CC BY
16К ВОПРОСУ ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИ Сучилин В.А.
Сучилин Владимир Александрович - доктор технических наук, технический директор, Компания «Transofice-Information GbR», Фильдерштадт, Федеративная Республика Германия
Аннотация: в работе проанализирован ряд моделей теории надежности, представленных своими функциями распределения плотности вероятности, с точки зрения их инвариантности. Показано, что модели с постоянной интенсивностью отказов являются релятивистскими инвариантами. К ним относятся, прежде всего, распределения равномерного и экспоненциального типа. Кроме того, показано, что две идентичные системы, находящиеся в различных ИСО, могут быть инвариантными с точки зрения надежности и, в то же время, неинвариантными, с точки зрения жизненного цикла.
Ключевые слова: надежность, плотность вероятности отказов, интенсивность отказов, инвариантность, жизненный цикл.
Введение
До последнего времени, модели технических систем и, в частности, теории
надежности рассматривались безотносительно к инерциальным системам отсчета
(ИСО), в которых они используются [1]. Напомним, что ИСО являются предметом
рассмотрения специальной теории относительности (СТО) и определяются как
системы координат, движущиеся прямолинейно с постоянной скоростью. Согласно
СТО при переходе от одной ИСО к другой необходимо учитывать изменение
масштаба времени, которое определяется преобразованием Лоренца [2]:
f = у t (1) _ 1
У _ Vl-(v/c)2
где:
t и t' - интервалы времени в неподвижной и движущейся ИСО
v - относительная скорость движущейся ИСО
c - скорость света в вакууме
Ниже будет показано, что модели теории надежности могут не зависеть от выбора ИСО, то есть быть релятивистскими инвариантами.
Общая постановка задачи
Ниже будут рассматриваться модели, описываемые непрерывными дифференцируемыми функциями F(t) при t>0. Как уже было сказано, в различных ИСО масштаб времени определяется Лоренц-фактором у в (1). Будем называть математическую модель инвариантной к выбору ИСО, если для t >0 выполняется равенство:
F(yt) = F(t) (2)
где согласно (1) у >1.
В таких случаях можно говорить о скалируемости (scalability) модели [3]. В качестве примера рассмотрим функцию:
F(t) = Const (3)
Вполне очевидно, что в случае функции (3) равенство (2) удовлетворяется при любом t. Эта и другие реализации функций, удовлетворяющие (или не удовлетворяющие) равенству (2), будут рассмотрены ниже при анализе моделей теории надежности с точки зрения релятивистской инвариантности.
Равномерное распределение
Функция данного распределения, будучи моделью с постоянной интенсивностью отказов, является частным случаем равенства (3) и представляется в виде [4]:
и(г) = Т/(г2 - г1), если г1 < г < г2 (4) и(г) = 0, если г2 < г < г1
Используемый здесь и далее параметр Т является средним временем наработки до первого отказа. В данном случае Т определяется как половина интервала определения функции, т.е.:
Т = (г! + г2)/2 (5) С учетом того, что на параметр Т (как на временной интервал) распространяется действие преобразования (1), можно записать:
ЩуО = ут/(уг2 - уг) = т/(г2 - г) = и(г) (6)
Последнее равенство означает, что равномерное распределение плотности вероятности сохраняет свой вид в движущейся ИСО, и модель является релятивистским инвариантом. Распределение Пуассона
Данное экспоненциальное распределение определяет вероятность того, что за время г может произойти один и более отказов [4]:
Р(г) = ехр(-г/Т) (7) При этом предполагается, что в течение жизненного цикла систем интенсивность отказов постоянна и равна обратной величине параметра Т, т.е. среднего времени наработки до первого отказа.
