CC BY
31
УДК 517.977.1
К ВОПРОСУ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Д.Ю. Муромцев, Е.Н. Яшин
Кафедра «Конструирование радиоэлектронных и микропроцессорных систем», ТГТУ
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: динамическая система; оптимальное управление; стратегия управления; управляемость.
Аннотация: Дано понятие практической работоспособности и управляемости. Производится анализ и оценка степени управляемости с учетом ограничений на управление.
А, В - матрицы параметров модели ди намики объекта;
I - минимизируемый функционал;
Ь (Я), £с (Я) - вектор синтезирующих переменных и область существования решения ЗОУ при данном массиве Я;
Ьгр - граница области (Я);
/0, /к - начало и конец временного интервала управления;
идоп - допустимая область изменения и;
и - вектор управления размерности т; z - вектор фазовых координат размерности п;
0 к
z , z - начальное и конечное значение вектора z.
Обозначения
Применение метода синтезирующих переменных позволяет выполнить полный анализ оптимального управления применительно к конкретной задаче [2]. Здесь подразумевается определение областей существования решения, видов и параметров функции оптимального управления. На практике довольно часто возникают ситуации, когда для объекта не существует решения задачи оптимального управления (ЗОУ). Тогда интересует возможность управления объектом при изменении некоторых исходных данных в допустимых пределах, которая характеризует работоспособность системы управления. В данной постановке по работоспособности можно судить о качестве и живучести системы управления.
Например, решается классическая ЗОУ применительно к линейному стационарному объекту с ограничением на управление, с закрепленными концами траекторий изменения вектора г и фиксированным временным интервалом управления. В общем случае эта задача может быть дополнена ограничениями на траектории
г (•) = (г(/), /е[/о,/к ]), и (•) = (и (/), / е[/о,/к ]) и значение функционала I
г = Аг(/) + Ви(/), Ае А, Ве В, /е[^,/к], /к е Тк; (1)
Г (*о ) = г0, Г (/к ) = гк, г0 е 2о, гк е 2к; (2)
" е [t0,*к ] : и (1 )е идоп; идоп е ^доп;
(3)
I = [ fo (z,u,t) dt ® min, f0 : R xR xR ® R, (4)
u
t0
где A, B, Тк, Zo, , идоп - области возможных значений компонентов
ЗОУ, которые могут иметь место в процессе эксплуатации объекта.
Для численного решения ЗОУ (1) - (4) задается массив исходных данных
R = (A, B, Пдоп, z0, zк, to, ^), (5)
определяются в синтезирующем пространстве значения для синтезирующего вектора L и соотношения для границ области Lc существования решения ЗОУ, если
L (R) е Lc, то для задаваемого массива R решение ЗОУ существует. Вместе с тем задаваемые компоненты массива (5) из областей A, B, Тк, Zo, Zк, идоп могут быть такими, что L (R)й Lc . В этом случае возникает задача нахождения некоторого управления иэ (t), которое эффективно с точки зрения минимизации
потерь от нарушения некоторых ограничений задачи (1) - (4).
Решение данной задачи связано с исследованием свойства практической работоспособности системы оптимального управления [4]. При анализе практической работоспособности рассматриваются вопросы устойчивости, управляемости и качества переходных процессов при различных значениях массива исходных данных массива (5). Если для реализации оптимального управления (ОУ)
и* (•) = (и(t), t е [to,^]) используется программная стратегия, то основную роль
приобретает оценка практической управляемости системы. В данном случае проверки управляемости по Калману, т.е. выполнения условия
rank(BM ABM A2Bi ...M An-1B ) = n ,
является недостаточно, так как данный критерий не учитывает наличие ограничения (3) на управление [1].
Исследование управляемости требует проведения расширенного анализа задачи управления, для которой необходимо сформулировать количественные критерии управляемости. Для количественной оценки управляемости в случае L (R )* Lc (R) введем понятие запаса управляемости.
Определение 1. Под запасом управляемости при ограниченном управлении (ЗУОУ) объекта с (A, B,UД0П) и задаваемых Zo , Zк понимается некоторое расстояние d в пространстве синтезирующих от L(r) до Lгр (r) , которое можно
свести к нулю увеличением времени At или изменением других компонентов массива R в допустимых и заранее оговоренных пределах.
Если имеется ограничение на время, то определение 1 дополняется условием
At £ Atдоп .
При анализе систем управления и соответственно объекта на множестве состояний функционирования (МСФ) H различным состояниям функционирования h соответствуют разные значения массива R [3], т.е. имеет место множество массивов исходных данных
={Rh, hей}. (6)
Для отдельных значений Rh є Ян условия управляемости могут не выполняться. Будем полагать множество Rн дискретно и конечно. Выделим в нем два подмножества: подмножество Яу значений Rh, для которых условия управляемости выполняются, и подмножество Я со значениями Rh , для которых эти условия не выполняются. Если Я Ф 0, то для системы вводится понятие степени управляемости.
Определение 2. Степень управляемости характеризует возможности системы в решении задач управления на МСФ и количественно оценивается по формуле
|Яу|
* = ы, <7)
здесь Я - число элементов множества Я .
Если для множества (6) известны вероятности значений Rh , т.е. Rh, h ей , то степень управляемости равна
= Z Ph , (8)
heHу
где Hy - подмножество состояний функционирования, соответствующее подмножеству Я у .
