CC BY
5К вопросу об анализе рисков при оценивании комплексного показателя качества
Рассматриваются алгоритм генерации матрицы случайных весов, методики робастного шкалирования, а также методический подход к оцениванию рисков комплексного показателя качества с использованием анализа чувствительности
В.А. Тушавин
ФГАОУ ВО «Санкт-
Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения»
(ФГАОУ ВО ГУАП),
д-р техн. наук,
Я.В. Тушавин2
ФГАОУ ВО ГУАП, [email protected]
А.С. Тур3
ФГАОУ ВО ГУАП, [email protected]
1 профессор, Санкт-Петербург, Россия
2 аспирант, Санкт-Петербург, Россия
3
3 старшим преподаватель, Санкт-Петербург, Россия
Для цитирования: Тушавин В.А., Тушавин Я.В., Тур А.С. К вопросу об анализе рисков при оценивании комплексного показателя качества // Компетентность / Competency (Russia). — 2024. — № 6. DOI: 10.24412/1993-8780-2024-6-51-55
ключевые слова
показатели качества, доминирующие показатели, компенсируемые показатели, робастность
дной из специфических квалиметри-ческих задач, постоянно возникающей при оценке качества, является нахождение комплексного показателя <2, характеризующего качество объекта в целом, для заданных единичных показателей X-1-1, .., Хт). В отличие от регрессионного анализа в квалиметриче-ских задачах для соотношения
е=/(х(1), .., Хт)) (1)
значения показателя е в большинстве случаев не заданы или представлены в нечисловой форме. Решение описанной задачи возможно, если в качестве функции / выступают функционалы из числа обобщенных средних по Колмогорову [1], относящиеся к числу допустимых для конкретных шкал. Обычно для этого используется линейная свертка. В работе [2] для решения задачи была обоснована целесообразность использования метода построения рандомизированных оценок качества на базе непрерывных моделей распределения вероятностей с последующим сравнением качества объектов с помощью стохастического доминирования.
Для сравнения качества объекта с эталоном необходимы некоторые целевые и критические значения отдельных показателей качества.
Учитывая, что по мере удаления по одной из возможных осей единичного показателя качества от эталонного к наихудшему это изменение неодинаково воспринимается потребителем на различных участках шкалы, в данном случае целесообразно использовать функцию потери качества Тагучи:
L = kE(Y- T)2,
Таким образом, функция потери качества имеет вид симметричной параболы относительно целевого значения. Целью робастного проектирования является минимизация функции потери качества Ь.
Как показано в работах [4, 5], если построение комплексного показателя качества е производится с помощью линейной свертки т единичных показателей Х(1)...Х(т) с использованием весовых коэффициентов р1.рт:
Q = Х pX (i),
(3)
i=1
(2)
где Ь — функция потери качества; k — коэффициент потери качества; Е — ожидаемое значение; Т — целевое зн а-чение У [3].
то при использовании метода стохастического доминирования [2] описанные коэффициенты р1.рт являются случайными величинами, а их генеральная совокупность образует т-вершинный симплекс в т-мерном пространстве:
Ут ч !(!...рт): —р ч 1; рг...1,1 ч 1,..,т(4)
Таким образом, задача сводится к генерации случайных точек, равномерно распределенных по поверхности стандартного симплекса. Как известно, этому условию удовлетворяет распределение Дирихле, плотность вероятности которого для k > 2 и а > 0 описывается формулой:
1 к 1 ] (1,...,хк-1 а1,...,аК ) = Л xi ' , (5) в(а) |=1
где В (а) — многомерная бета-функция. В случае введения для коэффициентов р ограничений вида ра,.,рь,.,рс,.,р^, получаем неправильный симплекс (политоп):
{к
Ств;;;Тк ) — Т, = В, Та;;;0, , - 1,..,к;
а-в 1
Та ^ ТЬ ^ Тс ^ Т4.\,(6)
где ^ с Г. Отражая точки Р | Р е 5 • 5
Таблица 1
Расчет коэффициентов свертки методом анализа иерархий [Calculation of convolution coefficients by analytic hierarchy process]
01 02 03 04 05 06 Собственный вектор [Eigenvector] Вектор приоритетов [Priority vector]
01 1 1/3 3 5 5 5 2,236 0,277
02 3 1 3 5 5 5 3,225 0,399
03 1/3 1/3 1 5 5 5 1,550 0,192
04 1/5 1/5 1/5 1 1 1/3 0,372 0,046
05 1/5 1/5 1/5 1/5 1 1/3 0,285 0,035
06 1/5 1/5 1/5 1/5 3 1 0,411 0,051
2 4,93 2,27 7,60 16,40 20,00 16,67 8,079 1,000
set.seed(2024; library(gtools)
