К вопросу определения релаксационных констант уравнения связи максвелла для жестких полимеров в задачах устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

К вопросу определения релаксационных констант уравнения связи максвелла для жестких полимеров в задачах устойчивости.

И.И. Кулинич, С.Б. Языев, С.Б. Языева

Ростовский государственный строительный университет

Во многих работах [1-5 и др.] показано, что вязкоупругое поведение полимеров хорошо описывается нелинейным обобщенным уравнением Максвелла, сформулированным российским ученым Г.И. Гуревичем. Для одномерного случая нагружения это уравнение имеет вид:

Же* а (а- ЕХЛ

= —ехо -------—

аг

* л *

где - Б-тая составляющая спектра высокоэластической деформации, г/^ - начальная

V

*

V

*

- модуль высокоэластичности, *

ад*

релаксационная вязкость, Еад - модуль высокоэластичности, т ж - модуль скорости деформации.

В данной работе на основе результатов экспериментальных исследований изотермической релаксации температурных напряжений представлен метод определения релаксационных констант уравнения (1).

В качестве объекта исследования рассматривались: полиметилметакрилат, имеющий линейную структуру, и эпоксидная смола ЭДТ-10, имеющую сетчатую структуру. Эксперимент проводился на тонкостенных трубках, с жестко защемленными торцами. Нагревание или охлаждение от начальной температуры Т0 до конечной температуры Тг (температуры релаксации) осуществлялось с постоянной скоростью нагревания

(охлаждения) йТ по линейному закону:

Жг

Т(г, г) = То ±

аХ

В момент времени Хг в образце достигалась температура Тг и напряжения а0,

которые были начальными для процесса изотермической релаксации температурных напряжений.

Если Тг > Т0 (нагревание), напряжения со временем уменьшались и через определенное время стремились к горизонтальной асимптоте, соответствующей напряжению а, •

Как показывает эксперимент, конечные напряжения ак в процессе изотермической релаксации температурных напряжений не зависят от скорости нагревания (охлаждения)

и, таким образом, от начальных напряжений а0. Но напряжения ак зависят от

Жг

температуры релаксации Тг и температурного перепада АТ = Тг — Т0. Эта зависимость для обоих полимеров может быть записана в виде:

а, Т ) = — А(ТГ )■ АТ (2)

Таким образом, из этой экспериментальной зависимости мы можем найти А(Тг).

Введем абсолютный и относительный перепады напряжений (а —а) и у--------------. Тогда из

К -ак)

(а-ак)

экспериментальных кривых а(г) мы можем вывести кривую зависимость 1п

(ао -ак ).

как

функцию времени I. Из этих кривых можно заметить, что они после некоторого времени становятся прямыми линиями, и можно написать:

ln

(a-ak ) (ao -ak )

_ _J^t + V(ст0-ak\)

Таким образом, мы можем получить константы В и V .

Ниже показано, что три эмпирических константы (А, В, V) имеют теоретические аналоги из обобщенного уравнения Максвелла, если мы рассматриваем только одну составляющую вязкоупругой деформации.

Положим, что полная деформация є является суммой:

(3)

T

Здесь

a

E

упругая деформация; є* -высокоэластическая деформация,

T

єт - І а(Т)dt - аЬТ - температурная деформация.

Поскольку торцы образца защемлены, можно положить s = 0 и при определенной температуре s = const. Тогда из (1) и (3) получим:

da _ a(E + К,)-ЕЕє

dt

Vo

exp

a(E + E,)- EE є

Em

(4)

Принимая во внимание, что в конце изотермической релаксации температурных напряжений (: ^ да) ^ 0, из (4) мы можем получить

dt

ak =

EE є

EE,,

E + E, E + E, Этот результат соответствует (2), и мы имеем

-аЫ

A -

EE„

■а

Е + Ех,

Таким же образом мы можем получить формулы для констант В и V .

B -

E + E„

V(ao -ak|)=£-

(-1)

U гг I E + E, ao-a '1^

.. . пп!

Если в (1) формально заменить экспоненту единицей, то получим линейную (или линеаризованную) теорию. Нетрудно показать, что линейная теория дает другие результаты и не позволяет описать процесс изотермическую релаксацию температурных напряжений.

Выводы

Таким образом, если в (1) формально заменить экспоненту единицей, то получим линейную (или линеаризованную) теорию. Нетрудно показать, что линейная теория дает другие результаты и не позволяет описать процесс изотермической релаксации температурных напряжений.

Литература

1. Андреев В.А. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.:

T

0

*

n

АСВ, 2002.- 288 с.

2.Турусов Р.А. Механические явления в полимерах и композитах. Докт. дисс., М., 1983. - 363 с.

3.Рабинович А.Л. Введение в механику армированных полимеров, - М.:

«Наука», 1970.- 482 с.

4.Гуревич Г.И. Деформируемость сред и распространение сейсмических волн. -М.: Наука, 1974.- 482с.

5.Языев Б.М. Устойчивость жесткого сетчатого полимерного стержня с учетом начальных несовершенств. - М.: Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008, Том 15, вып. 2.

6.Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

7.Аскадский А.А. Деформация полимеров. - М.: Химия, 1973. - 448 с.