К ВОПРОСУ ОБ ЭВОЛЮЦИИ ЗАВИХРЕННОСТИ В ЖИДКОСТИ И ГАЗЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955, 532.5.032

1)(>1: 10.53815/20726759_2022_14_1_27

Г. Б. Сизых

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

К вопросу об эволюции завихренности в жидкости

и газе

Рассматривается задача с линейным неоднородным уравнением в частных производных первого порядка, возникающая в общем пространственном случае при построении поля скорости Фридмана для завихренности методом, предложенным автором в 2015 году. В этом методе применяется теорема Фридмана, которая требует непрерывности вторых производных решения задачи. Показывается, что при некоторой гладкости начальных условий из непрерывности вторых производных коэффициентов и правой части (неоднородности) уравнения следует существование решения и непрерывность его вторых производных в некоторой трехмерной области, содержащей плоскую область, на которой заданы начальные условия. Устанавливаются требования к гладкости гидродинамических функций, входящих вместе со своими производными в выражения упомянутых выше коэффициентов и правой части уравнения. В результате дается строгое обоснование подхода, предложенного в 2015 году для построения скорости Фридмана.

Ключевые слова: критерий Зоравского, теорема Фридмана, скорость Фридмана.

G. B. Sizykh

Moscow Institute of Physics and Technology

On the question of vorticity evolution in liquid and gas

We consider the problem of a linear heterogeneous partial differential first order equation, which arises in the general spatial case when constructing the Friedmann velocity field for vorticity using the method proposed by the author in 2015. This method uses Friedman's theorem, which requires the continuity of the second derivatives of the solution to the problem. It is shown that for some smoothness of the initial conditions, the continuity of the second derivatives of the coefficients and the right-hand side (heterogeneity) of the equation implies the existence of a solution and the continuity of its second derivatives in some three-dimensional domain containing a flat domain on which the initial conditions are given. We establish requirements for the smoothness of hydrodynamic functions that enter together with their derivatives into the above expressions of the coefficients the right side of the equation. As a result, a rigorous justification is given for an approach proposed in 2015 to consider the Friedman velocity.

Key words: Zorawski criterion, Friedman's theorem, Friedman velocity.

1. Введение

В [1] доказано, что эволюцию завихренности любого вихревого течения жидкости или газа можно рассматривать как перемещение вихревых трубок с некоторой скоростью, которая, вообще говоря, не совпадает со скоростью жидкости (или газа), и при этом перемещении интенсивности вихревых трубок сохраняются. Результат и идея доказательства [1] впоследствии неоднократно применялись [2-7]. Для доказательства существования в [1] была

© Сизых Г. В., 2022

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022

использована теорема Фридмана [8], которая также называется критерием Зоравского [9]. В условия этой теоремы, в частности, входит требование непрерывности первых производных всех компонент всех векторных полей, входящих в уравнение Фридмана. Одно из таких полей в [1] было градиентом решения некоторой задачи с линейным неоднородным уравнением в частных производных (ЛНУ). Ниже эта задача будет строго сформулирована и названа задачей I. Коэффициенты и правая часть (неоднородность) были дважды непрерывно дифференцируемы. Для применения теоремы Фридмана решение ЛНУ должно быть дважды непрерывно дифференцируемо. Однако обоснование такой гладкости решения в [1] отсутствует. Не обосновано также и само существование решения. В известных автору учебниках и монографиях нет теорем, позволяющих утверждать, что из непрерывности вторых производных коэффициентов и правой части ЛНУ следует непрерывность вторых производных решения задачи. Наиболее близкими из известных утверждений можно считать теоремы существования и единственности, доказанные в [10, глава VIII] для задачи с гладким решением. Устранению этого пробела посвящена настоящая статья. В доказательстве там, где это возможно, используются «готовые» теоремы из различных курсов обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Постановка задачи I

Пусть Ох 1X2X3 — прямоугольная декартова система координат, С — ограниченная пространственная область, содержащая точку О, а С С — замыкание плоской области а, лежащее в плоскости хз = 0 Пусть далее в замыкании области С заданы дважды непрерывно дифференцируемые скалярное поле Р = Р(х\,Х2,Хз) и векторное поле е = е(х\, х2, х3) = (е\(х\, х2, х3),е2(х\, х2, х3),е3(х\, х2, жз)), такое, что |е| = 1 во всей области С и е пересекает а под ненулевым углом, т. е.

