисляются составляющие функции распределения контактных давлений основания Р(х) и строятся эпюры силовых факторов. При необходимости осуществляется переход к следующему расчетному моменту времени.

В заключении можно заметить, что предложенный метод оценки напряженно-деформированного состояния грунтовой среды и полученная на его основе методика решения контактной задачи позволяют моделировать не только геомеханические процессы набухания и просадки, но и влияние последних на развитие напряжений и деформаций в зданиях и инженерных сооружениях.

Основным преимуществом полученных зависимостей является возможность явного учета анизотропии деформирования грунтовой среды. Другим более важным достоинством является возможность рассмотрения различных теоретических и экспериментальных законов изменения влажностных деформации. С помощью предложенного метода можно определять не только перемещения поверхности увлажняемых массивов бинарной системы «сооружение - основание», но и изменения их напряженно-деформированного состояния в любой точке расчетной области, вызванного инфильтрационным влагопереносом.

1. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. - М.: Издательство АСВ, 2005. -488 с.

2. Тер-Мартиросян З.Г. Прогноз механических процессов в массивах многофазных грунтов. -М.: Недра, 1986. -292с.

3. Тедеев Т.Р., Арунянц Г.Г. Методология и алгоритмы расчета полей влажности в задачах проектирования грунтовых сооружений. - Владикавказ: Терек, 2005. -203 с.

4. Александров А.В., Потапов В. Д. Основы теории упругости и пластичности. -М.: Высшая школа, 1990. -400 с.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

5. Жемочкин Б.Н., Синицын А. П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М., Госстройиздат, 1962, - 240 с.

6. Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. -304 с.

7. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Недра, 1974. - 240 с. ШЕЕ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Тедеев Тимур Рутенович — кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Плиева Л.Ю. - младший научный сотрудник, Южный математический институт, backoffice@smath.ru

- РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ГОРНАЯ КНИГА»

ОБЕЗВОЖИВАНИЕ ОРГАНИЧЕСКОГО САПРОПЕЛЯ В ГЕОТЕКСТИЛЬНЫХ КОНТЕЙНЕРАХ GEOTUBE®

(985/12-13 от 07.10.13., 9 с.)

Ялтанец И.М., Казаков В.А., Ермолаев C.B.

DEHYDRATION OF ORGANIC SAPROPEL IN GEOTEXTILE CONTAINERS GEOTUBE®

JItanets I.M., Kazakov V.A., Ermolaev S.V.