К вопросу об устойчивости алгоритмической торговой системы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

29 (71) - 2011

Рынок ценных бумаг

УДК 336.76

К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ ТОРГОВОЙ СИСТЕМЫ

в. Ю. АРЬкОв,

доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем управления E-mail: v_arkov@mail.ru

А. М. ШАМСИЕвА,

соискатель кафедры автоматизированных систем управления E-mail: aliyha@list.ru Уфимский государственный авиационный технический университет

В работе проанализированы подходы к проектированию систематизированных правил для осуществления инвестиционной деятельности. Сделан вывод о необходимости применения статистических методов к оценке устойчивости алгоритма торговых стратегий. Определены критерии оценки показателей эффективности торговых систем с учетом робастной характеристики.

Ключевые слова: инвестиционная деятельность, технический, анализ, торговый, систем, показатель, эффективность, устойчивость.

Введение

В последнее время наблюдается высокий интерес к инвестиционной деятельности на фондовых биржах. Инвестиционные возможности фондового рынка все чаще используются профессиональными участниками, компаниями и частными инвесторами. В настоящее время возможности инвестиций для частных инвесторов значительно расширились, и их число постоянно увеличивается. Среди инвесторов можно выделить интересующихся инвестиционными фондами и тех, кто работает самостоятельно на фондовой бирже (трейдеры).

Благодаря развитию информационных технологий и соответствующего программного обеспечения все большее внимание уделяется именно самостоятельной разработке системы правил осуществления торговых операций на фондовых биржах. Важную роль при этом играет торговая система (совокупность правил), основанная на применении конкретного алгоритма в процессе принятия инвестиционных решений по сделкам.

В предлагаемой статье рассмотрены вопросы проектирования торговой системы, приведены сравнение торговых систем и оценка эффективности алгоритмов рассматриваемых торговых стратегий. Проанализированы практические результаты тестирования системы с точки зрения подхода к оценке устойчивого функционирования торгового алгоритма системы.

Алгоритмическая торговля в инвестиционной деятельности

Ожидаемым результатом работы на фондовом рынке является увеличение размера депозита (счета) и избежание частичной или полной потери

денежных средств. Трейдерская деятельность представляет собой многократное повторение определенных действий по покупке/продаже финансовых инструментов (ценных бумаг, фьючерсных контрактов и т. д.) на основе анализа текущей рыночной ситуации. Существуют два подхода к анализу фондового рынка для определения будущих торговых операций — фундаментальный и технический.

Принятие инвестиционных решений может базироваться как на внутренних представлениях трейдера, так и на четко сформулированных правилах осуществления сделок и управления капиталом. Будущая динамика цен финансовых инструментов содержит в себе неопределенность, необходимость постоянного принятия решений приводит к тому, что на сегодняшний день важная роль отдается системному подходу.

Системный подход подразумевает принятие инвестиционных решений на основе сигналов, получаемых по заложенному в стратегию алгоритму. Работа заключается в исследовании графиков и формулировке торговых правил [3]. Системный подход позволяет также оценить количественно, насколько эффективна торговая система, что возможно реализовать при использовании соответствующих программных продуктов тестирования и оптимизации торговых алгоритмов. Так как алгоритм торговый системы задан набором правил определения сигналов на различные типы сделок и механизмы ограничения возможных убытков, алгоритм становится проверяемым на разных периодах исторических данных (котировки финансовых инструментов).

В большинстве случаев торговая система строится на принципах технического анализа. Технический анализ представляет собой методологию анализа временных рядов, а также статистический анализ условий для осуществления сделок на различных типах рынков (фондовом, срочном, валютном и т. д.).

Технический анализ основан на графическом рассмотрении рынков с использованием соответствующих индикаторов, выраженных математическими формулами [1]. Существует несколько принципиально разных подходов к торговле на основе технических индикаторов. Наиболее часто используемые виды стратегий на основе технического анализа представляют собой трендоследящие и пробойные стратегии.

Трендовая стратегия подразумевает вхождение в рынок по сигналу технического индикатора в сторону движения рынка. Важной задачей при

этом является точное определение начала тренда. Если рынок находится в «боковике» (отсутствие направленного движения) или достаточно волатилен, трендовая стратегия может привести к значительному снижению размера депозита.