rpoly<-function(n=1, size=2,test=data.frame()) { mtx<-rdirichlet(n,rep(1,size); if(length(test)==0) return(mtx) for(j in 1:n) I
while(TRUE) I flag=TRUE
for(i in 1:nrow(test)) I if(mtx[j,test$master[i]]<mtx[j,test$slave[ tmp<-mtx[j,test$slave[i]] mtx[j,test$slave[i]]<-mtx[j,test$master[ mtx[j,test$master[i]]<-tmp flag=FALSE
}
if(flag) break
}
}
return(mtx)
}
mtx<-rpoly(500, summary(mtx)
6, dfPrior1)
V1 V2 V3 V4
Min. 0.05593 Min. :C .1983 Min. :0.02237 Min. :6 .603e -05
1st Qu. 0.20269 1st Qu.:0 3349 1st Qu. :0.12596 1st Qu. :1. 032e- 02
Median 0.24556 Median :0. 3950 Median :0.16010 Median :2. 333e- 02
Mean 0.24451 Mean :0 .4076 Mean :0.15839 Mean :3 .033e -02
3rd Qu. 0.28340 3rd Qu.:0 4650 3rd Qu. :0.19007 3rd Qu. :4. 355e- 02
Max. 0.46036 Max. :0 .8492 Max. :0.27353 Max. :1 .425e -01
V5 V6
Min. 0.0003124 Min. :0.01909
1st Qu. 0.0278724 1st Qu. 0.07732
Median 0.0515925 Median : 0.10294
Mean 0.0551113 Mean :0.10409
3rd Qu. 0.0783844 3rd Qu. 0.13060
Max. 0.1611527 Max. :0.20071
Рис. 1. Фрагмент кода и результаты вычислений коэффициентов свертки методом рандомизирования на языке R [Code fragment and results of calculations of convolution coefficients by randomization method in R]
относительно плоскостей, соответствующих неравенствам, получаем точки, равномерно распределенные в заданном политопе [6].
Описанная методика рандомизации применительно к задачам стохастического доминирования позволяет решать вопросы оценки рисков, связанных с комплексным показателем качества для принятия решений.
Методика
Пусть имеется задача нахождения комплексного показателя качества с помощью концепции доминирующих и компенсируемых (компенсирующих) показателей качества.
Под доминирующими показателями в данном контексте понимаются главные характеристики процесса, а компенсируемыми — такие показатели, нулевая оценка любого из которых не влечет за собой нулевую оценку комплексного показателя качества, при этом нулевая или низкая оценка такого показателя может быть компенсирована другими оценками [2]. Для дальнейшего расчета комплексного показателя качества Q можно использовать, например, формулы:
Qd =П
j=i
X(jj j ; (7)
Qk = ХРХ(!); (8)
¡=1
Q = >007, (9)
где 0 — доминирующий показатель качества;
0ъ — компенсируемый показатель качества;
а и в — весовые коэффициенты [7]. Пусть также имеется вектор из шести единичных показателей качества, оцененных по стобалльной шкале. При этом в блоке показатели с 1 по 3 являются доминирующими и Об >
0б > 05, 02 > О1, 02 > Оз, 01 > Оз, где 0^.0 — единичные показатели.
При нахождении коэффициентов свертки методом анализа иерархий для наиболее простого случая, подразумевающего последующую линейную
свертку, учитывающую доминирующие показатели качества исключительно как безусловный приоритет над компенсируемыми, имеем следующие результаты (табл. 1).
При этом собственное значение матрицы A,max = 6,04; индекс согласованности — 0,007; обобщенное отношение согласованности — 0,6 % < 10-15 %.
Нетрудно убедиться, что практически аналогичные коэффициенты могут быть получены методом их рандомизации и нахождения средних значений, например с использованием языка R. Приводим фрагмент кода и результаты вычислений (см. рис. 1).
Наибольший практический интерес в расчетах представляют общие и межквартильные размахи для каждого из полученных коэффициентов. Из результатов следует, что они могут быть достаточно велики. При проекции из многомерной системы координат единичных показателей качества на результирующую прямую возникают значительные риски потери информации для лица, принимающего решение (ЛПР). Графически это может быть представлено в виде скрипичной диаграммы (violin plot) (см. рис. 2).
Например, набор нормированных весовых коэффициентов [Qi.Q^ для наименьшего и наибольшего значений второго показателя будут выглядеть как [0.1900842, 0.1982797, 0.1677288, 0.1338299305, 0.1475348753, 0.16254246] и [0.06196816, 0.8492182, 0.03953662, 5.278975х10-3, 0.0147479067, 0.02925013]. При этом все предусмотренные требования к ограничениям выполняются. Таким образом, вполне допустимо их использование при свертке, что, очевидно, может привести к совершенно различным итоговым результатам при сравнении с целевым показателем качества.
