CC BY
12
УДК 004.04
К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ В АВТОМАТИЗИРОВАННОМ ПРОИЗВОДСТВЕ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
К.Н. Осипов, М.В. Заморенов, А.Н. Круговой
Рассматриваются вопросы практического внедрения и рассчитывается точность оценок состояния динамических систем с использованием алгоритма фильтра Калмана. Результаты решения классической прикладной задачи оценки параметров двигателя постоянного тока в условиях априорной неопределенности, используя вычислительный эксперимент, сравниваются с результатами, полученными в ходе натурного эксперимента. Показана медленная сходимость оценок, полученных фильтром Калмана, к истинным значениям в условиях априорной неопределенности.
Ключевые слова: динамическая система, фильтр Калмана, стохастическое оценивание.
Совершенствование математического обеспечения современных автоматизированных систем управления, в том числе алгоритмов идентификации и оценки состояний динамических объектов и систем остается актуальным для многих инженерных приложений, например, таких как анализ измерительной информации в задачах управления движением беспилотных транспортных средств или технологических объектов [1 - 3]. Объясняется это постоянным ужесточением требований к конкурентоспособности изделий при условии необходимости снижения производственных затрат, что особенно актуально в условиях мирового промышленно-экономического кризиса. Кроме этого, актуальность исследований подтверждается современными направлениями развития РФ, отраженными Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ) и Российским фондом научных исследований (РНФ) в перечне современных критических технологий.
В ходе оценки состояний сложных технических объектов и систем под вектором состояния понимают вектор физических величин, однозначно характеризующих поведение системы [4], процесс наблюдения за которой в общем виде описывается системой двух уравнений:
i (t) = f (x(t), u(t), w(t)),
(1)
y(t) = j( x(t), e(t)).
В системе (1) (га1)-вектор x - вектор состояния системы; (mxl)-вектор y(t) - вектор наблюдения (вектор, содержащий измеренные значения вектора состояния); a(t), s(t) - внутренние и внешние возмущения соответственно; u(t) - вектор управления. Модель (1) соответствует случаю, когда непосредственное измерение вектора состояния невозможно.
193
Под оценкой вектора состояния или оценкой состояния системы понимают процедуру определения истинных значений вектора х(г) по известным значениям вектора наблюдений у(г), под идентификацией - определение значений параметров модели (1) по результатам наблюдений за системой [4, 5].
Наиболее распространенным алгоритмом оценки состояния и идентификации технических систем является фильтр Калмана [2]. Он применим для широкого класса систем и объектов различной физической природы, реализован в большом количестве встроенных систем управления и позволяет получить оценки с минимальной дисперсией ошибок [4]. Однако во многих современных научных трудах и технической литературе, например, [6, 7], показано, что с помощью фильтра Калмана получение оценок, оптимальных с точки зрения среднеквадратического критерия, возможно только при известных вероятностных характеристиках внешних и внутренних возмущений. Существующие субоптимальные и адаптивные алгоритмы оценивания в условиях неизвестных вероятностных характеристик шумов имеют ряд недостатков, связанных с нелинейностью, невысокой скоростью сходимости и недостаточной точностью получаемых оценок. В результате возникает задача определения возможностей технической применимости алгоритма фильтра Калмана в задачах оценки параметров технологического оборудования, используемого в современном производстве, в условиях априорной неопределенности, а также поиска путей дальнейшего совершенствования существующих алгоритмов фильтрации.
Целью данной работы является разъяснение вопросов определения возможностей технической применимости, практического внедрения и дальнейшего совершенствования алгоритма фильтра Калмана в задачах оценки параметров технологического оборудования современных производств в условиях априорной неопределенности
Рассмотрим классический пример, связанный с исследованием параметров двигателя постоянного тока. Под вектором состояния будем понимать совокупность двух переменных, характеризующих в каждый момент времени г угловую скорость ротора &(г) и ток в его обмотках ¡(1), под управлением - значения питающего напряжения и(г).
Математическая модель двигателя постоянного тока известна и представляет два дифференциальных уравнения.