Пробойная стратегия основана на вхождении в рынок, когда цена приближается либо отскакивает от важных уровней поддержки и сопротивления (исторические ценовые уровни минимума и максимума, линии тренда). Суть стратегии заключается в графическом построении уровней по экстремумам ценовых значений выбранного инструмента и принятии решения о совершении сделки в момент отскока или пробития этих уровней.

Данные классы стратегий используют систему правил принятия решений по сделкам (торговая система). Торговая система представляет собой набор правил, согласно которым принимается решение об открытии или закрытии позиций. Эти правила должны быть четко формализованы для автоматизированной работы на рынке и проведения анализа показателей эффективности торговых стратегий. При проектировании торговой системы необходимо определить основные параметры моделирования.

Обычно торговая система включает в себя набор условий или правил для выполнения следующих действий:

— правила определения направления движения рынка (определение возможного типа сделки, размера участвующего капитала);

— правила определения моментов для совершения сделки или фиксирования прибыли/ограничение убытков (непосредственно сами сделки на фондовом рынке);

— выставление ограничительных сигналов (ограничение возможных убытков).

Описание алгоритмов торговых систем

Задача исследования заключается в определении метода оценки эффективности торговой системы. В работе исследуются две стратегии, представляющие собой наиболее популярные классы торговых стратегий (трендовые и пробойные). Ниже приведены описания алгоритмов (набора правил) рассматриваемых стратегий.

Торговая система графического анализа. Торговая система графического анализа (ТС ГА) является пробойной, а также трендовой (осуществление сделки в направлении движения рынка) и заключается в построении траектории движения цены

финансового инструмента, построении уровней и определении моментов для совершения торговых операций.

Алгоритм системы содержит ряд правил для определения сигналов входа/выхода на фондовый рынок. Определение наиболее оптимальных параметров данного набора правил является важной частью разработки торговой системы. Правила рассматриваемой торговой системы представлены на рис. 1.

Правила эти таковы.

1. При построении траектории:

— количество свечей М;

— ценовой размах N %.

2. При определении величины точек входа и выхода из позиции:

— ширина уровня поддержки/сопротивления L, % (Ь / 2 % от цены в каждую из сторон);

— ценовой фильтр Р, %.

Для начала необходимо построить траекторию движения цены инструмента, при этом учитывать количество свечей М, через которые проводится траектория. Также при построении траектории ценовой размах с каждой стороны от значения максимальной цены должен составлять N % и более с каждой стороны разворотного экстремума.

Затем определяются разворотные минимумы/ максимумы, через которые проводятся соответственно так называемые наклонные линии, и уровни поддержки/сопротивления, представляющие собой зоны. Размер зоны зависит от периода графика. Величина зон на часовом графике составляет L, % (Ь / 2 % от цены в каждую из сторон).

Еще один параметр, участвующий в определении сигнала на покупку/продажу: ценовой фильтр Р, % — значение отрезка, который необходимо отложить от зоны поддержки/сопротивления при пробое или отскоке цены от этой зоны.

Торговая стратегия пересечения скользящих средних (ТС ПСС). Одной из самых известных и простых трендо-вых торговых стратегий является получение

сигналов на совершение операции на основе пересечения скользящих средних. Скользящие средние показывают среднее значение цены финансового инструмента за некоторый период. При расчете скользящего среднего производится математическое усреднение цены за конкретный период. По мере изменения цены ее среднее значение либо растет, либо падает.

В рассматриваемой стратегии использована экспоненциальная скользящая средняя (exponential moving average) по ценам закрытия. Экспоненциальная скользящая средняя ЕМА менее отстает от цены и дает сигналы, которые находятся ближе к ее истинному положению. В случае экспоненциальных скользящих средних больший вес имеют последние цены закрытия.

Экспоненциальные, или экспоненциально сглаженные, скользящие средние определяются путем добавления к вчерашнему значению скользящего среднего определенной доли сегодняшней цены закрытия:

EMA = EM-<"-1 + 2^ , n + 1

где EMA — экспоненциальная скользящая средняя;

EMA—l — значение ЕМА предыдущего периода;

n — период расчета; P. — значение цены в i-м периоде. Стратегия является реверсивной, т. е. правила открытия/закрытия «длинных» позиций (покупка) являются обратными к открытию/закрытию

Уровень поддержки

Рис. 1. Параметры торговой системы

^ Сигнал на продажу

«коротких» позиций (продажа). В системе используются две ЕМА с «быстрым» и «медленным» периодами.

