Научная статья на тему 'К вопросу о терминологии вектор-тензор и векторно-линейном пространстве'

К вопросу о терминологии вектор-тензор и векторно-линейном пространстве Текст научной статьи по специальности «Безопасность. Аварийно-спасательные службы»

CC BY
79
12
Поделиться

Аннотация научной статьи по общим и комплексным проблемам технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства, автор научной работы — Евельсон Р. Л.

Автор предлагает разделить понятия векторного и линейного пространства как не являющиеся эквивалентными. Приступив к преподаванию математики после работы в области электромагнетизма, автор обнаружил противоречия в некоторых основных понятиях и терминах современной математики. Этому посвящена данная статья.

To the Question about the Vector-Tensor Terminology and Vector-Linear Space

Author suggests to divide concepts of vector and linear space as not being equivalent. Having started to teaching mathematics after work in the area of electromagnetism, the author has found out contradictions in some basic concepts and terms of modern mathematics. In the present article is devoted to it.

Текст научной работы на тему «К вопросу о терминологии вектор-тензор и векторно-линейном пространстве»

Научно-технические разработки

УДК 614.8:338

Р.Л. Евельсон к.ф.-м.н. (АГЗ МЧС России)

К ВОПРОСУ О ТЕРМИНОЛОГИИ ВЕКТОР-ТЕНЗОР И ВЕКТОРНО-ЛИНЕЙНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

R. Evelson

TO THE QUESTION ABOUT THE VECTOR-TENSOR TERMINOLOGY AND VECTOR-LINEAR SPACE

Автор предлагает разделить понятия векторного и линейного пространства как не являющиеся эквивалентными. Приступив к преподаванию математики после работы в области электромагнетизма, автор обнаружил противоречия в некоторых основных понятиях и терминах современной математики. Этому посвящена данная статья.

Author suggests to divide concepts of vector and linear space as not being equivalent. Having started to teaching mathematics after work in the area of electromagnetism, the author has found out contradictions in some basic concepts and terms of modern mathematics. In the present article is devoted to it.

Р.Л. Евельсон

1. Рассмотрим три широко используемых математических объекта:

Вектором из них является лить объект а, так как он является линейной комбинацией трёх ортов і, /, к прямоугольной декартовой системы координат с заданными нами числовыми коэффициентами. Этот вывод вытекает из того, что орты і ,j, к — такие же стандартные математические символы, как sin, cos, lim. с, к и т.д., если не оговорено иначе.

2. Объект В — элемент линейного пространства из матриц-столбцов 3x1, а объект С — элемент линейного пространства из матриц-строк 1x3. Но «элементы линейного пространства принято называть векторами» [1, 2]. Значит, элементы В и С — тоже векторы в трёхмерном пространстве. Однако алгебраические операции над этими объектами (даже сложение) не определены.

3. В тензорном исчислении считается, что вектор есть частный случай тензора ранга р + (j (р раз ковариантного и ц раз контравари-антного), когда р + (] = 1. Это означает, что вся совокупность всевозможных векторов может быть разделена на совокупность ковариант-ных (р = 1, q -0) и контравариантных (р~0, Я = I) векторов. Какие из данных объектов а, В, С являются ковариантными, а какие контрава-риантными? И как производить подобную классификацию?

4. Тензор ранга есть элемент некоторого специального тензорного произведения линейных пространств, которое тоже является линейным. Но «элементы линейного пространства принято называть векторами». Выходит, что тензор является частным случаем вектора, а «вектор — частный случай тензора». Получается парадокс, сходный с известными парадоксами канторовской теории множеств.

5. Где у матрицы вектор вообще (и собственный вектор в частности), если матрица состоит из строк и столбцов?

6. Для разрешения этих противоречий имеет смысл отказаться от того, чтобы называть линейное пространство векторным, а его элементы — векторами.

Гносеологические причины таких противоречий впервые отмечены в работе [3], где доказывается, что элемент линейного пространства не должен называться вектором, т.к. нет алгебраических правил сложения матрицы-строки и матрицы-столбца.

В теории упругости тензор является обобщением вектора, но должен называться вектором как элемент некоторого линейного пространства. Подобное противоречие может показаться несущественным, если не сравнивать различные разделы математики друг с другом (зачастую даже математики разных направлений не понимают друг друга). Но процесс обучения как раз и подразумевает необходи-

мость такого сопоставления, чтобы у обучающегося не возникло ложное представление о запутанности математики, недоступной его пониманию.