е3(х\,х2, 0) = 0 при (хх,х2, 0) е а. (1)

Обозначим Ь = (е, V) = е\+ е2 ¿¡^ + ез — линейный дифференциальный оператор и рассмотрим уравнение

Ьи = Р (х\,х2,х3), (2)

где и = и(х\,х2,хз). Задача I заключается в нахождении дважды непрерывно дифференцируемого хотя бы в какой-нибудь трёхмерной области, содержащей а, решения уравнения (2), такого, что

и(х\,х2, 0) = и0(х\, х2) при (х\,х2, 0) е а, (3)

где ио — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Цель статьи — доказать, что решение задачи I существует и единственно.

3. Вспомогательная задача II

Перед тем как приступить к исследованию задачи I, установим некоторые свойства решения вспомогательной задачи II. Она состоит в поиске трёхпараметрического семейства решений х = х ^ — ¿0 = (х\ — Ь0, х^, , х2 — Ь0, х^, , х3 — Ь0,

— время, ¿о,^10),ж20) — параметры) нормальной автономной системы

х = е(х) (4)

(точка обозначает дифференцирование по времени ¿), определённого в некотором (заранее не известном) интервале времени £ е (¿о — 6,Ьо + 5), где 5 > 0, и удовлетворяющего начальным условиями

х(*о,40),40)) = (40),40), 0) е а. (5)

Замечание. Чтобы не вводить промежуточных обозначений, при формулировке задачи II сразу было учтено, что, поскольку е не зависит от времени, само время £ и параметр ¿° должны входить в решение в виде их разности £ — ¿°.

При каждом конкретном наборе параметров (¿о,ж20)) для задачи (4), (5) выполняются условия теоремы существования и единственности [11, параграф 21]. Решение существует для £ е (£° — 5,Ь° + 5), где 8 > 0 зависит в общем случае от набора параметров (¿о, х1°\ ж(0)). По условию компоненты е дважды непрерывно дифференцируемы в ограниченной замкнутой области С. Поэтому они сами и их производные ограничены в С. Следовательно, повторяя, например, доказательство [11, параграф 21], можно убедиться в существовании числа 5 > 0 такого, что 5 > 5 для всех параметров (¿°, ж20)). Другими словами, существует такое число 5 > 0, что для всех значений параметров из области К° = | ^0,ж10),ж2°^ : ^ е М, ^ж10),ж(0), 0^ е решение задачи II существует и единственно для всех £ е (Ь° — 5, ¿° + 5).

4. Непрерывность вторых производных компонент решения задачи II по параметрам и по времени

В этом разделе наряду с областью К° С М3 (0) (0) для каждого фиксированеого значения ¿° бедем рассматривать область К = | (ъ, х{°, : г е (¿0 — 5,Ь° + 5), (ж^, 4°, 0) е ст } С М^3 (0) (0). Имеет место следующая лемма. 1 2

Лемма 1. В ебласти К вторые (в том числе и смешанные) производные компонент

(+ + (0) (°А + (0) (0)

х I г — ъ°,х\ ,х2 по г и по параметрам х\ и х^ существуют и непрерывны.

Эта лемма вытекает из известных теорем [11-13]. Действительно, поскольку е не зависит от времени, первые и вторые частные производные по времени, а также смешанные производные вида д^эХ- и дХ-дг, % = 1, 3, равны нулю (следовательно, существуют и непрерывны). Вместе с непрерывностью вторых производных е по координатам это позволяет применить в области К° теорему [12, гл. VII]. Приведём формулировку этой теоремы. В формулировке под /г следует понимать компоненты е (т. е. е^). Остальные обозначения для удобства читателя изменены на используемые в настоящем исследовании.

Теорема. Если функции /г(Ь, Х\,Х2,..., хп) допускают т непрерывных частных производных по совокупности переменных Х\,Х2,... ,хп, то решения задачи II имеют все част-

(0) (0) (0)

ные производные т-го порядка по х\ ,...,жп и те производные т-го порядка по ¿°,ж10),..., жП0), где дифференцирование по ¿° входит один раз; если, кроме того, Д допускают р—1 непрерывных производных по í (р ^ т), то решения имеют все производные т-го порядка по ¿°,ж10),..., жП0), в которых дифференцирование по ¿° производится не более р раз.