Правила алгоритма стратегии пересечения скользящих средних представлены на рис. 2.

1. Вход в «длинную» позицию/выход из «короткой»: ЕМА () пересекает ЕМА снизу вверх.

2. Выход из «длинной» позиции/вход в «короткую»: ЕМА пересекает сверху вниз ЕМА (/).

3. Выход из позиции по стоп-сигналам: значение цены стоп-сигнала ниже/выше на 1 % цены при входе в «длинную» / «короткую» позицию.

Оценка эффективности торгового алгоритма

Оценка эффективности торговой стратегии осуществляется в результате тестирования формализованного алгоритма торговой системы. Тестирование позволяет проанализировать показатели эффективности применяемого набора правил с соответствующими параметрами правил (индикаторов).

Для сравнения эффективности различных торговых стратегий необходимо выработать критерий оценки. В качестве такового чаще используют величину прибыли, которая могла бы быть получена при использовании этой системы в инвестиционной деятельности. Таким же важным показателем торговой стратегии является размер максимальной просадки депозита. В данной работе использованы такие показатели, как доходность системы и максимальная просадка к начальному депозиту.

Доходность торгового алгоритма выражается следующей формулой:

^ . Чистая прибыль Доходность =-.

Начальный размер депозита

Так выражается итоговая денежная прибыль, принесенная стратегией, уменьшенная на величину комиссий и проскальзывания. В данной работе не учитывались брокерская комиссия и проскальзывание.

Относительная максимальная просадка =

Максимальная просадка , „ „ „, =---х 100%.

Начальный размер депозита

Максимальная просадка — максимальный убыток от пикового значения на кривой депозита до самого низкого.

Сигнал на продажу

■ Стоп-сигнал Рис. 2. Параметры ТС ПСС

В результате тестирования торгового алгоритма возможен выбор оптимальных параметров системы, при котором показатели эффективности демонстрируют наибольшие или наименьшие значения. При тестировании и оптимизации системы используется понятие целевой функции. Она представляет собой задачу оптимизации торговой системы.

Целевая функция позволяет количественно сравнить альтернативные решения. В данном случае целевая функция представляет собой максимизацию доходности системы наряду с минимизацией максимальной просадки. Результаты оптимизации участвуют в процессе принятия решений в торговле финансовыми инструментами с использованием того или иного параметра, значения которых являются наилучшими для этой целевой функции:

Доходность

(параметры алгоритма) ^ max,

<

Максимальная просадка

(параметры алгоритма) ^ min.

Задачей данного исследования является определение методов оценки результатов тестирования стратегий путем исследования формы поверхности целевой функции, характеризующей функционирование алгоритма на разных временных диапазонах с различным набором значений параметров.

Для оценки алгоритма торговой системы в работе были использованы исторические данные по ценам акций ОАО «Газпром» на ММВБ в период с 01.06.2009 по 31.12.2009. Данные представляются в виде числовых наборов, характеризующих поведение рынка за равные периоды времени: максимальная и мини-

мальная цены, а также цены открытия и закрытия. Объем выборки позволяет оценить работу системы в целом, так как представляет собой достаточный объем различных потенциальных сделок, отражающий движения рынка в условиях посткризисного состояния.

Для более точной проверки работы системы рассматриваемый период времени был разделен на следующие интервалы:

— тестируемая выборка 01.06.2009 — 30.09.2009;

— контрольная выборка 01.10.2009 — 31.12.2009.

Оценка алгоритма ТС ГА

Для проведения тестирования алгоритма торговой системы в первую очередь были определены диапазоны изменения значений параметров.

При тестировании торгового алгоритма были использованы следующие диапазоны значений:

• ширина уровня L, % — [0,4 1,2] с шагом 0,2;

• ценовой фильтр Р, % — [0,5 1,5] с шагом 0,5.

Каждый тест представляет собой оценку эффективности алгоритма на исторических данных в тестируемом и контрольном периодах, выраженную в доходности системы (отношение чистой прибыли

Рис. 3. Доходность ТС ГА в тестируемой выборке

Рис. 5. Максимальная просадка ТС ГА в тестируемой выборке

к начальному размеру депозита), размера относительной максимальной просадки депозита (отношение размера максимальной просадки к начальному размеру депозита). Реализация алгоритма торговой системы тестируется по различным сочетаниям этих параметров в диапазонах, указанных выше.