Например, надо вычислить градиент некоторой функции / (х, у, з) в сферических координатах 1 111. В известном справочнике И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева написано, что для этого надо вычис-

5/ 5/ д/

лить не только частные производные —, —, , но

дг 50 Э<р

и базисные орты ег,ёв,ё , в то время как в монографии Е.Т. Фоменко, Н.И. Новикова и Б.И. Дубровина написано, что для этого базисные орты не нужны [4]. На взгляд автора, в справочнике правильно, а в более поздней монографии неверно истолковываются понятия тензоров и векторов в виде некоторой совокупности чисел, которая не является инвариантной.

В работе [3] под рубрикой «Новые математические методы» авторское толкование тензоров и векторов дано на основе концепции тензовектора ранга т в трёхмерном пространстве (где только и существуют оба инвариантных объекта: и тензор, и вектор). Там показано, что тензовектор ранга т = 1 совпадает с обычным определением вектора в виде направленного отрезка, а определение тензовектора ранга т > 2 может совпадать с существующим неинвариантным определением тензора в виде совокупности ковариантных, контравари-антных и смешанных тензоров, а может и не совпадать с ним, если все т базисов независимы друг от друга, но не являются одинаковыми или взаимными базисами.

Отметим, что сама возможность использования т независимых базисов при инвариантном представлении тензовектора ранга т позволяет построить более адекватную модель решения практически важных задач путём подбора первоначально независимых т базисов, каждый из которых состоит из трёх независимых (истинных) произвольных некомпланарных векторов в виде направленных отрезков.

Развитая в [3] безиндексная методика представления тензоров позволила в работе [4] развить теорию линейного преобразования векторов так, чтобы не было противоречия между инвариантным определением линейного преобразования и неинвариантным его представлением в виде матрицы. В результате развитой теории появилась возможность модификации

учебного процесса, которая продемонстрирована в [4] на примере рядового учебника по линейной алгебре [2], который содержит типовые недомолвки, вытекающие из вышеуказанных противоречий между понятиями «тензор» и «вектор». Добавленный в [4] материал оказался в 3-4 раза большим исходной статьи [3], но зато в сумме появилось некоторое издание, которое не имеет таких противоречий.

Как известно, инвариантное линейное преобразование характеризуется неинвариантной матрицей, вид которой зависит от образа и прообраза.

Из работы [1] следует, что в общем случае линейное преобразование векторов характеризуется тензором второго ранга с произвольными базисами слева и справа и произвольной в общем случае прямоугольной матрицей из его координат. При этом, согласно известному математику и гидродинамику академику Н.Е. Кочину, линейное преобразование векторов трактуется как скалярное произведение инвариантной величины — тензора на инвариантный вектор (в этом случае образ оказывается разложенным по базису слева), или вектора на тензор (в этом случае образ оказывается разложенным по базису справа)

— случай, который во всех существующих учебниках либо не рассматривается вообще (т.е. замалчивается), либо трактуется как невозможный и неудобный [1].

Согласно работе [2] можно линейно преобразовать любые векторы в любые. Но нельзя такие преобразования осуществить с матрицами, т.к. они представляют из себя лишь форму записи, а не общепризнанный алгебраический объект. Инвариантное понятие скалярного произведения тензора на вектор и наоборот сформулировал Н.Е. Кочин благодаря введенному им понятию ортогонального тензора второго ранга в трёхмерном пространстве без дополнительного подразделения на ко-, контра- и смешанную вариантности, которое в корне отличалось от принятого в ортодоксальной математике.

В работах [3-5] поясняется, что такие объекты не вполне подчиняются существующему определению тензора, а потому названы тензовектором. Концепция тензовектора позволяет расширить круг задач, решаемых аналитически и ранее недоступных или очень трудных для тензорного и векторного исчислений по отдельности.

Литература

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 1999. — 220 с.

2. Киркинский А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Академический проект. — 2006.

- 287 с.

3. Евельсон Р.Л. Об одном понятии линейного пространства / В кн.: Материалы конференции научно-педагогического состава, постоянного состава, слушателей, курсантов и студентов Академии 10.04.2001 г.

- Новогорск: АГЗ МЧС России. - 2001. - С. 81-84.

4. Евельсон Р.Л., Тыкоцкий В.В. Замечание к монографии Б.А. Дубровина, С.П. Новикова, А.Т. Фоменко «Современная геометрия. Методы и приложения» / Доклады научно-педагогического состава, постоянного состава, слушателей, курсантов и студентов АГЗ. Вып. 14. - Новогорск: АГЗ МЧС России. - 2002. - С. 69-71.

5. Евельсон Р.Л. Методические трудности современного тензорного исчисления и метод их устранения с применением в электродинамике // Электромагнитные волны и электронные системы. №10. 2005. - С. 67-70.

Научно-технические разработки