К вопросу про апроксимацию зависимости бокового увода Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ, ТЕХНОЛОГИЯ ПРОИЗВОДСТВА, РЕМОНТА И СЕРВИСА АВТОМОБИЛЕЙ

УДК 629.113

ДО ПИТАННЯ ПРО АПРОКСИМАЦІЮ ЗАЛЕЖНОСТІ БІЧНОГО ВІДВЕДЕННЯ

В.П. Сахно, професор, д.т.н., Національний транспортний університет (НТУ), Київ В.А. Макаров, доцент, к.т.н., А.В. Костенко, доцент, к.т.н., В.Г. Вербицький, професор, д.ф.-м.н., Донецька академія автомобільного транспорту

Анотація. Запропоновано підхід до визначення «чутливості □ апроксимації залежності сил бічного відведення на прикладі «магічної□ формули та її поліномного наближення на основі побудови біфуркаційної діаграми.

Ключові слова: відведення бічне, діаграма біфуркаційна, поліном, формула «магічна□

К ВОПРОСУ ПРО АПРОКСИМАЦИЮ ЗАВИСИМОСТИ БОКОВОГО УВОДА

В.П. Сахно, профессор, д.т.н., Национальный транспортный университет (НТУ), Киев В.А. Макаров, доцент, к.т.н., А.В. Костенко, доцент, к.т.н., В.Г. Вербицкий, профессор, д.ф.-м.н., Донецкая академия автомобильного транспорта

Аннотация. Предложен подход к определению «кувствителъности□ аппроксимации зависимости сил бокового увода на примере «магической □ формулы и ее полиномного приближения на основе построения бифуркационной диаграммы.

Ключевые слова: увод боковой, диаграмма бифуркационная, полином, формула «магическая □

TO THE QUESTION OF APPROXIMATION OF LATERAL WITHDRAWAL DEPENDENCE V. Sakhno, Professor, Doctor of Technical Science, National Transport University, Kyiv, V. Makarov, Associate Professor, Candidate of Technical Science,

A. Kostenko, Associate Professor, Candidate of Technical Science, V. Verbitsky, Professor, Candidate of Physical-Mathematical Science, The University of Transportation Systems and Technology (DAAT), Donetsk, Ukraine

Abstract. The approach to definition of «Sensitivity □ of dependence approximation of lateral withdrawal forces on example of the «magic □formula and its polynom bifurcation diagrams approach on the basis of construction is offered.

Key words: lateral withdrawal, bifurcation diagrams, polynom, magic formula.

Вступ

При дослідженні динамічних якостей математичної моделі автомобіля □ стійкості, керованості та маневреності постає питання про спосіб описання взаємодії автомобільно-

го колеса та дороги. Коректний вибір залежності бічної сили від кута відведення У-Д5) є важливою частиною при вирішенні цього питання. Одним з найпоширеніших прийомів є відома Ю^агічнаП формула, що запропонована X. Пацейкою [1], в роботі ставиться пи-

тання про можливість спрощеної апроксимації цієї залежності у вигляді кубічного полінома, який би не призводив до суттєвих похибок динамічних показників моделі.

Мета та постановка задачі

Визначення Віутливості □ апроксимації залежності сил бічного відведення на прикладі магічної формули та її поліномного наближення на основі побудови біфуркаційної діаграми, що є інтегральною характеристикою стійкості всієї множини стаціо-нарних станів.

Апроксимація залежності бічного відведення

Одним з найпопулярніших способів зображення залежності бічної сили від кута відведення є відома Магічна □ формула, що запропонована X. Пацейкою [1]

Y = Dsin [сarctg {В5 - E(B5 - arc tg (B8))}], (1)

де D, C, B, E □ коефіцієнти формули, що визначають зовнішній вигляд графіка залежності стабілізуючого моменту від кута відведення з урахуванням різних факторів, що можуть впливати на бічне відведення (рис. 2, б).

Обираючи відповідні коефіцієнти, що входять в формулу (6), можна забезпечити відповідну апроксимацію кривих, отриманих в результаті тестування шин.