Графики данных представляют собой ценовую динамику финансового инструмента ОАО «Газпром» в виде «японских свечек» за один час торговой сессии. На графиках проведены описанные выше траектория движения цены, уровни и наклонные зоны по разворотным экстремумам.

В каждой выборке проводится 25 тестов. По используемым графическим показателям определены сигналы открытия/закрытия позиции, а также срабатывания ограничительных стоп-приказов в соответствии с принципами управления капиталом по алгоритму торговой системы и рассчитаны показатели эффективности.

В результате проведенных тестов торгового алгоритма с различными сочетаниями двух параметров ТС ГА (ширина уровня и ценовой фильтр) были получены следующие результаты в тестируемой и контрольной выборках. Результаты представлены на графиках (рис. 3—6) в виде поверхности целевой функции торговой системы. Поверхность решений

80

Рис. 4. Доходность ТС ГА в контрольной выборке

ь, %

Рис. 6. Максимальная просадка ТС ГА в контрольной выборке

характеризует возможность системы сохранять примерную доходность и просадку депозита в условиях изменения значений параметров.

По графикам можно сделать вывод о том, что в тестируемой и контрольной выборках поверхность целевой функции ТС ГА представляет собой достаточно гладкую поверхность без резких скачкообразных изменений, что говорит о применимости данной системы с различными сочетаниями значений входящих в систему параметров алгоритма.

Оценка алгоритма системы пересечения скользящих средних

Для тестирования ТС ПСС на графиках часовых данных по акции ОАО «Газпром» нанесены две экспоненциальные скользящие средние:

• с «быстрым» периодом сглаживания — ЕМА ф;

• с «медленным» периодом сглаживания —

ЕМА ^).

При тестировании торгового алгоритма использованы следующие диапазоны значений изменения периодов сглаживания:

Рис. 7. Доходность ТС ПСС в тестируемой выборке

• период EMA f) — [3 9] с шагом 1;

• период EMA (s) — [10 28] с шагом 3.

На следующих диаграммах приведены иллюстрации показателей эффективности ТС ПСС в тестируемой и контрольной выборках (рис. 7 — 10).

В ТС ПСС поверхность целевой функции представляет собой холмистую поверхность с резкими скачками на достаточно близких интервалах значений параметров периодов сглаживания средних. Таким образом, данная стратегия нуждается в дополнительных критериях определения условий применимости системы.

В результате проведенных тестов по рассматриваемым торговым стратегиям можно сделать вывод о поверхности целевых функций в целом для характеристики алгоритма с точки зрения сохранения результатов тестирования.

Оценивать стратегию только по возможной доходности недостаточно. Необходимо удостовериться, что данная система не приведет в результате неудачных сделок к значительной просадке депозита в случае неблагоприятного движения цены. Однако это не единственно возможный критерий

Рис. 8. Доходность ТС ПСС в тестируемой выборке

■..о я

а п

CZ

о

а

я £ s

и

а

CZ

20

ЕМА (s)

ЕМА ф

Рис. 9. Максимальная просадка ТС ПСС в тестируемой выборке

Рис. 10. Максимальная просадка ТС ПСС в контрольной выборке

эффективности торговой стратегии. На сегодня одной из важных характеристик торговой системы является ее устойчивое функционирование (постоянные прибыли и небольшие потери) в различных рыночных условиях.

Устойчивость торгового алгоритма

Теоретические методы исследований устойчивости автоматических объектов находят широкое применение при решении различного рода практических задач. Исследования устойчивости (робастности) систем связанны с неопределенностью функционирования объекта и с различными неучтенными факторами внешней среды. В работе А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина по теории колебаний в виде анализа изменений фазовых траекторий динамической системы при малых вариациях дифференциальных уравнений была отражена концепция «грубости» систем.

Термин «робастность» был введен Дж. Е. Боксом в 1953 г. Робастность в теории управления представляет собой малое изменение входных параметров.

Робастность является свойством системы сохранять устойчивость и качество функционирования при различных неопределенностях. Существует ряд процедур и алгоритмов для анализа и синтеза систем управления, обладающих робастными характеристиками. Данные подходы основаны на формализованных методах теории оптимизации в пространствах: Нда-синтез, Н2-синтез, ^-синтез и синтез линейных матричных неравенств ^М1) [4].