Первое уравнение описывает электрическую цепь двигателя:
и (г) = Е (г) + ¡ (г) • г +Ь^^, (2)
йг
где Е(г) = Се • Ф • ю(г) - противоЭДС; Се - конструктивный коэффициент, Ф -магнитный поток; г - сопротивление обмоток якоря; Ь - индуктивность якоря.
194
Второе уравнение описывает связь крутящего момента, развиваемого двигателем, с нагрузкой и ускорением ротора:
dw(t)
J •
dt
= М - ),
(3)
где М = См • Ф • i(г) - крутящий момент, развиваемый двигателем; См -конструктивный коэффициент; J - момент инерции, приведенный к валу двигателя; / - коэффициент сопротивления вращению вала двигателя.
Если допустить постоянство магнитного потока, то можно принять
СМ Ф = Се • Ф = к .
Объединение уравнений (2) и (3) в систему уравнений позволяет представить модель двигателя постоянного тока в пространстве состояний:
х (г) = Ах(г) + Ви(г) + ;
(4)
у (г) = С • х(г) + Уг,
где Хг = [ю(г) i (г)] - вектор состояния системы; А
к - /
J J
к г
. Ь Ь.
матри-
ца перехода состояний; С - единичная матрица наблюдений; В =
0
1
Ь
матрица управления; у(г) - вектор измеренных значений вектора состояния.
Примем систему инвариантной, когда матрицы А, В и С не зависят от времени. Представление (4) необходимо для оценки и прогноза вектора состояния в реальном времени поступления нового измерения (наблюдения), используя алгоритм фильтра Калмана.
Модель (4), построенная на базе дифференциальных уравнений, описывает непрерывно изменяющееся состояние системы. Однако в реальных цифровых системах управления измерительная информация, поступающая на вход фильтра, представляет набор равноотстоящих во времени дискретных отсчетов. Поэтому для реализации дискретного алгоритма фильтра Калмана модель (4) должна быть переписана в дискретной форме, с использованием известного подхода, детально рассмотренного в [8, 9]:
х^ = Гх у-1 + Guj + е у;
(5)
Уу = С • + ,
где 2 х 1 - вектор ху = (юу ¡у) - вектор состояния, содержащий значения угловой скорости ротора &(г) и тока в его обмотках ¡(г) в дискретный момент времени]=1,2,3,...; Г = еАТ - квадратная матрица перехода состоя-
195
ний, соответствующая дискретному случаю; О = А 1 (еАТ -1)в - матрица управления, соответствующая дискретному случаю; е - матричная экспонента; Т - шаг дискретизации; ' - символ транспонирования; I - единичная матрица.
Процедура оценки вектора состояния фильтром Калмана с использованием модели (5) заключается в следующем [2, 4].
На первом этапе рассчитывается априорная (прогнозная) оценка вектора состояния хх по наблюденияму^.1,...,у0\
х^ / j-1 = FXj-1 + Оuj. (6)
Затем определяются значения априорной ковариационной матрицы ошибок оценивания
р/х-1 °е{хj/;-1 -хj/;-1 ]■[xj/;-1 -хj/j-1 Г}= ' + ^ , (7)
где Я - ковариационная матрица шумов в канале вектора измерения.
При поступлении нового наблюдения априорная оценка вектора состояния корректируется по формуле
х j = Х j|j -1 + Kjzj (8) в зависимости от разницы между наблюдением и априорной оценкой
zj = Уj - ох j / j -1. (9)
Эту разницу называют невязкой (инновацией, остаточным членом). Матрица Кх весовых коэффициентов (коэффициентов усиления) рассчитывается по формуле
К = р / 7-1С0) 1, (10)
где С0 = Е^^]= \cCPj/ j-\С' + Я]-]; Я - ковариационная матрица шумов в
канале вектора состояния системы.
Из анализа уравнений (6) - (10) следует, что их практическая реализация связана с необходимостью хранения априорных значений оценки вектора состояния и ковариационной матрицы ошибок оценивания. Это означает, что алгоритм не требует больших вычислительных мощностей в случаях, когда размерность вектора состояния невелика. Увеличение размерности вектора состояния вызывает увеличение массива, необходимого для хранения указанных величин, а также увеличивает вычислительную сложность. Для современных ЭВМ это несущественно. Однако при реализации алгоритма на базе портативных (бортовых) микропроцессорных систем, в которых имеются ограничения на объем памяти оперативных и постоянно запоминающих устройств, размерность вектора состояния оказывает влияние на скорость вычислений.
