CC BY
39
Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести
Н.И. Никора1, А.С. Чепурненко1, С.В. Литвинов1 1 Ростовский государственный строительный университет
Аннотация: Рассматривается методика расчета на устойчивость с учетом нелинейной ползучести сжатых полимерных стержней. В качестве закона связи между напряжениями и деформациями используется нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Из анализа выведенных разрешающих уравнений при времени стремящемся к бесконечности, получено выражение для длительной критической силы в случае постоянной жесткости стержня.
Ключевые слова: нелинейная ползучесть, стержень, устойчивость, уравнение Максвелла-Гуревича, метод конечных разностей, длительная критическая сила, релаксационная вязкость, вязкоупругость, модуль высокоэластичности.
Рассматривается шарнирно опертый по концам стержень, сжимаемый силой F, и имеющий начальную погибь в плоскости наименьшей жесткости = /(x) (рис. 1а).
1
Используется модель вязкоупругого материала, в соответствии с которой полная деформация представляется в виде суммы упругой
деформации и деформации ползучести е*:
ст *
е =—+ е .
Е
(1)
Причем модуль упругости Е может быть переменным по длине стержня, т.е. Е = /(х), а е*- функция от х и у.
В соответствии с гипотезой плоских сечений полная деформация
р
стержня е представляет собой сумму осевой деформации 0 и деформации, вызванной изменением кривизны:
е = ео - У
Л
(2)
Из уравнений (1) и (2) получим:
а = Е
ео - У
Л
-е
(3)
Рассмотрим равновесие отсеченной части стержня (рис. 1б). Положительными будем считать растягивающие напряжения. Составим сумму моментов относительно центра тяжести поперечного сечения:
£Мс = 0: + У0)-\oydA = 0.
(4)
Составив сумму проекций всех сил на ось стержня в недеформированном состоянии, получим:
£ Р = 0 ^ Р = -\оСА.
(5)
Подставим (3) в (4):
Р(у + у0) = Е
сС \
| уСА - — | у2 йА - |е* уСА
(ЛЛ
V А
(6)
1
Величина \ у^ представляет собой статический момент сечения, и
А
она равна нулю; величина 1г = \ у2 dA — осевой момент инерции. Индекс «г»
А
далее будет опущен.
Окончательно разрешающее уравнение для шарнирно опертого стержня примет вид:
d 2
Е(х)1 (х) —V + Еу = -Еу0 -Е\б*у^А. (7)
^^Х а
Выражение для осевой деформации получим, подставив (3) в (5):
d2 у *ч ,, „ , d2У
Е = -\Е(£0 - у—^ ) dA = -ЕАб0 +—^\ydA + E^£*dA;
а dx dx а а
- \sdlA. (8)
Е_
ЕА а
*
Б0 =--+ —\£
А
Уравнение (7) решается методом Бубнова-Галеркина [1], либо методом конечных разностей [3, 5, 6, 9, 10]. Для определения деформаций б* в каждый момент времени можно использовать линейную аппроксимацию по времени [2, 4, 5].
Для прямоугольного поперечного сечения интегралы по площади, входящие в (7) и (8) сводятся к определенным интегралам:
к/2 к/2
* 7 Г * 7 Л 7 Г *
|б*ydA = Ь |Б*уоу, \e*dA = Ь \e*dy. (9)
А -к/2 А -к/2
В работах [3,10] для расчета стержня круглого сечения вводится сетка по г и р. Однако двойной интеграл по площади сводится к определенному
интегралу и для круглого сечения, т. к. деформация ползучести б* в поперечном сечении зависит только от у .
К я
о Г / г>2 ,.2
\б*ydA = \ Б*уЬ(y)dy = 2 \б*у^К2 - у2 dy;
-К -К
К .-
\ейЛ = 21 е* VК2 - у2 ¿у. (10)
А —К
Интегралы в (9) и в (10) вычисляются численно при помощи формул Симпсона или трапеций.
Деформация ползучести полимера представляется спектрами времен
релаксации: £* =^£*. Уравнение Максвелла-Гуревича для составляющих
спектра записывается в виде [8]:
е = г
*
д п
^ — функция напряжений, п — релаксационная вязкость.
^ 5
(11)
/,* * 1 1 . = ® — ; ""* = _~ еХР П П*.
т
(12)
где — модуль высокоэластичности, Пс*. — начальная релаксационная
вязкость, т* — модуль скорости.
В ряде работ [2, 7, 9] при анализе устойчивости в условиях линейной ползучести вводится понятие длительной критической силы Рдл. При Р < Рдл прогиб стержня затухает, при Р = Рдл прогиб растет с постоянной скоростью, а при Р > Рдл скорость роста стрелы прогиба монотонно возрастает.