Из этой теоремы следует, что в К° существуют всевозможные вторые производные компонент х по параметрам ¿°, ж^0, ж^0 • Поскольку для всех компонент решения существование производной по означает существование производной по Ь (и эти производные равны со знаком минус), то в К существуют всевозможные вторые производные компонент хпо^ по параметрам ж10) и х2°\ В курсе [13] доказано, что при этом всевозможные вторые производные по координатам ж10) и х2\ непрерывны в К (теорема 5.2.2, упомянутого курса). А в курсе [11] доказано, что смешанные производные °2>(0) и д^) , г = 1, 2, непрерывны

дЬдх( ) дх( )дЬ

г г

в К (теорема 17). Таким образом, осталось доказать непрерывность д^р.

Зафиксируем ¿° и будем рассматривать х как функцию трех переменных I, х^ и ж2>0). Тогда в уравнении (4) левая часть х = При подстановке решения в уравнение (4) это

уравнение превращается в тождество

^ (г - ¿о,40),40)) = е (х (г - ¿с,40),40))). (6)

Поскольку в области К компоненты решения задачи II непрерывны [11, теорема 14], правая часть (6) непрерывна. Следовательно, непрерывна и левая часть, т. е. первые производные по ¿непрерывны в области К. Поэтому, в свою очередь, правая часть (4) имеет непрерывные производные по из чего следует непрерывность • Лемма 1 доказана.

5. Взаимно однозначное отображение

Зафиксируем ¿0 = 0 и рассмотрим отображение (р : К

С с

Х1Х2Х3■

задаваемое

компонентами вектор-функции х (I, ж(0), 40) ) • Матрица Якоби данного отображения есть

(дхх (, г(0) Г(°А дх1_ Л г(0) Т(°П Эх1_ Л г(0) т(°т

(* г(0) Г(0Л

I , -ь2 )

дх2 дг

(0) (0)

(+ г(0) г(0)^ дг у,х1 ,х2 )

дхп

9x1°

дхз дх10)

(0) (0)

1

2

дх2

дх,

(0)

¿™(0) ^(0) 12

(+ г(0) Г(0Л ^ (+ г(0) Г(0Л

^ ,^ ,Х2 ^ дж(0) , , х2 }

Первый столбец этой матрицы представляет собой вектор е ^х ж(0), ж20)^ (см. (4)).

Якобиан det ■] х(®\ 40)^ непрерывен по всем своим аргументам как определитель матрицы, состоящей из непрерывных функций. При этом, как следует из (1),

det 3 (0,40),40))

е^х™^, 0) 1 0

в2 (ж?0^,0) 0 1 ез (х(0),х20), 0) 0 0

ез (40),^20),0) =0.

Следовательно, ЗУ е (0, 5) такое, что в К' = | ж(0) , ж20) ^ : £ е (—5', 5'), ^40), 40), 0^ е

справедливо det 3 ^,ж10),ж20)) = 0 Поэтому С = <р(К') С С есть область (как образ области при непрерывном отображении с ненулевым якобианом). Кроме того, в силу свойств решений нормальных автономных систем [10, 11], каковым является решение задачи II, это отображение взаимно однозначно С о К'. Компоненты матрицы Якоби (непрерывно диффференцируемого на С) обратного отображения р-1

( Мг (Ж1,Ж2,Жз)

/(Ж1,Ж2,Жз) =

дх\ (0)

^- (Ж1,Ж2,Жз) (х1,х2,*з)

Ц (Х1,Х2,Хз)

(Ж1,Ж2,Жз) \

(Х1,Х2,Хз) -$27 (Х1,Х2,Хз)

^0) (Х1,Х2,Хз) (Ж1,Ж2,Жз)У

определяются по формулам:

^ (Ж1,Ж2,Жз) =

дх]

(0)

дх^

-(Ж1,Ж2,Жз) =

det J , х<2 ^

А ( дхз )

Л\дх?))