Оценка точности алгоритма (6) - (10) проведена в несколько этапов. На первом этапе проведен вычислительный эксперимент в среде МмИЬаЬ. Параметры системы (5) были определены для двигателя постоянного тока
196
СЛ-661 и имели следующие значения: Г
0,97 0,0069 " - 0,504 - 0,0026
G = кова
е =
0,0239 0,567 жационных
, время дискретизации составляло 0,01 с. Истинные значения матриц шумов предполагались следующими:
. Распределение шума задава-
0,01 0 рад/с" и Я = 0,9 0 рад/с
0 0,05 _ А _ 0 0,1 _ А _
лось нормальное с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Численно точность алгоритма определялась значениями относительной ошибки оценивания с использованием следующего уравнения:
Еггог = х 4 -100%. хг
(11)
где хг - истинные значения вектора состояния; хг - оценка вектора состояния.
Результаты вычислений при известных значениях ковариационных матриц шумов е и Я представлены на рис. 1.
Рис. 1. Оценка вектора состояния фильтром Калмана при известных характеристиках внешних возмущений
Анализ результатов вычислений показал высокую точность определения значений вектора состояния при известных значениях параметров шума. Ошибки оценивания в течение первых шагов сходятся к нулю. Однако дальнейшее исследование взаимосвязи между точностью оценивания вектора состояния и точностью определения значений ковариационных матриц шумов е и Я показало противоположный результат. Например, задание значений ковариационных матриц шумов е и Я с погрешностью в 10...15 % вызывает значительное увеличение ошибок оценивания и време-
ни адаптации фильтра (таблица, рис. 2). Под временем адаптации понимается количество шагов, необходимых для завершения переходного времени вычисления значений ошибки оценивания.
Кроме этого, установлено, что на результат оценивания большое влияние оказывают начальные приближения ковариационной матрицы
ошибок оценивания Ро, оценки вектора состояния х), а также точность нахождения численных значений элементов переходной матрицы F.
Исследование точности процесса оценивания
Показатель Отклонение значений ковариационных матриц шумов от истинных значений, %
5 10 15 20 25
Среднее значение ошибок оценивания, % 7 12 23 25 37
Время адаптации, кол. шагов 15 28 150 370 680
Рис. 2. Оценка вектора состояния фильтром Калмана в условиях отсутствия достоверных сведений о значениях ковариационных
матриц шумов
Натурный эксперимент, в рамках которого были выполнены попытки оценить значения угловой скорости и силы тока в обмотке якоря двигателя СК 661 при различных значения уровня помех (погрешностей измерений) и неизвестных значениях параметров шумов, к сожалению, подтвердил невысокую скорость сходимости ошибок оценивания к нулю (рис. 3 - 5). На всех рисунках по оси абсцисс отложен номер измерения. Измерения проводились в лаборатории исследования электрических приводов Севастопольского государственного университета с использованием цифроаналогового осциллографа OWON 8Б85032Б. При этом в условиях, когда мощность помех значительно меньше мощности полезного сигнала, алгоритм фильтра Калмана даже при задании ошибочных значений параметров шума со временем настраивается и позволяет решить задачу оценивания (рис. 4). Однако если мощность помех возрастает и стремиться
198
к мощности полезного сигнала, то задача определения истинных значений вектора состояния при неизвестных параметрах шумов становится невыполнимой (рис. 5).