Задача ненамного усложняется при разделении на группы из доминирующих и компенсируемых показателей. Например, преобразуя табл. 1 для доминирующих показателей, получим табл. 2. Относительно похожие результаты получаем при рандомизации (см. рис. 3).
1 2 3 4 5 6
Рис. 2. Скрипичная диаграмма для весовых коэффициентов [Violin plot for weight coefficients]
Из приведенных примеров очевидно, что коэффициенты, полученные методом анализа иерархий или иным способом, являются лишь частным случаем всех возможных решений и это решение не всегда совпадает с их ма-
Таблица 2
Метод анализа иерархий для доминирующих показателей [Analytic hierarchy process for dominant indicators]
01 02 03 Собственный вектор [Eigenvector] Вектор приоритетов [Priority vector]
01 1 1/3 3 1,000 0,281
02 3 1 3 2,080 0,584
03 1/3 1/3 1 0,481 0,135
S 4,33 1,67 7,00 3,561 1,000
V1 V2 V3
Min. 0.003231 Min. :0 .3448 Min. :0.0000882
1st Qu. 0.194679 1st Qu.:0 .5048 1st Qu.: 0.0472735
Median 0.280784 Median :0 LO 4 61 Median : 0.0933715
Mean 0.269898 Mean :0 .6224 Mean :0.1077419
3rd Qu. 0.348095 3rd Qu.:0 .7321 3rd Qu.: 0.1583634
Max. 0.484489 Max. :0 .9963 Max. :0.3206202
Рис. 3. Преобразование табл. 1 для доминирующих показателей на языке R [Transformation of table 1 for dominant indicators in R]
convert.scale<-function(bad,good,val) | x1=bad x2=good x3=2*good-bad y1=0 y2=1 y3=0
a<-(y3-(x3*(y2-y1)+x2*y1-x1*y2)/(x2-x1))/(x3*(x3-x1-x2)+x1*x2)
b<-(y2-y1)/(x2-x1)-a*(x1+x2)
c<-(x2*y1-x1*y2)/(x2-x1)+a*x1*x2
y=a*val*val+b*val+c
return(ifelse(y>0,y,0);
}
Рис. 4. Робастное преобразование шкал на языке R [Robust scale transformation in R]
тематическим ожиданием. Также очевидно, что дисперсия, являющаяся в большинстве случаев мерой риска, может быть достаточно высокой.
При работе с рисками, связанными с возможными последствиями решений ЛПР на основе комплексного показателя качества, возникает вопрос к определению методики их оценки [8]. Исходя из изложенного методика может быть описана следующим образом.
На первоначальном этапе ЛПР определяет доминирующие и компенсируемые показатели качества для исследуемого объекта и их важность относительно друг друга в виде формул простого сравнения, типа Qm > Qn.
Определяются границы спецификаций для каждого единичного показате-
Таблица 3
Методика проведения анализа чувствительности [Methodology of sensitivity analysis]
Эксперимент [Experiment] Дисперсия выборки [Sampling variance] Вероятность выхода за границы спецификации [Probability of exceeding the specification boundaries]
Простая линейная свертка показателей качества без робастного преобразования ЕПК
Простая линейная свертка показателей качества с робастным преобразованием ЕПК
Свертка с учетом доминирующих и компенсируемых показателей качества без робастного преобразования ЕПК
Свертка с учетом доминирующих и компенсируемых показателей качества с робастным преобразованием ЕПК
ля качества (ЕПК) и кортеж показателей качества.
Определяется кортеж показателей качества минимально приемлемого объекта.
При необходимости осуществляется робастное преобразование шкал. Задача может быть сведена к нахождению параболы, симметричной относительно оси, проходящей через наилучшее значение. Например, в R это может быть осуществлено следующим образом (см. рис. 4).
Используя имитационное моделирование и современные статистические инструментальные средства (R, Python), проводим анализ чувствительности единичных показателей качества в полученной модели, применяя как основу табл. 3. На базе проведенного анализа выбираем наиболее приемлемую для решения данной конкретной задачи квалиметриче-скую модель.
Если полученные результаты не удовлетворяют по возможным рискам, квалиметрическая модель пересматривается. В данном случае возможно как изменение номенклатуры показателей качества, так и пересмотр оценки приоритетов одних показателей над другими.
Данный подход позволяет найти наименее рискованную схему свертки единичных показателей качества, что может быть, в частности, применено для решения задач оценки возможности использования неаутентичной продукции при импортозамещении [9, 10].