det 3 (¿,ж(10),ж20))

, 3 = 1, 3,

, г = 1,2,3 = 1, 3,

ГДе А ф^) и а() - алгебраические дополнения элементов ^ и г = = М

\ / V дхг ) дхг

матрицы 7 ж10), ж20)^ соответственно. Эти алгебраические дополнения являются полиномиальными функциями элементов матрицы .] ж10), ж2°^ • Тогда правые части в (7) представляют собой отношения полиномов, состоящих из непрерывно дифференцируемых в К' функций (следствие леммы 1), причём полиномы, стоящие в знаменателях, отличны от нуля. Следовательно, эти правые части непрерывно дифференцируемы. Последнее означает непрерывность всех вторых производных вида дхдэХ-,

г,] = 1, 3, функций ¿(ж1,ж2,ж3),ж10)(ж1, Ж2,Ж3) И ж2>0)(ж1,ж2,Ж3).

6. Свойства решения задачи I

Как отмечено в п. 5, первый столбец в .] ж10), ж20)) есть вектор е. Рассмотрим первый

столбец произведения .]' (х1,х2,х3).] (¿, ж10), ж20) ) • Непосредственное перемножение матриц

даёт (^Ы(х1,х2,х3),Ьх1\х1,х2,х3),Ьх2>\х1,х2,х3)^ . С другой стороны, произведение матриц Якоби прямого ■] и обратного 7' отображений равно единичной матрице размерности 3. Отсюда

Ы(х1,х2,х3) = 1, Ьх^ (х1,х2,х3) = 0, г = 1,2. (8)

Цель настоящей статьи (см. конец второго раздела) будет достигнута, если доказать следующее утверждение.

Утверждение 1. Решение и = и(х1,х2,х3) задачи I в области С' существует, единственно и может быть представлено формулой

и,(х1,х2,х3) = и° (х1\х1,х2,х3), ж2°)(ж1,ж2,ж3^ +

/*^(х1 ,х2 ,х3) ф ф е

+ у Р {Х1 ут,х\)(Х1,Х2,Х3),Х2)(Х1,Х2,Х3)) ,

х2 (т, х1)(х1,х2,х3), ж2°)(ж1, Ж2, Ж3^ ,Ж3 (т,х1\х1,х2,х3),х2\х1,х2,х3)^ йт, (9)

где х = х ^Ь, х^, ж2°^ — решение задачи II для случая ¿о = 0.

Доказательство. Непрерывность вторых производных (9) следует из непрерывности вторых производных функции Р и компонент решения задачи II, а также из непрерывности всех вторых производных вида дхдэх., ЬЗ = 1, 3, функций ¿(ж!,Ж2, Ж3), ж10)(ж1, Ж2, Ж3)

и ж20)(ж1, Ж2, Ж3). Доказательство существования проведём непосредственной подстановкой (9) в (2) и проверкой начальных условий (3). Имеем

Ьи = ди°0) (40),^2°^ Ьж^0)(ж1, Ж2, Ж3) +

¿=1 дхг

+ Р (х1 ^ Ь(х1, х2,х3),х1\х1, Х2, Х3), ж2°)(ж1, ж2 ,х3)^ , Х2 (тк(х1,х2, Х3), ж1°)(ж1, Ж2, Ж3), ж2°)(ж1, ж2, ж3)^ ,

Ж3 ^(Ж1,Ж2,Ж3),Ж10)(Ж1,Ж2,Ж3),Ж20)(Ж1,Ж2,Ж3^ ^ Ы(ЖЬЖ2,Ж3) +

3 /*^(х1 ,х2 ,хз) дРР 2 д х

+ ^ др- (XI ,Х2,Х3) ^ —"(0) (т,Х(^) ЬХ<10)(Х1,Х2,Х3) йт.

j=l•>0 Ъ ¿=1 дЖ(

Учитывая, что Xj (ь(х(, х2, х3), х(0)(х1, х2, х3), (х(,х2,х3)^ = Xj, j = 1,3, а также принимая во внимание формулы (8), приходим к равенству (2). Далее, поскольку t ^х(0), х20), = 0 и х^ х20), = г = 1,2, формула (9) даёт

и (х(0),х20), 0^ = U0 (х(10),х20)), т.е. начальные условия (3) выполнены. Существование решения задачи I и возможность его представления в виде (9) доказаны.