Поскольку Т, как и выше, имеет здесь размерность времени, то с учетом (1), переходя к движущейся ИСО, можно записать:
Р(у^= гхр(-уг/уТ) = ехр(-г/Т) = Р(г) (8) Таким образом, вид распределения плотности вероятности Пуассона не зависит от выбора ИСО, и модель является инвариантной. Распределение Вейбулла
Данное распределение определяет плотность вероятности при интенсивности отказов, которая изменяется в течение жизненного цикла системы. При этом речь идет о трех фазах жизненного цикла, каковыми являются приработка, нормальная эксплуатация и старение системы. В общем случае распределение Вейбулла представляется в виде [4]:
W(г) = к 1к-1ехр(-1к/Т) (9) где к - параметр формы распределения
При этом значение к<1 соответствует фазе приработки, где интенсивность отказов имеет тенденцию к снижению, к=1 соответствует фазе нормальной эксплуатации, где интенсивность отказов является постоянной, и к>1 соответствует фазе старения, где интенсивность отказов возрастает.
Переходя к движущейся ИСО, с учетом (1) при к=1 можно записать:
W(yt) = ехр(-уг/уТ) = W(г) (10)
Таким образом, если ограничиться фазой нормальной эксплуатации, вид распределения Вейбулла не зависит от выбора ИСО и в этом случае является релятивистским инвариантом.
Однако этого нельзя сказать о двух других фазах. Действительно, при можно записать:
W(yt) = к(уг)к-1 ехр-(ук-11к/Т) Ф W(г) (11) Таким образом, в фазах наработки и старения вид распределения Вейбулла зависит от выбора ИСО.
Поэтому об инвариантности этой модели можно говорить только, имея в виду фазу нормальной эксплуатации, которая, как правило, превалирует над двумя другими фазами жизненного цикла системы.
Распределение Релея
Данное распределение относится к фазе старения с возрастающей интенсивностью отказов и записывается в виде [4]:
R(t) = exp(-t2/S2)/S2 (12) где S является среднеквадратичным отклонением времени наработки до первого отказа.
Нетрудно показать, что R(yt)4R.(t). Действительно, поскольку S имеет размерность времени, с учетом (1) можно записать:
R(yt) = exp(-y2t2/y2S2)/y2S2 ф R(t) (13) Из этого следует, что вид распределения Релея зависит от выбора ИСО, и модель не является инвариантной. Обсуждение
Как было показано выше, инвариантность моделей теории надежности определяется с точки зрения независимости выбранного показателя надежности от ИСО. Так, не говоря уже о равномерном распределении, инвариантным является распределение Пуассона. Инвариантность распределения Вейбулла ограничивается фазой нормальной эксплуатации, которая, кстати, превалирует в жизненном цикле системы. В то же время, распределение Релея не обладает инвариантностью.
В качестве другого примера «неинвариантной» модели можно привести следующее распределение плотности интенсивности отказов [5]: C(t) = P(t)/в - TL / lnln(1- W(t))-1 (14) где TL - длительность жизненного цикла системы.
Данная модель, описывающая все три фазы жизненного цикла, не является релятивистским инвариантом, хотя и включает инвариантные модели Пуассона и Вейбулла (в фазе нормальной эксплуатации). Действительно для движущейся ИСО можно записать:
C(yt) = P(yt)/в - yTL / lnln(1- W(yt))'1 = (15) = P(t)/в - yTL / lnln(1— W(t))-1 ф C(t) Отсюда можно сделать вывод, что две идентичные системы, находящиеся в различных ИСО, могут быть инвариантными с точки зрения надежности и, в то же время, не инвариантными, с точки зрения жизненного цикла. Заметим, что этот тезис, является альтернативной формулировкой (а именно в терминах теории надежности) известного парадокса «близнецов» СТО [6]. Выводы
Выше был проанализирован ряд моделей теории надежности с точки зрения релятивистской инвариантности. Показано, что модели с постоянной интенсивностью отказов являются релятивистскими инвариантами. К таким моделям, относятся распределения плотности вероятности равномерного и экспоненциального типа. Кроме того, к ним можно отнести распределение Вейбулла, если ограничиться лишь рассмотрением фазы нормальной эксплуатации. Распределение Релея, представляющее надежность системы в фазе старения, напротив, не является релятивистским инвариантом. Кроме того, показано, что две идентичные системы, находящиеся в различных ИСО, могут быть инвариантными по своим показателям надежности и в то же время не инвариантными, с точки зрения длительности жизненного цикла.