Заключение
Предложенный алгоритм генерации матрицы случайных весов, методики робастного шкалирования, а также методический подход к оцениванию рисков комплексного показателя качества содержат определенную новацию и позволяют решать широкий круг задач, связанный со сравнениями и оценками многопараметрических объектов в экономике и управлении.
Результаты работы могут быть полезны исследователям, занимающимся
исследования 55
проблемами, связанными с решением внедрения методологии дизайна про- Статья поступила квалиметрических задач, а также задач цессов шести сигм (DFSS). ■ в редакцию 10.05.2024
Список литературы
1. Хованов Н.В. Математические основы теории шкал измерения качества. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.
2. Тушавин В.А. // Вопросы радиоэлектроники. — 2015. — № 1.
3. Yang K., El-Haik B. S. Design for Six Sigma. 2nd еd. — The McGraw-Hill, 2009.
4. Тушавин В.А. // Системы управления и информационные технологии. — 2014. — № 4(58).
5. Тушавин В.А. Управление качеством ИТ-процессов производственного предприятия: монография. — М.: Научные технологии, 2015.
6. Rubin P. A. // Communications in Statistics — Simulation and Computation. — 1984. — Т. 13. — № 3.
7. Гун Г.С., Рубин Г.Ш. и др. // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова. — 2003. — № 5.
8. Антохина Ю.А., Тушавин В.А., Фролова Е.А. // Инновационное приборостроение. — 2022. — Т. 1. — № 2.
9. Верховская А.И., Назаревич С.А. // Инновационное приборостроение. — 2024. — Т. 3. — № 2.
10. Назаревич С.А. // Инновационное приборостроение. — 2023. — Т. 2. — № 4.
Kompetentnost / Competency (Russia) 6/2024 £■£■
ISSN 1993-8780. DOI: 10.24412/1993-8780-2024-6-51-55 ПСОСМПОП 55
On the Issue of Risk Änalysis in Ässessing a Complex Quality Indicator
V.A. Tushavin1, FSAEI HE St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation (FSAEI HE SUAI), Dr. (Tech.), [email protected]
Ya.V. Tushavin2, FSAEI HE SUAI, [email protected] A.S. Tur3, FSAEI HE SUAI, [email protected]
1 Professor, St. Petersburg, Russia
2 Graduate Student, St. Petersburg, Russia
3 Senior Lecturer, St. Petersburg, Russia
Citation: Tushavin V.A., Tushavin Ya.V., Tur A.S. On the Issue of Risk Analysis in Assessing a Complex Quality Indicator, Kompetentnost'/ Competency (Russia), 2024, no. 6, pp. 51-55. DOI: 10.24412/1993-8780-2024-6-51-55
key words
The article discusses the algorithm for generating a matrix of random weights, robust
..... , . scaling techniques, and a methodological approach to risk assessment of a complex
quality indicators, dominant 3 . ^ . i • t-i i ^ i- i i
indotore Compensated indicator quality indicator using sensitivity analysis. These complex studies and analyses
r0bustness conducted by the authors using simulation modeling and modern statistical tools
contain certain innovations and allow them to further solve even such problems as assessing the possibility of using inauthentic products in import substitution and in general a wide range of tasks related to comparisons and evaluations of multiparametric objects in economics and management. The results of the work can be useful to researchers dealing with problems related to solving qualimetric tasks, as well as the task of implementing the methodology of Six Sigma process design.
Referenсes
1. Khovanov N.V. Mathematical foundations of the theory of quality measurement scales, Leningrad, Izd-vo LGU, 1982, 188 P.
2. Tushavin V.A., Voprosy radioelektroniki, 2015, no. 1, pp. 53-60.
3. Yang K., El-Haik B. S. Design for Six Sigma. 2nd ed., The McGraw-Hill, 2009, 741 P.
4. Tushavin V.A., Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii, 2014, no. 4(58), pp. 92-95.
5. Tushavin V.A. Quality management of IT processes of a manufacturing enterprise: monograph, Moscow, Nauchnye tekhnologii, 2015, 249 P.
6. Rubin P. A., Communications in Statistics — Simulation and Computation, 1984, vol. 13, no. 3, pp. 375-396.
7. Gun G.S., Rubin G.Sh. i dr., Vestnik Magnitogorskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. G.I. Nosova, 2003, no. 5, 67 P.
8. Antokhina Yu.A., Tushavin V.A., Frolova E.A., Innovatsionnoe priborostroenie, 2022, vol. 1, no. 2, pp. 116-123.
9. Verkhovskaya A.I., Nazarevich S.A., Innovatsionnoe priborostroenie, 2024, vol. 3, no. 2. pp. 26-31.
10. Nazarevich S.A., Innovatsionnoe priborostroenie, 2023, vol. 2, no. 4, pp. 16-22.