В случае L (R)й Lc (R) дополнительно возникает задача выбора цели (ЗВЦ), которая связана с коррекцией цели управления и определением за счет изменения каких компонентов массива R следует осуществлять программу u(-). ЗВЦ формулируется следующим образом. Известны допустимые отклонения от задаваемых исходных данных (5), т.е. Адоп, Агкдоп, i = 1,n, А^оп и функции «штрафа» для этих отклонений c (r), r е {а^оп, Аг^доп, i = 1,n, AUД0П}. Требуется,
используя формулы расчета синтезирующих переменных определить значения r , при которых l(r ) е Lc (r ) и суммарная функция штрафа минимальна, здесь R -массив исходных данных, содержащий r .
Пример. Пусть n = 2 , управление скалярное и
A = Ia o 1, B = f
l o a2 J Vb2
В этом случае система управляема по Калману, если
rank I b a'b' I = 2.
^2 a2b2y
Это имеет место при Ь^2(a1 -a2)ф 0, или a2 Фa1. Проверим данную систему на управляемость при ограничении на управление для исходных данных R = (a1 =-0,1; a2 =-0,2; Ь = 0,1; Ь2 = 0,045; uн =-380; ^ = 380; z10 = 0; z0 = 10; z1к = 100; z| = 50; ґ0 = 0; ґк = 10), Ь2 = [0,03; 0,045] (9)
при этом А/доп = 16 .
Синтезирующие переменные рассматриваемой системы определяются по формулам
Дu = u в - u н, Дt = t к -10.
Область £Гр задается соотношениями в параметрической форме
I' ■ = (е~а'Д -2-0,5щДТ +1), i = 1; 2, Тп е [0;2] (11)
р ai Дt' '
и
(е~а'Д -2-0,5щД(Тп -1), i = 1; 2, Тп е [0;2] , (12)
р щ Дt' >
здесь Тп - нормированное время переключения управлений игр1 (t) и и гр2 (t) .
При исходных данных (9) I (Я )й £с (Я) проверка на управляемость по критерию, сформулированному в определении 1, показывает, что система управляема при ограниченном управлении, так как с увеличением Дt до Д^ =15 годограф вектора 1(Я)= L(Дt1) достигает £ гр (Дtl).
Если в массиве Я вместо ^ = 0,045 взять ^ = 0,03, то система становится неуправляемой, так как при сколь угодно большом значении Дt годограф вектора 1(Д) не пересекает £гр (Д1). Следует заметить, что условие управляемости по
Калману при ^ = 0,03 выполняется. Т аким образом, при ^ = 0,45 систему управления можно считать практически работоспособной, а при Ь2 = 0,03 практически неработоспособной, если значения и г| зафиксированы.
Используя предполагаемый подход, нетрудно оценить запас управляемости по величине параметра « Ь2 ». В рассматриваемом примере объект перестает быть
управляемым при ограниченном управлении при Ь2р » 0,036 и запас управляемости составляет ДЬ2 = Ь2 - Ь2Тр = 0,09 или Д^/Ь2 -100% = 25 %.
Таким образом, рассмотрены вопросы практической работоспособности систем управления и управляемости объектов с использованием метода синтезирующих переменных. Введено понятие запаса управляемости. Разработан программный продукт, позволяющий выполнять расширенный анализ энергосберегающего управления на множестве состояний функционирования с позиции практической работоспособности. Результаты исследований использованы при проектировании системы управления многозонной электрической печью производства позисторов.
Список литературы
1 Воронов, А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А.А. Воронов. - М.: Наука, 1979. - 336 с.
2 Муромцев, Д.Ю. Методы и алгоритмы синтеза энергосберегающего управления технологическими объектами : монография / Тамбов; М.; СПб.; Баку; Вена : Изд-во «Нобелистика», 2005. - 202 с.
3 Муромцев, Ю.Л. Моделирование и оптимизация технических систем при изменении состояний функционирования / Ю.Л. Муромцев, Л.Н. Ляпин, О.В. Попова. - Воронеж : ВГУ, 1992. - 164 с.
aAt-1), i = 1; 2, (1o)
4 Пупков, К.А. Интеллектуальные системы / К.А. Пупков, В.Г. Коньков. -М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 348 с.
To the Question of Practical Efficacy of Management Systems D.Yu. Muromtsev, E.N. Yashin
Departments “Designing of Radio-Electronic and Microprocessor Systems ”, TSTU
Key words and phrases: dynamic system; manageability; management strategy; optimal management.
Abstract: The notions of practical efficacy and manageability are given. The analysis and evaluation of the degree of manageability with regard for limited management are implemented.
Zur Frage der praktischen Arbeitsfahigkeit der Steuersysteme
Zusammenfassung: Es ist den Begriff der praktischen Arbeitsfahigkeit und Steuerung gegeben. Es wird die Analyse und die Einschatzung der Stufe der Steuerlig-keit unter Berucksichtigung der Beschrankungen auf die Steuerung angefuhrt.
Sur le Probleme de la capacite de travail pratique des systemes de la gestion
Resume: Est donnee la notion du probleme de la capacite de travail pratique et de la gestion. Est realisee l’analyse de revaluation du degre de la gestion compte tenu des limitations de celle-ci.