відведення за допомогою магічної формули та кубічного полінома. Слід зауважити, що загальний вигляд кубічного полінома (рис. 1) залежить від знака коефіцієнта, що знаходиться біля кубічного члена (або біля члена, що має пйтий степінь) рівнянь (2) та (3): крива 1 відповідає позитивному коефіцієнту, крива 2 □ негативному.

Рис. 1. Залежності бічної сили від кута відведення: а □ формула Пацейки; б □ поліноми

Постає питання щодо співставлення результатів дослідження курсової стійкості руху з урахуванням однієї та другої залежностей.

Для отримання кубічного полінома, що відповідає рівнянню (1), слід визначити такі параметри: коефіцієнт опору бічного відведення □ £5; кут відведення за максимально можливої бічної СИЛИ □ 5/ при їтах, коефіцієнти « та К§.

Для застосування цієї формули необхідно знати близько 50 коефіцієнтів, що визначаються експериментально. Це, безумовно, потребує дуже високотехнологічного обладнання.

В деяких роботах, зокрема [2], запроповано використовувати поліноми, що можуть мати такий вигляд:

Y = k5S- и582 + K5S3;

Y = ksS- и583 + KsS5.

(2)

(3)

Математично коефіцієнт опору бічного відведення □ це похідна бічної сили по куту відведення на початку координат, що геометрично відповідає куту нахилу прямою, яка дотична до кривої ї = /(5), що показано на рис. 1, а. Отже, для розрахунку визначимо похідну для рівняння (2)

у _ Всо8(Сагс^(-В5 + Е(Е5 - агс^(55)))) х х

ї _----------------------------------~----X

1 + (-В5 + Е( В5 - аг^( В5))))2

В . (4)

C(-B + E(B -

1 + B25

)

1 + (-B5 + E( B5 - arctg( B5))))2

де £5, «5, К □ коефіцієнти полінома.

На рис. 1, а та 1, б наведено, відповідно загальний вигляд графіків, що описують бічне

далі слід підставити в отримане рівняння (4) 5 = 0 та визначити величину коефіцієнта £

k=BCD.

(5)

Рівняння (5) можна використати як для перевірки розрахунку, оскільки в літературі наведено коефіцієнти формули, які можна перемножити, так і для безпосереднього отримання коефіцієнта к^.

Величину кута відведення за максимальної бічної сили 5тах знайдемо з рівняння (1), підставивши величину максимальної бічної сили □ чисельно дорівнює коефіцієнту В, отже величина 5Г визначиться з рівняння

Аналогічно отримані коефіцієнти полінома п Этого степеня (3)

К = 1 3Утах 25 тах к5

5 2 б*

1 — 45 к5

тах 5

-5У„

2

53

(12)

Необхідні для апроксимації величини к5, 5тах та їтах можна отримати з незалежного експерименту, що значно спрощує задачу.

Гтах = (6)

С агс tg |В5У - Е (5У - агс tg (В5У ))}] .

тах

= В 8ІИ

Далі визначимо похідну для рівняння (2), отримаємо

У' = к5 — 2п55 + 3К55 .

(7)

Приравнявши У' = 0, отримаємо квадратичне рівняння, з якого, в свою чергу, одержимо вираз для знаходження кута відведення за максимальної бічної сили для полінома 5Ур:

5ур = 3

1 п5 + УП5 3К 5 к5

К 5

(8)

Відповідно, для отримання виразу для розрахунку максимальної бічної сили їтах підставимо 8їр в рівняння (2)

У =-1 х

тах р 27

(9)

(п5+а/П5 3К5к5 )(6К5к5 п5 П5 VПс5 3К5к5)

К52

В результаті складемо систему рівнянь

|5Ур 5 тах = 0;

І У — У

тах р тах.

(10)

Підставивиши в систему (9) отримані вище дані, одержимо рівняння для знаходження величин «5 та К5:

Для подальшого дослідження використаємо велосипедну схему автомобіля з такими параметрами: маса 6 000 Н; база 2,42 м; відстань від передньої осі до центра мас а = 1,6 м. Математичні рівняння руху велосипедної моделі легкового автомобіля мають такий вигляд

т

(и + ую) = У + У2

25

У ю = аУг —ЬУ2.