Робастность системы подразумевает, что система на определенной группе воздействий остается устойчивой при всех действующих факторах, и показатели функционирования системы сохраняются в пределах допустимых значений ухудшения ее характеристик.

Термин «робастность» применяется также к статистическим процедурам. Под робастностью в статистике понимают нечувствительность к различным отклонениям и неоднородностям в выборке [9]. Таким образом, статистическая робастность является способностью сохранения устойчивости объекта к отклонениям параметров его математической модели.

При разработке торговой стратегии необходимо создать не просто прибыльную с точки зрения приращения депозита систему, а удовлетворяющую критерию устойчивости функционирования данной системы. Устойчивость заключается в достаточно последовательном поведении системы на

фондовом рынке: стабильное увеличение депозита, наименьший размер максимальной просадки.

Первое осуществляется за счет определения сигналов на определенную сделку (покупку или продажу).

Второе осуществляется за счет использования стоп-сигналов, которые позволяют максимально ограничить размер убытка при неблагоприятном движении рынка для трейдера, находящегося в позиции. Эти сигналы срабатывают при достижении параметрами торговой стратегии конкретных значений, рассчитанных по алгоритму системы, или значений определенных индикаторов.

Количество правил системы не должно быть излишним, так как при тестировании может возникнуть ситуация подгонки значений. Чем больше параметров, тем выше вероятность, что они прекрасно работают на исторических данных. На реальных и будущих данных совокупность достаточно большой базы правил, как правило, не срабатывает.

Таким образом, в рассматриваемом аспекте разработки торговых стратегий робастность системы характеризуется устойчивым результатом торговых операций при изменении параметров, составляющих алгоритм системы. В результате даже значительного изменения значения параметра различие значений показателей между анализируемыми группами параметров выражается лишь в значениях конечного результата (в частности, размер конечного депозита). Иными словами, при анализе показателей функционирования системы оптимальные зоны при сочетании различных значений параметров правил стратегии будут лежать примерно в одной области параметров. Системы, которые не удовлетворяют данному свойству, демонстрируют разброс показателей эффективности на графике.

На следующих графиках (рис. 11—14) представлены области доходности стратегий двух рассматриваемых систем в анализируемых выборках. Можно видеть, как различается доходность в связи с изменением параметров области оптимальных значений.

В ТС ГА локальные оптимумы лежат в одних и тех же областях сочетания параметров. ТС ПСС оптимальные зоны практически диаметрально противоположны, что говорит о неустойчивости системы при изменении входящих параметров. Данная стратегия не отвечает требованию робастности.

Без оценки свойства робастности невозможно говорить о доходности и ограничении возможных потерь в будущем, что и делает данную систему неэффективной, и результат ее применения может резко разбрасывать значения целевой функции

Рис. 11. Область оптимальных значений ТС ГА в тестируемой выборке

Щ

ЕМА (О

Рис. 13. Область оптимальных значений ТС ПСС в тестируемой выборке

как в сторону положительного результата, так и в сторону отрицательного.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что необходимо не просто оценивать торговую систему с точки зрения основных результатов поведения системы на конкретном временном диапазоне, а проводить оценку соответствия функционирования системы в отношении среднего значения показателя (рис. 15).

Например, можно взять такой диапазон данных, при которых доходность может быть посчитана без учета просадки на следующем шаге графика, что приводит к некорректной трактовке группы показателей. В частности, вариант 1 (см. рис. 15) представляет собой наихудшую оценку, вариант 3 — наилучшую. Чтобы исключить случайную погрешность при оценке доходности вместо текущего значения размера депозита в конце срока инвестирования предполагается использовать среднее значение (вариант 2). При этом исключается фактор субъективности, например выбор удачного с точки

Рис. 12. Область оптимальных значений ТС ГА в контрольной выборке

.Г

ЕМА (5)

Рис. 14. Область оптимальных значений ТС ПСС в контрольной выборке

зрения рекламы периода инвестирования в паевые инвестиционные фонды.

Также устойчивость системы выражается в стабильном характере изменения доходности системы и просадки депозита (стабильный рост депозита и соответствие графиков в обучающей и контрольной выборках). Динамика депозита по ТС ГА отражена на рис. 16—17.

