Научная статья на тему 'Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести'

Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
184
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ / СТЕРЖЕНЬ / УСТОЙЧИВОСТЬ / УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-ГУРЕВИЧА / МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ / ДЛИТЕЛЬНАЯ КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА / РЕЛАКСАЦИОННАЯ ВЯЗКОСТЬ / ВЯЗКОУПРУГОСТЬ / МОДУЛЬ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОСТИ / NONLINEAR CREEP / ROD / STABILITY / MAXWELL-GUREVICH / FINITE DIFFERENCE METHOD / LONG CRITICAL FORCE / RELAXATION VISCOSITY / VISCOELASTICITY / HIGH ELASTICITY MODULUS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Никора Н. И., Чепурненко А. С., Литвинов С. В.

Рассматривается методика расчета на устойчивость с учетом нелинейной ползучести сжатых полимерных стержней. В качестве закона связи между напряжениями и деформациями используется нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Из анализа выведенных разрешающих уравнений при времени стремящемся к бесконечности, получено выражение для длительной критической силы в случае постоянной жесткости стержня.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Determination of long-term critical loads for compressed polymer rods with nonlinear creep

The article provides information about method of sustainability calculation of compressed polymer rods taking into account nonlinear creep. As the law of the relationship between stress and strain is used nonlinear equation of Maxwell-Gurevich. Derived from the analysis of the resolving equations with time tends to infinity, we obtain an expression for a long critical force in the case of constant rigidity of the rod.

Текст научной работы на тему «Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести»

Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести

Н.И. Никора1, А.С. Чепурненко1, С.В. Литвинов1 1 Ростовский государственный строительный университет

Аннотация: Рассматривается методика расчета на устойчивость с учетом нелинейной ползучести сжатых полимерных стержней. В качестве закона связи между напряжениями и деформациями используется нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Из анализа выведенных разрешающих уравнений при времени стремящемся к бесконечности, получено выражение для длительной критической силы в случае постоянной жесткости стержня.

Ключевые слова: нелинейная ползучесть, стержень, устойчивость, уравнение Максвелла-Гуревича, метод конечных разностей, длительная критическая сила, релаксационная вязкость, вязкоупругость, модуль высокоэластичности.

Рассматривается шарнирно опертый по концам стержень, сжимаемый силой F, и имеющий начальную погибь в плоскости наименьшей жесткости = /(x) (рис. 1а).

1

Используется модель вязкоупругого материала, в соответствии с которой полная деформация представляется в виде суммы упругой

деформации и деформации ползучести е*:

ст *

е =—+ е .

Е

(1)

Причем модуль упругости Е может быть переменным по длине стержня, т.е. Е = /(х), а е*- функция от х и у.

В соответствии с гипотезой плоских сечений полная деформация

р

стержня е представляет собой сумму осевой деформации 0 и деформации, вызванной изменением кривизны:

е = ео - У

Л

(2)

Из уравнений (1) и (2) получим:

а = Е

ео - У

Л

(3)

Рассмотрим равновесие отсеченной части стержня (рис. 1б). Положительными будем считать растягивающие напряжения. Составим сумму моментов относительно центра тяжести поперечного сечения:

£Мс = 0: + У0)-\oydA = 0.

(4)

Составив сумму проекций всех сил на ось стержня в недеформированном состоянии, получим:

£ Р = 0 ^ Р = -\оСА.

(5)

Подставим (3) в (4):

Р(у + у0) = Е

сС \

| уСА - — | у2 йА - |е* уСА

(ЛЛ

V А

(6)

1

Величина \ у^ представляет собой статический момент сечения, и

А

она равна нулю; величина 1г = \ у2 dA — осевой момент инерции. Индекс «г»

А

далее будет опущен.

Окончательно разрешающее уравнение для шарнирно опертого стержня примет вид:

d 2

Е(х)1 (х) —V + Еу = -Еу0 -Е\б*у^А. (7)

^^Х а

Выражение для осевой деформации получим, подставив (3) в (5):

d2 у *ч ,, „ , d2У

Е = -\Е(£0 - у—^ ) dA = -ЕАб0 +—^\ydA + E^£*dA;

а dx dx а а

- \sdlA. (8)

Е_

ЕА а

*

Б0 =--+ —\£

А

Уравнение (7) решается методом Бубнова-Галеркина [1], либо методом конечных разностей [3, 5, 6, 9, 10]. Для определения деформаций б* в каждый момент времени можно использовать линейную аппроксимацию по времени [2, 4, 5].

Для прямоугольного поперечного сечения интегралы по площади, входящие в (7) и (8) сводятся к определенным интегралам:

к/2 к/2

* 7 Г * 7 Л 7 Г *

|б*ydA = Ь |Б*уоу, \e*dA = Ь \e*dy. (9)

А -к/2 А -к/2

В работах [3,10] для расчета стержня круглого сечения вводится сетка по г и р. Однако двойной интеграл по площади сводится к определенному

интегралу и для круглого сечения, т. к. деформация ползучести б* в поперечном сечении зависит только от у .

К я

о Г / г>2 ,.2

\б*ydA = \ Б*уЬ(y)dy = 2 \б*у^К2 - у2 dy;

-К -К

К .-

\ейЛ = 21 е* VК2 - у2 ¿у. (10)

А —К

Интегралы в (9) и в (10) вычисляются численно при помощи формул Симпсона или трапеций.

Деформация ползучести полимера представляется спектрами времен

релаксации: £* =^£*. Уравнение Максвелла-Гуревича для составляющих

спектра записывается в виде [8]:

е = г

*

д п

^ — функция напряжений, п — релаксационная вязкость.