(13)

Використаємо результати експерименту, що наведені в [3]:

- для передніх коліс

ї _ 3 6508ІИ [1,19аг^ {0,2395 + 0,678 х

х (0,2395 - аг^ (0,2395))}];

- для задніх коліс □

ї _ 19368ІИ[1,5аг^{0,2445 + 0,132 х

х (0,2445 - аг^ (0,2445))}].

На рис. 2 наведено співставлення трьох варіантів отримання залежностей бічного відведення.

У. Н

1

К = к55тах + 2Ут

—2к55 + 3У

5 тах тах

Рис. 2. Залежності бічної сили від кута відведення: а □ передні колеса; б □ задні ко-(11) леса; 1 □ поліном пйтого степеня; 2 □

СкагічнаП формула; 3 □ кубічний поліном

5

2

5

З аналізу рис. 3, а видно, що є якісні зміни □ при використанні СкагічноїП формули отримуємо додаткові області на біфуркаційній діаграмі. Якщо співставити множини, отримуємо рис. 3, б.

І* -OÍS -0.005 0005 OOS в.раЗ

a б

Рис. 3. Біфуркаційні множини: а □ магічна; б □ поліноми; 1 □ магічна формула; 2 □ поліном пИтого степеня; 3 -кубічний поліном

Якщо, біля критичної швидкості майже прямолінійний рух, та маємо якісне відхилення, що засвідчує про додаткову увагу при досі-дженні саме таких режимів руху автомбіля (великі швидкості та невеликі кути повороту коліс). З іншого боку, можливість реалізації водієм або реакція водія на зміни в цій області є сумнівною (зміна кута 0 в межах від мінус 0,06 □ до плюс 0,06 рад).

При великих кутах повороту керованих коліс та невеликих швидкостях вигляд множин ідентичний, хоча є невеликі кількісні зміни, які, мабуть, не призводять до великої похибки досліджень саме таких режимів (наприклад, рух автомобіля на поворотах малого радіуса).

Використовуючи біфуркаційні множини, можна приблизно оцінити радіус руху центра мас при криволінійному русі за формулою

R = v/ю. Наприклад, для швидкості 12 м/с отримано, що для біфуркаційної множини 1 □ R = 16,4 м; для 2 □ R = 17,4 м; для 3 □ R = 18,1 м. Було визначено радіуси в діапазоні швидкостей v = 10Q5 м/с найбільша похибка становить 10 % при швидкості, що відповідає 15 м/с, причому при зменшенні швидкості похибка зменшується. Це означає, що дослідження курсової стійкості руху в режимах, що відповідають швидкостям до 15 м/с, цілком можливе за допомогою поліномів.

Висновки

Залежно від прийнятої дослідником апроксимації залежності бічної сили від кута відведення можливі дещо різні результати. Це не означає, що прийнята та чи інша апроксимація зовсім не є правильною.

Література

1. Pacejka H. The magic formula tyre model /

H. Pacejka, E. Bakker // Prog. IstCollog. Models for Vehicle Dynamic Analysis. Delft. □ Amsterdam : Swits and Zeitlinger, 1991. □ P.1Q8.

2. Костенко A.B. Аналіз впливу стабілізацій-

них моментів на характеристики стійких стаціонарних станів моделі автомобіля з абсолютно жорстким керованим модулем / A.B. Костенко, А.М. Єфименко, В.Г. Вербицький // Вісник Донецької академії автомобільного транспорту. □ 2010. □ №4. □ С. 68П73.

3. Pacejka H. Tyre modelling for use in vehicle

dynamics studies / H. Pacejka, E. Bakker, L. Nyborg. // SAE. □ Paper No. 870421.

Рецензент: В.П. Волков, професор, д.т.н., ХНАДУ.

Стаття надійшла до редакції 9 серпня 2011 р.