Для доказательства единственности рассмотрим два различных решения U = щ(х\,х2,х3), г = 1, 2, задачи I:

Luí = F^i, х2, х3), щ ^х(0), х20), 0^ = и0 ^х(0),х20)j , г = 1,2.

Их разность v = щ — U2, которая, в силу взаимно однозначного соответствия областей G и Кможет быть записана как сложная функция v = v ^(х1, х2, х3), х(0)(х1, х2, хз), х20)(х1, х2, хз) j, удовлетворяет уравнениям

дю 2 дю

Lv = д^(х1,х2,хз) + —(0^х(0)(хъх2,хз) = 0, v ^0,х(0),х20)) = 0. (10)

í=1 dscí

Применяя к первому равенству в (10) формулы (8), получаем, что v = 0. Таким образом, значение v постоянно с течерием времени t и равно значению при t = 0, т. е. ■и(х(,х2,х3) = v (х( (^0,х(0),х20^ ,х2 (^0,х(0),х20^ ,х3 (^0,х(0),х20^ = v (0,х10),х20)) = 0. Следовательно, v = 0 ми щ =U2- Утверждение 1 доказано.

7. Требования к гладкости гидродинамических функций

Для применения теоремы Фридмана в первую очередь требуется непрерывность вторых производных компонент скорости V. Кроме того, в работе [1] рассматривалась задача, аналогичная задаче I, исследованной выше. В [1] рассматривалось уравнение (некоторые обозначения [1] изменены)

(О, Vu) = («, Ф), (11)

где О = rotV, V - скорость жидкости, Ф - плотность распределения равнодействующей всех сил, приложенных к жидкости или газу, отнесенная к плотности жидкости или газа, (, ) - скалярное произведение, и - искомая функция. Начальные условия (аналог (3)) задавались на некоторой плоской области а, замыкание которой целиком лежало в области течения и пересекалось полем О под ненулевым углом (аналог условия (1)). В [1] рассматривались только вихревые (О = 0) области течения (во всех точках допускается деление на |О|). Поэтому уравнение (11) представляется в виде (2), если положить e = О/|О| и F = (e, Ф). В рассматриваемых областях поле единичного вектора e = О/|О| имеет ту же гладкость, что и поле О. Поэтому для выполнения требования гладкости к полям e и F в

ОФ

непрерывно дифференцируемы. В этом случае, согласно утверждению 1, существует про-

а

но и дважды непрерывно дифференцируемо. Поэтому (см. первое предложение раздела) для существования скорости Фридмана достаточно непрерывности вторых производных V О Ф

Ф

рости и их производных, входят, в частности, плотность, давление и температура (и их производные). Поэтому требование непрерывности вторых производных относится ко всем

Ф

ности, в случае вязкой несжимаемой жидкости (см. [1, раздел 3]) Ф = —гro^ — V[^ +П], где р - давление, р - (постоянная) плотность, П - потенциал массовых сил, г = 0 - (постоянный) кинематический коэффициент вязкости. Поэтому для существования поля скорости

Фридмана, в вязкой несжимаемой жидкости достаточно непрерывности вторых производных р, П и компонент V и О.

8. Заключение

При обсуждении гладкости параметров течения в [1] было сказано: «В работе исследуются области течения, в которых нет разрывов физических характеристик движущихся жидких частиц (компонент скорости, плотности, давления, температуры и т.д.)... в таких областях достаточную для исследования гладкость этих характеристик будем предполагать естественным свойством физических параметров жидких частиц». Далее в [1] (без обоснования) предполагалось, что при некоторых требованиях к гладкости параметров течения решение задачи с уравнением (11), аналогичной задаче I (в которой требования к гладкости параметров задачи указаны точно), существует и дважды непрерывно дифференцируемо. В настоящей статье доказано, что задача I (в формулировку которой включено требование непрерывности вторых производных решения) имеет решение (утверждение 1 настоящей статьи). Тем самым устранены два пробела статьи [1]. Во-первых, указаны требования к гладкости параметров течения (см. выделенное курсивом в разделе 7). Во-вторых, при условии выполнения этих требований к гладкости доказан факт существования решения задачи I (имеющего непрерывные вторые производные), что в итоге обосновывает результат статьи [1] о существовании скорости Фридмана для пространственных вихревых течений жидкости и газа.