По данным графикам можно сделать вывод о поведении кривой депозита в тестируемых выборках. Динамика депозита ТС ГА практически однотипна в обеих выборках, что говорит о достаточно устойчивом функционировании торговой системы и о том, что данная система правил не допускает глубокой просадки депозита. Таким образом, можно говорить о средней оценке функционирования алгоритма, отвечающего свойствам робастности, — стабильное увеличение размера депозита без глубоких просадок.

На следующих графиках представлены результаты функционирования алгоритма ТС ПСС (рис. 18-19).

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения

Рис. 15. Оценка доходности торговой системы по среднему значению

Максимальная просадка

Распределение

Врем*

О \о

ж

Г о

ф ИИ

£ А

о *

И я а.

гг я

3 "

Й о

£ В

90 80 70

50 40 30 20 10

Месяцы

Рис. 16. Динамика депозита ТС ГА в контрольной выборке

1 2 3

Месяцы

Рис. 17. Динамика депозита ТС ГА в контрольной выборке

Месяцы

Рис. 18. Динамика депозита ТС ПСС в тестируемой выборке

Рис. 19. Динамика депозита ТС ПСС в контрольной выборке

ФИНАНСОвАя АНАлИТИкА

проблемы и решения

Кривая депозита отличается в рассматриваемых периодах для тестируемой и контрольной выборок, что обусловлено неустойчивым функционированием системы в результате торговых операций. Инвестиционным результатом по данной стратегии может быть высокая доходность в случае наличия выраженного тренда на рынке, даже с учетом максимальной просадки. Вместе с тем подобная неустойчивость может привести к достаточно высокой потере денежных средств на счете трейдера в результате серии убыточных торговых операций или достаточно глубокой максимальной просадки депозита.

Таким образом, оценка эффективности стратегии заключается не только в определении показателей эффективности (доходность, чистая прибыль, количество сделок, максимальная просадка), но и в корректном анализе доходности системы (размер конечного депозита) до и после возможной просадки. Так как тестирование систем проходит на достаточно больших выборках данных, в рассматриваемый диапазон попадают и направленные движения рынка, и периоды отсутствия тренда.

При тестировании системы возможен расчет доходности на последней «свечке» диапазона, после которого на следующей «свечке» вне периода тестирования может быть резкое движение цены финансового инструмента в сторону, противоположную сделке, что приведет к просадке денежных средств. Именно по этой причине необходимо оценивать торговую систему с учетом критерия устойчивости функционирования (робастности).

Заключение

В работе проанализированы подходы к выработке критерия эффективности торговых систем. За основу исследования были выбраны два наиболее популярных класса стратегий. Тестирование торговых стратегий является важным элементом процесса разработки системы правил для осуществления алгоритмической торговли на фондовой бирже. Основной задачей при проведении тестирования на исторических данных является анализ показа-

телей эффективности, определяющих основные характеристики торгового алгоритма.

В результате исследования можно сделать вывод о необходимости использования дополнительных критериев оценки торговых систем для получения корректного отражения свойств системы в тестируемые периоды и определения эффективности будущих сделок на фондовом рынке по данному алгоритму. Критерием в этом случае выступает устойчивость (робастность) алгоритма системы с различными сочетаниями значений параметров (индикаторов), а также стабильная динамика депозита в процессе инвестиционной деятельности.

Список литературы

1. Демарк Т. Р. Технический анализ — новая наука. М.: Евро, 2008.

2. КацД., Маккормик Д. Энциклопедия торговых стратегий. М.: Альпина Паблишер, 2002.

3. Кургузкин А. А. Биржевой трейдинг: системный подход. URL: http://www. stockinfocus. ru.

4. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб: Наука, 2003.

5. Охорзин В. А. Оптимизация экономических систем. М: Финансы и статистика, 2005.

6. Пардо Р. Разработка, тестирование, оптимизация торговых систем для биржевого трейдера. М.: Уилли, Джон и Сонс, 2002.

7. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

8. Фейс К. Путь Черепах: Из дилетантов в легендарные трейдеры. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2008.

9. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаель В. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния. М.: Мир, 1989.

10. Хьюбер Дж. П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.

11. Элдер А. Трейдинг с доктором Элдером. Энциклопедия биржевой игры. М.: Диаграмма, 2003.

ВНИМАНИЕ! На сайте Электронной библиотеки <^ШЬ> собран архив электронных версий журналов Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» с 2006 года и регулярно пополняется свежими номерами. Подробности на сайте библиотеки:

www.dilib.ru

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения ' 31