Список литературы
1. Сучилин В.А. Relativistic Approach to Signals and Systems // Современные научные исследования и инновации, 2017. № 11. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://web.snauka.ru/issues/2017/11/84761/ (дата обращения: 06.02.2019).
2. Forshaw Jeffrey, Smith Gavin. Dynamics and relativity. John Wiley & Sons, 2014. 344 p.
3. Hill Mark D. What is scalability? // ACM SIGARCH Computer Architecture News. Volume 18 Issue 4, Dec. 1990. Р. 18-21.
4. Epstein B., Weissman I. Mathematical models for systems reliability. Chapman and Hall/CRC, 2008. 272 p.
5. Сучилин В.А. On the Modeling of the Bathtub-Shape Failure Rate Function // Современные научные исследования и инновации, 2017. № 10. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://web.snauka.ru/issues/2017/10/84384/(дата обращения: 06.02.2019).
6. Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. М.: Наука, 1966. 120 с.
РЕЦИКЛИНГ УГОЛЬНЫХ ШЛАМОВ Карякин А.А.1, Смирнова Д.А.2, Обушенко С.В.3, Дмитриев А.С.4,
Пшеничников Р.А.5
1Карякин Антон Алексеевич - магистр;
2Смирнова Дарья Андреевна - магистр;
3Обушенко Сергей Васильевич - магистр;
4Дмитриев Андрей Сергеевич - магистр;
5Пшеничников Роман Алексеевич - магистр, кафедра электроэнергетики и электротехники, Инженерно-технический институт Череповецкий государственный университет, г. Череповец
ОАО «Северсталь» является предприятием с полным металлургическим циклом, включающим обогащение коксующихся углей. В годы социалистического планирования и учета в Череповце обогащалось по 12,5 млн тонн угля в год. Аналогов в мире нет. При несовершенстве технологического процесса это предопределило громадные объемы складирования отходов. В 1998 году в связи с развитием углеобогащения в Воркуте и Кузбассе углеобогатительная фабрика № 1 ОАО «Северсталь» выведена из эксплуатации. В настоящее время на ТЭЦ ОАО «Северсталь» в качестве твердого топлива используется значительное количество привозного угля марки СС: влажность ~ 10%, зольность ~ 20%, недожог ~ 20%, т.е. закупаем и привозим значительное количество балласта по цене угля (470 руб. -закупка + 430 руб. - транспортировка). Возникла ситуация, когда могут быть востребованы неординарные решения, которые предполагают практически полное решение проблемы. Предметом исследования стали отходы пенной флотации, так называемые «хвосты», которые складируются на золошламонакопителях (ЗШН). С 2002 года золошламонакопители ОАО «Северсталь» стали предметом пристального внимания специалистов - обогатителей ввиду значительной заполненности этих гидротехнических сооружений, наличия значительных ресурсов качественного энергетического топлива, пригодного для пылевидного сжигания на ТЭЦ. В рамках произведенного совместно с ЗАО «СПб-Гипрошахт» в 2003 году исследования рассмотрена возможность доизвлечения угля из золошламонакопителя № 1.
Полученные данные позволяют сделать основные выводы:
1. Содержимое накопителя - сложный конгломерат, состоящий из некоторого количества угольных частиц, окруженных частично распавшимися породными (глинистыми) частицами, образовавших устойчивые связи на основе оксидов кремния и алюминия.
2. Состав, объем и концентрация накопленных отходов свидетельствуют о целесообразности извлечения угольной массы в товарную продукцию путем применения современных технологий обогащения и обезвоживания.
21
