К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ ЗВЕНЬЕВ ПРЕЦЕССИОННОЙ ПЕРЕДАЧИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833

С. Н. Хатетовский, Л. Г. Доконов, Д. С. Галюжин

К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ ЗВЕНЬЕВ ПРЕЦЕССИОННОЙ ПЕРЕДАЧИ

UDC 621.833

S. N. Khatetovsky, L. G. Dokonov, D. S. Galyuzhin

ON THE ISSUE OF EVALUATING ELASTIC DEFORMATIONS OF PRECESSIONAL TRANSMISSION LINKS

Аннотация

Приведены формулы для определения длины контактной линии и проекций главного вектора и главного момента внешних сил. Рассмотрен вопрос определения прогиба входного вала планетарной прецессионной передачи типа KHV под воздействием сил зацепления методом Мора.

Ключевые слова:

прецессионная передача, передача эксцентрикового типа, точки контакта, линия контакта, силовой расчет.

Abstract

Formulas for determining length of the contact line and projections of the main vector and the main moment of external forces are given. The paper considers the issue of determining the deflection of the input shaft of planetary precessional K-H-V transmission under the action of meshing forces by using the Mohr method.

Keywords:

precessional transmission, eccentric transmission, contact points, contact line, force calculation.

Прецессионная передача относится к классу эксцентриковых передач [1]. Она характеризуется малыми радиальными габаритами и обеспечивает относительно большие передаточные отношения. Поэтому при ее синтезе конструктору приходится решать ряд проблем.

Первая проблема - обеспечение высокой жесткости звеньев: при малых габаритах неизбежны их значительные упругие деформации, которые приводят к нарушению правильности зубчатого зацепления.

Вторая проблема - обеспечение кинематической точности: даже при относительно небольших значениях погрешностей сборки и упругих деформациях звеньев, которые нарушают правильность зацепления, большое переда-

точное отношение масштабирует кинематическую погрешность.

Расчет сил, действующих в зацеплении колес прецессионной передачи, и, соответственно, упругих деформаций звеньев до настоящего времени осуществлялся по приближенной методике [2]. Это приводило к необходимости закладывать в расчеты большие коэффициенты запаса и, как следствие, к частичной потере преимуществ по мало-габаритности.

В работе рассматривается теоретически точная методика расчета сил, действующих в зацеплении колес прецессионной передачи, и предлагается методика оценки упругих деформаций входного вала.

Указанные методики основаны на

© Хатетовский С. Н., Доконов Л. Г., Галюжин Д. С., 2020

уравнении контакта зубьев колес прецессионной передачи [3]:

= "

Яс • (cos0-и12)• sinф sin 0^ sin(ф + ф1)

= 0, (1)

где г - аппликата точки контакта на

цилиндрической поверхности ролика (зуба центрального колеса), которая определяется в системе координат хгуш, жестко связанной с центральным колесом; Яс - радиус центров роликов; 0 - угол нутации; пи - передаточное отношение при остановленном входном вале; ф - полярный угол точки контакта на поверхности ролика; ф1 - угол поворота центрального колеса.

Две другие координаты точки контакта в системе хгуш [3]:

г1х1 =Р- Б1п Ф; Г1ух = Яс -Р-СО8 ф ,

(2)

(3)

где р - радиус ролика.

Линию контакта можно развернуть на плоскость и представить в виде функции г = / (х) [3]. При этом длина линии контакта может быть найдена следующим образом:

5 =

1 +

Г <ь_ Л

\ ёх j

ёх.

(4)

В этой формуле производная

к = ё2 = ёх

'с

•(cos 0- п12 )• cos

х

p•Sln

Ф1 +■

х

•sln 0

pj

• (сОБ0 - п12 ) • б1п— • СОБ

Ф1 + -

х

pj

р • б1п2

Ф1 +-

х

(5)

•б1П 0

pj

а пределы интегрирования

хт1п = р • фп

х„

:Р-Фп

(6)

(7)

Методика определения фт1п и фтах с учетом многопарности зацепления рассмотрена в [3].

Согласно методике, изложенной в [4], интенсивность распределенной по длине линии контакта нагрузки может быть найдена по следующей формуле:

М, д = —

1

(8)

Г1х1 • П1 у1 Г1 у1 • П1х1

где М1 - крутящий момент, приложенный к центральному колесу прецессионной передачи; Яг - длина линии контакта г-й контактирующей пары зубьев при многопарном зацеплении; п1х -

абсцисса единичной нормали к поверхности ролика, восстановленная в точке контакта; п1у1 - ордината единичной

нормали к поверхности ролика, восстановленная в точке контакта.