^ 5

(11)

/,* * 1 1 . = ® — ; ""* = _~ еХР П П*.

т

(12)

где — модуль высокоэластичности, Пс*. — начальная релаксационная

вязкость, т* — модуль скорости.

В ряде работ [2, 7, 9] при анализе устойчивости в условиях линейной ползучести вводится понятие длительной критической силы Рдл. При Р < Рдл прогиб стержня затухает, при Р = Рдл прогиб растет с постоянной скоростью, а при Р > Рдл скорость роста стрелы прогиба монотонно возрастает.

Чтобы найти длительную критическую силу для материала, подчиняющегося закону Максвелла-Гуревича, проанализируем уравнение (11) при 1 . Допустим, что при времени, стремящемся к бесконечности, прогиб стремится к конечному значению. Тогда в конце процесса ползучести

равны нулю скорости роста каждой составляющей е :

^ 0 ^ /;= 0, п> 0. (13)

д1

Приравнивая к нулю функции напряжений ^, получим предельные величины каждой составляющей спектра:

^ = 0 ^ а - = 0 ^ Б1,пред = Е=-. (14)

Подставим (14) в (1):

^ (1 1 ^

(15)

б = а

Гл л \ Г1 п 1\

1 1 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—+—+-+

VЕ Еод1 Еод2

= а

Е 5=1 Еод у

Введем величину длительного модуля H , определяемую по формуле: 11 п 1

-=-+Е—. (16)

H Е 5=1 ЕОД

Уравнение (7) при ^ ^ од перепишется в виде:

V

йх

Н (х)1 (х)—^ + Еу = - Еу0. (17)

Полученное уравнение отличается от уравнения продольного изгиба упругого стержня, имеющего начальную погибь, только тем, что в нем вместо мгновенного модуля упругости Е(х) стоит величина Н (х). Таким

образом, задача определения длительной критической нагрузки сводится к упругой путем замены мгновенного модуля на длительный. Для стержня

пП Н1

постоянной жесткости Едл = —2—. Отметим, что условие Е < Едл является

I

необходимым, но не достаточным для того, чтобы прогиб затухал. Иными словами, можно утверждать, что при Е > Едл стержень гарантированно потеряет устойчивость, но нельзя утверждать обратного.

Была решена модельная задача для стержня постоянной жесткости из ПММА при следующих исходных данных: длина стержня I = 157 мм, сечение круглое, d = 10 мм, Е = 2940 МПа. Учитывалась только

«старшая» составляющая спектра времен релаксации б* . Реологические

константы: Ea1 = 2500 МПа, rfQ1 = 1010 МПа-с, ш\ = 4.5 МПа. Длительная критическая сила для стержня составила Fdjl = 266 Н.

На рис. 2 представлены графики роста стрелы прогиба при F = 245 Н (кривая 1), F = 266 Н (кривая 2) и F = 280 Н (кривая 3).

Из рис. 2 видно, что, в отличие от линейной ползучести, как при F < Fdj, так и при F > Fdj имеется участок с затухающей скоростью роста

df

стрелы прогиба —. Далее при F = Fdj прогиб растет с постоянной

dt

г- г- df

скоростью, а при F > Fdj величина — возрастает.

dt

7 6 5

Е 4

г

«н- з 2 1 0

0 2000 4000 6000 8000 10000

t, час

Рис. 2. - Графики роста стрелы прогиба Литература

1. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

2. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ. №1. 2013, с. 101-108.

3. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И. и др. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный Вестник Дона, 2011, №2 URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.

4. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep // Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.

5. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

6. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б. Устойчивость полимерных стержней при различных вариантах закрепления // Вестник МГСУ. №2. т.2. 2011. С.153-157.

7. Белоус П.А. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с учетом начальной кривизны//Труды Одесского политехнического института, 2001, №2. С. 43-46.

8. Гольдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1979. 320 с.

9. Клименко Е.С., Аминева Е.Х., Литвинов С.В., Языев С.Б., Кулинич И.И. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учетом физической нелинейности материала: монография. - Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2012. 77с.

10. Кулинич И.И., Клименко Е.С., Языев С.Б., Литвинов С.В. Продольный изгиб полимерного стержня с учетом начальных несовершенств

// «Строительство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159-161.

References

1. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

2. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Vestnik MGSU. №1. 2013, pp. 101-108.

3. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2011, №2 URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.

4. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.

5. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

6. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., Yazyeva S.B. Vestnik MGSU. №2. t.2. 2011, pp. 153-157.

7. Belous P.A. Trudy Odesskogo politekhnicheskogo instituta, 2001, №2, pp. 43-46.

8. Gol'dman A.Ya. Prochnost' konstruktsionnykh plastmass [Strength of structural plastics]. L.: Mashinostroenie. Leningr. otd-nie, 1979. 320 p.

9. Klimenko E.S., Amineva E.Kh., Litvinov S.V., Yazyev S.B., Kulinich I.I. Ustoychivost' szhatykh neodnorodnykh sterzhney s uchetom fizicheskoy nelineynosti materiala: monografiya [Stability of compressed inhomogeneous rods taking into account physical nonlinearity of the material: a monograph]. Rostov n/D: Rost. gos. stroit. un-t, 2012. 77 p.

10. КиНшЛ 1.1., КНтепко Е.Б., Yazyev Б.Б., Litvinov Б.У.. «Stroitel,stvo-2011»: materialy Mezhdunarodnoy паиЛпо-ргакйЛеБкоу konferentsii. Rostov-n/D: RGSU, 2011, рр. 159-161.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.