Литература

1. Марков В.В., Сизых Г.Б. Эволюция завихренности в жидкости и газе // Изв. РАН. МЖГ. 2015. № 2. С. 8-15.

2. Голубкин В.Н., Марков В.В., Сизых Г.Б. Интегральный инвариант уравнений движения вязкого газа // ПММ. 2015. Т. 79, вып. 6. С. 808-816.

3. Sizykh G.B. Closed Vortex Lines in Fluid and Gas //J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sei. 2019. V. 23, I. 3. P. 407-416.

4. Сизых Г.Б. Интегральный инвариант течений идеального газа за отошедшим скачком уплотнения // ПММ. 2021. Т. 85, вып. 6. С. 742-747.

5. Коцур О.С. О существовании локальных способов вычисления скорости переноса вихревых трубок с сохранением их интенсивности // Труды МФТИ. 2019. Т. 11, № 1. С. 76-85.'

6. Сизых Г.Б. О верификации численных расчетов вихревых течений методом проверки сохранения циркуляции // Труды МФТИ. 2016. Т. 8, № 2. С. 153-159.

7. Коцур О. С. Математическое моделирование эллиптического вихревого кольца в вязкой жидкости методом вихревых петель // Математика и математическое моделирование. 2021. № 3. С. 46-61.

8. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

9. Prim R., Truesdell С. A Derivation of Zorawski's Criterion for Permanent Vector-Lines // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V. 1. P. 32-34.

10. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва : Изд.-во МГУ, 1984.

11. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва : Гос. изд. физ.-мат. лит., 1974.

12. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва : Гос. изд. физ.-мат. лит., 1969.

13. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва : Высш. шк., 1991.

References

1. Markov V. V., Sizykh G.B. Vorticitv Evolution in Liquids and Gases. Fluid Dvn. 2015. V. 50, N 2. P. 186-192.

2. Golubkin V.N., Markov V. V., Sizykh G.B. The Integral Invariant of the Equations of Motion of Viscous Gas. J. Appl. Math. Mech. 2015. V. 79, I. 6. P. 566-571.

3. Sizykh G.B. Closed Vortex Lines in Fluid and Gas. J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phvs. Math. Sci. 2019. V. 23, I. 3. P. 407-416.

4. Sizykh G.B. Integral Invariant of Ideal Gas Flows Behind a Detached Bow Shock. J. Appl. Math. Mech. 2021. V. 85, I. 6. P. 742-747. (in Russian).

5. Kotsur O.S. On the Existence of Local Methods for Calculating the Transfer Rate of Vortex Tubes While Maintaining Their Intensity. Proceedings of MIPT. 2019. V. 11, N. 1. P. 76-85. (in Russian).

6. Sizykh G.B. Verification of Numerical Calculation of Eddy Currents by Checking the Velocity Circulation. Proceedings of MIPT. 2016. V. 8, N. 2. P. 153-159. (in Russian).

7. Kotsur O.S. Mathematical Modelling of the Elliptical Vortex Ring in a Viscous Fluid with the Vortex Filament Method. Mathematics and Mathematical Modeling. 2021. N. 3. P. 4661. (in Russian).

8. Koch/in N.E., Kibel' I.A., Roze N.V. Theoretical Hydromechanics. V. 1. Moscow : Fizmatgiz, 1963. (in Russian).

9. Prim R., Truesdell C. A Derivation of Zorawski's Criterion for Permanent Vector-Lines. Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V. 1. P. 32-34.

10. Petrovskiy I.G. Lectures on the theory of ordinary differential equations. Moscow : Moscow State University Publishing House, 1984. (in Russian).

11. Pontryagin L.S. Ordinary Differential Equations. London : Pergamon Press, 1962.

12. Stepanov V.V. Differential Equations course. — Moscow : Fizmatgiz, 1969. (in Russian).

13. Bibikov U.N. Ordinary Differential Equations course. Moscow : Vvsh. sh., 1991. (in Russian).

Поступим в редакцию 26.01.2022