В системе Х1уш координаты указанной нормали п определяются следующим образом:

п1х1 =б1п ф ;

п1л = соб ф ;

п12 = 0.

(9)

(10)

(11)

Рассмотрим входной вал прецессионной передачи типа КНУ (рис. 1) в неподвижной системе координат хуг, начало отсчета которой совмещено с центром прецессии О.

Со стороны сателлита на него действуют главный вектор и главный момент активных сил (рис. 2).

X

тах

X

/

Рис. 1. Схема входного вала прецессионной передачи

Рис. 2. Схема входного вала с наложенными связями относительно сателлита

Для упрощения расчетов принимаем для входного вала один диаметр, равный наименьшему диаметру его ше-

ек. Таким образом, получаем расчетную схему, показанную на рис. 3.

Рис. 3. Расчетная схема входного вала с наложенными связями относительно сателлита

Проекции главного вектора и главного момента активных сил в си-

стеме координат ху2 найдем следующим образом:

Fx =

Мфшгх I м . 7 2

1 V 1Г пЛх 1 + к

» ф Г1х - П1 у Г1 у ■ П1х

тшт I

^-I/

л /Г ^шг

рМ-и

-ё ф;

п1 у■>/1 + к2

ф Г1х ■ П1у Г1 у ■ п1х

Т Ш1ПI

-ё ф;

(12)

(13)

.... Л /Т фшг

^-I /Г

ШГХI /1 . 7 2

п1г ■ V1 + k

I»I Ф Г1х ■ П1 у Г1 у ■ n1x

тШ™

ёф;

(14)

м р^^! ^V' (п12 ■ Г у -п1 у ■ (Л2 -l)) ■ л/Г^^2 Mcx -I / --—--dф;

I »»1

r1x ■ п1 у Г1 у ■ п1х

^ау =

ф.П I

р.М, „фш?х| (п,х •(г1г -/)-п1г ■г1х)■л/ 1 + к2

I »I

I /

Г1х ■ п1 у Г1 у ■ п1х

(15)

ёф; (16)

м РМ (п1 у ■ Г1х - п1х ■ Г1 у ) ^1 + к 2 ё

= ■I / —---ёФ,

I »1

Г1х ■ п1 у Г1 у ■ п1х

где г1х, г1 , г1г - координаты точки контакта в системе хуг; п1х, п1 , п1г - координаты единичной нормали в системе хуг.

Чтобы выразить п1х, п1 , п1г, г1х,

г1у, тХг через параметры ф и ^ , следует осуществить переход от системы координат хгуш к системе хуг (рис. 4). Этот переход осуществляется при помощи матричного преобразования, если координаты точки контакта и координаты нормали представить в виде вектор-столбцов:

Я1 = Я11 =

1х1

Г у1 1

#1 = #11 =

п

п

п

1х1

1 у

1г1 0

(18)

(19)

/

<9

\

О, о.

г, г

Рис. 4. Схема перехода от системы координат х1у1г1 к системе хуг

Матрица преобразования имеет вид:

Т01 =

СОБ ф1 - б1п ф1 0 0

б1п ф1 СОБ ф1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (20)

Таким образом, в системе координат хуг вектор-столбец, составленный из координат точки контакта, определится следующим образом:

R01 = T01 Х R11

cos ф1 - sin ф1 0 0" Г1х1

sin ф1 cos ф1 0 0 Х Г1У1

0 0 1 0 r1z1

0 0 0 1 1

cos ф1 - sin ф1 0 0

sin ф1 cos ф1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

р • sin ф RC -р-cosф

Х

r1z1 1

р • sin ф • cos ф1 - (RC - р • cos ф) • sin ф1 р • sin ф • sin ф1 + (RC - р • cos ф) • cos ф1

r1z1 1

Аналогично для координат нормали:

N 01 = T01 х Ñu

cos ф1 - sin ф1 0 0" " n1x,

sin ф1 cos ф1 0 0 Х n1 У1

0 0 1 0 n1z1

0 0 0 1 0

(21)

cos ф1 - sin ф1 0 0" sin ф

sin ф1 cos ф1 0 0 cos ф

Х =

0 0 1 0 0

0 0 0 1_ _ 0 _

sin ф • cos ф1 + cos ф • sin ф1 sin ф • sin ф1 - cos ф • cos ф1 0 0

(22)

Таким образом,

r1x = р•sin 9^cos ф1 -

- (RC -р^cosф)• sinф1; (23) r1y = р^ sin ф^ sin ф1 -

- (RC -р^cosф)• cosф:; (24) n1x = sin ф^ cos ф1 + cos ф^ sin ф1; (25)

n1 = sin ф^ sin ф1 - cosф^ cosф1; (26)

nz = 0.