а б
Рис. 3. Результаты измерения угловой скорости ДПТ СЛ 661: а - измерения выполнены с использованием емкостного фильтра помех; б - измерения без дополнительной фильтрации
Рис. 4. Оценка вектора состояния ДПТ СЛ-661 при низком уровне
помех в канале измерений
Рис. 5. Оценка вектора состояния ДПТ СЛ-661 при высоком уровне
помех в канале измерений
199
Анализируя результаты натурного и вычислительного экспериментов, можно сделать вывод о том, что использование алгоритма фильтра Калмана для решения задач оценки состояния технически сложных машиностроительных объектов и технологического оборудования в реальном времени измерений, например, в ходе автоматизированных испытаний, возможно только в условиях наличия достоверной априорной информации о параметрах возмущений, а также в условиях, когда мощность шума значительно меньше мощности полезного сигнала. В условиях отсутствия априорной информации о вероятностных параметрах шума, а также в условиях, когда мощность шума (помех, погрешностей измерений и т.д.) стремится к мощности полезного сигнала, решение задачи оценивания невозможно. Это подтверждает предположение о том, что эффективное решение задачи оценивания параметров вектора состояния в условиях отсутствия информации о ковариационных матрицах шума Q(t) и R(t), особенно для нелинейных объектов, до сих пор не найдено. По мнению авторов, решение этой задачи может быть достигнуто путем построения адаптивного алгоритма оценивания на основе информационной меры Кульбака, являющейся естественной мерой близости двух вероятностных распределений.
Список литературы
1. Подивилова Е.О., Ширяев В.И. Сравнение оценок минимаксного фильтра и фильтра Калмана // Вестник ЮУрГУ. 2012. № 40 (299). С. 182 - 186.
2. Simon D. Kalman Filtering // Bedded systems programming. 2001. P. 72 - 79.
3. Distributed Kalman Filtering over Massive Data Sets: Analysis Through Large Deviations of Random Riccati Equations / Di Li, Soummya Kar, Jose' M. F. Moura, H. Vincent Poor, Shuguang Cui. //arXiv:1402.0246 [cs.IT] 12 June 2015 [Электронный ресурс] URL: http: //arxiv. org/pdf/ 1402.0246v3.pdf (дата обращения: 22.12.15).
4. Mohinder S., Angus P. Kalman Filtering: theory and practice using Matlab. N.Y.: A Wiley Interscience Publication John Wiley & Sons. Inc., 2001. 401 p.
5. Pervukhina E. Identification of Technical System on Trials for Adaptation to Specific Functioning Modes // ZAMM-Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1996. Vol.76. Suppl. 3. P. 533 - 534.
6. Pervukhina E., Emmenegger J.-F. Adaptive Time Series Filters Obtained by Minimization of the Kullback-Leibler Divergence Criterion // International Journal of Applied Mathematics. Vol. 17. N1. P. 69 - 89.
7. Pervukhina E., Osipov K., Golikova V. Stochastic Models in Acceptance Testing for Complex Machines // Second International Symposium on Stochastic Models in Reliability Engineering, Life Science and Operations Management (SMRLO). 2016. P. 87 - 94.
8. Bar-Shalom Y. and Li X.R. Estimation with Applications to Tracking and Navigation. 2001. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA.
9. Brown R.G., Hwang P.Y.C. Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3rd ed. New York: Wiley & Sons, 1997.
Осипов Константин Николаевич, канд. техн. наук, доцент, assis-tenttmmamail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, assistenttmmamail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Круговой Александр Николаевич, канд. техн. наук, доцент, assistenttmmamail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
THE PROBLEMS OF ESTIMA TION OF MEASUREMENT INFORMA TION IN THE A UTOMA TED PRODUCTION IN THE CONDITIONS OF THE PRIORITY UNCERTAINTY
K.N. Osipov, M. V. Zamoryonov, A.N. Krugovoy
The questions of practical realization of the method of estimations of the state of the dynamic system with the use of the Kalman filter is shown. The results of solving the classical applied problem of estimating the parameters of a DC motor under conditions of a priori uncertainty, using a computational experiment, are compared with the results obtained in the course of a full-scale experiment. The slow convergence of the estimates obtained by the Kalman filter to the true values in the conditions of a priori uncertainty is shown.
Key words: Kalman's filter, estimations, dynamic systems.
Osipov Konstantin Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, sis-tenttmma mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Zamoryonov Mikhail Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, assistenttmmamail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Krugovoy Alekcandr Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, assistenttmmamail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University