Чтобы найти длительную критическую силу для материала, подчиняющегося закону Максвелла-Гуревича, проанализируем уравнение (11) при 1 . Допустим, что при времени, стремящемся к бесконечности, прогиб стремится к конечному значению. Тогда в конце процесса ползучести
равны нулю скорости роста каждой составляющей е :
^ 0 ^ /;= 0, п> 0. (13)
д1
Приравнивая к нулю функции напряжений ^, получим предельные величины каждой составляющей спектра:
^ = 0 ^ а - = 0 ^ Б1,пред = Е=-. (14)
Подставим (14) в (1):
^ (1 1 ^
(15)
б = а
Гл л \ Г1 п 1\
1 1 1
—+—+-+
VЕ Еод1 Еод2
= а
Е 5=1 Еод у
Введем величину длительного модуля H , определяемую по формуле: 11 п 1
-=-+Е—. (16)
H Е 5=1 ЕОД
Уравнение (7) при ^ ^ од перепишется в виде:
V
йх
Н (х)1 (х)—^ + Еу = - Еу0. (17)
Полученное уравнение отличается от уравнения продольного изгиба упругого стержня, имеющего начальную погибь, только тем, что в нем вместо мгновенного модуля упругости Е(х) стоит величина Н (х). Таким
образом, задача определения длительной критической нагрузки сводится к упругой путем замены мгновенного модуля на длительный. Для стержня
пП Н1
постоянной жесткости Едл = —2—. Отметим, что условие Е < Едл является
I
необходимым, но не достаточным для того, чтобы прогиб затухал. Иными словами, можно утверждать, что при Е > Едл стержень гарантированно потеряет устойчивость, но нельзя утверждать обратного.
Была решена модельная задача для стержня постоянной жесткости из ПММА при следующих исходных данных: длина стержня I = 157 мм, сечение круглое, d = 10 мм, Е = 2940 МПа. Учитывалась только
«старшая» составляющая спектра времен релаксации б* . Реологические
константы: Ea1 = 2500 МПа, rfQ1 = 1010 МПа-с, ш\ = 4.5 МПа. Длительная критическая сила для стержня составила Fdjl = 266 Н.
На рис. 2 представлены графики роста стрелы прогиба при F = 245 Н (кривая 1), F = 266 Н (кривая 2) и F = 280 Н (кривая 3).
Из рис. 2 видно, что, в отличие от линейной ползучести, как при F < Fdj, так и при F > Fdj имеется участок с затухающей скоростью роста
df
стрелы прогиба —. Далее при F = Fdj прогиб растет с постоянной
dt
г- г- df
скоростью, а при F > Fdj величина — возрастает.
dt
7 6 5
Е 4
г
«н- з 2 1 0
0 2000 4000 6000 8000 10000
t, час
Рис. 2. - Графики роста стрелы прогиба Литература
1. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
2. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ. №1. 2013, с. 101-108.
3. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И. и др. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный Вестник Дона, 2011, №2 URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.
4. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep // Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.
5. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.
6. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б. Устойчивость полимерных стержней при различных вариантах закрепления // Вестник МГСУ. №2. т.2. 2011. С.153-157.
7. Белоус П.А. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с учетом начальной кривизны//Труды Одесского политехнического института, 2001, №2. С. 43-46.
8. Гольдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1979. 320 с.
9. Клименко Е.С., Аминева Е.Х., Литвинов С.В., Языев С.Б., Кулинич И.И. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учетом физической нелинейности материала: монография. - Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2012. 77с.
10. Кулинич И.И., Клименко Е.С., Языев С.Б., Литвинов С.В. Продольный изгиб полимерного стержня с учетом начальных несовершенств
// «Строительство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159-161.
References
1. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
2. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Vestnik MGSU. №1. 2013, pp. 101-108.
3. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2011, №2 URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.
4. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.
5. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.
6. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., Yazyeva S.B. Vestnik MGSU. №2. t.2. 2011, pp. 153-157.
7. Belous P.A. Trudy Odesskogo politekhnicheskogo instituta, 2001, №2, pp. 43-46.
8. Gol'dman A.Ya. Prochnost' konstruktsionnykh plastmass [Strength of structural plastics]. L.: Mashinostroenie. Leningr. otd-nie, 1979. 320 p.
9. Klimenko E.S., Amineva E.Kh., Litvinov S.V., Yazyev S.B., Kulinich I.I. Ustoychivost' szhatykh neodnorodnykh sterzhney s uchetom fizicheskoy nelineynosti materiala: monografiya [Stability of compressed inhomogeneous rods taking into account physical nonlinearity of the material: a monograph]. Rostov n/D: Rost. gos. stroit. un-t, 2012. 77 p.
10. КиНшЛ 1.1., КНтепко Е.Б., Yazyev Б.Б., Litvinov Б.У.. «Stroitel,stvo-2011»: materialy Mezhdunarodnoy паиЛпо-ргакйЛеБкоу konferentsii. Rostov-n/D: RGSU, 2011, рр. 159-161.