(27)

Из приведенных выражений видно, что проекция главного вектора на ось г будет равна нулю, т. к. п1г = 0.

Из расчетной схемы (см. рис. 3) определим реакции опор, составив четыре уравнения равновесия:

X ^ = 0; Вх + Сх + ^ = 0; (28)

X = 0; Ву + Су + ^ = 0; (29)

ХМсу = 0; Вх • а + Мсу = 0; (30) ХМ^ = 0; -Ву • а + Мсх = 0. (31)

Решая данную систему уравнений, определим реакции опор:

В МСх .

Ву =-;

а

С — В

^у 1 у ±-'у 1 у

М,

Сх .

а

Вх =—-

М,

су .

а

Сх = ^ — Вх = ^ +.

М,

Су

Так как входной вал находится под действием сил, расположенных в двух плоскостях, то расчет прогиба также необходимо производить в двух плоскостях, находя перемещения по координатам х и у. Затем общий прогиб найдем по формуле [5]

А = >/х2 + у2 ,

(32)

где х и у - перемещение точки вала по осям х и у соответственно.

Составим расчетную схему вала (рис. 5).

Вначале рассмотрим перемещение точки С вала под действием проекций сил, расположенных в плоскости уС2. Для этого составим расчетную схему действующих в этой плоскости сил, а также покажем расчетную схему вала с приложенной в точке С единичной силой для нахождения перемещения с помощью интеграла Мора (рис. 6).

а

Рис. 5. Расчетная схема входного вала

Рис. 6. Расчетная схема нагружения входного вала в плоскости уС2 для определения перемещения точки С

Для представленной на рис. 6 расчетной схемы уравнение для опре-

деления перемещения точки С будет иметь вид:

ус

= ТГГ/((-Су ■ + 22) - Ву ■ 22) ■ (1 ■ ^2)) ¿2. (33)

Для определения перемещения точки В рассмотрим схему нагружения,

представленную на рис. 7, и составим соответствующее уравнение:

ув = -А-1 /((-а ■ 21 и-1 ■ )+

Е ■ I

х V о

ь

+/(-Су "(( + г2 ) + 22 )- Ву ■ 22 )^(-1 ■(а + 22 ))

(34)

Рис. 7. Расчетная схема нагружения входного вала в плоскости уСг для определения перемещения точки В

Аналогично рассчитывается и про- ложенных в плоскости хС2:

гиб вала в точках С и В для сил, распо-

х.

С

= ЕТ/(( • (а + 22 ) - Вх ■ 22 ) ■ (1 ■ 22)) ё2; (35)

Е ■1 у 0

х

в

Е ■ I

У(/((( ■ 21 )■(-1 ■ 2,)) +

' 1у V 0

ь

+Д-Сх •(( + 22 ) + 22 )-Вх ■ 22 ) ■ (-1 + 22 ))

(36)

Общий прогиб вала в точках С и В

матические показатели передачи и произвести корректировку геометрических параметров входного вала с целью увеличения жесткости. Приведенные в работе расчеты позволят в дальнейшем создать методику расчета прецессионной передачи типа КНУ при задании выходных параметров редуцирующего устройства.

А в =V xB2 + Ув2 .

Полученные выражения прогиба в точках С и В позволят на стадии проектирования учесть их влияние на кине-

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОМ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скойбеда, А. Т. Коническо-цилиндрические прецессионные редукторы (КЦПР) / А. Т. Скойбе-да, П. Н. Громыко. - Минск: БГПА, 2001. - 189 с.

2. Корректировка результатов силового анализа прецессионного редуцирующего механизма с коническими роликами на основе использования методов компьютерного моделирования / П. Н. Громыко [и др.] // Горная механика и машиностроение. - 2012. - № 2. - С. 73-83.

3. Определение линий контакта зубчатых колес прецессионной передачи при многопарном зацеплении / С. Н. Хатетовский [и др.] // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2019. - № 3. - С. 104-111.

4. Заблонский, К. И. Жесткость зубчатых передач / К. И. Заблонский. - Киев: Технша, 1967. - 259 с.

5. Федосьев, В. И. Сопротивление материалов: учебник / В. И. Федосьев. - 10-е изд., перераб. и доп. - Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 592 с.

Станислав Николаевич Хатетовский, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. E-mail: mechlab@yandex.ru.

Леонид Геннадьевич Доконов, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. E-mail: leon25@tut.by.

Даниил Сергеевич Галюжин, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет.

Stanislav Nikolayevich Khatetovsky, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: mechlab@yandex.ru.

Leonid Gennadyevich Dokonov, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: leon25@tut.by.

Daniil Sergeyevich Galyuzhin, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University.

Статья сдана в редакцию 9 ноября 2020 года